वास्तविक मूल्यवान समारोह: Difference between revisions

Revision as of 09:41, 24 May 2023

गणित में, वास्तविक मान फलन एक ऐसा फलन (गणित) होता है जिसके मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जो फलन के अपने प्रक्षेत्र के प्रत्येक इकाई एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है।

वास्तविक चर का वास्तविक मान फलन (सामान्य रूप से वास्तविक फलन कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक मान फलन गणना के अध्ययन और अधिक सामान्य रूप से वास्तविक विश्लेषण का मुख्य उद्देश्य हैं। विशेष रूप से, कई फलन समष्टि में वास्तविक मान फलन सम्मिलित होते हैं।

बीजगणितीय संरचना

मान लीजिए कि ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ समुच्चय (गणित) $X$ से वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ तक सभी फलन का समुच्चय है। क्योंकि $\mathbb {R}$ एक क्षेत्र है (गणित), जो ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ को सदिश समष्टि में परिवर्तित किया जा सकता है और वास्तविक के ऊपर एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) निम्नलिखित फलनों के साथ परिवर्तित कर दिया जा सकता है:

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ - सदिश योग
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ - योगात्मक समरूपता
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ - अदिश गुणन
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ - बिंदुवार गुणन

ये संक्रियाएँ $X$ से $\mathbb {R} ,$ तक आंशिक फलनों तक विस्तारित होती हैं इस प्रतिबंध के साथ कि आंशिक फलन $f + g$ और $f g$ को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फलन का प्रक्षेत्र $f$ और $g$ एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है; इस स्थिति में, उनका प्रक्षेत्र $f$ और $g$ के प्रक्षेत्र का प्रतिच्छेदन है

इसके अतिरिक्त, चूंकि $\mathbb {R}$ एक क्रमित समुच्चय है, एक आंशिक क्रम है

$\ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),$

${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),$ पर जो ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ आंशिक रूप से क्रमित वलय बनाता है।

मापनीय

बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। यदि X का उसका σ-बीजगणित है और एक फलन f ऐसा है कि किसी भी बोरेल समुच्चय B का पूर्व छवि f −1(B) उस σ-बीजगणित से संबंधित है, तो f को मापने योग्य कहा जाता है। मापने योग्य फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं जैसा कि ऊपर § बीजगणितीय संरचना में समझाया गया है।

इसके अतिरिक्त, X पर वास्तविक-मान फलनों का एक समुच्चय (वर्ग) वास्तव में सभी बोरेल समुच्चय (या केवल अंतराल के, यह महत्वपूर्ण नहीं है) के सभी पूर्व छवि द्वारा उत्पन्न X पर एक σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है। इस तरह से (कोलमोगोरोव के) प्रायिकता सिद्धांत में σ-बीजगणित उत्पन्न होता है, जहां प्रतिदर्श समष्टि Ω पर वास्तविक-मान फलन वास्तविक-मान यादृच्छिक चर हैं।

सतत

वास्तविक संख्याएँ एक सांस्थितिक समष्टि और एक पूर्ण आव्यूह समष्टि बनाती हैं। सतत वास्तविक-मान फलन (जिसका तात्पर्य है कि X एक सांस्थितिक समष्टि है) सांस्थितिक समष्टि और आव्यूह समष्टि के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। अत्यधिक मान प्रमेय बताता है कि सुसंहत समष्टि पर किसी भी वास्तविक सतत फलन के लिए वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम सम्मिलित है।

आव्यूह समष्टि की अवधारणा को ही दो चरों के वास्तविक-मान फलन के साथ परिभाषित किया गया है जो आव्यूह (गणित) सतत है। सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर सतत फलनों की समष्टि का एक विशेष महत्व है। अभिसरण अनुक्रमों को एक विशेष सांस्थितिक समष्टि पर वास्तविक-मान सतत फलनों के रूप में भी माना जा सकता है।

