सदिश-मूल्यवान अवकल रूप: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
Line 44: Line 44:
किसी भी सदिश समष्टि V के लिए V-मान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह वी के किसी भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के सापेक्ष घटक-वार सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {E<sub>α</sub>} V के लिए आधार है तो V-मान P-रूप को  ω = ω<sup>α</sup>''e''<sub>α</sub> का विभेदक  द्वारा दिया गया है
किसी भी सदिश समष्टि V के लिए V-मान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह वी के किसी भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के सापेक्ष घटक-वार सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {E<sub>α</sub>} V के लिए आधार है तो V-मान P-रूप को  ω = ω<sup>α</sup>''e''<sub>α</sub> का विभेदक  द्वारा दिया गया है
:<math>d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,</math>
:<math>d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,</math>
वी-मान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न पूरी तरह से सामान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:
V-मान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न पूरी तरह से सामान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\
&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\
Line 50: Line 50:
&d(d\omega) = 0.
&d(d\omega) = 0.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
अधिक आम तौर पर, उपरोक्त टिप्पणियाँ -मान रूपों पर लागू होती हैं जहां ई एम पर कोई [[फ्लैट वेक्टर बंडल|फ्लैट सदिश मान]] है (यानी सदिश मान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। के किसी भी [[स्थानीय तुच्छीकरण]] पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।
अधिक सामान्यतः उपरोक्त टिप्पणियाँ E-मान रूपों पर लागू होती हैं जहां E M  पर कोई [[फ्लैट वेक्टर बंडल|फ्लैट सदिश मान]] है (यानी सदिश मान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। E के किसी भी [[स्थानीय तुच्छीकरण]] पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।


यदि समतल नहीं है तो -मान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। पर [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)|कनेक्शन (सदिश मान)]] के विकल्प की आवश्यकता है। पर कनेक्शन रैखिक विभेदक ऑपरेटर है जो के अनुभागों को -मान रूप में लेता है:
यदि E समतल नहीं है तो E -मान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। E पर [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)|कनेक्शन (सदिश मान)]] के विकल्प की आवश्यकता है। E पर कनेक्शन रैखिक विभेदक ऑपरेटर है जो E के अनुभागों को E -मान रूप में लेता है:
:<math>\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).</math>
:<math>\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).</math>
यदि E कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय [[सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न]] है
यदि E कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय [[सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न]] है
Line 58: Line 58:
विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न [[रैखिकता]] और समीकरण द्वारा विशेषता है
विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न [[रैखिकता]] और समीकरण द्वारा विशेषता है
:<math>d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta</math>
:<math>d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta</math>
जहां ω -मान पी-फॉर्म है और η सामान्य क्यू-फॉर्म है। सामान्य तौर पर, किसी को d होना आवश्यक नहीं है<sub>∇</sub><sup>2</sup> = 0. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।
जहां ω E-मान P-रुप है और η सामान्य Q-रूप  है। सामान्य तौर पर, किसी को ''d''<sub>∇</sub><sup>2</sup> = 0 होना आवश्यक नहीं है. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।


==[[प्रमुख बंडल]]ों पर मूल या तन्य रूप==
==[[प्रमुख बंडल|प्रमुख बंडलो]] पर मूल या तन्य रूप==


