नेबरहुड प्रणाली: Difference between revisions

Revision as of 20:04, 12 July 2023

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, नेबरहुड प्रणाली, नेबरहुड की पूर्ण प्रणाली,^[1] या नेबरहुड फ़िल्टर ${\mathcal {N}}(x)$ बिंदु के लिए $x$ टोपोलॉजिकल समिष्ट में सभी नेबरहुड का संग्रह $x.$ होता है।

परिभाषाएँ

किसी बिंदु या समुच्चय का नेबरहुड

किसी बिंदु का संवृत निकटम बिंदु (या उपसमुच्चय) का^{[note 1]} $x$ टोपोलॉजिकल समिष्ट में $X$ संवृत समुच्चय है $U$ का $X$ उसमें सम्मिलित है $x.$ का neighbourhood of $x$ in $X$ कोई उपसमुच्चय है $N\subseteq X$ जिसमें कुछ संवृत नेबरहुड सम्मिलित है, $x$ स्पष्ट रूप से, $N$ का नेबरहुड है $x$ में $X$ यदि केवल संवृत उपसमुच्चय उपस्तिथ है $U$ के साथ $x\in U\subseteq N$ ^[2]^[3]समान रूप से, नेबरहुड $x$ का समुच्चय है जिसमें सम्मिलित $x$ इसके आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) है।

महत्वपूर्ण रूप से, नेबरहुड संवृत समुच्चय होना आवश्यक नहीं नहीं है; वे नेबरहुड जो संवृत समुच्चय भी होते हैं, उन्हें "संवृत नेबरहुड" के रूप में जाना जाता है। ^{[note 2]}इसी प्रकार, नेबरहुड जो विवृत समुच्चय (क्रमशः, सघन समिष्ट, जुड़ा हुआ समिष्ट इत्यादि) होता है, उसे विवृत नेबरहुड (क्रमश, कॉम्पैक्ट नेबरहुड, जुड़े हुए नेबरहुड, आदि।)। कई अन्य प्रकार के नेबरहुड हैं जिनका उपयोग टोपोलॉजी और कार्यात्मक विश्लेषण जैसे संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है। निश्चित उपयोगी गुण रखने वाले सभी नेबरहुड के सदस्य प्रायः नेबरहुड का आधार बनाते हैं, चूँकि कई बार, ये नेबरहुड आवश्यक रूप से संवृत नहीं होते हैं। उदासभीण के लिए, समिष्टीय रूप से जटिल समिष्ट, वे समिष्ट हैं, जिनमें सभी बिंदु पर नेबरहुड का आधार होता है, जिसमें पूर्ण रूप से जटिल समुच्चय होते हैं।

नेबरहुड फ़िल्टर

बिंदु (या अरिक्त उपसमुच्चय) के लिए नेबरहुड प्रणाली $x$ फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) है जिसे neighbourhood filter for $x.$ कहा जाता है। बिंदु के लिए नेबरहुड फ़िल्टर $x\in X$ सिंगलटन समुच्चय के नेबरहुड फ़िल्टर $\{x\}.$ के समान है।

नेबरहुड का आधार

किसी बिंदु के लिए नेबरहुड का आधार या स्थानीय आधार (या नेबरहुड का आधार या स्थानीय आधार) $x$ नेबरहुड फ़िल्टर का फ़िल्टर आधार है; इसका तात्पर्य यह है कि यह उपसमुच्चय है:

{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)

ऐसा सभी के लिए

V\in {\mathcal {N}}(x),

वहाँ कुछ उपस्तिथ है

B\in {\mathcal {B}}

ऐसा है कि

B\subseteq V.

^[3]अर्थात किसी भी नेबरहुड के लिए

V

नेबरहुड का परिक्षण कर सकते हैं

B

नेबरहुड के आधार में

V.

निहित है।

समान रूप से, ${\mathcal {B}}$ पर समिष्टीय आधार है $x$ यदि केवल नेबरहुड फ़िल्टर ${\mathcal {N}}$ से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है ${\mathcal {B}}$ इस अर्थ में कि निम्नलिखित समानता है:^[4]

{\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.