जैसा कि § बीजगणितीय संरचना में ऊपर समझाया गया है, सतत फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं, और मापने योग्य फलनों का एक उपवर्ग है क्योंकि किसी भी सांस्थितिक समष्टि में विवृत (या संवृत) समुच्चय द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।

निष्कोण

निष्कोण फलनों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्या को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक निष्कोण फलन का एक प्रक्षेत्र वास्तविक समन्वय समष्टि हो सकता है जो एक वास्तविक बहुभिन्नरूपी फलन उत्पन्न करता है, सांस्थितिक सदिश समष्टि,^[1] उनमें से एक विवृत उपसमुच्चय, या एक निष्कोण प्रसमष्टि है।

निष्कोण फलनों के समष्टि भी सदिश समष्टि और बीजगणित भी होते हैं जैसा कि § बीजगणितीय संरचना में ऊपर बताया गया है और सतत फलनों के समष्टि के उपसमष्टि हैं।

माप सिद्धांत में प्रकटन

समुच्चय पर एक माप (गणित) उपसमुच्चय के σ-बीजगणित पर एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक मान फलन है।^[2] एक माप के साथ समुच्चय पर L^p समष्टि उपर्युक्त वास्तविक-मान मापने योग्य के फलनों से परिभाषित किए गए हैं, हालांकि वे वास्तव में भागफल समष्टि हैं। अधिक परिशुद्ध रूप से, जबकि एक उपयुक्त सारांश स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक फलन L^p समष्टि के अवयव को परिभाषित करता है, विपरीत दिशा में किसी भी f ∈ L^p(X) और x ∈ X के लिए जो एक परमाणु नहीं है, और मान f(x) अनिर्धारित है। हालांकि, वास्तविक-मान L^p समष्टि में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना § बीजगणितीय संरचना में है। प्रत्येक L^p समष्टि एक सदिश समष्टि है और एक आंशिक क्रम है, और "फलन" का एक बिंदुवार गुणन सम्मिलित है जो p को बदलता है, अर्थात्

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.

उदाहरण के लिए, दो L² फलनों का बिंदुवार गुणनफल L¹ से संबंधित है।

अन्य उपस्थिति

अन्य संदर्भ जहां वास्तविक मान फलन और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है, उनमें एकदिष्ट फलन (क्रमित समुच्चय पर), उत्तल फलन (वेक्टर और एफ़िन समष्टि पर), हार्मोनिक फलन और उप-हार्मोनिक फलन ( रीमैनियन प्रसमष्टि पर), विश्लेषणात्मक फलन सामान्य रूप से एक का) या अधिक वास्तविक चर, बीजगणितीय फलन (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और बहुपद (एक या अधिक वास्तविक चर) सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

वास्तविक विश्लेषण
आंशिक अवकल समीकरण, वास्तविक मान फलन का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
सामान्य (गणित)
अदिश (गणित)

फुटनोट्स

↑ Different definitions of derivative exist in general, but for finite dimensions they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.
↑ Actually, a measure may have values in $[0, +\infty]$ : see extended real number line.

संदर्भ

Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Real Function". MathWorld.

[1] Different definitions of derivative exist in general, but for finite dimensions they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.

[2] Actually, a measure may have values in $[0, +\infty]$ : see extended real number line.

