मॉडल सिद्धांत

This article is about the mathematical discipline. For the informal notion in other parts of mathematics and science, see Mathematical model.

गणितीय तर्क में, मॉडल सिद्धांत एक औपचारिक सिद्धांतों संरचना (गणितीय तर्क) के बारे में बयानों को व्यक्त करने वाली औपचारिक भाषा में सिद्धांत (गणितीय तर्क) (वाक्य का एक संग्रह (गणितीय तर्क)और उनके मॉडल (उन संरचनाओं में जिनमें सिद्धांत के बयान होते हैं) के बीच संबंधों का अध्ययन है। जांच किए गए पहलुओं में एक सिद्धांत के मॉडलों की संख्या और आकार, एक दूसरे के साथ विभिन्न मॉडलों के संबंध और औपचारिक भाषा के साथ उनकी बातचीत शामिल है। विशेष रूप से, मॉडल सिद्धांतकार उन सेटों की भी जांच करते हैं जिन्हें एक सिद्धांत के एक मॉडल में परिभाषित किया जा सकता हैं, और ऐसे निश्चित सेटों का एक दूसरे से संबंध करते हैं। एक अलग अनुशासन के रूप में, मॉडल सिद्धांत वापस अल्फ्रेड टार्स्की के पास जाता है, जिन्होंने पहली बार 1954 में प्रकाशन में "मॉडल का सिद्धांत" शब्द का प्रयोग किया था। 1970 के दशक के बाद से, इस विषय को सहारों शेलाह के स्थिर सिद्धांत द्वारा निर्णायक रूप से आकार दिया गया है।

गणितीय तर्क के अन्य क्षेत्रों जैसे प्रमाण सिद्धांत की तुलना में, मॉडल सिद्धांत अक्सर औपचारिक कठोरता से कम चिंतित होता है और आत्मा में शास्त्रीय गणित के करीब होता है। इसने टिप्पणी को प्रेरित किया है कि "यदि सबूत सिद्धांत पवित्र के बारे में है, तो आदर्श सिद्धांत अपवित्र के बारे में है"। बीजगणितीय ज्यामिति और डायोफैंटाइन ज्यामिति के मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग शास्त्रीय गणित के साथ इस निकटता को दर्शाते हैं, क्योंकि वे अक्सर बीजगणितीय और मॉडल-सैद्धांतिक परिणामों और तकनीकों का एकीकरण शामिल करते हैं।

मॉडल सिद्धांत के क्षेत्र में सबसे प्रमुख विद्वतापूर्ण संगठन प्रतीकात्मक तर्क के लिए एसोसिएशन है।

सिंहावलोकन

यह पृष्ठ अनंत संरचनाओं के अंतिम पहले क्रम के तर्क मॉडल सिद्धांत पर केंद्रित है।

विषय के इतिहास में उतार-चढ़ाव वाले मॉडल के भीतर निश्चित सेटों के वर्ग के विपरीत एक सिद्धांत के मॉडल के वर्ग पर सापेक्ष जोर दिया गया है, और दो दिशाओं को क्रमशः 1973 और 1997 से सारगर्भित विशेषताओं द्वारा संक्षेपित किया गया है:

मॉडल सिद्धांत = सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क

जहां सार्वभौमिक बीजगणित गणितीय संरचनाओं और तार्किक सिद्धांतों के लिए तर्क के लिए खड़ा है; और

मॉडल सिद्धांत = बीजगणितीय ज्यामिति - क्षेत्र (गणित) एस।

जहां तार्किक सूत्र परिभाषित करने योग्य हैं, एक क्षेत्र में किस्मों के लिए कौन से समीकरण हैं। फिर भी, मॉडलों की कक्षाओं और उनमें परिभाषित किए जाने वाले सेटों की परस्पर क्रिया पूरे इतिहास में मॉडल सिद्धांत के विकास के लिए महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, जबकि स्थिरता को मूल रूप से किसी दिए गए प्रमुखता में उनके मॉडलों की संख्या के आधार पर सिद्धांतों को वर्गीकृत करने के लिए पेश किया गया था, स्थिरता सिद्धांत परिभाषित निश्चित सेटों की ज्यामिति को समझने के लिए महत्वपूर्ण साबित हुआ।

प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की मौलिक धारणाएँ

प्रथम-क्रम तर्क

Main article: First-order logic

तर्क प्रतीकों की तालिका के माध्यम से R(f(x,y),z) या y = x + 1 जैसे परमाणु सूत्रों से एक प्रथम-क्रम सूत्र बनाया गया है। $\neg ,\land ,\lor ,\rightarrow$ और परिमाणकों का उपसर्ग $\forall v$ या $\exists v$. एक वाक्य एक सूत्र है जिसमें एक चर की प्रत्येक घटना संबंधित परिमाणक के दायरे में होती है। सूत्रों के उदाहरण हैं φ (या φ(x) इस तथ्य को चिह्नित करने के लिए कि अधिक से अधिक x φ में एक अनबाउंड चर है) और ψ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,:\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}$

(ध्यान दें कि समानता के प्रतीक का यहाँ दोहरा अर्थ है।) यह सहज रूप से स्पष्ट है कि ऐसे सूत्रों को गणितीय अर्थ में कैसे अनुवादित किया जाए। σ में_smr-संरचना में ${\mathcal {N}}$ प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण के लिए, एक तत्व n सूत्र φ को संतुष्ट करता है और केवल यदि n एक अभाज्य संख्या है तो सूत्र ψ समान रूप से इर्रेड्यूसिबल तत्व को परिभाषित करता है।संतुष्टि संबंध के लिए तर्स्की ने एक कठोर परिभाषा दी, जिसे कभी-कभी "तर्स्की की सत्य की परिभाषा (टी-स्कीमा)" भी कहा जाता है $\models$, ताकि कोई आसानी से साबित कर सके:

${\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n$ एक अभाज्य संख्या है।

${\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n$ अलघुकरणीय है।

एक समुच्चय $T$ वाक्यों की संख्या को एक (प्रथम-क्रम) सिद्धांत (गणितीय तर्क) कहा जाता है, जो समुच्चय में वाक्यों को अपने सिद्धांतों के रूप में लेता है। यदि कोई मॉडल है तो एक सिद्धांत संतोषजनक है ${\mathcal {M}}\models T$, यानी एक संरचना (उपयुक्त हस्ताक्षर की) जो सेट में सभी वाक्यों को पूरा करती है $T$. एक पूर्ण सिद्धांत एक ऐसा सिद्धांत है जिसमें प्रत्येक वाक्य (गणितीय तर्क) या उसका निषेध शामिल है। किसी संरचना द्वारा संतुष्ट सभी वाक्यों के पूर्ण सिद्धांत को उस संरचना का सिद्धांत भी कहा जाता है।

यह गोडेल की पूर्णता प्रमेय (उनके अपूर्णता प्रमेय के साथ भ्रमित नहीं होना) का एक परिणाम है कि एक सिद्धांत का एक मॉडल है और केवल अगर यह सुसंगत है, अर्थात सिद्धांत द्वारा कोई विरोधाभास साबित नहीं होता है। इसलिए, मॉडल सिद्धांतकार अक्सर "संतोषजनक" के पर्याय के रूप में "संगत" का उपयोग करते हैं।

बुनियादी मॉडल-सैद्धांतिक अवधारणाएं

एक हस्ताक्षर (तर्क) या भाषा गैर-तार्किक प्रतीकों का एक सेट है , जैसे कि प्रत्येक प्रतीक या तो एक स्थिर प्रतीक है, या निर्दिष्ट arity योग के साथ एक फ़ंक्शन या संबंध प्रतीक है। ध्यान दें कि कुछ साहित्य में, निरंतर प्रतीकों को शून्य एरिटी के साथ फ़ंक्शन प्रतीकों के रूप में माना जाता है, और इसलिए उन्हें छोड़ दिया जाता है। संरचना (गणितीय तर्क) एक समुच्चय है $M$ संबंधों और कार्यों के रूप में हस्ताक्षर के प्रत्येक प्रतीक की व्याख्या के साथ $M$ (एक संरचना की दूसरी संरचना की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) की औपचारिक धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना)।

उदाहरण: आदेशित छल्लों के लिए एक सामान्य हस्ताक्षर है $\sigma _{or}=\{0,1,+,\times ,-,<\}$, कहाँ $0$ और $1$ 0-एरी फ़ंक्शन प्रतीक हैं (जिन्हें निरंतर प्रतीकों के रूप में भी जाना जाता है), $+$ और $\times$ बाइनरी (= 2-एरी) फ़ंक्शन प्रतीक हैं, $-$ एक यूनरी (= 1-एरी) फ़ंक्शन प्रतीक है, और $<$ एक द्विआधारी संबंध प्रतीक है। फिर, जब इन प्रतीकों की व्याख्या उनके सामान्य अर्थ के अनुरूप की जाती है $\mathbb {Q}$ (ताकि उदा. $+$ से एक समारोह है $\mathbb {Q} ^{2}$ को $\mathbb {Q}$ और $<$ का उपसमुच्चय है $\mathbb {Q} ^{2}$), एक संरचना प्राप्त करता है $(\mathbb {Q} ,\sigma _{or})$.

