नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर: Difference between revisions
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[[ नेटवर्क संश्लेषण ]] फ़िल्टर नेटवर्क संश्लेषण विधि द्वारा डिज़ाइन किए गए[[ फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) | (सिग्नल प्रोसेसिंग फ़िल्टर)]] हैं। इस विधि ने [[ बटरवर्थ फ़िल्टर ]], [[ चेबीशेव फ़िल्टर ]] और [[ अण्डाकार फिल्टर | दीर्घवृत्तीय फिल्टर]] सहित फिल्टर के कई महत्वपूर्ण वर्ग तैयार किए हैं। यह मूल रूप से निष्क्रिय रैखिक [[ एनालॉग फिल्टर ]] के डिजाइन पर लागू होने का इरादा था, लेकिन इसके परिणाम [[ सक्रिय फ़िल्टर ]] और [[ डिजिटल फिल्टर ]] में परिपालन के लिए भी लागू किए जा सकते हैं। विधि का सार फ़िल्टर के घटक मान प्राप्त करना है, वांछित स्थानांतरण | [[ नेटवर्क संश्लेषण ]] फ़िल्टर नेटवर्क संश्लेषण विधि द्वारा डिज़ाइन किए गए[[ फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) | (सिग्नल प्रोसेसिंग फ़िल्टर)]] हैं। इस विधि ने [[ बटरवर्थ फ़िल्टर ]], [[ चेबीशेव फ़िल्टर ]] और [[ अण्डाकार फिल्टर | दीर्घवृत्तीय फिल्टर]] सहित फिल्टर के कई महत्वपूर्ण वर्ग तैयार किए हैं। यह मूल रूप से निष्क्रिय रैखिक [[ एनालॉग फिल्टर ]] के डिजाइन पर लागू होने का इरादा था, लेकिन इसके परिणाम [[ सक्रिय फ़िल्टर ]] और [[ डिजिटल फिल्टर ]] में परिपालन के लिए भी लागू किए जा सकते हैं। विधि का सार फ़िल्टर के घटक मान प्राप्त करना है, वांछित स्थानांतरण फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले दिए गए तर्कसंगत फलन से हैं। | ||
==विधि का विवरण== | ==विधि का विवरण== | ||
विधि को [[ नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रॉनिक्स) | नेटवर्क विश्लेषण]] की विपरीत समस्या के रूप में देखा जा सकता है। नेटवर्क विश्लेषण एक नेटवर्क से शुरू होता है और विभिन्न विद्युत परिपथ प्रमेयों को लागू करके नेटवर्क की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है। दूसरी ओर नेटवर्क संश्लेषण, एक वांछित प्रतिक्रिया के साथ शुरू होता है और इसके तरीके एक नेटवर्क का उत्पादन करते हैं जो उस प्रतिक्रिया का आउटपुट या अनुमानित करता है।<ref name=Cauer4/> | विधि को [[ नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रॉनिक्स) | नेटवर्क विश्लेषण]] की विपरीत समस्या के रूप में देखा जा सकता है। नेटवर्क विश्लेषण एक नेटवर्क से शुरू होता है और विभिन्न विद्युत परिपथ प्रमेयों को लागू करके नेटवर्क की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है। दूसरी ओर नेटवर्क संश्लेषण, एक वांछित प्रतिक्रिया के साथ शुरू होता है और इसके तरीके एक नेटवर्क का उत्पादन करते हैं जो उस प्रतिक्रिया का आउटपुट या अनुमानित करता है।<ref name=Cauer4/> | ||
नेटवर्क संश्लेषण मूल रूप से पहले तरंग फिल्टर के रूप में वर्णित प्रकार के फिल्टर का उत्पादन करने का इरादा था, लेकिन अब आमतौर पर केवल फिल्टर कहा जाता है। यानी फिल्टर जिनका उद्देश्य अन्य [[ आवृत्ति | आवर्तियो]] की तरंगों को खारिज करते हुए निश्चित आवृत्ति की तरंगों को पास करना होता है। नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के स्थानांतरण | नेटवर्क संश्लेषण मूल रूप से पहले तरंग फिल्टर के रूप में वर्णित प्रकार के फिल्टर का उत्पादन करने का इरादा था, लेकिन अब '''आमतौर''' पर केवल फिल्टर कहा जाता है। यानी फिल्टर जिनका उद्देश्य अन्य [[ आवृत्ति | आवर्तियो]] की तरंगों को '''खारिज''' करते हुए निश्चित आवृत्ति की तरंगों को पास करना होता है। नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के स्थानांतरण फलन के लिए एक विनिर्देश के साथ शुरू होता है, '''एच (एस), [[ आवृत्ति डोमेन | आवृत्ति डोमेन]] के एक समारोह के रूप में, एस'''। इसका उपयोग फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा '''ड्राइविंग''' बिंदु प्रतिबाधा के लिए एक अभिव्यक्ति उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, जो तब [[ निरंतर अंश ]] या [[ आंशिक अंश ]] विस्तार की प्रक्रिया से फ़िल्टर घटकों के आवश्यक मूल्यों में परिणाम देता है। एक फिल्टर के डिजिटल कार्यान्वयन में, एच (एस) को सीधे लागू किया जा सकता है।<ref name=Matt83>Matthaei, pp83-84</ref> | ||