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Mathematical function that takes real values}}
-{{refimprove|date=June 2013}}
-चित्र:वजन 20mg~500g.jpg|thumb|right|[[ग्राम]] में मापा गया [[द्रव्यमान]] भार के इस संग्रह से [[सकारात्मक संख्या]] वास्तविक संख्याओं का एक कार्य है। भार फलन शब्द, इस उदाहरण के लिए एक संकेत है, शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में प्रयोग किया जाता है।
 {{Functions}}
-गणित में, एक वास्तविक-मूल्यवान फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका [[कोडोमेन]] [[वास्तविक संख्या]]एँ होती हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जो फलन के अपने प्रांत के प्रत्येक सदस्य को एक वास्तविक संख्या प्रदान करता है।
+गणित में, '''वास्तविक मान फलन''' एक ऐसा फलन (गणित) होता है जिसके मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जो फलन के अपने प्रक्षेत्र के प्रत्येक इकाई एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है।
-एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य (आमतौर पर ''वास्तविक कार्य'' कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य पथरी के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य हैं, और अधिक सामान्य रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]]। विशेष रूप से, कई फ़ंक्शन रिक्त स्थान में वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन होते हैं।
+वास्तविक चर का वास्तविक मान फलन (सामान्य रूप से वास्तविक फलन कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक मान फलन गणना के अध्ययन और अधिक सामान्य रूप से वास्तविक विश्लेषण का मुख्य उद्देश्य हैं। विशेष रूप से, कई फलन समष्टि में वास्तविक मान फलन सम्मिलित होते हैं।
 == बीजगणितीय संरचना ==
-होने देना <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> एक सेट से सभी कार्यों का सेट हो (गणित) {{mvar|X}} वास्तविक संख्या के लिए <math>\mathbb R</math>. क्योंकि <math>\mathbb R</math> एक क्षेत्र है (गणित), <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> निम्नलिखित परिचालनों के साथ वास्तविक पर एक वेक्टर अंतरिक्ष और एक कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) में बदल दिया जा सकता है:
+मान लीजिए कि <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> समुच्चय (गणित) {{mvar|X}} से वास्तविक संख्या <math>\mathbb R</math> तक सभी फलन का समुच्चय है। क्योंकि <math>\mathbb R</math> एक क्षेत्र है (गणित), जो <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> को सदिश समष्टि में परिवर्तित किया जा सकता है और वास्तविक के ऊपर एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) निम्नलिखित फलनों के साथ परिवर्तित कर दिया जा सकता है:
-*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> - [[वेक्टर जोड़]]
+*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> - [[वेक्टर जोड़|सदिश योग]]
-*<math>\mathbf{0}: x \mapsto 0</math> - [[जोड़ने योग्य पहचान]]
+*<math>\mathbf{0}: x \mapsto 0</math> - [[जोड़ने योग्य पहचान|योगात्मक समरूपता]]
-*<math>c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R</math> - [[स्केलर गुणज]]
+*<math>c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R</math> - [[स्केलर गुणज|अदिश गुणन]]
 *<math>f g: x \mapsto f(x)g(x)</math> - [[बिंदुवार]] गुणन
-ये ऑपरेशन आंशिक कार्यों तक विस्तारित होते हैं {{mvar|X}} को <math>\mathbb R,</math> प्रतिबंध के साथ कि आंशिक कार्य करता है {{math|''f'' + ''g''}} और {{math|''f'' ''g''}} को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फ़ंक्शन का डोमेन {{mvar|f}} और {{mvar|g}} एक गैर-खाली चौराहा है; इस स्थिति में, उनका डोमेन के डोमेन का प्रतिच्छेदन है {{mvar|f}} और {{mvar|g}}.
+ये संक्रियाएँ {{mvar|X}} से <math>\mathbb R,</math> तक आंशिक फलनों तक विस्तारित होती हैं इस प्रतिबंध के साथ कि आंशिक फलन {{math|''f'' + ''g''}} और {{math|''f'' ''g''}} को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फलन का प्रक्षेत्र {{mvar|f}} और {{mvar|g}} एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है; इस स्थिति में, उनका प्रक्षेत्र {{mvar|f}} और {{mvar|g}} के प्रक्षेत्र का प्रतिच्छेदन है