संरचना ${\mathcal {N}}$ मॉडल कहा जाता है पहले क्रम के वाक्यों का एक सेट $T$ [स्पष्टीकरण की आवश्यकता] मॉडल करने के लिए कहा जाता है,दिए गए भाषा में यदि प्रत्येक वाक्य में $T$ में सत्य है ${\mathcal {N}}$ पहले निर्दिष्ट हस्ताक्षर की व्याख्या के संबंध में ${\mathcal {N}}$. (फिर से, एक संरचना की दूसरी संरचना की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) की औपचारिक धारणा से भ्रमित नहीं होना चाहिए)

एक आधार (गणित) ${\mathcal {A}}$ एक σ-संरचना का ${\mathcal {B}}$ इसके डोमेन का एक उपसमुच्चय है, जो इसके हस्ताक्षर σ में सभी कार्यों के तहत बंद है, जिसे σ में सभी कार्यों और संबंधों को उपसमुच्चय में प्रतिबंधित करके σ-संरचना के रूप में माना जाता है। यह बीजगणित से समरूप अवधारणाओं का सामान्यीकरण करता है; उदाहरण के लिए, एक उपसमूह गुणा और व्युत्क्रम के साथ हस्ताक्षर में एक उपसंरचना है।

एक उपसंरचना को प्राथमिक कहा जाता है यदि किसी प्रथम-क्रम सूत्र φ और किसी भी तत्व a₁, ..., ए_n का ${\mathcal {A}}$,

${\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})$ अगर और केवल अगर ${\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})$.

विशेष रूप से, यदि φ एक वाक्य है और ${\mathcal {A}}$ की एक प्राथमिक संरचना ${\mathcal {B}}$, तब ${\mathcal {A}}\models \varphi$ यदि और केवल ${\mathcal {B}}\models \varphi$. इस प्रकार, एक प्राथमिक उपसंरचना एक सिद्धांत का एक मॉडल है, ठीक उसी समय जब अधिरचना एक मॉडल है।

उदाहरण: जबकि बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र ${\overline {\mathbb {Q} }}$ जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक प्राथमिक उपसंरचना है $\mathbb {C}$, तर्कसंगत क्षेत्र $\mathbb {Q}$ नहीं है, जैसा कि हम व्यक्त कर सकते हैं कि "2 का एक वर्गमूल है" पहले क्रम के वाक्य के रूप में संतुष्ट है $\mathbb {C}$ लेकिन द्वारा नहीं $\mathbb {Q}$.

σ-संरचना का एक एम्बेडिंग ${\mathcal {A}}$ दूसरे σ-संरचना में ${\mathcal {B}}$ एक मानचित्र f: A → B डोमेन के बीच है जिसे एक समरूपता के रूप में लिखा जा सकता है ${\mathcal {A}}$ के एक संरचना के साथ ${\mathcal {B}}$. यदि इसे एक प्रारंभिक संरचना के साथ एक समरूपता के रूप में लिखा जा सकता है, तो इसे एक प्राथमिक एम्बेडिंग कहा जाता है। प्रत्येक एम्बेडिंग एक इंजेक्शन समरूपता है, लेकिन बातचीत केवल तभी होती है जब हस्ताक्षर में कोई संबंध प्रतीक नहीं होता है, जैसे समूहों या क्षेत्रों में नहीं होता है।

किसी क्षेत्र या सदिश समष्टि को इसकी कुछ संरचना की उपेक्षा करके एक (क्रमविनिमेय) समूह के रूप में माना जा सकता है। मॉडल सिद्धांत में संबंधित धारणा मूल हस्ताक्षर के उपसमुच्चय के लिए एक संरचना की कमी की है। विपरीत संबंध को विस्तार कहा जाता है - उदा। परिमेय संख्याओं का (योगात्मक) समूह, जिसे हस्ताक्षर {+,0} में एक संरचना के रूप में माना जाता है, को हस्ताक्षर {×,+,1,0} के साथ एक क्षेत्र में या हस्ताक्षर {+ के साथ एक आदेशित समूह में विस्तारित किया जा सकता है। ,0,<}.

इसी तरह, यदि σ' एक हस्ताक्षर है जो एक और हस्ताक्षर σ को बढ़ाता है, तो एक पूर्ण σ'-सिद्धांत को σ-सूत्रों के समुच्चय के साथ इसके वाक्यों के समुच्चय को काटकर σ तक सीमित किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक पूर्ण σ-सिद्धांत को σ'-सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है, और कोई इसे (एक से अधिक तरीकों से) पूर्ण σ'-सिद्धांत तक विस्तारित कर सकता है।इस संबंध में कभी-कभी कमी और विस्तार की शर्तें भी लागू होती हैं।

सघनता और लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय

सघनता प्रमेय में कहा गया है कि यदि S का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय संतोषजनक है तो S वाक्यों का एक समुच्चय संतोषजनक है। संतोषजनक के बजाय सुसंगत कथन तुच्छ है, क्योंकि प्रत्येक प्रमाण में उपयोग किए जाने वाले पूर्ववृत्तों की केवल एक सीमित संख्या हो सकती है। पूर्णता प्रमेय हमें इसे संतुष्टि के लिए स्थानांतरित करने की अनुमति देता है। हालाँकि, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के कई प्रत्यक्ष (अर्थ संबंधी) प्रमाण भी हैं। एक उपप्रमेय के रूप में (अर्थात्, इसका प्रतिधनात्मक), संघनन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक असंतुष्ट प्रथम-क्रम सिद्धांत का एक परिमित असंतोषजनक उपसमुच्चय होता है।यह प्रमेय मॉडल सिद्धांत में केंद्रीय महत्व का है, जहां "सघनता से" शब्द सामान्य हैं। लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की एक और आधारशिला है। लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय के अनुसार, एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक अनंत संरचना में एक गणनीय प्राथमिक उपसंरचना होती है। इसके विपरीत, किसी भी अनंत कार्डिनल κ के लिए एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक अनंत संरचना जो κ से कम कार्डिनैलिटी की है, प्राथमिक रूप से कार्डिनैलिटी κ की एक और संरचना में एम्बेड की जा सकती है (बेशुमार हस्ताक्षरों के लिए एक सीधा सामान्यीकरण है)। विशेष रूप से, लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय का अर्थ है कि अनंत मॉडलों के साथ एक गणनीय मॉडल के साथ-साथ मनमाने ढंग से बड़े मॉडल भी होते हैं। एक निश्चित अर्थ में लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय द्वारा सही बनाया गया, प्रथम-क्रम तर्क सबसे अभिव्यंजक तर्क है जिसके लिए लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय और कॉम्पैक्टनेस प्रमेय दोनों हैं।

निश्चितता

परिभाषित करने योग्य सेट

मॉडल सिद्धांत में, परिभाषित करने योग्य सेट अध्ययन की महत्वपूर्ण वस्तुएँ हैं। उदाहरण के लिए, में $\mathbb {N}$ सूत्र

$\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1$

अभाज्य संख्याओं के सबसेट को परिभाषित करता है, जबकि सूत्र

$\exists y(2\times y=x)$

सम संख्याओं के उपसमुच्चय को परिभाषित करता है। इसी प्रकार, n मुक्त चर वाले सूत्र निम्न के उपसमुच्चय को परिभाषित करते हैं ${\mathcal {M}}^{n}$. उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र में, सूत्र:

$y=x\times x$

सभी के वक्र को परिभाषित करता है $(x,y)$ ऐसा है कि $y=x^{2}$.