विधि के लाभों को सबसे अच्छी तरह से इसकी तुलना उस [[ फिल्टर डिजाइन ]] पद्धति से की जाती है जिसका उपयोग इससे पहले किया गया था, [[ छवि प्रतिबाधा ]] छवि विधि एक व्यक्तिगत टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) की विशेषताओं पर विचार करती है समान वर्गों की एक अनंत श्रृंखला ([[ सीढ़ी टोपोलॉजी ]]) में सरल फ़िल्टर टोपोलॉजी। इस विधि द्वारा [[ समग्र छवि फ़िल्टर ]] सैद्धांतिक समाप्ति प्रतिबाधा, छवि प्रतिबाधा, आम तौर पर वास्तविक समाप्ति प्रतिबाधा के बराबर नहीं होने के कारण अशुद्धि से ग्रस्त हैं। नेटवर्क सिंथेसिस फिल्टर के साथ, टर्मिनेशन को शुरू से ही डिजाइन में शामिल किया जाता है। छवि विधि को भी डिजाइनर की ओर से एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होती है। डिजाइनर को पहले यह तय करना होगा कि कितने सेक्शन और किस प्रकार का उपयोग किया जाना चाहिए, और फिर गणना के बाद, फ़िल्टर के स्थानांतरण | विधि के लाभों को सबसे अच्छी तरह से इसकी तुलना उस [[ फिल्टर डिजाइन ]] पद्धति से की जाती है जिसका उपयोग इससे पहले किया गया था, [[ छवि प्रतिबाधा ]] छवि विधि एक व्यक्तिगत टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) की विशेषताओं पर विचार करती है समान वर्गों की एक अनंत श्रृंखला ([[ सीढ़ी टोपोलॉजी ]]) में सरल फ़िल्टर टोपोलॉजी। इस विधि द्वारा [[ समग्र छवि फ़िल्टर ]] सैद्धांतिक समाप्ति प्रतिबाधा, छवि प्रतिबाधा, आम तौर पर वास्तविक समाप्ति प्रतिबाधा के बराबर नहीं होने के कारण अशुद्धि से ग्रस्त हैं। नेटवर्क सिंथेसिस फिल्टर के साथ, टर्मिनेशन को शुरू से ही डिजाइन में शामिल किया जाता है। छवि विधि को भी डिजाइनर की ओर से एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होती है। डिजाइनर को पहले यह तय करना होगा कि कितने '''सेक्शन''' और किस प्रकार का उपयोग किया जाना चाहिए, और फिर गणना के बाद, फ़िल्टर के स्थानांतरण फलन को प्राप्त करेगा। यह वह नहीं हो सकता है जिसकी आवश्यकता है और कई पुनरावृत्तियाँ हो सकती हैं। दूसरी ओर, नेटवर्क संश्लेषण विधि, आवश्यक फलन के साथ शुरू होती है और संबंधित फ़िल्टर बनाने के लिए आवश्यक अनुभागों को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करती है।<ref name=Matt83/> | ||
सामान्य तौर पर, नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के अनुभाग समान टोपोलॉजी के होते हैं, (आमतौर पर सबसे सरल सीढ़ी प्रकार) लेकिन प्रत्येक अनुभाग में विभिन्न घटक मानों का उपयोग किया जाता है। इसके विपरीत, एक छवि फ़िल्टर की संरचना में अनंत श्रृंखला दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप प्रत्येक अनुभाग में समान मान होते हैं, लेकिन विभिन्न वांछनीय विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए अनुभाग से अनुभाग में टोपोलॉजी भिन्न हो सकते हैं। दोनों विधियां अंतिम वांछित फिल्टर पर पहुंचने के लिए आवृत्ति परिवर्तन और प्रतिबाधा स्केलिंग के बाद कम-पास [[ प्रोटोटाइप फिल्टर ]] का उपयोग करती हैं।<ref name=Matt83/> | '''सामान्य तौर''' पर, नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के अनुभाग समान टोपोलॉजी के होते हैं, ('''आमतौर''' पर सबसे सरल सीढ़ी प्रकार) लेकिन प्रत्येक अनुभाग में विभिन्न घटक मानों का उपयोग किया जाता है। इसके विपरीत, एक छवि फ़िल्टर की संरचना में अनंत श्रृंखला दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप प्रत्येक अनुभाग में समान मान होते हैं, लेकिन विभिन्न वांछनीय विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए अनुभाग से अनुभाग में टोपोलॉजी भिन्न हो सकते हैं। दोनों विधियां अंतिम वांछित फिल्टर पर पहुंचने के लिए आवृत्ति परिवर्तन और प्रतिबाधा स्केलिंग के बाद कम-पास [[ प्रोटोटाइप फिल्टर ]] का उपयोग करती हैं।<ref name=Matt83/> | ||
==महत्वपूर्ण फिल्टर वर्ग== | ==महत्वपूर्ण फिल्टर वर्ग== | ||
{{Linear analog electronic filter|filter1=show|filter2=hide|filter3=hide}} | {{Linear analog electronic filter|filter1=show|filter2=hide|filter3=hide}} | ||
फ़िल्टर का वर्ग बहुपदों के उस वर्ग को संदर्भित करता है जिससे फ़िल्टर गणितीय रूप से व्युत्पन्न होता है। फ़िल्टर का क्रम फ़िल्टर के सीढ़ी कार्यान्वयन में मौजूद फ़िल्टर तत्वों की संख्या है। सामान्यतया, फ़िल्टर का क्रम जितना अधिक होगा, पासबैंड और स्टॉपबैंड के बीच कट-ऑफ संक्रमण उतना ही तेज होगा। फ़िल्टर का नाम अक्सर गणितज्ञ या गणित के नाम पर रखा जाता है, जिस पर वे फ़िल्टर के खोजकर्ता या आविष्कारक के रूप में आधारित होते हैं। | फ़िल्टर का वर्ग बहुपदों के उस वर्ग को संदर्भित करता है जिससे फ़िल्टर गणितीय रूप से व्युत्पन्न होता है। फ़िल्टर का क्रम फ़िल्टर के सीढ़ी कार्यान्वयन में '''मौजूद''' फ़िल्टर तत्वों की संख्या है। सामान्यतया, फ़िल्टर का क्रम जितना अधिक होगा, पासबैंड और स्टॉपबैंड के बीच कट-ऑफ संक्रमण उतना ही तेज होगा। फ़िल्टर का नाम अक्सर गणितज्ञ या गणित के नाम पर रखा जाता है, जिस पर वे फ़िल्टर के खोजकर्ता या आविष्कारक के रूप में आधारित होते हैं। | ||
=== बटरवर्थ फ़िल्टर === | === बटरवर्थ फ़िल्टर === | ||
{{Main|Butterworth filter}} | {{Main|Butterworth filter}} | ||