-इसके अलावा, चूंकि <math>\mathbb R</math> एक आदेशित सेट है, एक आंशिक क्रम है
+इसके अतिरिक्त, चूंकि <math>\mathbb R</math> एक क्रमित समुच्चय है, एक आंशिक क्रम है
 *<math>\ f \le g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \le g(x),</math>
-पर <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}),</math> किसने बनाया <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> [[आंशिक रूप से आदेशित अंगूठी]]।
+<math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}),</math> पर जो <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> आंशिक रूप से क्रमित वलय बनाता है।
+== मापनीय ==
+{{see also|बोरेल फलन}}
+बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। यदि X का उसका σ-बीजगणित है और एक फलन f ऐसा है कि किसी भी बोरेल समुच्चय B का पूर्व छवि f −1(B) उस σ-बीजगणित से संबंधित है, तो f को मापने योग्य कहा जाता है। मापने योग्य फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं जैसा कि ऊपर § बीजगणितीय संरचना में समझाया गया है।
-== मापने योग्य ==
+इसके अतिरिक्त, X पर वास्तविक-मान फलनों का एक समुच्चय (वर्ग) वास्तव में सभी बोरेल समुच्चय (या केवल अंतराल के, यह महत्वपूर्ण नहीं है) के सभी पूर्व छवि द्वारा उत्पन्न X पर एक σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है। इस तरह से (कोलमोगोरोव के) प्रायिकता सिद्धांत में σ-बीजगणित उत्पन्न होता है, जहां प्रतिदर्श समष्टि Ω पर वास्तविक-मान फलन वास्तविक-मान यादृच्छिक चर हैं।
-{{see also|Borel function}}
-[[बोरेल सेट]] का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। अगर {{mvar|X}} का अपना σ-बीजगणित और एक फलन है {{mvar|f}} ऐसा है कि [[preimage]] {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''B'')}} किसी भी बोरेल सेट का {{mvar|''B''}} उस σ-बीजगणित से संबंधित है, तब {{mvar|f}} को मापने योग्य कार्य कहा जाता है। मापने योग्य कार्य भी एक सदिश स्थान और एक बीजगणित बनाते हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है {{slink||Algebraic structure}}.
-इसके अलावा, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक सेट (परिवार)। {{mvar|X}} वास्तव में σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है {{mvar|X}} सभी बोरेल सेट (या केवल [[अंतराल (गणित)]]) के सभी प्रीइमेज द्वारा उत्पन्न, यह महत्वपूर्ण नहीं है)। यह वह तरीका है जिससे σ-एलजेब्रा (कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध | कोल्मोगोरोव के) संभाव्यता सिद्धांत में उत्पन्न होता है, जहां नमूना स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान कार्य करता है {{math|&Omega;}} वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर हैं।
+== सतत ==
+वास्तविक संख्याएँ एक सांस्थितिक समष्टि और एक पूर्ण आव्यूह समष्टि बनाती हैं। सतत वास्तविक-मान फलन (जिसका तात्पर्य है कि X एक सांस्थितिक समष्टि है) सांस्थितिक समष्टि और आव्यूह समष्टि के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। अत्यधिक मान प्रमेय बताता है कि सुसंहत समष्टि पर किसी भी वास्तविक सतत फलन के लिए वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम सम्मिलित है।
-== निरंतर ==
+आव्यूह समष्टि की अवधारणा को ही दो चरों के वास्तविक-मान फलन के साथ परिभाषित किया गया है जो आव्यूह (गणित) सतत है। सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर सतत फलनों की समष्टि का एक विशेष महत्व है। अभिसरण अनुक्रमों को एक विशेष सांस्थितिक समष्टि पर वास्तविक-मान सतत फलनों के रूप में भी माना जा सकता है।
-वास्तविक संख्याएँ एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] और एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] बनाती हैं। [[निरंतर कार्य]] वास्तविक-मूल्यवान कार्य (जिसका अर्थ है कि {{mvar|X}} एक टोपोलॉजिकल स्पेस है) [[सामान्य टोपोलॉजी]] और मेट्रिक ज्यामिति के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। [[चरम मूल्य प्रमेय]] बताता है कि [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] पर किसी भी वास्तविक निरंतर कार्य के लिए इसकी वैश्विक [[मैक्सिमा और मिनिमा]] मौजूद हैं।