सदस्य

{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)

के लिए नेबरहुड का आधार

x

है यदि केवल

{\mathcal {B}}

का सहअंतिम उपसमुच्चय है

\left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)

आंशिक क्रम के संबंध में

\supseteq

(महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आंशिक क्रम सुपरसमुच्चय संबंध है न कि उपसमुच्चय संबंध) है।

नेबरहुड उपआधार

नेबरहुड उपआधार पर $x$ सदस्य है उपसमुच्चय का ${\mathcal {S}}$ , $X,$ जिनमें से प्रत्येक में सम्मिलित है $x,$ जैसे कि तत्वों के सभी संभावित परिमित प्रतिच्छेदनों (समुच्चय सिद्धांत) का संग्रह ${\mathcal {S}}$ पर नेबरहुड का आधार $x.$ बनता है।

उदासभीण

यदि $\mathbb {R}$ के नेबरहुड की तुलना में इसकी सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी है $0$ वे सभी उपसमुच्चय हैं $N\subseteq \mathbb {R}$ जिसके लिए कुछ वास्तविक संख्या उपस्तिथ है $r>0$ ऐसा है कि $(-r,r)\subseteq N.$ उदासभीण के लिए, निम्नलिखित सभी समुच्चय $0$ में $\mathbb {R}$ नेबरहुड के हैं:

(-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R}

किन्तु निम्नलिखित में से कोई भी समुच्चय का नेबरहुड

0

नहीं है:

\{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}

जहाँ

\mathbb {Q}

तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाता है।

यदि $U$ टोपोलॉजिकल समिष्ट का संवृत उपसमुच्चय है $X$ सभी के लिए $u\in U,$ $U$ का नेबरहुड है $u$ में $X.$ अधिक सामान्यतः, यदि $N\subseteq X$ क्या कोई समुच्चय है और $\operatorname {int} _{X}N$ के आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $N$ में $X,$ तब $N$ नेबरहुड है $X$ ) सभी बिंदु का $x\in \operatorname {int} _{X}N$ और इसके अतिरिक्त, $N$ किसी अन्य बिंदु का नेबरहुड नहीं है। भिन्न रूप में कहा गया है कि, $N$ बिंदु का नेबरहुड $x\in X$ है यदि केवल $x\in \operatorname {int} _{X}N.$ है।

नेबरहुड के आधार

किसी भी टोपोलॉजिकल समिष्ट में, किसी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली भी बिंदु के लिए नेबरहुड का आधार है। बिंदु पर सभी संवृत नेबरहुड का समुच्चय उस बिंदु पर नेबरहुड का आधार बनाता है। किसी भी बिंदु के लिए $x$ मीट्रिक समिष्ट में, चारों ओर संवृत गेंदों का क्रम $x$ त्रिज्या के साथ $1/n$ गणनीय नेबरहुड आधार बनाते हैं, ${\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}$ इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक मीट्रिक समिष्ट प्रथम-गणनीय है।

समिष्ट दी गई $X$ अविवेकी टोपोलॉजी के साथ किसी भी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली $x$ में केवल संपूर्ण समिष्ट ${\mathcal {N}}(x)=\{X\}$ समाहित है,

किसी समिष्ट पर माप के समिष्ट पर टोपोलॉजी में $E,$ नेबरहुड का आधार $\nu$ द्वारा दिया गया है:

\left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}

जहाँ

f_{i}

सतत परिबद्ध फलन (टोपोलॉजी) हैं,

E

वास्तविक संख्याओं तक और

r_{1},\dots ,r_{n}

सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

सेमीनोर्म्ड रिक्त समिष्ट और टोपोलॉजिकल समूह

सेमीनॉर्म्ड समिष्ट में, जो सेमिनॉर्म से प्रेरित टोपोलॉजिकल समिष्ट वाला सदिश समिष्ट है, सभी नेबरहुड प्रणालियों का निर्माण मूल के लिए नेबरहुड प्रणाली के अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा किया जा सकता है,

{\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.