यहां बताई गई दोनों परिभाषाएं पैरामीटर-मुक्त हैं, अर्थात, परिभाषित करने वाले सूत्र किसी निश्चित डोमेन तत्वों का उल्लेख नहीं करते हैं। हालांकि, कोई भी मॉडल से मापदंडों के साथ परिभाषा पर विचार कर सकता है। उदाहरण के लिए, में $\mathbb {R}$, सूत्र

$y=x\times x+\pi$

पैरामीटर का उपयोग करता है $\pi$ से $\mathbb {R}$ एक वक्र को परिभाषित करने के लिए होता है।

क्वांटिफायर को खत्म करना

सामान्य तौर पर, क्वांटिफायर के बिना निश्चित सेट का वर्णन करना आसान होता है, जबकि संभवतः नेस्टेड क्वांटिफायर वाले निश्चित सेट अधिक जटिल हो सकते हैं। यह निश्चित सेटों के विश्लेषण के लिए क्वांटिफायर उन्मूलन को एक महत्वपूर्ण उपकरण बनाता है: एक सिद्धांत टी में मात्रात्मक विलोपन है यदि प्रत्येक प्रथम-क्रम सूत्र φ(x₁, ..., एक्स_n) इसके हस्ताक्षर के ऊपर एक प्रथम-क्रम सूत्र ψ(x₁, ..., एक्स_n) क्वांटिफायर के बिना, यानी $\forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))$ टी के सभी मॉडलों में रखती है। यदि किसी संरचना के सिद्धांत में क्वांटिफायर उन्मूलन है, तो संरचना में परिभाषित प्रत्येक सेट मूल परिभाषा के समान पैरामीटर पर क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र द्वारा निश्चित है। उदाहरण के लिए, हस्ताक्षर σ में बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत_ring = (×,+,−,0,1) में क्वांटिफायर एलिमिनेशन है। इसका मतलब यह है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में, प्रत्येक सूत्र बहुपदों के बीच समीकरणों के बूलियन संयोजन के बराबर है।

यदि किसी सिद्धांत में क्वांटिफायर एलिमिनेशन नहीं है, तो कोई इसके हस्ताक्षर में अतिरिक्त प्रतीक जोड़ सकता है ताकि यह हो। विशिष्ट सिद्धांतों के लिए, विशेष रूप से बीजगणित में, एक्सियोमैटिसेबिलिटी और क्वांटिफायर एलिमिनेशन परिणाम, मॉडल सिद्धांत के शुरुआती लैंडमार्क परिणामों में से थे। लेकिन अक्सर क्वांटिफायर उन्मूलन के बजाय कमजोर संपत्ति पर्याप्त होती है:

एक सिद्धांत टी को मॉडल-पूर्ण कहा जाता है यदि टी के मॉडल के प्रत्येक सबस्ट्रक्चर जो स्वयं टी का एक मॉडल है, एक प्राथमिक सबस्ट्रक्चर है। परीक्षण के लिए एक उपयोगी मानदंड है कि क्या एक उपसंरचना एक प्राथमिक उपसंरचना है, जिसे तर्स्की-वॉट टेस्ट कहा जाता है। यह इस कसौटी से अनुसरण करता है कि एक सिद्धांत टी मॉडल-पूर्ण है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रथम-क्रम सूत्र φ(x₁, ..., एक्स_n) इसके हस्ताक्षर के ऊपर एक अस्तित्वगत प्रथम-क्रम सूत्र के बराबर मॉड्यूलो टी है, अर्थात निम्न रूप का एक सूत्र:

$\exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})$,

जहां ψ परिमाणक मुक्त है। एक सिद्धांत जो मॉडल-पूर्ण नहीं है, एक मॉडल पूर्णता हो सकती है, जो एक संबंधित मॉडल-पूर्ण सिद्धांत है जो सामान्य रूप से मूल सिद्धांत का विस्तार नहीं है। एक अधिक सामान्य धारणा एक आदर्श साथी की है।

न्यूनतमता

हर संरचना में, हर परिमित सबसेट $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ मापदंडों के साथ परिभाषित किया जा सकता है: बस सूत्र का उपयोग करें

$x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}$.

चूँकि हम इस सूत्र को नकार सकते हैं, प्रत्येक सहपरिमित उपसमुच्चय (जिसमें प्रान्त के सभी लेकिन परिमित रूप से कई तत्व शामिल हैं) भी हमेशा परिभाष्य होता है।

यह एक न्यूनतम संरचना की अवधारणा की ओर जाता है। संरचना ${\mathcal {M}}$ न्यूनतम कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय $A\subseteq {\mathcal {M}}$ से मापदंडों के साथ निश्चित ${\mathcal {M}}$ परिमित या सांत है। सिद्धांतों के स्तर पर संबंधित अवधारणा को मजबूत न्यूनता कहा जाता है: एक सिद्धांत टी को अत्यधिक न्यूनतम सिद्धांत कहा जाता है यदि टी का प्रत्येक मॉडल न्यूनतम है। एक संरचना को दृढ़ता से न्यूनतम कहा जाता है यदि उस संरचना का सिद्धांत दृढ़ता से न्यूनतम हो। समतुल्य रूप से, यदि प्रत्येक प्राथमिक विस्तार न्यूनतम है तो एक संरचना दृढ़ता से न्यूनतम है। चूंकि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में क्वांटिफायर उन्मूलन होता है, बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के प्रत्येक निश्चित उपसमुच्चय को एक चर में क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र द्वारा निश्चित किया जाता है। एक चर में क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र एक चर में बहुपद समीकरणों के बूलियन संयोजनों को व्यक्त करते हैं, और चूंकि एक चर में एक गैर-तुच्छ बहुपद समीकरण में केवल एक सीमित संख्या में समाधान होते हैं, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत दृढ़ता से न्यूनतम है। दूसरी ओर, मैदान $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या न्यूनतम नहीं है: उदाहरण के लिए, निश्चित सेट पर विचार करें

$\varphi (x)\;=\;\exists y(y\times y=x)$.

यह गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय को परिभाषित करता है, जो न तो परिमित है और न ही सहपरिमित। कोई वास्तव में उपयोग कर सकता है $\varphi$ वास्तविक संख्या रेखा पर मनमाने अंतराल को परिभाषित करने के लिए। यह पता चला है कि ये प्रत्येक निश्चित उपसमुच्चय का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं $\mathbb {R}$. आदेशित संरचनाओं के मॉडल सिद्धांत में न्यूनतमता का यह सामान्यीकरण बहुत उपयोगी रहा है। एक सघन रेखीय क्रम संरचना ${\mathcal {M}}$ आदेश संबंध के लिए एक प्रतीक सहित एक हस्ताक्षर में प्रत्येक उपसमुच्चय का न्यूनतम कहा जाता है $A\subseteq {\mathcal {M}}$ से मापदंडों के साथ निश्चित ${\mathcal {M}}$ अंक और अंतराल का एक परिमित संघ है।

परिभाषित करने योग्य और व्याख्या करने योग्य संरचनाएं

Main article: Interpretation (model theory)

विशेष रूप से महत्वपूर्ण वे निश्चित सेट हैं जो सबस्ट्रक्चर भी हैं, i। इ। सभी स्थिरांक शामिल हैं और फ़ंक्शन एप्लिकेशन के अंतर्गत बंद हैं। उदाहरण के लिए, कोई एक निश्चित समूह के निश्चित उपसमूहों का अध्ययन कर सकता है। हालांकि, एक ही हस्ताक्षर में खुद को सबस्ट्रक्चर तक सीमित रखने की जरूरत नहीं है। चूंकि n मुक्त चर वाले सूत्र सबसेट को परिभाषित करते हैं ${\mathcal {M}}^{n}$, n-ary संबंध भी निश्चित हो सकते हैं। यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ एक निश्चित संबंध और स्थिरांक है, तो फ़ंक्शंस निश्चित हैं $a\in {\mathcal {M}}$ यदि कोई सूत्र है तो निश्चित हैं $\varphi (x)$ जैसे कि a एकमात्र तत्व है ${\mathcal {M}}$ ऐसा है कि $\varphi (a)$ क्या सच है। इस तरह, कोई सामान्य संरचनाओं में निश्चित समूहों और क्षेत्रों का अध्ययन कर सकता है, उदाहरण के लिए, जो ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत में महत्वपूर्ण रहा है।

कोई एक कदम और आगे भी जा सकता है, और तात्कालिक अवसंरचनाओं से आगे बढ़ सकता है। एक गणितीय संरचना को देखते हुए, बहुत बार संबद्ध संरचनाएं होती हैं जिन्हें एक तुल्यता संबंध के माध्यम से मूल संरचना के भाग के भागफल के रूप में निर्मित किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक समूह का भागफल समूह है। कोई कह सकता है कि पूरी संरचना को समझने के लिए इन उद्धरणों को समझना चाहिए। जब तुल्यता संबंध निश्चित होता है, तो हम पिछले वाक्य को एक सटीक अर्थ दे सकते हैं। हम कहते हैं कि ये संरचनाएं व्याख्या योग्य हैं। एक महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि व्याख्या की गई संरचनाओं की भाषा से मूल संरचना की भाषा में वाक्यों का अनुवाद किया जा सकता है। इस प्रकार कोई दिखा सकता है कि यदि एक संरचना ${\mathcal {M}}$ दूसरे की व्याख्या करता है जिसका सिद्धांत अनिर्णीत है, तब ${\mathcal {M}}$ स्वयं अनिर्णीत है।

प्रकार

Main article: Type (model theory)