-[[मीट्रिक स्थान]] की अवधारणा को ही दो चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है, [[मीट्रिक (गणित)]], जो निरंतर है। कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ अंतरिक्ष पर निरंतर कार्यों की जगह का एक विशेष महत्व है। [[अभिसरण अनुक्रम]]ों को एक विशेष स्थलीय स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के रूप में भी माना जा सकता है।
+जैसा कि § बीजगणितीय संरचना में ऊपर समझाया गया है, सतत फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं, और मापने योग्य फलनों का एक उपवर्ग है क्योंकि किसी भी सांस्थितिक समष्टि में विवृत (या संवृत) समुच्चय द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।
-निरंतर कार्य एक सदिश स्थान और एक बीजगणित भी बनाते हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है {{slink||Algebraic structure}}, और #Measurable का एक उपवर्ग है क्योंकि किसी भी स्थलीय स्थान में खुले (या बंद) सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।
+== निष्कोण ==
+{{main|निष्कोण फलन}}
-== चिकना ==
+निष्कोण फलनों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्या को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक निष्कोण फलन का एक प्रक्षेत्र [[वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक समन्वय समष्टि]] हो सकता है जो एक वास्तविक बहुभिन्नरूपी फलन उत्पन्न करता है, सांस्थितिक सदिश समष्टि,<ref>Different definitions of [[derivative]] exist in general, but for finite [[dimension (vector space)|dimensions]] they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.</ref> उनमें से एक [[खुला उपसमुच्चय|विवृत उपसमुच्चय]], या एक निष्कोण प्रसमष्टि है।
-{{main|Smooth function}}
-सुचारू कार्यों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्या को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक सुचारू कार्य का एक डोमेन [[वास्तविक समन्वय स्थान]] हो सकता है (जो एक वास्तविक बहुविकल्पी कार्य उत्पन्न करता है), एक सामयिक सदिश स्थान,<ref>Different definitions of [[derivative]] exist in general, but for finite [[dimension (vector space)|dimensions]] they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.</ref> उनमें से एक [[खुला उपसमुच्चय]], या एक चिकनी कई गुना।
-सुचारू कार्यों के स्थान भी सदिश स्थान और बीजगणित हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है {{slink||Algebraic structure}} और #Continuous के स्थान के उपस्थान हैं।
+निष्कोण फलनों के समष्टि भी सदिश समष्टि और बीजगणित भी होते हैं जैसा कि § बीजगणितीय संरचना में ऊपर बताया गया है और सतत फलनों के समष्टि के उपसमष्टि हैं।
 == माप सिद्धांत में प्रकटन ==
-एक सेट पर एक माप (गणित) सबसेट के σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मक है।<ref>Actually, a measure may have values in {{closed-closed|0, +∞}}: see [[extended real number line]].</ref> एलपी स्पेस | एल<sup>p</sup> एक माप के साथ सेट पर रिक्त स्थान पूर्वोक्त #Measurable|वास्तविक-मूल्यवान मापनीय कार्यों से परिभाषित किए गए हैं, हालांकि वे वास्तव में कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) हैं। अधिक सटीकता से, जबकि उपयुक्त समाकल को संतुष्ट करने वाला फलन L के एक अवयव को परिभाषित करता है<sup>p</sup> स्थान, किसी के लिए विपरीत दिशा में {{math|''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''X'')}} और {{math|''x'' ∈ ''X''}} जो एक [[परमाणु (माप सिद्धांत)]] नहीं है, मान {{math|''f''(''x'')}} [[अच्छी परिभाषा]] है। हालांकि, वास्तविक मूल्यवान L<sup>p</sup> रिक्त स्थान में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना है {{slink||Algebraic structure}}. प्रत्येक एल<sup>p</sup> रिक्त स्थान एक सदिश स्थान है और एक आंशिक क्रम है, और कार्यों का एक बिंदुवार गुणन मौजूद है जो बदलता है {{mvar|p}}, अर्थात्