ऐसा इसलिए है, क्योंकि धारणा के अनुसार, प्रेरित टोपोलॉजी में सदिश जोड़ भिन्न से निरंतर होता है। इसलिए, टोपोलॉजी मूल में इसकी नेबरहुड प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है। अधिक सामान्यतः, यह तब भी सत्य रहता है जब समिष्ट टोपोलॉजिकल समूह होता है या टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक समिष्ट द्वारा परिभाषित किया जाता है।

गुण

कल्पना कीजिये $u\in U\subseteq X$ और ${\mathcal {N}}$ के लिए नेबरहुड का आधार बनाया जाता है, $u$ में $X.$ निर्माण ${\mathcal {N}}$ सुपरसमुच्चय समावेशन द्वारा आंशिक रूप से क्रमबद्ध करके निर्देशित समुच्चय में $\,\supseteq .$ तब $U$ का नेबरहुड नहीं है, $u$ में $X$ यदि उपस्तिथ है ${\mathcal {N}}$ -अनुक्रमित नेट (गणित) $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ में $X\setminus U$ ऐसा है कि $x_{N}\in N\setminus U$ प्रत्येक के लिए $N\in {\mathcal {N}}$ (जिसका तात्पर्य यह है $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u$ में $X$ ) है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Usually, "neighbourhood" refers to a neighbourhood of a point and it will be clearly indicated if it instead refers to a neighborhood of a set. So for instance, a statement such as "a neighbourhood in $X$ " that does not refer to any particular point or set should, unless somehow indicated otherwise, be taken to mean "a neighbourhood of some point in $X.$ "
↑ Most authors do not require that neighborhoods be open sets because writing "open" in front of "neighborhood" when this property is needed is not overly onerous and because requiring that they always be open would also greatly limit the usefulness of terms such as "closed neighborhood" and "compact neighborhood".

↑ Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 41. ISBN 0-486-66352-3.
↑ Bourbaki 1989, pp. 17–21.
↑ ^3.0 ^3.1 Willard 2004, pp. 31–37.
↑ Willard, Stephen (1970). सामान्य टोपोलॉजी. Addison-Wesley Publishing. ISBN 9780201087079. (See Chapter 2, Section 4)

ग्रन्थसूची

Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

[nhoodOfPointVsSet-2] Usually, "neighbourhood" refers to a neighbourhood of a point and it will be clearly indicated if it instead refers to a neighborhood of a set. So for instance, a statement such as "a neighbourhood in $X$ " that does not refer to any particular point or set should, unless somehow indicated otherwise, be taken to mean "a neighbourhood of some point in $X.$ "

[NhoodsNotRequiredToBeOpen-5] Most authors do not require that neighborhoods be open sets because writing "open" in front of "neighborhood" when this property is needed is not overly onerous and because requiring that they always be open would also greatly limit the usefulness of terms such as "closed neighborhood" and "compact neighborhood".

[1] Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 41. ISBN 0-486-66352-3.

[FOOTNOTEBourbaki198917–21-3] Bourbaki 1989, pp. 17–21.

[FOOTNOTEWillard200431–37-4] 3.0 ^3.1 Willard 2004, pp. 31–37.

[6] Willard, Stephen (1970). सामान्य टोपोलॉजी. Addison-Wesley Publishing. ISBN 9780201087079. (See Chapter 2, Section 4)

[1]

[note 1]

[2]

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[note 2]