बुनियादी धारणाएं

तत्वों के अनुक्रम के लिए $a_{1},\dots ,a_{n}$ एक संरचना का ${\mathcal {M}}$ और एक उपसमुच्चय ए ${\mathcal {M}}$, सभी प्रथम-क्रम सूत्रों के सेट पर विचार कर सकते हैं $\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})$ ए में पैरामीटर के साथ संतुष्ट हैं $a_{1},\dots ,a_{n}$. इसे पूर्ण (एन-) प्रकार कहा जाता है जिसे द्वारा महसूस किया जाता है $a_{1},\dots ,a_{n}$ एक से अधिक। अगर का एक automorphism है ${\mathcal {M}}$ वह ए पर स्थिर है और भेजता है $a_{1},\dots ,a_{n}$ को $b_{1},\dots ,b_{n}$ क्रमशः, फिर $a_{1},\dots ,a_{n}$ और $b_{1},\dots ,b_{n}$ ए पर एक ही पूर्ण प्रकार का एहसास करें।

वास्तविक संख्या रेखा $\mathbb {R}$, केवल आदेश संबंध {<} के साथ एक संरचना के रूप में देखा गया, इस खंड में एक चालू उदाहरण के रूप में काम करेगा। हर तत्व $a\in \mathbb {R}$ खाली सेट पर समान 1-प्रकार को संतुष्ट करता है। यह स्पष्ट है क्योंकि कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ a और b ऑर्डर ऑटोमोर्फिज्म से जुड़ी हैं जो सभी संख्याओं को b-a से बदल देती हैं। संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा खाली सेट पर पूरा 2-प्रकार $a_{1},a_{2}$ उनके आदेश पर निर्भर करता है: या तो $a_{1}<a_{2}$, $a_{1}=a_{2}$ या $a_{2}<a_{1}$. सबसेट के ऊपर $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R}$ पूर्णांकों का, एक गैर-पूर्णांक वास्तविक संख्या का 1-प्रकार a इसके मान पर निर्भर करता है जो निकटतम पूर्णांक तक गोल होता है।

अधिक आम तौर पर, जब भी ${\mathcal {M}}$ एक संरचना है और A का एक उपसमुच्चय है ${\mathcal {M}}$, ए पर एक (आंशिक) एन-टाइप फॉर्मूला पी का एक सेट है जिसमें अधिकतर एन मुक्त चर होते हैं जिन्हें प्राथमिक विस्तार में महसूस किया जाता है ${\mathcal {N}}$ का ${\mathcal {M}}$. यदि p में ऐसा प्रत्येक सूत्र या उसका निषेध है, तो p पूर्ण है। ए पर पूर्ण एन-प्रकारों का सेट अक्सर लिखा जाता है $S_{n}^{\mathcal {M}}(A)$. यदि ए खाली सेट है, तो टाइप स्पेस केवल सिद्धांत पर निर्भर करता है $T$ का ${\mathcal {M}}$. अंकन $S_{n}(T)$ आमतौर पर संगत खाली सेट पर प्रकारों के सेट के लिए उपयोग किया जाता है $T$. यदि एक ही सूत्र है $\varphi$ ऐसा है कि का सिद्धांत ${\mathcal {M}}$ तात्पर्य $\varphi \rightarrow \psi$ प्रत्येक सूत्र के लिए $\psi$ पी में, तो पी को पृथक कहा जाता है।

वास्तविक संख्या के बाद से $\mathbb {R}$ आर्किमिडीयन क्षेत्र हैं, प्रत्येक पूर्णांक से बड़ी कोई वास्तविक संख्या नहीं है। हालांकि, एक कॉम्पैक्टनेस तर्क से पता चलता है कि वास्तविक संख्या रेखा का एक प्राथमिक विस्तार है जिसमें किसी भी पूर्णांक से बड़ा तत्व है। इसलिए, सूत्रों का सेट $\{n<x|n\in \mathbb {Z} \}$ 1 प्रकार का ओवर है $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R}$ जो वास्तविक संख्या रेखा में अनुभव नहीं होता है $\mathbb {R}$.

का एक उपसमुच्चय ${\mathcal {M}}^{n}$ जिसे ठीक उन्हीं तत्वों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\mathcal {M}}^{n}$ A पर एक निश्चित प्रकार को साकार करने को A पर टाइप-डिफ़िनेबल कहा जाता है। एक बीजगणितीय उदाहरण के लिए, मान लीजिए $M$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। सिद्धांत में क्वांटिफायर एलिमिनेशन है। यह हमें यह दिखाने की अनुमति देता है कि एक प्रकार वास्तव में इसमें शामिल बहुपद समीकरणों द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार पूर्ण का सेट $n$-एक सबफ़ील्ड पर टाइप करता है $A$ बहुपद वलय के प्रमुख आदर्शों के समुच्चय के संगत है $A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$, और टाइप-डिफ़िनेबल सेट बिल्कुल एफ़िन किस्में हैं।

संरचनाएं और प्रकार

जबकि हर संरचना में हर प्रकार का एहसास नहीं होता है, हर संरचना अपने अलग-अलग प्रकारों को महसूस करती है। यदि किसी संरचना में साकार होने वाले खाली सेट पर एकमात्र प्रकार पृथक प्रकार हैं, तो संरचना को परमाणु कहा जाता है।

दूसरी ओर, कोई संरचना हर पैरामीटर सेट पर हर प्रकार का एहसास नहीं करती है; अगर कोई सब कुछ ले लेता है ${\mathcal {M}}$ पैरामीटर सेट के रूप में, फिर हर 1-टाइप ओवर ${\mathcal {M}}$ में साकार हुआ ${\mathcal {M}}$ a के लिए a = x के सूत्र द्वारा पृथक किया जाता है $a\in {\mathcal {M}}$. हालाँकि, का कोई भी उचित प्राथमिक विस्तार ${\mathcal {M}}$ इसमें एक ऐसा तत्व है जो अंदर नहीं है ${\mathcal {M}}$. इसलिए एक कमजोर धारणा पेश की गई है जो एक संरचना के विचार को पकड़ती है जो सभी प्रकारों को साकार करने की उम्मीद कर सकती है। एक संरचना को संतृप्त कहा जाता है अगर यह पैरामीटर सेट पर हर प्रकार का एहसास करता है $A\subset {\mathcal {M}}$ की तुलना में छोटी कार्डिनैलिटी है ${\mathcal {M}}$ अपने आप।

जबकि ए पर स्थिर एक ऑटोमोर्फिज्म हमेशा ए पर प्रकारों को संरक्षित करेगा, यह आम तौर पर सच नहीं है कि कोई भी दो अनुक्रम $a_{1},\dots ,a_{n}$ और $b_{1},\dots ,b_{n}$ ए पर एक ही प्रकार को संतुष्ट करने वाले को इस तरह के ऑटोमोर्फिज्म द्वारा एक दूसरे से मैप किया जा सकता है। संरचना ${\mathcal {M}}$ जिसमें यह आक्षेप सभी ए की तुलना में छोटे कार्डिनैलिटी के लिए है ${\mathcal {M}}$ सजातीय कहा जाता है।

वास्तविक संख्या रेखा उस भाषा में परमाणु होती है जिसमें केवल क्रम होता है $<$, क्योंकि खाली सेट पर सभी एन-प्रकारों को एहसास हुआ $a_{1},\dots ,a_{n}$ में $\mathbb {R}$ के बीच के क्रम संबंधों द्वारा अलग-थलग हैं $a_{1},\dots ,a_{n}$. हालांकि, यह संतृप्त नहीं है, क्योंकि यह गणनीय सेट पर किसी भी 1-प्रकार का एहसास नहीं करता है $\mathbb {Z}$ इसका अर्थ है x किसी भी पूर्णांक से बड़ा होना। तर्कसंगत संख्या रेखा $\mathbb {Q}$ संतृप्त है, इसके विपरीत, के बाद से $\mathbb {Q}$ स्वयं गणनीय है और इसलिए केवल संतृप्त होने के लिए परिमित उपसमुच्चय पर प्रकारों का एहसास करना है।

पत्थर की जगह

के निश्चित उपसमुच्चय का सेट ${\mathcal {M}}^{n}$ कुछ मापदंडों पर $A$ एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार एक प्राकृतिक दोहरी स्थलीय स्थान है, जिसमें पूर्ण रूप से पूर्ण होता है $n$-टाइप ओवर $A$. फॉर्म के सेट आधार (टोपोलॉजी) बेस (टोपोलॉजी)। $\{p|\varphi \in p\}$ एकल सूत्र के लिए $\varphi$. इसे A के ऊपर n-टाइप का स्टोन स्पेस कहा जाता है। यह टोपोलॉजी मॉडल सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली कुछ शब्दावली की व्याख्या करती है: कॉम्पैक्टनेस प्रमेय का कहना है कि स्टोन स्पेस एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस है, और एक प्रकार पी अलग है अगर और केवल अगर पी स्टोन टोपोलॉजी में एक पृथक बिंदु है।

जबकि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में प्रकार बहुपद अंगूठी के स्पेक्ट्रम के अनुरूप होते हैं, टाइप स्पेस पर टोपोलॉजी रचनात्मक टोपोलॉजी है: प्रकारों का एक सेट मूल खुला सेट है अगर यह फॉर्म का है $\{p:f(x)=0\in p\}$ या रूप का $\{p:f(x)\neq 0\in p\}$. यह जरिस्की टोपोलॉजी से बेहतर है।

निर्माण मॉडल

एहसास और छोड़ने के प्रकार

ऐसे मॉडलों का निर्माण करना जो कुछ प्रकारों को महसूस करते हैं और दूसरों को महसूस नहीं करते हैं, मॉडल सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण कार्य है। किसी प्रकार को महसूस न करने को इसे छोड़ने के रूप में संदर्भित किया जाता है, और आम तौर पर (गणनीय) प्रकार के प्रमेय को छोड़ना संभव है:

होने देना ${\mathcal {T}}$ एक गणनीय हस्ताक्षर में एक सिद्धांत हो और चलो $\Phi$ खाली सेट पर गैर-पृथक प्रकारों का एक गणनीय सेट हो।

फिर एक मॉडल है ${\mathcal {M}}$ का ${\mathcal {T}}$ जो हर प्रकार को छोड़ देता है $\Phi$.

इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक गणनीय हस्ताक्षर में एक सिद्धांत केवल खाली सेट पर कई प्रकार के होते हैं, तो इस सिद्धांत का एक परमाणु मॉडल होता है।

दूसरी ओर, हमेशा एक प्राथमिक विस्तार होता है जिसमें एक निश्चित पैरामीटर सेट पर किसी भी प्रकार के सेट का एहसास होता है:

होने देना ${\mathcal {M}}$ एक संरचना बनो और चलो $\Phi$ किसी दिए गए पैरामीटर सेट पर पूर्ण प्रकार का एक सेट हो $A\subset {\mathcal {M}}.$

फिर एक प्रारंभिक विस्तार है ${\mathcal {N}}$ का ${\mathcal {M}}$ जो हर प्रकार का एहसास कराता है $\Phi$.

हालाँकि, चूंकि पैरामीटर सेट तय है और यहाँ कार्डिनैलिटी का कोई उल्लेख नहीं है ${\mathcal {N}}$, इसका अर्थ यह नहीं है कि प्रत्येक सिद्धांत का एक संतृप्त मॉडल होता है। वास्तव में, प्रत्येक सिद्धांत में एक संतृप्त मॉडल है या नहीं, सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है, और यह सच है अगर सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना है।

अल्ट्राप्रोडक्ट्स

अल्ट्राप्रोडक्ट्स का उपयोग उन मॉडलों के निर्माण के लिए एक सामान्य तकनीक के रूप में किया जाता है जो कुछ प्रकार का एहसास करते हैं। एक इंडेक्स सेट I पर संरचनाओं के एक सेट के प्रत्यक्ष उत्पाद से एक अल्ट्राप्रोडक्ट उन टुपल्स की पहचान करके प्राप्त किया जाता है जो लगभग सभी प्रविष्टियों पर सहमत होते हैं, जहां लगभग सभी को एक अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) यू द्वारा I पर सटीक बनाया जाता है। प्रतियों का एक अल्ट्राप्रोडक्ट एक ही संरचना के एक पराशक्ति के रूप में जाना जाता है। मॉडल सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट्स का उपयोग करने की कुंजी Łoś की प्रमेय है:

होने देना ${\mathcal {M}}_{i}$ का एक सेट हो $\sigma$-संरचनाओं को इंडेक्स सेट I और U द्वारा I पर एक अल्ट्राफिल्टर द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। फिर कोई $\sigma$-सूत्र $\varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])$ के अल्ट्राप्रोडक्ट में सत्य है ${\mathcal {M}}_{i}$ द्वारा $U$ अगर सभी का सेट $i\in I$ जिसके लिए ${\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})$ U में है।

विशेष रूप से, किसी सिद्धांत के मॉडल का कोई भी अल्ट्राप्रोडक्ट स्वयं उस सिद्धांत का एक मॉडल है, और इस प्रकार यदि दो मॉडलों में आइसोमोर्फिक अल्ट्रापॉवर हैं, तो वे प्राथमिक रूप से समतुल्य हैं। कीस्लर-शेला प्रमेय एक विलोम प्रदान करता है:

अगर ${\mathcal {M}}$ और ${\mathcal {N}}$ प्राथमिक समतुल्य हैं, तो I पर एक सेट I और एक अल्ट्राफिल्टर U है जैसे कि U द्वारा अल्ट्रापॉवर ${\mathcal {M}}$ और :${\mathcal {N}}$ आइसोमोर्फिक हैं।

इसलिए, अल्ट्राप्रोडक्ट्स प्राथमिक तुल्यता के बारे में बात करने का एक तरीका प्रदान करते हैं जो पहले-क्रम के सिद्धांतों का उल्लेख करने से बचता है। मॉडल सिद्धांत के मूल प्रमेय जैसे कॉम्पैक्टनेस प्रमेय में अल्ट्राप्रोडक्ट्स का उपयोग करके वैकल्पिक प्रमाण हैं, और यदि वे मौजूद हैं तो उनका उपयोग संतृप्त प्राथमिक विस्तार के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

श्रेणी

Main article: Categorical theory

एक सिद्धांत को मूल रूप से श्रेणीबद्ध कहा जाता था यदि यह समरूपता तक की संरचना निर्धारित करता है। यह पता चला है कि प्रथम-क्रम तर्क की अभिव्यक्ति में गंभीर प्रतिबंधों के कारण यह परिभाषा उपयोगी नहीं है। लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय का तात्पर्य है कि यदि एक सिद्धांत टी में कुछ अनंत कार्डिनल संख्या के लिए एक अनंत मॉडल है, तो उसके पास पर्याप्त रूप से बड़ी कार्डिनल संख्या κ के आकार का एक मॉडल है। चूंकि विभिन्न आकारों के दो मॉडल संभवतः समरूपी नहीं हो सकते हैं, केवल परिमित संरचनाओं को एक श्रेणीबद्ध सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

हालांकि, बुनियादी संख्या के लिए κ-श्रेणी की कमजोर धारणा मॉडल सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अवधारणा बन गई है। एक सिद्धांत T को κ-श्रेणीबद्ध कहा जाता है यदि T के कोई भी दो मॉडल जो कार्डिनैलिटी κ के हैं, आइसोमोर्फिक हैं। यह पता चला है कि κ-श्रेणी का प्रश्न गंभीर रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि क्या κ भाषा की प्रमुखता से बड़ा है (अर्थात $\aleph _{0}$+ |σ|, जहां |σ| हस्ताक्षर की प्रमुखता है)। परिमित या गणनीय हस्ताक्षरों के लिए इसका मतलब है कि बीच में एक मूलभूत अंतर है $\omega$-कार्डिनैलिटी और κ-कार्डिनैलिटी बेशुमार κ के लिए।

ω-वर्गीकरण

ओमेगा-श्रेणीबद्ध सिद्धांत |$\omega$श्रेणीबद्ध सिद्धांतों को उनके प्रकार के स्थान के गुणों द्वारा चित्रित किया जा सकता है:

पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांत T के लिए एक परिमित या गणनीय हस्ताक्षर में निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:

1. टी है $\omega$-श्रेणीबद्ध।

# एस में हर प्रकार_n(टी) पृथक है।

# प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, S_n(टी) सीमित है।

# प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, सूत्रों की संख्या φ(x₁, ..., एक्स_n) n मुक्त चरों में, तुल्यता सापेक्ष T तक, परिमित है।

का सिद्धांत $(\mathbb {Q} ,<)$का सिद्धांत भी है $(\mathbb {R} ,<)$, है $\omega$-श्रेणीबद्ध, हर एन-प्रकार के रूप में $p(x_{1},\dots ,x_{n})$ खाली सेट के बीच जोड़ीदार क्रम संबंध द्वारा अलग किया जाता है $x_{i}$. इसका अर्थ है कि प्रत्येक गणनीय सघन रेखीय क्रम परिमेय संख्या रेखा के लिए क्रम-समरूपी है। दूसरी ओर, के सिद्धांत $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ और $\mathbb {C}$ जैसे फ़ील्ड नहीं हैं $\omega$-श्रेणीबद्ध। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि उन सभी क्षेत्रों में, असीम रूप से कई प्राकृतिक संख्याओं में से किसी को भी सूत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $x=1+\dots +1$.