बटरवर्थ फिल्टर को मैक्सिममली फ्लैट के रूप में वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि फ़्रीक्वेंसी डोमेन में प्रतिक्रिया समतुल्य क्रम के फ़िल्टर के किसी भी वर्ग का सबसे आसान संभव वक्र है।<ref name=Matt85>Matthaei et al., pp85-108</ref> | बटरवर्थ फिल्टर को मैक्सिममली फ्लैट के रूप में वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि '''फ़्रीक्वेंसी''' डोमेन में प्रतिक्रिया समतुल्य क्रम के फ़िल्टर के किसी भी वर्ग का सबसे आसान संभव वक्र है।<ref name=Matt85>Matthaei et al., pp85-108</ref> | ||
फ़िल्टर के बटरवर्थ वर्ग का वर्णन पहली बार 1930 के एक पेपर में ब्रिटिश इंजीनियर [[ स्टीफन बटरवर्थ ]] द्वारा किया गया था, जिसके नाम पर इसका नाम रखा गया है। फ़िल्टर प्रतिक्रिया बटरवर्थ फ़िल्टर नॉर्मलाइज़्ड बटरवर्थ बहुपद द्वारा वर्णित है, बटरवर्थ के कारण भी।<ref>Butterworth, S, "On the Theory of Filter Amplifiers", ''Wireless Engineer'', '''vol. 7''', 1930, pp. 536-541.</ref> | फ़िल्टर के बटरवर्थ वर्ग का वर्णन पहली बार 1930 के एक पेपर में ब्रिटिश इंजीनियर [[ स्टीफन बटरवर्थ ]] द्वारा किया गया था, जिसके नाम पर इसका नाम रखा गया है। फ़िल्टर प्रतिक्रिया बटरवर्थ फ़िल्टर नॉर्मलाइज़्ड बटरवर्थ बहुपद द्वारा वर्णित है, बटरवर्थ के कारण भी।<ref>Butterworth, S, "On the Theory of Filter Amplifiers", ''Wireless Engineer'', '''vol. 7''', 1930, pp. 536-541.</ref> | ||
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=== चेबीशेव फ़िल्टर === | === चेबीशेव फ़िल्टर === | ||
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बटरवर्थ की तुलना में चेबीशेव फिल्टर में तेजी से कट-ऑफ संक्रमण होता है, लेकिन पासबैंड की आवृत्ति प्रतिक्रिया में रिपल फिल्टर होने की कीमत | '''बटरवर्थ की तुलना में चेबीशेव फिल्टर में तेजी से कट-ऑफ संक्रमण होता है, लेकिन पासबैंड की आवृत्ति प्रतिक्रिया में रिपल फिल्टर होने की कीमत पर'''। पासबैंड में अधिकतम अनुमत क्षीणन और कट-ऑफ प्रतिक्रिया की स्थिरता के बीच एक समझौता होना चाहिए। इसे कभी-कभी टाइप चेबीशेव भी कहा जाता है, टाइप 2 एक फिल्टर है '''जिसमें पासबैंड में कोई लहर नहीं है लेकिन स्टॉपबैंड में लहर है'''। फ़िल्टर का नाम [[ Pafnuty Chebyshev ]] के नाम पर रखा गया है, जिनके (Chebyshev ) चेबीशेव बहुपदों का उपयोग ट्रांसफर फलन की व्युत्पत्ति में किया जाता है।<ref name=Matt85/> | ||
=== काउर फ़िल्टर === | === काउर फ़िल्टर === | ||
{{Main|Elliptical filter}} | {{Main|Elliptical filter}} | ||
पासबैंड और स्टॉपबैंड में काउर फिल्टर की अधिकतम तरंगें बराबर होती हैं। नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर के किसी भी अन्य वर्ग की तुलना में काउर फिल्टर में पासबैंड से स्टॉपबैंड में तेजी से संक्रमण होता है। काउर फिल्टर शब्द का प्रयोग दीर्घवृत्तीय फिल्टर के साथ एक दूसरे के स्थान पर किया जा सकता है, लेकिन दीर्घवृत्तीय फिल्टर के सामान्य मामले में पासबैंड और स्टॉपबैंड में असमान तरंगें हो सकती हैं। पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर चेबीशेव टाइप 2 फ़िल्टर के समान है। स्टॉपबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर चेबीशेव टाइप 1 फ़िल्टर के समान है। दोनों पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर बटरवर्थ फ़िल्टर के समान है। फ़िल्टर का नाम [[ विल्हेम काउरे ]] के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण | पासबैंड और स्टॉपबैंड में काउर फिल्टर की अधिकतम तरंगें बराबर होती हैं। नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर के किसी भी अन्य वर्ग की तुलना में काउर फिल्टर में पासबैंड से स्टॉपबैंड में तेजी से संक्रमण होता है। काउर फिल्टर शब्द का प्रयोग दीर्घवृत्तीय फिल्टर के साथ एक दूसरे के स्थान पर किया जा सकता है, लेकिन दीर्घवृत्तीय फिल्टर के सामान्य मामले में पासबैंड और स्टॉपबैंड में असमान तरंगें हो सकती हैं। पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर चेबीशेव टाइप 2 फ़िल्टर के समान है। स्टॉपबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर चेबीशेव टाइप 1 फ़िल्टर के समान है। दोनों पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर बटरवर्थ फ़िल्टर के समान है। फ़िल्टर का नाम [[ विल्हेम काउरे ]] के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण फलन [[ अण्डाकार तर्कसंगत कार्य | दीर्घवृत्तीय तर्कसंगत कार्यो]] पर आधारित है।<ref>Mathaei, p95</ref> काउर प्रकार के फिल्टर[[ सामान्यीकृत निरंतर अंश | सामान्यीकृत निरंतर अंशों]] का उपयोग करते हैं।<ref>{{cite journal|author=Fry, T. C.|title=The use of continued fractions in the design of electrical networks|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|year=1929|volume=35|issue=4|pages=463–498|mr=1561770|doi=10.1090/s0002-9904-1929-04747-5|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal|author=Milton. G. W.|title=Multicomponent composites of networks and new types of continued fraction. I|journal=Comm. Math. Physics|year=1987|volume=111|issue=2|pages=281–327|mr=0899853|doi=10.1007/bf01217763|bibcode = 1987CMaPh.111..281M |s2cid=120984103 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104159541 }}</ref><ref>{{cite journal|author=Milton. G. W.|title=Multicomponent composites of networks and new types of continued fraction. II|journal=Comm. Math. Physics|year=1987|volume=111|issue=3|pages=329–372|mr=0900499|doi=10.1007/bf01238903|bibcode = 1987CMaPh.111..329M |s2cid=189830750 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104159635 }}</ref> | ||