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-[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, पड़ोस प्रणाली, पड़ोस की पूरी प्रणाली,<ref>{{cite book|last=Mendelson|first=Bert|date=1990 |orig-year=1975|title=टोपोलॉजी का परिचय|edition=Third|publisher=Dover|isbn=0-486-66352-3|page=41}}</ref> या पड़ोस फ़िल्टर <math>\mathcal{N}(x)</math>  बिंदु के लिए <math>x</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में सभी नेबरहुड (गणित) का संग्रह होता है <math>x.</math>
+[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, नेबरहुड प्रणाली, नेबरहुड की पूर्ण प्रणाली,<ref>{{cite book|last=Mendelson|first=Bert|date=1990 |orig-year=1975|title=टोपोलॉजी का परिचय|edition=Third|publisher=Dover|isbn=0-486-66352-3|page=41}}</ref> या नेबरहुड फ़िल्टर <math>\mathcal{N}(x)</math> बिंदु के लिए <math>x</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समिष्ट]] में सभी नेबरहुड का संग्रह <math>x.</math> होता है।
 == परिभाषाएँ ==
-किसी बिंदु या समुच्चय का पड़ोस
+किसी बिंदु या समुच्चय का नेबरहुड
-{{em|{{visible anchor|open neighbourhood}}}}  बिंदु (या उपसमुच्चय) का<ref group=note name=nhoodOfPointVsSet />  <math>x</math>  टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>X</math> कोई [[खुला सेट]] है <math>U</math> का <math>X</math> उसमें सम्मिलित है <math>x.</math>
+{{em|किसी बिंदु का संवृत निकटम}}  बिंदु (या उपसमुच्चय) का<ref group=note name=nhoodOfPointVsSet /> <math>x</math> टोपोलॉजिकल समिष्ट में <math>X</math> [[खुला सेट|संवृत समुच्चय]] है <math>U</math> का <math>X</math> उसमें सम्मिलित है <math>x.</math> का {{em|{{visible anchor|neighbourhood}} of <math>x</math> in <math>X</math>}} कोई उपसमुच्चय है <math>N \subseteq X</math> जिसमें {{em|कुछ}}  संवृत नेबरहुड सम्मिलित है, <math>x</math> स्पष्ट रूप से, <math>N</math> का नेबरहुड है <math>x</math> में <math>X</math> यदि केवल संवृत उपसमुच्चय उपस्तिथ है <math>U</math> के साथ <math>x \in U \subseteq N</math>{{sfn|Bourbaki|1989|pp=17-21}}{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}समान रूप से, नेबरहुड <math>x</math> का समुच्चय है जिसमें सम्मिलित <math>x</math> इसके आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) है।
-A {{em|{{visible anchor|neighbourhood}} of <math>x</math> in <math>X</math>}} कोई उपसमुच्चय है <math>N \subseteq X</math> उसमें सम्मिलित है {{em|some}} का खुला पड़ोस <math>x</math>;
-स्पष्ट रूप से, <math>N</math> का पड़ोस है <math>x</math> में <math>X</math> यदि और केवल यदि कुछ खुला उपसमुच्चय मौजूद है <math>U</math> साथ <math>x \in U \subseteq N</math>.{{sfn|Bourbaki|1989|pp=17-21}}{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}
-समान रूप से, का  पड़ोस <math>x</math> क्या कोई सेट है जिसमें शामिल है <math>x</math> इसके आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) में।
-महत्वपूर्ण रूप से,  पड़ोस ऐसा करता है {{em|not}}  खुला सेट होना चाहिए; वह पड़ोस जो खुले सेट भी होते हैं, खुले पड़ोस के रूप में जाने जाते हैं।<ref group=note name=NhoodsNotRequiredToBeOpen />
+महत्वपूर्ण रूप से, नेबरहुड संवृत समुच्चय होना आवश्यक {{em|नहीं}}  नहीं है; वे नेबरहुड जो संवृत समुच्चय भी होते हैं, उन्हें "संवृत नेबरहुड" के रूप में जाना जाता है। <ref group=note name=NhoodsNotRequiredToBeOpen />इसी प्रकार, नेबरहुड जो  [[बंद सेट|विवृत समुच्चय]] (क्रमशः, [[ सघन स्थान |सघन समिष्ट]], [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ समिष्ट]] इत्यादि) होता है, उसे {{em|विवृत नेबरहुड}} (क्रमश, {{em|कॉम्पैक्ट नेबरहुड}}, {{em|जुड़े हुए नेबरहुड}}, आदि।)। कई अन्य प्रकार के नेबरहुड हैं जिनका उपयोग टोपोलॉजी और [[कार्यात्मक विश्लेषण]] जैसे संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है। निश्चित उपयोगी गुण रखने वाले सभी नेबरहुड के सदस्य प्रायः नेबरहुड का आधार बनाते हैं, चूँकि कई बार, ये नेबरहुड आवश्यक रूप से संवृत नहीं होते हैं। उदासभीण के लिए, समिष्टीय रूप से जटिल समिष्ट, वे समिष्ट हैं, जिनमें सभी बिंदु पर नेबरहुड का आधार होता है, जिसमें पूर्ण रूप से जटिल समुच्चय होते हैं।