$\aleph _{0}$-श्रेणीबद्ध सिद्धांत और उनके गणनीय मॉडल भी ओलिगोमोर्फिक समूहों के साथ मजबूत संबंध रखते हैं:

एक परिमित या गणनीय हस्ताक्षर में एक पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांत टी है $\omega$-श्रेणीबद्ध अगर और केवल अगर इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह ओलिगोमोर्फिक है।

इरविन एंगेलर, चेस्लॉ रायल-नर्डज़वेस्की | रायल-नर्डज़वेस्की और लार्स स्वेनोनियस के स्वतंत्र रूप से होने के कारण इस उपखंड के समतुल्य लक्षण वर्णन को कभी-कभी राइल-नर्डज़वेस्की प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है।

संयोजी हस्ताक्षरों में, का एक सामान्य स्रोत $\omega$-श्रेणीबद्ध सिद्धांत Fraïssé सीमाएँ हैं, जिन्हें परिमित संबंधपरक संरचनाओं के एक वर्ग के सभी संभावित विन्यासों को समामेलित करने की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाता है।

बेशुमार श्रेणीबद्धता

माइकल डी. मॉर्ले ने 1963 में दिखाया कि गणनीय भाषाओं में सिद्धांतों के लिए बेशुमार श्रेणीबद्धता की केवल एक धारणा है।

मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय

यदि किसी परिमित या गणनीय हस्ताक्षर में प्रथम-क्रम सिद्धांत T कुछ बेशुमार कार्डिनल κ के लिए κ-श्रेणी है, तो T सभी बेशुमार कार्डिनल κ के लिए κ-श्रेणीबद्ध है।

मॉर्ले के प्रमाण ने बेशुमार श्रेणीबद्धता और मॉडलों की आंतरिक संरचना के बीच गहरे संबंध प्रकट किए, जो वर्गीकरण सिद्धांत और स्थिरता सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु बन गया। बेशुमार स्पष्ट सिद्धांत कई दृष्टिकोणों से सबसे अच्छे व्यवहार वाले सिद्धांत हैं। विशेष रूप से, पूर्ण दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत बेशुमार श्रेणीबद्ध हैं। इससे पता चलता है कि किसी दिए गए विशेषता के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत बेशुमार श्रेणीबद्ध है, इसके आइसोमोर्फिज्म प्रकार को निर्धारित करने वाले क्षेत्र की पारगमन डिग्री के साथ।

एक सिद्धांत जो दोनों है $\omega$-श्रेणीबद्ध और बेशुमार श्रेणीबद्ध को पूरी तरह से श्रेणीबद्ध कहा जाता है।

स्थिरता सिद्धांत

Main article: Stable theory

प्रथम-क्रम सिद्धांत के मॉडल के वर्ग की संरचना में एक महत्वपूर्ण कारक स्थिरता पदानुक्रम में इसका स्थान है।

एक पूर्ण सिद्धांत टी कहा जाता है$\lambda$-एक कार्डिनल के लिए स्थिर $\lambda$ अगर किसी मॉडल के लिए ${\mathcal {M}}$ टी और किसी भी पैरामीटर सेट का $A\subset {\mathcal {M}}$ की : कार्डिनैलिटी से अधिक नहीं $\lambda$, अधिक से अधिक हैं $\lambda$ ए पर पूर्ण टी-प्रकार।

एक सिद्धांत को स्थिर कहा जाता है यदि यह है $\lambda$कुछ अनंत कार्डिनल के लिए स्थिर $\lambda$. परंपरागत रूप से, सिद्धांत हैं $\aleph _{0}$-स्थिर कहलाते हैं$\omega$-स्थिर।

स्थिरता पदानुक्रम

स्थिरता सिद्धांत में एक मौलिक परिणाम स्थिरता स्पेक्ट्रम है, जिसका अर्थ है कि एक गणनीय हस्ताक्षर में प्रत्येक पूर्ण सिद्धांत टी निम्नलिखित वर्गों में से एक में आता है:

1. कोई कार्डिनल नहीं हैं $\lambda$ ऐसा है कि टी है $\lambda$-स्थिर।
2. टी है $\lambda$-स्थिर अगर और केवल अगर $\lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda$ (स्पष्टीकरण के लिए कार्डिनल घातांक देखें $\lambda ^{\aleph _{0}}$).
3. टी है $\lambda$-किसी के लिए स्थिर $\lambda \geq 2^{\aleph _{0}}$ (कहाँ $2^{\aleph _{0}}$ सातत्य (सेट सिद्धांत) की प्रमुखता है)।

पहले प्रकार के सिद्धांत को अस्थिर कहा जाता है, दूसरे प्रकार के सिद्धांत को सख्ती से स्थिर कहा जाता है और तीसरे प्रकार के सिद्धांत को सुपरस्टेबल कहा जाता है। इसके अलावा, यदि कोई सिद्धांत है $\omega$-स्थिर, यह हर अनंत कार्डिनल में स्थिर है, इसलिए $\omega$-स्थिरता अंधविश्वास से अधिक मजबूत है।

स्थिर सिद्धांतों तक सीमित होने पर मॉडल सिद्धांत में कई निर्माण आसान होते हैं; उदाहरण के लिए, एक स्थिर सिद्धांत के प्रत्येक मॉडल में एक संतृप्त प्राथमिक विस्तार होता है, भले ही सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सत्य हो या नहीं। स्थिर सिद्धांतों का अध्ययन करने के लिए शेला की मूल प्रेरणा यह तय करना था कि एक गणनीय सिद्धांत में किसी भी बेशुमार कार्डिनैलिटी के कितने मॉडल हैं। यदि कोई सिद्धांत बेशुमार श्रेणीबद्ध है, तो यह है $\omega$-स्थिर। अधिक आम तौर पर, एक सिद्धांत के स्पेक्ट्रम का तात्पर्य है कि यदि कोई बेशुमार कार्डिनल है $\lambda$ ऐसा है कि एक सिद्धांत टी से कम है $2^{\lambda }$ कार्डिनैलिटी के मॉडल $\lambda$, तो T सुपरस्टेबल है।

ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत

सिद्धांत के एक मॉडल के भीतर निश्चित सेटों की ज्यामिति का विश्लेषण करने के लिए स्थिरता पदानुक्रम भी महत्वपूर्ण है। में $\omega$-स्थिर सिद्धांत, मॉर्ले रैंक एक मॉडल के भीतर निश्चित सेट एस के लिए एक महत्वपूर्ण आयाम धारणा है। इसे ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है:

• मॉर्ली रैंक कम से कम 0 है यदि एस खाली नहीं है।
• α एक उत्तराधिकारी क्रमसूचक के लिए, मॉर्ले रैंक कम से कम α है यदि M के कुछ प्राथमिक विस्तार N में, सेट S में असीम रूप से कई अलग-अलग निश्चित उपसमुच्चय हैं, प्रत्येक रैंक कम से कम α − 1 है।
• α के लिए एक गैर-शून्य सीमा क्रमसूचक, मॉर्ले रैंक कम से कम α है यदि यह α से कम सभी β के लिए कम से कम β है।

एक सिद्धांत टी जिसमें प्रत्येक परिभाषित सेट में अच्छी तरह से परिभाषित मॉर्ले रैंक है, को पूरी तरह से पारलौकिक कहा जाता है; यदि T गणनीय है, तो T पूरी तरह से पारलौकिक है यदि और केवल यदि T है $\omega$-स्थिर। मॉर्ले रैंक को टाइप में फॉर्मूले के मॉर्ले रैंक के न्यूनतम होने के लिए एक प्रकार के मॉर्ले रैंक को सेट करके प्रकारों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, एक पैरामीटर सेट ए पर एक तत्व के मॉर्ले रैंक के बारे में भी बात कर सकता है, जिसे ओवर ए के प्रकार के मॉर्ले रैंक के रूप में परिभाषित किया गया है। मॉर्ले रैंक के अनुरूप भी हैं जो अच्छी तरह से परिभाषित हैं अगर और केवल अगर कोई सिद्धांत सुपरस्टेबल (यू-रैंक) या केवल स्थिर है (शेला का) $\infty$-पद)। उन आयाम धारणाओं का उपयोग स्वतंत्रता और सामान्य विस्तार की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

हाल ही में, स्थिरता को सादगी में विघटित कर दिया गया है न कि स्वतंत्रता संपत्ति (एनआईपी) में। सरल सिद्धांत वे सिद्धांत हैं जिनमें स्वतंत्रता की एक अच्छी तरह से व्यवहार की गई धारणा को परिभाषित किया जा सकता है, जबकि एनआईपी (मॉडल सिद्धांत) ओ-न्यूनतम संरचनाओं को सामान्य करता है। वे स्थिरता से संबंधित हैं क्योंकि एक सिद्धांत स्थिर है अगर और केवल अगर यह एनआईपी और सरल है, और इन वर्गों में से एक में स्थिरता सिद्धांत के विभिन्न पहलुओं को सिद्धांतों के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

गैर-प्राथमिक मॉडल सिद्धांत

मॉडल-सैद्धांतिक परिणामों को प्राथमिक कक्षाओं से परे सामान्यीकृत किया गया है, अर्थात, प्रथम-क्रम सिद्धांत द्वारा अभिगृहीत वर्ग।