मान लीजिए E → M, M के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मान है और π : F(E) → M, E का ([[संबद्ध बंडल|संबद्ध मान]]) [[ फ़्रेम बंडल |फ़्रेम मान]] है, जो प्रमुख मान GL है<sub>''k''</sub>(आर) ''एम'' पर मान। ''E'' का ''π'' द्वारा पुलबैक मान विहित रूप से F(''E'') × के समरूपी है<sub>ρ</sub> R<sup>k</sup> [u, v] →u(v) के व्युत्क्रम के माध्यम से, जहां ρ मानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, एम पर -वैल्यू फॉर्म के π द्वारा पुलबैक 'आर' निर्धारित करता है<sup>k</sup>-F(E) पर मूल्यांकित रूप। यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप जीएल की प्राकृतिक [[समूह क्रिया (गणित)]] के संबंध में [[समतुल्य]]|दाएँ-समतुल्य है।<sub>''k''</sub>(आर) एफ('''') × आर पर<sup>k</sup> और [[ऊर्ध्वाधर बंडल|ऊर्ध्वाधर मान]] (F(E) के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर गायब हो जाता है। एफ() पर ऐसे सदिश -मान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें एफ() पर मूल या टेंसोरियल फॉर्म कहा जाता है।
मान लीजिए E → M, M के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मान है और π : F(E) → M, E का ([[संबद्ध बंडल|संबद्ध मान]]) [[ फ़्रेम बंडल |फ़्रेम मान]] है, जो प्रमुख मान GL<sub>''k''</sub>('''R''') है ''M'' पर मान। ''E'' का ''π'' द्वारा [u, v] →u(v) के व्युत्क्रम के माध्यम से पुलबैक मान विहित रूप से F(''E'') ×<sub>ρ</sub> '''R'''<sup>''k''</sup> के समरूपी है|  जहां ρ मानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, M पर E-मान  रूप  के π द्वारा पुलबैक ''''R'''<sup>k</sup>' निर्धारित करता है -F(E) पर मूल्यांकित रूप। यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप GL<sub>''k''</sub>('''R''') F(''E'')× '''R'''<sup>k</sup> की प्राकृतिक [[समूह क्रिया (गणित)]] के संबंध में [[समतुल्य]]|दाएँ-समतुल्य है। और [[ऊर्ध्वाधर बंडल|ऊर्ध्वाधर मान]] (F(E) के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर गायब हो जाता है। F(E) पर ऐसे सदिश -मान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें F(E) पर मूल या टेंसोरियल रूप  कहा जाता है।


मान लीजिए π : P → M (सुचारू) प्रिंसिपल मान है|प्रिंसिपल G-मान है और मान लीजिए कि V [[समूह प्रतिनिधित्व]] ρ : G → GL(V) के साथ निश्चित सदिश स्पेस है। P पर ρ प्रकार का 'बेसिक' या 'टेन्सोरिअल फॉर्म', P पर V-वैल्यू फॉर्म ω है जो इस अर्थ में 'समतुल्य' और 'क्षैतिज' है
मान लीजिए π : P → M एक (सुचारू) प्रिंसिपल G-मान है और मान लीजिए कि V एक निरूपण ρ : G → GL(V) के साथ एक निश्चित सदिश स्थान है। P पर ρ प्रकार का एक मूल या तन्य रूप, P पर एक V-मूल्यवान रूप ω है जो इस अर्थ में समतुल्य और क्षैतिज है कि
#<math>(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,</math> सभी जी ∈ जी के लिए, और
#<math>(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,</math> सभी जी ∈ जी के लिए, और
#<math>\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0</math> जब भी कम से कम वी<sub>''i''</sub> ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(v<sub>''i''</sub>) = 0).
#<math>\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0</math> जब भी कम से कम V<sub>''i''</sub> ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(v<sub>''i''</sub>) = 0).
यहां आर<sub>''g''</sub> कुछ g ∈ G के लिए P पर G की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी शर्त [[शून्य रूप से सत्य]] है।
यहां R<sub>''g''</sub> कुछ g ∈ G के लिए P पर G की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी शर्त [[शून्य रूप से सत्य]] है।


उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का [[संयुक्त प्रतिनिधित्व]] है, तो कनेक्शन फॉर्म ω पहली शर्त को संतुष्ट करता है (लेकिन दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का विभेदक तन्य रूप है।
उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का [[संयुक्त प्रतिनिधित्व]] है, तो कनेक्शन रूप  ω पहली शर्त को संतुष्ट करता है (लेकिन दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का विभेदक तन्य रूप है।


उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मान E = P × का निर्माण कर सकता है<sub>''ρ''</sub> V. P पर टेन्सोरिअल q-फॉर्म, M पर E-मूल्य वाले q-फॉर्म के साथ प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मान F(E) के स्तिथि में है, q-फॉर्म दिया गया है <math>\overline{\phi}</math> E में मानों के साथ M पर, P पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मान लीजिए u पर,
उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मान E = P ×ρ V का निर्माण कर सकता है P पर टेन्सोरिअल q-रूप , M पर E-मूल्य वाले q-रूप  के साथ प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मान F(E) के स्तिथि में है, q-रूप  दिया गया है <math>\overline{\phi}</math> E में मानों के साथ M पर, P पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मान लीजिए u पर,
:<math>\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}</math>
:<math>\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}</math>
जहां यू को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है <math>V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]</math>. φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र -मान रूप को परिभाषित करता है <math>\overline{\phi}</math> एम पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है
जहां यू को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है <math>V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]</math>. φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र E -मान रूप को परिभाषित करता है <math>\overline{\phi}</math> M पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है  
:<math>\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f</math>.
:<math>\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f</math>.


उदाहरण: मान लीजिए E, M का स्पर्शरेखा मान है। फिर पहचान मान मानचित्र आईडी<sub>''E''</sub>: , एम पर -वैल्यू वन फॉर्म है। [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म]] के फ्रेम मान पर अद्वितीय वन-फॉर्म है जो आईडी से मेल खाता है<sub>''E''</sub>. θ द्वारा निरूपित, यह मानक प्रकार का तन्य रूप है।<!--Mention this somewhere else: The [[exterior covariant derivative]] of θ, Θ = ''D''θ is called a [[torsion form]].-->
उदाहरण: मान लीजिए E, M का स्पर्शरेखा मान है। फिर पहचान मान मानचित्र id<sub>''E''</sub>: ''E'' ''E'', M पर E-मान  वन रूप  है। [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म|टॉटोलॉजिकल वन-रूप]] E के फ्रेम मान पर अद्वितीय वन-रूप  है जो id<sub>''E''</sub> से मेल खाता है. θ द्वारा निरूपित, यह मानक प्रकार का तन्य रूप है।
अब, मान लीजिए कि पी पर कनेक्शन है ताकि पी पर (विभिन्न) सदिश -मान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव डी हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, डी ई-मान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें
अब, मान लीजिए कि पर कनेक्शन है ताकि पर (विभिन्न) सदिश -मान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव D हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, D E -मान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें
:<math>\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.</math>
:<math>\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.</math>
विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,
विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,

Revision as of 18:06, 8 July 2023

गणित में, मैनिफोल्ड M पर सदिश - मान विभेदक रूप है जिसमे कि एक सदिश स्थल है जो कि V में मानों के साथ M पर विभेदक रूप है। तथा अधिक सामान्यतः, यह है की M के ऊपर कुछ सदिश मान E में मानों के साथ विभेदक रूप है। साधारण विभेदक रूपों को R-मान विभेदक रूपों के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश -मान विभेदक रूपों का महत्वपूर्ण स्तिथि बीजगणित-मान रूप हैं। (एक कनेक्शन प्रपत्र ऐसे रूप का उदाहरण है।)

परिभाषा

मान लीजिए कि M एक स्मूथ मैनिफोल्ड है और E → M, M के ऊपर स्मूथ सदिश मान है। हम मान E के अनुभाग (फाइबर मान) के स्थान को Γ(E) से निरूपित करते हैं। डिग्री P का 'ई-मान विभेदक रूप' Λp(T M), के साथ ई के टेंसर उत्पाद मान का स्मूथ खंड है M के कोटैंजेंट मान की p-th बाहरी शक्ति। ऐसे रूपों का स्थान निम्न द्वारा दर्शाया गया है

क्योंकि Γ स्ट्रोंग मोनोइडल फ़ैक्टर है,[1]इसका अर्थ इस प्रकार भी निकाला जा सकता है

जहां बाद के दो टेंसर उत्पाद रिंग के ऊपर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद हैं जिसमे (गणित) Ω0(M) M पर सुचारू 'R'-मान वाले फलन (सातवां उदाहरण मॉड्यूल देखें (गणित)#उदाहरण)। परंपरा के अनुसार, E-मान 0-रूप मान E का सिर्फ खंड है। यानी,