-इसी प्रकार,  पड़ोस जो  [[बंद सेट]] (क्रमशः, [[ सघन स्थान ]], [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] इत्यादि) सेट भी है, को ए कहा जाता है {{em|{{visible anchor|closed neighbourhood}}}} (क्रमश, {{em|{{visible anchor|compact neighbourhood}}}}, {{em|{{visible anchor|connected neighbourhood}}}}, वगैरह।)।
-कई अन्य प्रकार के पड़ोस हैं जिनका उपयोग टोपोलॉजी और [[कार्यात्मक विश्लेषण]] जैसे संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है।
-निश्चित उपयोगी संपत्ति रखने वाले सभी पड़ोस के परिवार अक्सर #पड़ोस का आधार बनाते हैं, हालांकि कई बार, ये पड़ोस आवश्यक रूप से खुले नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान, वे स्थान हैं, जिनमें हर बिंदु पर पड़ोस का आधार होता है, जिसमें पूरी तरह से कॉम्पैक्ट सेट होते हैं।
-पड़ोस फ़िल्टर
+'''नेबरहुड फ़िल्टर'''
-बिंदु के लिए पड़ोस प्रणाली (या [[खाली सेट]] | गैर-रिक्त उपसमुच्चय) <math>x</math>  [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)]] है जिसे कहा जाता है {{em|[[neighbourhood filter]] for <math>x.</math>}}  बिंदु के लिए पड़ोस फ़िल्टर <math>x \in X</math> [[सिंगलटन सेट]] के पड़ोस फ़िल्टर के समान है <math>\{x\}.</math>
+बिंदु (या [[खाली सेट|अरिक्त उपसमुच्चय]]) के लिए नेबरहुड प्रणाली <math>x</math> [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] है जिसे {{em|[[neighbourhood filter]] for <math>x.</math>}} कहा जाता है। बिंदु के लिए नेबरहुड फ़िल्टर <math>x \in X</math> [[सिंगलटन सेट|सिंगलटन समुच्चय]] के नेबरहुड फ़िल्टर <math>\{x\}.</math> के समान है।
-'''पड़ोस का आधार'''
+'''नेबरहुड का आधार'''
-ए {{em|{{visible anchor|neighbourhood basis}}}} या {{em|{{visible anchor|local basis}}}} (या {{em|{{visible anchor|neighbourhood base}}}} या {{em|{{visible anchor|local base}}}})  बिंदु के लिए <math>x</math> पड़ोस फ़िल्टर का [[फ़िल्टर आधार]] है; इसका मतलब यह है कि यह  उपसमुच्चय है
+किसी बिंदु के लिए {{em|नेबरहुड का आधार}}  या {{em|स्थानीय आधार}} (या {{em|नेबरहुड का आधार}}  या {{em|स्थानीय आधार}}) <math>x</math> नेबरहुड फ़िल्टर का [[फ़िल्टर आधार]] है; इसका तात्पर्य यह है कि यह उपसमुच्चय है:
 <math display=block>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math>
-ऐसा कि सभी के लिए <math>V \in \mathcal{N}(x),</math> वहाँ कुछ मौजूद है <math>B \in \mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>B \subseteq V.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}
+ऐसा सभी के लिए <math>V \in \mathcal{N}(x),</math> वहाँ कुछ उपस्तिथ है <math>B \in \mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>B \subseteq V.</math>{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}अर्थात किसी भी नेबरहुड के लिए <math>V</math> नेबरहुड का परिक्षण कर सकते हैं <math>B</math> नेबरहुड के आधार में <math>V.</math>निहित है।
-यानी किसी भी पड़ोस के लिए <math>V</math> हम  पड़ोस ढूंढ सकते हैं <math>B</math> पड़ोस के आधार में जो निहित है <math>V.</math>समान रूप से, <math>\mathcal{B}</math> पर  स्थानीय आधार है <math>x</math> यदि और केवल यदि पड़ोस फ़िल्टर <math>\mathcal{N}</math> से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math> इस अर्थ में कि निम्नलिखित समानता कायम है:<ref>{{cite book|last=Willard|first=Stephen|date=1970|title=सामान्य टोपोलॉजी|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0|url-access=registration|publisher=Addison-Wesley Publishing|isbn=9780201087079}} (See Chapter 2, Section 4)</ref>