===बेसेल फिल्टर === | ===बेसेल फिल्टर === | ||
{{Main|Bessel filter}} | {{Main|Bessel filter}} | ||
बेसल फिल्टर के पासबैंड पर अधिकतम फ्लैट समय-विलंब ([[ समूह विलंब ]]) होता है। यह फिल्टर को एक रैखिक चरण प्रतिक्रिया देता है और इसके परिणामस्वरूप न्यूनतम विरूपण के साथ तरंगें गुजरती हैं। बटरवर्थ फिल्टर के विपरीत आवृत्ति के साथ चरण प्रतिक्रिया के कारण बेसल फ़िल्टर में समय डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है, जिसमें आवृत्ति के साथ क्षीणन प्रतिक्रिया के कारण आवृत्ति डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है। बेसेल फ़िल्टर का नाम [[ फ्रेडरिक बेसेल ]] के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण | बेसल फिल्टर के पासबैंड पर अधिकतम फ्लैट समय-विलंब ([[ समूह विलंब ]]) होता है। यह फिल्टर को एक रैखिक चरण प्रतिक्रिया देता है और इसके परिणामस्वरूप न्यूनतम विरूपण के साथ तरंगें गुजरती हैं। बटरवर्थ फिल्टर के विपरीत आवृत्ति के साथ चरण प्रतिक्रिया के कारण बेसल फ़िल्टर में समय डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है, जिसमें आवृत्ति के साथ क्षीणन प्रतिक्रिया के कारण आवृत्ति डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है। बेसेल फ़िल्टर का नाम [[ फ्रेडरिक बेसेल ]] के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण फलन [[ बेसेल बहुपद ]]पर आधारित है।<ref>Matthaei, pp108-113</ref> | ||
== ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा == | == ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा == | ||
[[File:Cauer lowpass.svg|thumb|right|350px|सीढ़ी काउर टोपोलॉजी के रूप में लागू किया गया लो-पास फिल्टर]] | [[File:Cauer lowpass.svg|thumb|right|350px|सीढ़ी काउर टोपोलॉजी के रूप में लागू किया गया लो-पास फिल्टर]] | ||
ड्राइविंग बिंदु [[ विद्युत प्रतिबाधा ]] फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा का गणितीय प्रतिनिधित्व है जिसमें [[ लाप्लास ट्रांसफॉर्म ]] एस-डोमेन या [[ फुरियर रूपांतरण ]] जेड ट्रांसफ़ॉर्म जे डब्लू -डोमेन। जैसे कई नोटेशन का उपयोग किया जाता है। इसे एक-पोर्ट नेटवर्क के रूप में मानते हुए, निरंतर अंश या आंशिक अंश विस्तार का उपयोग करके अभिव्यक्ति का विस्तार किया जाता है। परिणामी विस्तार विद्युत तत्वों के एक नेटवर्क आमतौर पर एक सीढ़ी नेटवर्क में बदल जाता है। इस नेटवर्क के अंत से एक आउटपुट लेना, जिसे महसूस किया गया है, इसे वांछित ट्रांसफर | ड्राइविंग बिंदु [[ विद्युत प्रतिबाधा ]] फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा का गणितीय प्रतिनिधित्व है जिसमें [[ लाप्लास ट्रांसफॉर्म ]] एस-डोमेन या [[ फुरियर रूपांतरण ]] जेड ट्रांसफ़ॉर्म जे डब्लू -डोमेन। जैसे कई नोटेशन का उपयोग किया जाता है। इसे एक-पोर्ट नेटवर्क के रूप में मानते हुए, निरंतर अंश या आंशिक अंश विस्तार का उपयोग करके अभिव्यक्ति का विस्तार किया जाता है। परिणामी विस्तार विद्युत तत्वों के एक नेटवर्क आमतौर पर एक सीढ़ी नेटवर्क में बदल जाता है। इस नेटवर्क के अंत से एक आउटपुट लेना, जिसे महसूस किया गया है, इसे वांछित ट्रांसफर फलन के साथ [[ दो बंदरगाह नेटवर्क ]] फ़िल्टर में बदल देगा।<ref name=Cauer4>E. Cauer, p4</ref> | ||
वास्तविक विद्युत घटकों का उपयोग करके ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के लिए हर संभव गणितीय कार्य को महसूस नहीं किया जा सकता है। विल्हेम काउर (आर. एम. फोस्टर के बाद से)<ref>Foster, R M, "A Reactance Theorem", ''Bell System Technical Journal'', '''vol 3''', pp259-267, 1924.</ref>) ने अधिकांश प्रारंभिक कार्य इस बात पर किया कि कौन से गणितीय कार्यों को महसूस किया जा सकता है और किस [[ इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी ]] में फ़िल्टर डिज़ाइन की सर्वव्यापी सीढ़ी टोपोलॉजी का नाम काउर के नाम पर रखा गया है।<ref>E. Cauer, p1</ref> | वास्तविक विद्युत घटकों का उपयोग करके ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के लिए हर संभव गणितीय कार्य को महसूस नहीं किया जा सकता है। विल्हेम काउर (आर. एम. फोस्टर के बाद से)<ref>Foster, R M, "A Reactance Theorem", ''Bell System Technical Journal'', '''vol 3''', pp259-267, 1924.</ref>) ने अधिकांश प्रारंभिक कार्य इस बात पर किया कि कौन से गणितीय कार्यों को महसूस किया जा सकता है और किस [[ इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी ]] में फ़िल्टर डिज़ाइन की सर्वव्यापी सीढ़ी टोपोलॉजी का नाम काउर के नाम पर रखा गया है।<ref>E. Cauer, p1</ref> | ||
ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के कई विहित रूप हैं जिनका उपयोग सभी सरलतम को छोड़कर साकार करने योग्य बाधाओं को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। यह सबसे प्रसिद्ध है।<ref>Darlington, S, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", ''IEEE Trans. Circuits and Systems'', '''vol 31''', p6, 1984.</ref> | ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के कई विहित रूप हैं जिनका उपयोग सभी सरलतम को छोड़कर साकार करने योग्य बाधाओं को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। यह सबसे प्रसिद्ध है।<ref>Darlington, S, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", ''IEEE Trans. Circuits and Systems'', '''vol 31''', p6, 1984.</ref> | ||
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* फोस्टर के फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में समानांतर जुड़े एलसी रेज़ोनेटर श्रृंखला एलसी सर्किट के होते हैं और [[ बंदपास छननी ]] के लिए सबसे उपयोगी होते हैं। | * फोस्टर के फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में समानांतर जुड़े एलसी रेज़ोनेटर श्रृंखला एलसी सर्किट के होते हैं और [[ बंदपास छननी ]] के लिए सबसे उपयोगी होते हैं। | ||
* फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में श्रृंखला से जुड़े एलसी एंटी-रेज़ोनेटर समानांतर एलसी सर्किट के होते हैं और [[ बैंड-स्टॉप फ़िल्टर ]] के लिए सबसे उपयोगी होते हैं। | * फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में श्रृंखला से जुड़े एलसी एंटी-रेज़ोनेटर समानांतर एलसी सर्किट के होते हैं और [[ बैंड-स्टॉप फ़िल्टर ]] के लिए सबसे उपयोगी होते हैं। | ||
1931 में [[ ओटो ब्राउन ]] द्वारा ट्रांसफर फंक्शन के रूप में दिए गए तर्कसंगत कार्य के संदर्भ में प्राप्य फिल्टर पर आगे सैद्धांतिक कार्य किया गया था।<ref>[[Otto Brune]] (1931) "Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency", [[MIT Journal of Mathematics and Physics]], Vol 10, pp 191–236</ref> और [[ रिचर्ड डफिन ]] 1949 में [[ राउल बोत्तो ]] के साथ।<ref>[[Richard Duffin]] & [[Raoul Bott]], "Impedance synthesis without the use of transformers", [[Journal of Applied Physics]] 20:816</ref> काम को 2010 में जॉन एच हबर्ड द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया गया था।<ref>[[John H. Hubbard]] (2010) "The Bott-Duffin Synthesis of Electrical Circuits", pp 33 to 40 in ''A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott'', P. Robert Kotiuga editor, CRM Proceedings and Lecture Notes #50, [[American Mathematical Society]]</ref> जब एक ट्रांसफर | 1931 में [[ ओटो ब्राउन ]] द्वारा ट्रांसफर फंक्शन के रूप में दिए गए तर्कसंगत कार्य के संदर्भ में प्राप्य फिल्टर पर आगे सैद्धांतिक कार्य किया गया था।<ref>[[Otto Brune]] (1931) "Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency", [[MIT Journal of Mathematics and Physics]], Vol 10, pp 191–236</ref> और [[ रिचर्ड डफिन ]] 1949 में [[ राउल बोत्तो ]] के साथ।<ref>[[Richard Duffin]] & [[Raoul Bott]], "Impedance synthesis without the use of transformers", [[Journal of Applied Physics]] 20:816</ref> काम को 2010 में जॉन एच हबर्ड द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया गया था।<ref>[[John H. Hubbard]] (2010) "The Bott-Duffin Synthesis of Electrical Circuits", pp 33 to 40 in ''A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott'', P. Robert Kotiuga editor, CRM Proceedings and Lecture Notes #50, [[American Mathematical Society]]</ref> जब एक ट्रांसफर फलन को सकारात्मक-वास्तविक फलन के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। [[ सकारात्मक वास्तविक संख्या | सकारात्मक वास्तविक संख्याओं]] का सेट अपरिवर्तनीय गणित होता है, ट्रांसफर फलन के तहत अपरिवर्तनीय सेट तो निष्क्रिय घटकों (प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र) का उस स्थानांतरण समारोह के साथ एक नेटवर्क डिज़ाइन किया जा सकता हैं। | ||
==प्रोटोटाइप फिल्टर == | ==प्रोटोटाइप फिल्टर == | ||
Revision as of 10:32, 31 October 2022
नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर नेटवर्क संश्लेषण विधि द्वारा डिज़ाइन किए गए (सिग्नल प्रोसेसिंग फ़िल्टर) हैं। इस विधि ने बटरवर्थ फ़िल्टर , चेबीशेव फ़िल्टर और दीर्घवृत्तीय फिल्टर सहित फिल्टर के कई महत्वपूर्ण वर्ग तैयार किए हैं। यह मूल रूप से निष्क्रिय रैखिक एनालॉग फिल्टर के डिजाइन पर लागू होने का इरादा था, लेकिन इसके परिणाम सक्रिय फ़िल्टर और डिजिटल फिल्टर में परिपालन के लिए भी लागू किए जा सकते हैं। विधि का सार फ़िल्टर के घटक मान प्राप्त करना है, वांछित स्थानांतरण फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले दिए गए तर्कसंगत फलन से हैं।
विधि का विवरण
विधि को नेटवर्क विश्लेषण की विपरीत समस्या के रूप में देखा जा सकता है। नेटवर्क विश्लेषण एक नेटवर्क से शुरू होता है और विभिन्न विद्युत परिपथ प्रमेयों को लागू करके नेटवर्क की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है। दूसरी ओर नेटवर्क संश्लेषण, एक वांछित प्रतिक्रिया के साथ शुरू होता है और इसके तरीके एक नेटवर्क का उत्पादन करते हैं जो उस प्रतिक्रिया का आउटपुट या अनुमानित करता है।[1]
नेटवर्क संश्लेषण मूल रूप से पहले तरंग फिल्टर के रूप में वर्णित प्रकार के फिल्टर का उत्पादन करने का इरादा था, लेकिन अब आमतौर पर केवल फिल्टर कहा जाता है। यानी फिल्टर जिनका उद्देश्य अन्य आवर्तियो की तरंगों को खारिज करते हुए निश्चित आवृत्ति की तरंगों को पास करना होता है। नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के स्थानांतरण फलन के लिए एक विनिर्देश के साथ शुरू होता है, एच (एस), आवृत्ति डोमेन के एक समारोह के रूप में, एस। इसका उपयोग फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के लिए एक अभिव्यक्ति उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, जो तब निरंतर अंश या आंशिक अंश विस्तार की प्रक्रिया से फ़िल्टर घटकों के आवश्यक मूल्यों में परिणाम देता है। एक फिल्टर के डिजिटल कार्यान्वयन में, एच (एस) को सीधे लागू किया जा सकता है।[2] विधि के लाभों को सबसे अच्छी तरह से इसकी तुलना उस फिल्टर डिजाइन पद्धति से की जाती है जिसका उपयोग इससे पहले किया गया था, छवि प्रतिबाधा छवि विधि एक व्यक्तिगत टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) की विशेषताओं पर विचार करती है समान वर्गों की एक अनंत श्रृंखला (सीढ़ी टोपोलॉजी ) में सरल फ़िल्टर टोपोलॉजी। इस विधि द्वारा समग्र छवि फ़िल्टर सैद्धांतिक समाप्ति प्रतिबाधा, छवि प्रतिबाधा, आम तौर पर वास्तविक समाप्ति प्रतिबाधा के बराबर नहीं होने के कारण अशुद्धि से ग्रस्त हैं। नेटवर्क सिंथेसिस फिल्टर के साथ, टर्मिनेशन को शुरू से ही डिजाइन में शामिल किया जाता है। छवि विधि को भी डिजाइनर की ओर से एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होती है। डिजाइनर को पहले यह तय करना होगा कि कितने सेक्शन और किस प्रकार का उपयोग किया जाना चाहिए, और फिर गणना के बाद, फ़िल्टर के स्थानांतरण फलन को प्राप्त करेगा। यह वह नहीं हो सकता है जिसकी आवश्यकता है और कई पुनरावृत्तियाँ हो सकती हैं। दूसरी ओर, नेटवर्क संश्लेषण विधि, आवश्यक फलन के साथ शुरू होती है और संबंधित फ़िल्टर बनाने के लिए आवश्यक अनुभागों को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करती है।[2]
सामान्य तौर पर, नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के अनुभाग समान टोपोलॉजी के होते हैं, (आमतौर पर सबसे सरल सीढ़ी प्रकार) लेकिन प्रत्येक अनुभाग में विभिन्न घटक मानों का उपयोग किया जाता है। इसके विपरीत, एक छवि फ़िल्टर की संरचना में अनंत श्रृंखला दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप प्रत्येक अनुभाग में समान मान होते हैं, लेकिन विभिन्न वांछनीय विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए अनुभाग से अनुभाग में टोपोलॉजी भिन्न हो सकते हैं। दोनों विधियां अंतिम वांछित फिल्टर पर पहुंचने के लिए आवृत्ति परिवर्तन और प्रतिबाधा स्केलिंग के बाद कम-पास प्रोटोटाइप फिल्टर का उपयोग करती हैं।[2]
महत्वपूर्ण फिल्टर वर्ग
| Linear analog electronic filters |
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फ़िल्टर का वर्ग बहुपदों के उस वर्ग को संदर्भित करता है जिससे फ़िल्टर गणितीय रूप से व्युत्पन्न होता है। फ़िल्टर का क्रम फ़िल्टर के सीढ़ी कार्यान्वयन में मौजूद फ़िल्टर तत्वों की संख्या है। सामान्यतया, फ़िल्टर का क्रम जितना अधिक होगा, पासबैंड और स्टॉपबैंड के बीच कट-ऑफ संक्रमण उतना ही तेज होगा। फ़िल्टर का नाम अक्सर गणितज्ञ या गणित के नाम पर रखा जाता है, जिस पर वे फ़िल्टर के खोजकर्ता या आविष्कारक के रूप में आधारित होते हैं।
बटरवर्थ फ़िल्टर