उच्च-क्रम तर्कशास्त्र या असीमित तर्कशास्त्र में मॉडल सिद्धांत इस तथ्य से बाधित है कि गोडेल की पूर्णता प्रमेय और कॉम्पैक्टनेस प्रमेय इन तर्कों के लिए सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आते हैं। यह लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय द्वारा ठोस बनाया गया है, मोटे तौर पर यह बताते हुए कि प्रथम-क्रम तर्क अनिवार्य रूप से सबसे मजबूत तर्क है जिसमें लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय और कॉम्पैक्टनेस दोनों हैं। हालाँकि, इन लॉजिक्स के लिए भी मॉडल थ्योरिटिक तकनीकों को बड़े पैमाने पर विकसित किया गया है। हालाँकि, यह पता चला है कि अधिक अभिव्यंजक तार्किक भाषाओं का अधिकांश मॉडल ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से स्वतंत्र है। हाल ही में, स्थिर और श्रेणीबद्ध सिद्धांतों को पूरा करने के लिए फोकस में बदलाव के साथ-साथ, एक तार्किक सिद्धांत द्वारा स्वयंसिद्ध के बजाय सिमेंटिक रूप से परिभाषित मॉडलों के वर्गों पर काम किया गया है। एक उदाहरण सजातीय मॉडल सिद्धांत है, जो मनमाने ढंग से बड़े सजातीय मॉडल के अवसंरचना के वर्ग का अध्ययन करता है। स्थिरता सिद्धांत और ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत के मौलिक परिणाम इस सेटिंग का सामान्यीकरण करते हैं। दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांतों के सामान्यीकरण के रूप में, क्वासिमिनिमल उत्कृष्टता वर्ग वे होते हैं जिनमें प्रत्येक निश्चित सेट या तो गणनीय या सह-गणनीय होता है। वे जटिल घातीय कार्य के मॉडल सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण हैं। सबसे सामान्य सिमेंटिक फ्रेमवर्क जिसमें स्थिरता का अध्ययन किया जाता है, अमूर्त प्राथमिक वर्ग हैं, जो कि एक प्राथमिक सबस्ट्रक्चर के सामान्यीकरण के एक मजबूत सबस्ट्रक्चर रिलेशन द्वारा परिभाषित होते हैं। भले ही इसकी परिभाषा विशुद्ध रूप से शब्दार्थ है, प्रत्येक अमूर्त प्राथमिक वर्ग को प्रथम-क्रम के सिद्धांत के मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जो कुछ प्रकारों को छोड़ देता है। सार प्राथमिक कक्षाओं के लिए स्थिरता-सैद्धांतिक धारणाओं का सामान्यीकरण एक सतत शोध कार्यक्रम है।

चयनित अनुप्रयोग

मॉडल सिद्धांत की शुरुआती सफलताओं में विभिन्न बीजगणितीय रूप से दिलचस्प वर्गों के लिए क्वांटिफायर एलिमिनेशन के टार्स्की के प्रमाण हैं, जैसे वास्तविक बंद क्षेत्र, बूलियन बीजगणित (संरचना) और किसी दिए गए विशेषता (बीजगणित) के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र। क्वांटिफायर एलिमिनेशन ने टार्स्की को यह दिखाने की अनुमति दी कि वास्तविक-बंद और बीजीय रूप से बंद क्षेत्रों के पहले-क्रम के सिद्धांत और साथ ही बूलियन बीजगणित के पहले-क्रम के सिद्धांत निर्णायक हैं, बूलियन बीजगणित को प्राथमिक तुल्यता तक वर्गीकृत करते हैं और दिखाते हैं कि वास्तविक के सिद्धांत- बंद क्षेत्र और किसी दिए गए विशेषता के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र अद्वितीय हैं। इसके अलावा, क्वांटिफायर एलिमिनेशन ने बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर बीजगणितीय किस्मों के रूप में और अर्ध-बीजगणितीय सेटों के रूप में वास्तविक-बंद क्षेत्रों पर परिभाषित संबंधों का एक सटीक विवरण प्रदान किया। 1960 के दशक में, अल्ट्राप्रोडक्ट निर्माण की शुरूआत ने बीजगणित में नए अनुप्रयोगों को जन्म दिया। इसमें जेम्स एक्स | एक्स का छद्म क्षेत्रों पर काम शामिल है, यह साबित करते हुए कि परिमित क्षेत्रों का सिद्धांत निर्णायक है, और एक्स और साइमन बी. कोचेन | डायोफैंटाइन समीकरणों पर आर्टिन के अनुमान के विशेष मामले के रूप में कोचेन का प्रमाण, एक्स-कोचेन प्रमेय। अल्ट्राप्रॉडक्ट निर्माण ने अब्राहम रॉबिन्सन के गैर-मानक विश्लेषण के विकास का भी नेतृत्व किया, जिसका उद्देश्य infinimals की एक कठोर गणना प्रदान करना है। अभी हाल ही में, निश्चित सेटों की स्थिरता और ज्यामिति के बीच संबंध ने बीजगणितीय और डायोफैंटाइन ज्यामिति से कई अनुप्रयोगों को जन्म दिया, जिसमें एहुद ख्रुशोव्स्की का 1996 का सभी विशेषताओं में ज्यामितीय मोर्डेल-लैंग अनुमान का प्रमाण शामिल है। 2001 में, मैनिन-ममफोर्ड अनुमान के सामान्यीकरण को साबित करने के लिए इसी तरह के तरीकों का इस्तेमाल किया गया था। 2011 में, जोनाथन पिला ने मॉड्यूलर घटता के उत्पादों के लिए आंद्रे-ऊर्ट अनुमान को साबित करने के लिए ओ-न्यूनता के आसपास तकनीकों को लागू किया। पूछताछ की एक अलग कड़ी में, जो स्थिर सिद्धांतों के इर्द-गिर्द भी विकसित हुई, लस्कॉस्की ने 1992 में दिखाया कि एनआईपी (मॉडल सिद्धांत) सटीक रूप से उन परिभाषित वर्गों का वर्णन करता है जो मशीन लर्निंग सिद्धांत में संभवतः लगभग सही लर्निंग|पीएसी-सीखने योग्य हैं। इससे इन अलग-अलग क्षेत्रों के बीच कई संपर्क हुए हैं। 2018 में, पत्राचार को बढ़ाया गया क्योंकि हंटर और चेज़ ने दिखाया कि स्थिर सिद्धांत ऑनलाइन मशीन लर्निंग के अनुरूप हैं।

इतिहास

एक विषय के रूप में मॉडल सिद्धांत लगभग 20वीं शताब्दी के मध्य से अस्तित्व में है, और यह नाम 1954 में Lwów-Warsaw स्कूल के एक सदस्य अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा गढ़ा गया था। हालाँकि, पहले के कुछ शोध, विशेष रूप से गणितीय तर्क में, अक्सर रेट्रोस्पेक्ट में एक मॉडल-सैद्धांतिक प्रकृति के होने के रूप में माने जाते हैं। अब जो मॉडल सिद्धांत है उसमें पहला महत्वपूर्ण परिणाम डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय का एक विशेष मामला था, जिसे 1915 में लियोपोल्ड लोवेनहेम द्वारा प्रकाशित किया गया था। कॉम्पैक्टनेस प्रमेय थोराल्फ़ स्कोलेम द्वारा काम में निहित था, लेकिन इसे पहली बार 1930 में कर्ट गोडेल के अपने गोडेल की पूर्णता प्रमेय के प्रमाण में एक लेम्मा के रूप में प्रकाशित किया गया था। लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय और कॉम्पैक्टनेस प्रमेय ने 1936 और 1941 में अनातोली माल्टसेव से अपने संबंधित सामान्य रूप प्राप्त किए। एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में मॉडल सिद्धांत का विकास इंटरवार अवधि के दौरान अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा लाया गया था। तर्स्की के काम में अन्य विषयों के अलावा तार्किक परिणाम, निगमनात्मक प्रणाली, तर्क का बीजगणित, निश्चितता का सिद्धांत और सत्य का सिमेंटिक सिद्धांत शामिल हैं। उनके सिमेंटिक तरीके 1950 और 60 के दशक में उनके और उनके कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले के छात्रों द्वारा विकसित किए गए मॉडल सिद्धांत में परिणत हुए।