-<math display=block>\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ for some } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.</math> परिवार <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math> के लिए पड़ोस का आधार है <math>x</math> अगर और केवल अगर <math>\mathcal{B}</math> का  [[कोफ़ाइनल सेट]] है <math>\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)</math> [[आंशिक आदेश]] के संबंध में <math>\supseteq</math> (महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आंशिक क्रम [[सुपरसेट]] संबंध है न कि उपसमुच्चय संबंध)।
-===पड़ोस उपआधार===
+समान रूप से, <math>\mathcal{B}</math> पर समिष्टीय आधार है <math>x</math> यदि केवल नेबरहुड फ़िल्टर <math>\mathcal{N}</math> से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math> इस अर्थ में कि निम्नलिखित समानता है:<ref>{{cite book|last=Willard|first=Stephen|date=1970|title=सामान्य टोपोलॉजी|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0|url-access=registration|publisher=Addison-Wesley Publishing|isbn=9780201087079}} (See Chapter 2, Section 4)</ref>
+<math display="block">\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ for some } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.</math> सदस्य <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math> के लिए नेबरहुड का आधार <math>x</math> है यदि केवल <math>\mathcal{B}</math> का [[कोफ़ाइनल सेट|सहअंतिम उपसमुच्चय]] है <math>\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)</math> [[आंशिक आदेश|आंशिक क्रम]] के संबंध में <math>\supseteq</math> (महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आंशिक क्रम [[सुपरसेट|सुपरसमुच्चय]] संबंध है न कि उपसमुच्चय संबंध) है।
-ए {{em|{{visible anchor|neighbourhood subbasis}}}} पर <math>x</math>  परिवार है <math>\mathcal{S}</math> के उपसमुच्चय <math>X,</math> जिनमें से प्रत्येक में शामिल है <math>x,</math> जैसे कि तत्वों के सभी संभावित परिमित [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)]] का संग्रह <math>\mathcal{S}</math> पर पड़ोस का आधार बनता है <math>x.</math>
+===नेबरहुड उपआधार===
-== उदाहरण ==
+{{em|नेबरहुड उपआधार}}  पर <math>x</math> सदस्य है उपसमुच्चय का <math>\mathcal{S}</math>, <math>X,</math> जिनमें से प्रत्येक में सम्मिलित है <math>x,</math> जैसे कि तत्वों के सभी संभावित परिमित [[प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)|प्रतिच्छेदनों (समुच्चय सिद्धांत)]] का संग्रह <math>\mathcal{S}</math> पर नेबरहुड का आधार <math>x.</math> बनता है।
-अगर <math>\R</math> इसके पड़ोस की तुलना में इसकी सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] है <math>0</math> वे सभी उपसमुच्चय हैं <math>N \subseteq \R</math> जिसके लिए कुछ [[वास्तविक संख्या]] मौजूद है <math>r > 0</math> ऐसा है कि <math>(-r, r) \subseteq N.</math> उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सभी सेट पड़ोस के हैं <math>0</math> में <math>\R</math>:
-<math display=block>(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R</math>
-लेकिन निम्नलिखित में से कोई भी सेट का पड़ोस नहीं है <math>0</math>:
- <math display=block>\{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}</math>कहाँ <math>\Q</math> [[तर्कसंगत संख्या]]ओं को दर्शाता है।
-अगर <math>U</math> टोपोलॉजिकल स्पेस का  खुला उपसमुच्चय है <math>X</math> फिर हर  के लिए <math>u \in U,</math> <math>U</math> का पड़ोस है <math>u</math> में <math>X.</math> अधिक सामान्यतः, यदि <math>N \subseteq X</math> क्या कोई सेट है और <math>\operatorname{int}_X N</math> के आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) को दर्शाता है <math>N</math> में <math>X,</math> तब <math>N</math>  पड़ोस है (में) <math>X</math>) हर बिंदु का <math>x \in \operatorname{int}_X N</math> और इसके अलावा, <math>N</math> है {{em|not}} किसी अन्य बिंदु का पड़ोस।