बटरवर्थ फिल्टर को मैक्सिममली फ्लैट के रूप में वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि फ़्रीक्वेंसी डोमेन में प्रतिक्रिया समतुल्य क्रम के फ़िल्टर के किसी भी वर्ग का सबसे आसान संभव वक्र है।[3] फ़िल्टर के बटरवर्थ वर्ग का वर्णन पहली बार 1930 के एक पेपर में ब्रिटिश इंजीनियर स्टीफन बटरवर्थ द्वारा किया गया था, जिसके नाम पर इसका नाम रखा गया है। फ़िल्टर प्रतिक्रिया बटरवर्थ फ़िल्टर नॉर्मलाइज़्ड बटरवर्थ बहुपद द्वारा वर्णित है, बटरवर्थ के कारण भी।[4]
चेबीशेव फ़िल्टर
बटरवर्थ की तुलना में चेबीशेव फिल्टर में तेजी से कट-ऑफ संक्रमण होता है, लेकिन पासबैंड की आवृत्ति प्रतिक्रिया में रिपल फिल्टर होने की कीमत पर। पासबैंड में अधिकतम अनुमत क्षीणन और कट-ऑफ प्रतिक्रिया की स्थिरता के बीच एक समझौता होना चाहिए। इसे कभी-कभी टाइप चेबीशेव भी कहा जाता है, टाइप 2 एक फिल्टर है जिसमें पासबैंड में कोई लहर नहीं है लेकिन स्टॉपबैंड में लहर है। फ़िल्टर का नाम Pafnuty Chebyshev के नाम पर रखा गया है, जिनके (Chebyshev ) चेबीशेव बहुपदों का उपयोग ट्रांसफर फलन की व्युत्पत्ति में किया जाता है।[3]
काउर फ़िल्टर
पासबैंड और स्टॉपबैंड में काउर फिल्टर की अधिकतम तरंगें बराबर होती हैं। नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर के किसी भी अन्य वर्ग की तुलना में काउर फिल्टर में पासबैंड से स्टॉपबैंड में तेजी से संक्रमण होता है। काउर फिल्टर शब्द का प्रयोग दीर्घवृत्तीय फिल्टर के साथ एक दूसरे के स्थान पर किया जा सकता है, लेकिन दीर्घवृत्तीय फिल्टर के सामान्य मामले में पासबैंड और स्टॉपबैंड में असमान तरंगें हो सकती हैं। पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर चेबीशेव टाइप 2 फ़िल्टर के समान है। स्टॉपबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर चेबीशेव टाइप 1 फ़िल्टर के समान है। दोनों पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक दीर्घवृत्तीय फ़िल्टर बटरवर्थ फ़िल्टर के समान है। फ़िल्टर का नाम विल्हेम काउरे के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण फलन दीर्घवृत्तीय तर्कसंगत कार्यो पर आधारित है।[5] काउर प्रकार के फिल्टर सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग करते हैं।[6][7][8]
बेसेल फिल्टर
बेसल फिल्टर के पासबैंड पर अधिकतम फ्लैट समय-विलंब (समूह विलंब ) होता है। यह फिल्टर को एक रैखिक चरण प्रतिक्रिया देता है और इसके परिणामस्वरूप न्यूनतम विरूपण के साथ तरंगें गुजरती हैं। बटरवर्थ फिल्टर के विपरीत आवृत्ति के साथ चरण प्रतिक्रिया के कारण बेसल फ़िल्टर में समय डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है, जिसमें आवृत्ति के साथ क्षीणन प्रतिक्रिया के कारण आवृत्ति डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है। बेसेल फ़िल्टर का नाम फ्रेडरिक बेसेल के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण फलन बेसेल बहुपद पर आधारित है।[9]
ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा
ड्राइविंग बिंदु विद्युत प्रतिबाधा फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा का गणितीय प्रतिनिधित्व है जिसमें लाप्लास ट्रांसफॉर्म एस-डोमेन या फुरियर रूपांतरण जेड ट्रांसफ़ॉर्म जे डब्लू -डोमेन। जैसे कई नोटेशन का उपयोग किया जाता है। इसे एक-पोर्ट नेटवर्क के रूप में मानते हुए, निरंतर अंश या आंशिक अंश विस्तार का उपयोग करके अभिव्यक्ति का विस्तार किया जाता है। परिणामी विस्तार विद्युत तत्वों के एक नेटवर्क आमतौर पर एक सीढ़ी नेटवर्क में बदल जाता है। इस नेटवर्क के अंत से एक आउटपुट लेना, जिसे महसूस किया गया है, इसे वांछित ट्रांसफर फलन के साथ दो बंदरगाह नेटवर्क फ़िल्टर में बदल देगा।[1] वास्तविक विद्युत घटकों का उपयोग करके ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के लिए हर संभव गणितीय कार्य को महसूस नहीं किया जा सकता है। विल्हेम काउर (आर. एम. फोस्टर के बाद से)[10]) ने अधिकांश प्रारंभिक कार्य इस बात पर किया कि कौन से गणितीय कार्यों को महसूस किया जा सकता है और किस इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी में फ़िल्टर डिज़ाइन की सर्वव्यापी सीढ़ी टोपोलॉजी का नाम काउर के नाम पर रखा गया है।[11] ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के कई विहित रूप हैं जिनका उपयोग सभी सरलतम को छोड़कर साकार करने योग्य बाधाओं को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। यह सबसे प्रसिद्ध है।[12]
- काउर के ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के पहले रूप में शंट कैपेसिटर और श्रृंखला इंडक्टर्स की एक सीढ़ी होती है और यह उच्च पास फिल्टर के लिए सबसे उपयोगी है।
- काउर के ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के दूसरे रूप में श्रृंखला कैपेसिटर और शंट इंडक्टर्स की एक सीढ़ी होती है और यह उच्च-पास फिल्टर के लिए सबसे उपयोगी है।
- फोस्टर के फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में समानांतर जुड़े एलसी रेज़ोनेटर श्रृंखला एलसी सर्किट के होते हैं और बंदपास छननी के लिए सबसे उपयोगी होते हैं।
- फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में श्रृंखला से जुड़े एलसी एंटी-रेज़ोनेटर समानांतर एलसी सर्किट के होते हैं और बैंड-स्टॉप फ़िल्टर के लिए सबसे उपयोगी होते हैं।
1931 में ओटो ब्राउन द्वारा ट्रांसफर फंक्शन के रूप में दिए गए तर्कसंगत कार्य के संदर्भ में प्राप्य फिल्टर पर आगे सैद्धांतिक कार्य किया गया था।[13] और रिचर्ड डफिन 1949 में राउल बोत्तो के साथ।[14] काम को 2010 में जॉन एच हबर्ड द्वारा संक्षेप में प्रस्तुत किया गया था।[15] जब एक ट्रांसफर फलन को सकारात्मक-वास्तविक फलन के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट अपरिवर्तनीय गणित होता है, ट्रांसफर फलन के तहत अपरिवर्तनीय सेट तो निष्क्रिय घटकों (प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र) का उस स्थानांतरण समारोह के साथ एक नेटवर्क डिज़ाइन किया जा सकता हैं।
प्रोटोटाइप फिल्टर
फ़िल्टर डिज़ाइन की प्रक्रिया को कम श्रम-गहन बनाने के लिए प्रोटोटाइप फ़िल्टर का उपयोग किया जाता है। प्रोटोटाइप को आमतौर पर एकता नाममात्र प्रतिबाधा और एकता कट-ऑफ आवृत्ति के कम-पास फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया गया है, यद्यपि अन्य योजनाएं संभव हैं। प्रासंगिक गणितीय कार्यों और बहुपदों से पूर्ण डिजाइन गणना केवल एक बार की जाती है। आवश्यक वास्तविक फ़िल्टर प्रोटोटाइप को स्केल करने और बदलने की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है।[16] प्रोटोटाइप तत्वों के मान तालिकाओं में प्रकाशित किए जाते हैं, जिनमें से पहला सिडनी डार्लिंगटन के कारण होता है।[17] आधुनिक कंप्यूटिंग शक्ति और डिजिटल डोमेन में फिल्टर ट्रांसफर फ़ंक्शंस को सीधे लागू करने की प्रथा दोनों ने बड़े पैमाने पर इस प्रथा को अप्रचलित कर दिया है।
प्रत्येक वर्ग में फ़िल्टर के प्रत्येक क्रम के लिए एक अलग प्रोटोटाइप की आवश्यकता होती है। उन वर्गों के लिए जिनमें क्षीणन तरंग होती है, तरंग के प्रत्येक मान के लिए एक भिन्न प्रोटोटाइप की आवश्यकता होती है। एक ही प्रोटोटाइप का उपयोग फिल्टर बनाने के लिए किया जा सकता है जिसमें प्रोटोटाइप से अलग बैंडफॉर्म होता है। उदाहरण के लिए कम उत्तीर्ण , हाई-पास, बैंड-पास और बैंड-स्टॉप फिल्टर सभी एक ही प्रोटोटाइप से तैयार किए जा सकते हैं।[18]
यह भी देखें
- रैखिक फिल्टर
टिप्पणियाँ
- ↑ 1.0 1.1 E. Cauer, p4
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Matthaei, pp83-84
- ↑ 3.0 3.1 Matthaei et al., pp85-108
- ↑ Butterworth, S, "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer, vol. 7, 1930, pp. 536-541.
- ↑ Mathaei, p95
- ↑ Fry, T. C. (1929). "The use of continued fractions in the design of electrical networks". Bull. Amer. Math. Soc. 35 (4): 463–498. doi:10.1090/s0002-9904-1929-04747-5. MR 1561770.
- ↑ Milton. G. W. (1987). "Multicomponent composites of networks and new types of continued fraction. I". Comm. Math. Physics. 111 (2): 281–327. Bibcode:1987CMaPh.111..281M. doi:10.1007/bf01217763. MR 0899853. S2CID 120984103.
- ↑ Milton. G. W. (1987). "Multicomponent composites of networks and new types of continued fraction. II". Comm. Math. Physics. 111 (3): 329–372. Bibcode:1987CMaPh.111..329M. doi:10.1007/bf01238903. MR 0900499. S2CID 189830750.
- ↑ Matthaei, pp108-113
- ↑ Foster, R M, "A Reactance Theorem", Bell System Technical Journal, vol 3, pp259-267, 1924.
- ↑ E. Cauer, p1
- ↑ Darlington, S, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Trans. Circuits and Systems, vol 31, p6, 1984.
- ↑ Otto Brune (1931) "Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency", MIT Journal of Mathematics and Physics, Vol 10, pp 191–236
- ↑ Richard Duffin & Raoul Bott, "Impedance synthesis without the use of transformers", Journal of Applied Physics 20:816
- ↑ John H. Hubbard (2010) "The Bott-Duffin Synthesis of Electrical Circuits", pp 33 to 40 in A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott, P. Robert Kotiuga editor, CRM Proceedings and Lecture Notes #50, American Mathematical Society
- ↑ Matthaei, p83
- ↑ Darlington, S, "Synthesis of Reactance 4-Poles Which Produce Prescribed Insertion Loss Characteristics", Jour. Math. and Phys., Vol 18, pp257-353, September 1939.
- ↑ See Matthaei for examples.
संदर्भ
- Matthaei, Young, Jones, Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill 1964.
- E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900–1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000), Perpignan, June, 2000. Retrieved online 19 September 2008.
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