अनुशासन के आगे के इतिहास में, विभिन्न किस्में उभरने लगीं और विषय का ध्यान स्थानांतरित हो गया। 1960 के दशक में, अल्ट्राप्रोडक्ट्स के आसपास की तकनीकें मॉडल सिद्धांत में एक लोकप्रिय उपकरण बन गईं। उसी समय, जेम्स एक्स जैसे शोधकर्ता विभिन्न बीजगणितीय वर्गों के प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की जांच कर रहे थे, और अन्य जैसे एच. जेरोम कीस्लर अन्य तार्किक प्रणालियों के लिए प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की अवधारणाओं और परिणामों का विस्तार कर रहे थे। फिर मॉर्ले की समस्या से प्रेरित होकर, शेला ने स्थिर सिद्धांत विकसित किया। स्थिरता के आसपास उनके काम ने मॉडल सिद्धांत के रंग को बदल दिया, अवधारणाओं की एक पूरी नई श्रेणी को जन्म दिया। इसे प्रतिमान बदलाव के रूप में जाना जाता है अगले दशकों में, यह स्पष्ट हो गया कि परिणामी स्थिरता पदानुक्रम उन सेटों की ज्यामिति से निकटता से जुड़ा हुआ है जो उन मॉडलों में निश्चित हैं; इसने उप-अनुशासन को जन्म दिया जिसे अब ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। ज्यामितीय मॉडल सिद्धांत से एक प्रभावशाली प्रमाण का एक उदाहरण एहूद ह्रुशोव्स्की का मोर्डेल-लैंग अनुमान का प्रमाण है। कार्य क्षेत्रों के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान।

गणितीय तर्क की संबंधित शाखाओं से संबंध

परिमित मॉडल सिद्धांत

Main article: Finite model theory

परिमित मॉडल सिद्धांत, जो परिमित संरचनाओं पर ध्यान केंद्रित करता है, अध्ययन की गई समस्याओं और उपयोग की जाने वाली तकनीकों दोनों में अनंत संरचनाओं के अध्ययन से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होता है। विशेष रूप से, शास्त्रीय मॉडल सिद्धांत के कई केंद्रीय परिणाम जो परिमित संरचनाओं तक सीमित होने पर विफल हो जाते हैं। इसमें कॉम्पैक्टनेस प्रमेय, गोडेल की पूर्णता प्रमेय और प्रथम-क्रम तर्क के लिए ultraproducts की विधि शामिल है। परिमित और अनंत मॉडल सिद्धांत के इंटरफेस पर एल्गोरिथम या कंप्यूटेबल मॉडल सिद्धांत और शून्य-एक कानून (मॉडल सिद्धांत) का अध्ययन है। 0-1 कानून, जहां संरचनाओं के एक वर्ग के एक सामान्य सिद्धांत के अनंत मॉडल जानकारी प्रदान करते हैं परिमित मॉडल का वितरण। एफएमटी के प्रमुख अनुप्रयोग क्षेत्र वर्णनात्मक जटिलता सिद्धांत, डेटाबेस सिद्धांत और औपचारिक भाषा सिद्धांत हैं।

सेट सिद्धांत

कोई भी औपचारिक प्रणाली (जो एक गणनीय भाषा में व्यक्त की जाती है), यदि यह सुसंगत है, तो एक गणनीय मॉडल है; इसे स्कोलेम के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है, क्योंकि समुच्चय सिद्धांत में ऐसे वाक्य हैं जो बेशुमार समुच्चयों के अस्तित्व की पुष्टि करते हैं और फिर भी ये वाक्य हमारे गणनीय मॉडल में सत्य हैं। विशेष रूप से सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता के प्रमाण के लिए मॉडल में सेट पर विचार करने की आवश्यकता होती है जो मॉडल के भीतर से देखे जाने पर बेशुमार प्रतीत होते हैं, लेकिन मॉडल के बाहर किसी के लिए गणना योग्य होते हैं। मॉडल-सैद्धांतिक दृष्टिकोण समुच्चय सिद्धांत में उपयोगी रहा है; उदाहरण के लिए रचनात्मक ब्रह्मांड पर कर्ट गोडेल के काम में, जो पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा विकसित फोर्सिंग (गणित) की विधि के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध (फिर से दार्शनिक रूप से दिलचस्प) स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) को साबित करने के लिए दिखाया जा सकता है। और समुच्चय सिद्धांत के अन्य अभिगृहीतों से सातत्य परिकल्पना। दूसरी दिशा में, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के भीतर मॉडल सिद्धांत को ही औपचारिक रूप दिया गया है। उदाहरण के लिए, मॉडल सिद्धांत (जैसे कॉम्पैक्टनेस प्रमेय) के मूल सिद्धांतों का विकास पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और वास्तव में बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय के विकल्प के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के बराबर है। मॉडल सिद्धांत में अन्य परिणाम मानक ZFC ढांचे से परे सेट-सैद्धांतिक स्वयंसिद्धों पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि सातत्य परिकल्पना धारण करती है तो प्रत्येक गणनीय मॉडल में एक अतिशक्ति होती है जो संतृप्त होती है (अपनी स्वयं की प्रमुखता में)। इसी तरह, यदि सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना धारण करती है तो प्रत्येक मॉडल में एक संतृप्त प्रारंभिक विस्तार होता है। इनमें से कोई भी परिणाम अकेले ZFC में सिद्ध नहीं होता है। अंत में, मॉडल सिद्धांत से उत्पन्न होने वाले कुछ प्रश्न (जैसे अनंत लॉजिक्स के लिए कॉम्पैक्टनेस) को बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के समतुल्य दिखाया गया है।

यह भी देखें

• सार मॉडल सिद्धांत
• बीजगणितीय सिद्धांत
• स्वयंसिद्ध वर्ग
• कॉम्पैक्टनेस प्रमेय
• वर्णनात्मक जटिलता
• प्राथमिक समानता
• प्रथम-क्रम के सिद्धांतों की सूची | प्रथम-क्रम के सिद्धांत
• हाइपररियल नंबर
• संस्थागत मॉडल सिद्धांत
• कृपके शब्दार्थ
• लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
• मॉडल-सैद्धांतिक व्याकरण
• सबूत सिद्धांत
• संतृप्त मॉडल
• स्कोलेम सामान्य रूप

संदर्भ

कैननिकल पाठ्यपुस्तकें

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. मॉडल सिद्धांत. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Hodges, Wilfrid (1997). एक छोटा मॉडल सिद्धांत. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58713-6.
• Kopperman, R. (1972). मॉडल सिद्धांत और इसके अनुप्रयोग. Boston: Allyn and Bacon.
• Marker, David (2002). मॉडल थ्योरी: एक परिचय. Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.

अन्य पाठ्यपुस्तकें

• Bell, John L.; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. मॉडल और अल्ट्राप्रोडक्ट्स: एक परिचय (reprint of 1974 ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994). गणितीय तर्क. Springer. ISBN 0-387-94258-0.
• Hinman, Peter G. (2005). गणितीय तर्क के मूल तत्व. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Hodges, Wilfrid (1993). मॉडल सिद्धांत. Cambridge University Press. ISBN 0-521-30442-3.
• Manzano, María (1999). मॉडल सिद्धांत. Oxford University Press. ISBN 0-19-853851-0.
• Poizat, Bruno (2000). मॉडल थ्योरी में एक कोर्स. Springer. ISBN 0-387-98655-3.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). गणितीय तर्क का एक संक्षिप्त परिचय (3rd ed.). New York: Springer Science+Business Media. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Rothmaler, Philipp (2000). मॉडल थ्योरी का परिचय (new ed.). Taylor & Francis. ISBN 90-5699-313-5.
• Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). मॉडल थ्योरी में एक कोर्स. Cambridge University Press. ISBN 9780521763240.
• Kirby, Jonathan (2019). मॉडल थ्योरी के लिए एक निमंत्रण. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-16388-1.

मुफ्त ऑनलाइन पाठ

• Chatzidakis, Zoé (2001). मॉडल थ्योरी का परिचय (PDF). pp. 26 pages.
• Pillay, Anand (2002). व्याख्यान नोट्स - मॉडल थ्योरी (PDF). pp. 61 pages.
• "Model theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• विल्फ्रिड हॉजेस | हॉजेस, विलफ्रिड, Model theory। द स्टैनफोर्ड इनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी, ई. ज़ाल्टा (एड.)।
• विल्फ्रिड हॉजेस | हॉजेस, विल्फ्रिड, फर्स्ट-ऑर्डर मॉडल थ्योरी। द स्टैनफोर्ड इनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी, ई. ज़ाल्टा (एड.)।
• सीमन्स, हेरोल्ड (2004), अच्छे पुराने का परिचय फैशन मॉडल सिद्धांत। स्नातकोत्तर (अभ्यास के साथ) के लिए एक परिचयात्मक पाठ्यक्रम के नोट्स।
• जॉन बारवाइज|जे. बारवाइज और सोलोमन फेफरमैन|एस. फ़ेफ़रमैन (संपादक), मॉडल-थ्योरिटिक लॉजिक, पर्सपेक्टिव्स इन मैथेमेटिकल लॉजिक, वॉल्यूम 8, न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर-वर्लाग, 1985।

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