समान रूप से, E-मान विभेदक रूप को सदिश मान आकारिकी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

जो पूरी तरह से तिरछा-सममित मैट्रिक्स| तिरछा-सममित है।

मान लीजिए V निश्चित सदिश समष्टि है। डिग्री P का 'V-मान विभेदक रूप' तुच्छ मान M × V में मानों के साथ डिग्री P का विभेदक रूप है। ऐसे रूपों का स्थान ΩP(M, V) दर्शाया गया है जब V = 'R' साधारण विभेदक रूप की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है। तो कोई यह भी दिखा सकता है कि प्राकृतिक समरूपता V परिमित-आयामी है|

एक समरूपता वह है, जहां पहला टेंसर उत्पाद R पर सदिश रिक्त स्थानों का है,

सदिश -मान रूपों पर संचालन

पुलबैक

कोई सामान्य रूपों की तरह ही स्मूथ मानचित्रों द्वारा सदिश -मान रूपों के पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) को परिभाषित कर सकता है। सहज मानचित्र द्वारा N पर E-मान रूप का पुलबैक φ : M → N, M पर (φ*E)-मान रूप है, जहां φ*E, φ द्वारा E का पुलबैक मान है।

सूत्र सामान्य स्तिथि की तरह ही दिया गया है। N पर किसी भी E-मान P-रूप ω के लिए पुलबैक φ*ω द्वारा दिया जाता है


वेज उत्पाद

सामान्य विभेदक रूपों की तरह है , कोई सदिश -मान रूपों के वेज उत्पाद को परिभाषित कर सकता है। E1 का वेज उत्पाद -E2 के साथ मान P -रूप -मान Q-रूप स्वाभाविक रूप से (E1⊗E2) है| तथा मूल्यांकित (p+q)-रूप में होता है |

यह परिभाषा सामान्य रूपों की तरह ही होती है, इस अपवाद के साथ कि वास्तविक गुणन को टेंसर उत्पाद से बदल दिया जाता है:

विशेष रूप से, E-मान Q-रूप के साथ साधारण (R-मान) P-रूप का वेज उत्पाद स्वाभाविक रूप से E -मान होता है ( p+q)-रूप (चूंकि तुच्छ मान M × R के साथ E का टेंसर उत्पाद स्वाभाविक रूप से E के समरूपी है)। ω ∈ ΩP(M) और η ∈ ΩQ(M, E) के लिए में सामान्य क्रमपरिवर्तन संबंध होता है:

सामान्य तौर पर, दो E-मान रूपों का वेज उत्पाद और E-मान रूप नहीं है, बल्कि (E⊗E)-मान रूप है। हालाँकि, यदि E बीजगणित मान है (अर्थात केवल सदिश रिक्त स्थान के बजाय फ़ील्ड पर बीजगणित का मान) तो कोई E-मान रूप प्राप्त करने के लिए E में गुणन के साथ रचना कर सकता है। यदि ई क्रमविनिमेय बीजगणित, साहचर्य बीजगणित का मान है, तो इस संशोधित पच्चर उत्पाद के साथ, सभी E-मान विभेदक रूपों का सेट

एक श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय साहचर्य बीजगणित बन जाता है। यदि E के तंतु क्रमविनिमेय नहीं हैं तो Ω(M,E) श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय नहीं होंगे।

बाहरी व्युत्पन्न

किसी भी सदिश समष्टि V के लिए V-मान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह वी के किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष घटक-वार सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {Eα} V के लिए आधार है तो V-मान P-रूप को ω = ωαeα का विभेदक द्वारा दिया गया है

V-मान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न पूरी तरह से सामान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:

अधिक सामान्यतः उपरोक्त टिप्पणियाँ E-मान रूपों पर लागू होती हैं जहां E M पर कोई फ्लैट सदिश मान है (यानी सदिश मान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। E के किसी भी स्थानीय तुच्छीकरण पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि E समतल नहीं है तो E -मान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। E पर कनेक्शन (सदिश मान) के विकल्प की आवश्यकता है। E पर कनेक्शन रैखिक विभेदक ऑपरेटर है जो E के अनुभागों को E -मान रूप में लेता है:

यदि E कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न है

विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न रैखिकता और समीकरण द्वारा विशेषता है

जहां ω E-मान P-रुप है और η सामान्य Q-रूप है। सामान्य तौर पर, किसी को d2 = 0 होना आवश्यक नहीं है. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।

प्रमुख बंडलो पर मूल या तन्य रूप

मान लीजिए E → M, M के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मान है और π : F(E) → M, E का (संबद्ध मान) फ़्रेम मान है, जो प्रमुख मान GLk(R) है M पर मान। E का π द्वारा [u, v] →u(v) के व्युत्क्रम के माध्यम से पुलबैक मान विहित रूप से F(E) ×ρ Rk के समरूपी है| जहां ρ मानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, M पर E-मान रूप के π द्वारा पुलबैक 'Rk' निर्धारित करता है -F(E) पर मूल्यांकित रूप। यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप GLk(R) F(ERk की प्राकृतिक समूह क्रिया (गणित) के संबंध में समतुल्य|दाएँ-समतुल्य है। और ऊर्ध्वाधर मान (F(E) के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर गायब हो जाता है। F(E) पर ऐसे सदिश -मान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें F(E) पर मूल या टेंसोरियल रूप कहा जाता है।

मान लीजिए π : P → M एक (सुचारू) प्रिंसिपल G-मान है और मान लीजिए कि V एक निरूपण ρ : G → GL(V) के साथ एक निश्चित सदिश स्थान है। P पर ρ प्रकार का एक मूल या तन्य रूप, P पर एक V-मूल्यवान रूप ω है जो इस अर्थ में समतुल्य और क्षैतिज है कि

  1. सभी जी ∈ जी के लिए, और
  2. जब भी कम से कम Vi ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(vi) = 0).

यहां Rg कुछ g ∈ G के लिए P पर G की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी शर्त शून्य रूप से सत्य है।

उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का संयुक्त प्रतिनिधित्व है, तो कनेक्शन रूप ω पहली शर्त को संतुष्ट करता है (लेकिन दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का विभेदक तन्य रूप है।

उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मान E = P ×ρ V का निर्माण कर सकता है | P पर टेन्सोरिअल q-रूप , M पर E-मूल्य वाले q-रूप के साथ प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मान F(E) के स्तिथि में है, q-रूप दिया गया है E में मानों के साथ M पर, P पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मान लीजिए u पर,

जहां यू को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है . φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र E -मान रूप को परिभाषित करता है M पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है

.

उदाहरण: मान लीजिए E, M का स्पर्शरेखा मान है। फिर पहचान मान मानचित्र idE: EE, M पर E-मान वन रूप है। टॉटोलॉजिकल वन-रूप E के फ्रेम मान पर अद्वितीय वन-रूप है जो idE से मेल खाता है. θ द्वारा निरूपित, यह मानक प्रकार का तन्य रूप है। अब, मान लीजिए कि प पर कनेक्शन है ताकि प पर (विभिन्न) सदिश -मान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव D हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, D E -मान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें

विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,

.

यह बिल्कुल कनेक्शन (सदिश मान) के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न है।[2]


उदाहरण

सील मॉड्यूलर रूप सीगल मॉड्यूलर किस्म पर सदिश -मान विभेदक रूपों के रूप में उत्पन्न होते हैं।[3]


टिप्पणियाँ

  1. "स्मूथ मैनिफोल्ड पर वेक्टर बंडलों के टेंसर उत्पाद के वैश्विक खंड". math.stackexchange.com. Retrieved 27 October 2014.
  2. Proof: for any scalar-valued tensorial zero-form f and any tensorial zero-form φ of type ρ, and Df = df since f descends to a function on M; cf. this Lemma 2.
  3. Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2002). "सीगल मॉड्यूलर किस्मों की ज्यामिति". Advanced Studies in Pure Mathematics. 35: 89–156.


संदर्भ