+समुच्चय पर एक माप (गणित) उपसमुच्चय के σ-बीजगणित पर एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक मान फलन है।<ref>Actually, a measure may have values in {{closed-closed|0, +∞}}: see [[extended real number line]].</ref> एक माप के साथ समुच्चय पर L<sup>''p''</sup> समष्टि उपर्युक्त वास्तविक-मान मापने योग्य के फलनों से परिभाषित किए गए हैं, हालांकि वे वास्तव में भागफल समष्टि हैं। अधिक परिशुद्ध रूप से, जबकि एक उपयुक्त सारांश स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक फलन L<sup>''p''</sup> समष्टि के अवयव को परिभाषित करता है, विपरीत दिशा में किसी भी ''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''X'') और ''x'' ∈ ''X'' के लिए जो एक परमाणु नहीं है, और मान ''f''(''x'') अनिर्धारित है। हालांकि, वास्तविक-मान L<sup>''p''</sup> समष्टि में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना § बीजगणितीय संरचना में है। प्रत्येक L<sup>''p''</sup> समष्टि एक सदिश समष्टि है और एक आंशिक क्रम है, और "फलन" का एक बिंदुवार गुणन सम्मिलित है जो p को बदलता है, अर्थात्
 :<math>\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad
 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.</math>
-उदाहरण के लिए, दो एल का बिंदुवार उत्पाद<sup>2</sup> कार्य L से संबंधित हैं<sup>1</उप>।
+उदाहरण के लिए, दो L<sup>2</sup> फलनों का बिंदुवार गुणनफल L<sup>1</sup> से संबंधित है।
-== अन्य दिखावे ==
+== अन्य उपस्थिति ==
-अन्य संदर्भ जहां वास्तविक-मूल्यवान कार्यों और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है, उनमें [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] ([[आदेशित सेट]] पर), उत्तल फ़ंक्शन (वेक्टर और एफ़िन रिक्त स्थान पर), [[हार्मोनिक फ़ंक्शन]] और [[सबहार्मोनिक फ़ंक्शन]] फ़ंक्शन ([[ रीमैनियन कई गुना ]]्स पर), विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन (आमतौर पर एक का) शामिल हैं। या अधिक वास्तविक चर), [[बीजगणितीय कार्य]] (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और [[बहुपद]] (एक या अधिक वास्तविक चर)।
+अन्य संदर्भ जहां वास्तविक मान फलन और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है, उनमें [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|एकदिष्ट फलन]] ([[आदेशित सेट|क्रमित समुच्चय]] पर), उत्तल फलन (वेक्टर और एफ़िन समष्टि पर), [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] और [[सबहार्मोनिक फ़ंक्शन|उप-हार्मोनिक फलन]] ([[ रीमैनियन कई गुना | रीमैनियन प्रसमष्टि]] पर), विश्लेषणात्मक फलन सामान्य रूप से एक का) या अधिक वास्तविक चर, [[बीजगणितीय कार्य|बीजगणितीय फलन]] (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और [[बहुपद]] (एक या अधिक वास्तविक चर) सम्मिलित हैं।
 == यह भी देखें ==
-*सच्चा विश्लेषण
+*वास्तविक विश्लेषण
-* आंशिक अंतर समीकरण, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
+* आंशिक अवकल समीकरण, वास्तविक मान फलन का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
-* नॉर्म (गणित)
+* सामान्य (गणित)
 * [[अदिश (गणित)]]

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Contents

बीजगणितीय संरचना

मापनीय

सतत

निष्कोण

माप सिद्धांत में प्रकटन

अन्य उपस्थिति

यह भी देखें

फुटनोट्स

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फ़ंक्शन
$x \mapsto f (x)$
डोमेन और कोडोमैन के उदाहरण
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
कक्षाएं/गुण
स्थिर पहचान रैखिक बहुपद तर्कसंगत बीजगणितीय विश्लेषणात्मक चिकनी निरंतर औसत दर्जे का इंजेक्शन सर्जिकल बायजजे
कंस्ट्रक्शन
प्रतिबंध रचना λ उलटा
सामान्यीकरण
आंशिक बहुउद्देशीय निहित स्पेस
v t e

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बीजगणितीय संरचना

मापनीय

सतत

निष्कोण

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अन्य उपस्थिति

यह भी देखें

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