+== उदासभीण ==
-अलग ढंग से कहा, <math>N</math>  बिंदु का पड़ोस है <math>x \in X</math> अगर और केवल अगर <math>x \in \operatorname{int}_X N.</math>
+यदि <math>\R</math> के नेबरहुड की तुलना में इसकी सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] है <math>0</math> वे सभी उपसमुच्चय हैं <math>N \subseteq \R</math> जिसके लिए कुछ [[वास्तविक संख्या]] उपस्तिथ है <math>r > 0</math> ऐसा है कि <math>(-r, r) \subseteq N.</math> उदासभीण के लिए, निम्नलिखित सभी समुच्चय <math>0</math> में <math>\R</math> नेबरहुड के हैं:
-पड़ोस के अड्डे
+<math display="block">(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R</math>
+किन्तु निम्नलिखित में से कोई भी समुच्चय का नेबरहुड <math>0</math> नहीं है:
+<math display="block">\{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}</math>जहाँ <math>\Q</math> [[तर्कसंगत संख्या|तर्कसंगत संख्याओं]] को दर्शाता है।
-किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में, किसी बिंदु के लिए पड़ोस प्रणाली भी बिंदु के लिए पड़ोस का आधार है।  बिंदु पर सभी खुले पड़ोस का सेट उस बिंदु पर पड़ोस का आधार बनाता है।
+यदि <math>U</math> टोपोलॉजिकल समिष्ट का संवृत उपसमुच्चय है <math>X</math> सभी के लिए <math>u \in U,</math> <math>U</math> का नेबरहुड है <math>u</math> में <math>X.</math> अधिक सामान्यतः, यदि <math>N \subseteq X</math> क्या कोई समुच्चय है और <math>\operatorname{int}_X N</math> के आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) को दर्शाता है <math>N</math> में <math>X,</math> तब <math>N</math> नेबरहुड है <math>X</math>) सभी बिंदु का <math>x \in \operatorname{int}_X N</math> और इसके अतिरिक्त, <math>N</math> किसी अन्य बिंदु का नेबरहुड {{em|नहीं}}  है। भिन्न रूप में कहा गया है कि, <math>N</math>  बिंदु का नेबरहुड <math>x \in X</math> है यदि केवल <math>x \in \operatorname{int}_X N.</math> है।
-किसी भी बिंदु के लिए <math>x</math>  [[मीट्रिक स्थान]] में, चारों ओर [[खुली गेंद]]ों का क्रम <math>x</math> त्रिज्या के साथ <math>1/n</math>  [[गणनीय]] पड़ोस आधार बनाएं <math>\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}</math>. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक मीट्रिक स्थान [[प्रथम-गणनीय]] है।
-जगह दी गई <math>X</math> [[अविवेकी टोपोलॉजी]] के साथ किसी भी बिंदु के लिए पड़ोस प्रणाली <math>x</math> केवल संपूर्ण स्थान समाहित है, <math>\mathcal{N}(x) = \{X\}</math>.
+'''नेबरहुड के आधार'''
-किसी स्थान पर माप के स्थान पर [[कमजोर टोपोलॉजी]] में <math>E,</math>  पड़ोस आधार के बारे में <math>\nu</math> द्वारा दिया गया है
+किसी भी टोपोलॉजिकल समिष्ट में, किसी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली भी बिंदु के लिए नेबरहुड का आधार है। बिंदु पर सभी संवृत नेबरहुड का समुच्चय उस बिंदु पर नेबरहुड का आधार बनाता है। किसी भी बिंदु के लिए <math>x</math> [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समिष्ट]] में, चारों ओर [[खुली गेंद|संवृत गेंदों]] का क्रम <math>x</math> त्रिज्या के साथ <math>1/n</math> [[गणनीय]] नेबरहुड आधार बनाते हैं, <math>\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}</math> इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक मीट्रिक समिष्ट [[प्रथम-गणनीय]] है।
+समिष्ट दी गई <math>X</math> [[अविवेकी टोपोलॉजी]] के साथ किसी भी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली <math>x</math> में केवल संपूर्ण समिष्ट <math>\mathcal{N}(x) = \{X\}</math> समाहित है,
+किसी समिष्ट पर माप के समिष्ट पर [[कमजोर टोपोलॉजी|टोपोलॉजी]] में <math>E,</math> नेबरहुड का आधार <math>\nu</math> द्वारा दिया गया है:
 <math display="block">\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}</math>
-कहाँ <math>f_i</math> [[सतत कार्य (टोपोलॉजी)]] से बंधे हुए कार्य हैं <math>E</math> वास्तविक संख्याओं के लिए और <math>r_1, \dots, r_n</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
+जहाँ <math>f_i</math> [[सतत कार्य (टोपोलॉजी)|सतत परिबद्ध फलन (टोपोलॉजी)]] हैं, <math>E</math>  वास्तविक संख्याओं तक और <math>r_1, \dots, r_n</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
-सेमीनोर्म्ड [[अर्ध मानकीकृत स्थान]] टोपोलॉजिकल समूह
+'''सेमीनोर्म्ड [[अर्ध मानकीकृत स्थान|रिक्त समिष्ट]] और टोपोलॉजिकल समूह'''
-[[ सेमिनोर्म ]]्ड स्पेस में, जो  सेमिनॉर्म से प्रेरित टोपोलॉजिकल स्पेस वाला  [[ सदिश स्थल ]] है, सभी पड़ोस प्रणालियों का निर्माण मूल के लिए पड़ोस प्रणाली के [[अनुवाद (ज्यामिति)]] द्वारा किया जा सकता है,
+[[ सेमिनोर्म | सेमीनॉर्म्ड]] समिष्ट में, जो सेमिनॉर्म से प्रेरित टोपोलॉजिकल समिष्ट वाला [[ सदिश स्थल |सदिश समिष्ट]] है, सभी नेबरहुड प्रणालियों का निर्माण मूल के लिए नेबरहुड प्रणाली के [[अनुवाद (ज्यामिति)]] द्वारा किया जा सकता है,
-<math display=block>\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.</math>
+<math display="block">\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.</math>
-ऐसा इसलिए है, क्योंकि धारणा के अनुसार, प्रेरित टोपोलॉजी में वेक्टर जोड़ अलग से निरंतर होता है। इसलिए, टोपोलॉजी मूल में इसकी पड़ोस प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है। अधिक सामान्यतः, यह तब भी सत्य रहता है जब स्थान  [[टोपोलॉजिकल समूह]] होता है या टोपोलॉजी को [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस]] द्वारा परिभाषित किया जाता है।
+ऐसा इसलिए है, क्योंकि धारणा के अनुसार, प्रेरित टोपोलॉजी में सदिश जोड़ भिन्न से निरंतर होता है। इसलिए, टोपोलॉजी मूल में इसकी नेबरहुड प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है। अधिक सामान्यतः, यह तब भी सत्य रहता है जब समिष्ट [[टोपोलॉजिकल समूह]] होता है या टोपोलॉजी को [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|स्यूडोमेट्रिक समिष्ट]] द्वारा परिभाषित किया जाता है।
 ==गुण==
-कल्पना करना <math>u \in U \subseteq X</math> और जाने <math>\mathcal{N}</math> के लिए पड़ोस का आधार बनें <math>u</math> में <math>X.</math> निर्माण <math>\mathcal{N}</math> सुपरसेट समावेशन द्वारा आंशिक क्रम द्वारा [[निर्देशित सेट]] में <math>\,\supseteq.</math> तब <math>U</math> है {{em|not}} का  पड़ोस <math>u</math> में <math>X</math> यदि और केवल यदि कोई मौजूद है <math>\mathcal{N}</math>-अनुक्रमित [[नेट (गणित)]] <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}}</math> में <math>X \setminus U</math> ऐसा है कि <math>x_N \in N \setminus U</math> हर के लिए <math>N \in \mathcal{N}</math> (जिसका तात्पर्य यह है <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u</math> में <math>X</math>).
+कल्पना कीजिये <math>u \in U \subseteq X</math> और <math>\mathcal{N}</math> के लिए नेबरहुड का आधार बनाया जाता है, <math>u</math> में <math>X.</math> निर्माण <math>\mathcal{N}</math> सुपरसमुच्चय समावेशन द्वारा आंशिक रूप से क्रमबद्ध करके [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] में <math>\,\supseteq.</math> तब <math>U</math> का नेबरहुड {{em|नहीं}}  है, <math>u</math> में <math>X</math> यदि उपस्तिथ है <math>\mathcal{N}</math>-अनुक्रमित [[नेट (गणित)]] <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}}</math> में <math>X \setminus U</math> ऐसा है कि <math>x_N \in N \setminus U</math> प्रत्येक के लिए <math>N \in \mathcal{N}</math> (जिसका तात्पर्य यह है <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u</math> में <math>X</math>) है।
 == यह भी देखें ==

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