लाई व्युत्पन्न: Difference between revisions

Revision as of 17:48, 2 April 2023

अवकल ज्यामिति में, लाइ व्युत्पन्न (/liː/ LEE), जिसका नाम व्लाडिसलाव स्लेबोडज़िंस्की द्वारा सोफस लाइ के नाम पर रखा गया,^[1]^[2] किसी अन्य सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित प्रवाह के साथ एक प्रदिश क्षेत्र (अदिश फलन, सदिश क्षेत्र और एक-रूपों सहित) के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। यह परिवर्तन समन्वय अपरिवर्तनीय है और इसलिए लाई व्युत्पन्न को किसी भी अलग-अलग कई गुना पर परिभाषित किया गया है।

सदिश क्षेत्र के संबंध में फलन, प्रदिश क्षेत्र और रूपों को अलग किया जा सकता है। यदि T एक प्रदिश क्षेत्र है और X एक सदिश क्षेत्र है, तो X के संबंध में T का लाई व्युत्पन्न ${\mathcal {L}}_{X}(T)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। अवकल संकारक $T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}(T)$ अंतर्निहित बहुरूपता के प्रदिश क्षेत्रों के बीजगणित की व्युत्पत्ति है।

लाई व्युत्पन्न प्रदिश संकुचन के साथ संचार करता है और अवकल रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न होता है।

यद्यपि विभेदक ज्यामिति में व्युत्पन्न लेने की कई अवधारणाएँ हैं, वे सभी सहम त हैं जब विभेदित किया जा रहा व्यंजक एक फलन या अदिश क्षेत्र है। इस प्रकार इस प्रकरण में ''लाइ'' शब्द को हटा दिया गया है, और एक फलन के व्युत्पन्न के बारे में बात करता है।

एक अन्य सदिश क्षेत्र X के संबंध में एक सदिश क्षेत्र Y का लाई व्युत्पन्न X और Y के ''लाई कोष्ठक'' के रूप में जाना जाता है, और प्रायः ${\mathcal {L}}_{X}(Y)$ के बदले [X,Y] को निरूपित किया जाता है। सदिश क्षेत्रों का स्थान इस लाई कोष्ठक के संबंध में एक लाई बीजगणित बनाता है। लाइ व्युत्पन्न इस लाइ बीजगणित के अनंत-आयामी लाइ बीजगणित प्रतिनिधित्व का गठन करता है, पहचान के कारण

{\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,

किसी भी सदिश क्षेत्र X और Y और किसी प्रदिश क्षेत्र T के लिए मान्य।

M पर सदिश क्षेत्रों को प्रवाह के अत्यणु जनक (अर्थात भिन्नता के एक-आयामी समूह) के रूप में मानते हुए, लाई व्युत्पन्न प्रदिश क्षेत्र पर डिफियोमोर्फिज्म समूह के प्रतिनिधित्व का अंतर है, लाई समूह सिद्धांत में समूह प्रतिनिधित्व से जुड़े अत्यल्प प्रतिनिधित्व के रूप में लाई बीजगणित अभ्यावेदन के अनुरूप है।

सामान्यीकरण स्पिनर क्षेत्रों, संबंधन के साथ फाइबर बंडलों और सदिश-मूल्यवान अवकल रूपों के लिए उपस्तिथ हैं।

प्रेरणा

एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक प्रदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को परिभाषित करने का एक 'नैवे' प्रयास, प्रदिश क्षेत्र के घटकों को लेना सदिश क्षेत्र के संबंध में प्रत्येक घटक के दिशात्मक व्युत्पन्न को लेना होगा। तथापि, यह परिभाषा अवांछनीय है क्योंकि यह समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है, उदा. ध्रुवीय या गोलीय समन्वय में व्यक्त निष्क्रिय व्युत्पन्न कार्तीय समन्वय में घटकों के निष्क्रिय व्युत्पन्न से भिन्न होता है। एक अमूर्त बहुरूपता पर ऐसी परिभाषा अर्थहीन और गलत परिभाषित है। अवकल ज्योमेट्री में, प्रदिश क्षेत्रों के विभेदीकरण की तीन मुख्य समन्वय स्वतंत्र धारणाएँ हैं: लाइ व्युत्पन्न, संबंधन के संबंध में व्युत्पन्न, और पूरी तरह से प्रतिसममित (सहपरिवर्ती ) प्रदिश या अवकल रूपों के बाहरी व्युत्पन्न है। एक संबंधन के संबंध में लाई व्युत्पन्न और व्युत्पन्न के मध्य मुख्य अवकल यह है कि स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र का बाद वाला व्युत्पन्न अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही यह निर्दिष्ट न हो कि उस स्पर्श सदिश को सदिश क्षेत्र में कैसे बढ़ाया जाए। तथापि एक संबंधन के लिए बहुरूपता पर एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना (उदाहरण के लिए एक रीमानी मीट्रिक या सिर्फ एक अमूर्त संबंधन) की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, लाई व्युत्पन्न लेते समय, बहुरूपता पर कोई अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के बारे में बात करना असंभव है, क्योंकि बिंदु p एक सदिश क्षेत्र X के संबंध में सदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न का मान केवल p पर ही नहीं, बल्कि p के आसपास में X के मान पर निर्भर करता है। अंत में, विभेदक रूपों के बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी अतिरिक्त विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल अवकल रूपों (फलनों सहित) का एक अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न है।

परिभाषा

लाइ व्युत्पन्न को कई समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। वस्तुओ को सरल रखने के लिए, हम सामान्य प्रदिश की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, अदिश फलन और सदिश क्षेत्र पर लाई व्युत्पन्न अभिनय को परिभाषित करके आरंभ करते हैं।

(लाइ) किसी फलन का व्युत्पन्न

एक फलन के व्युत्पन्न को परिभाषित करना $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ बहुरूपता पर समस्याग्रस्त है क्योंकि अवकल भागफल $\textstyle (f(x+h)-f(x))/h$ निर्धारित नहीं किया जा सकता है जबकि विस्थापन $x+h$ अपरिभाषित है।

एक बिंदु $p\in M$ पर एक सदिश क्षेत्र $X$ के संबंध में फलन $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ का लाइ व्युत्पन्न फलन है

({\mathcal {L}}_{X}f)(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(P(t,p))-f(p)}{t}}\colon M\to {\mathbb {R} },

जहां $P(t,p)$ वह बिंदु है जिस पर सदिश क्षेत्र $X$ द्वारा परिभाषित प्रवाह बिंदु $p$ को उस समय तुरंत $t$ पर मानचित्र करता है $t=0,$ के आसपास के क्षेत्र में, $P(t,p)$ प्रणाली का अद्वितीयहल है

{\frac {d}{dt}}P(t,p)=X(P(t,p))

$P(0,p)=p$ के साथ स्पर्शी समष्टि $T_{P(t,p)}M$ में प्रथम-क्रम स्वायत्त (यानी स्वतंत्र समय) अवकल समीकरण

कई गुना $M,$ और $x\in U$ पर एक समन्वय मानचित्र $(U,\varphi )$ के लिए, $d\varphi _{x}\colon T_{x}U\to T_{\varphi (x)}{\mathbb {R} }^{n}\cong {\mathbb {R} }^{n}$ को स्पर्शरेखा रैखिक मानचित्र होने दें। अवकल समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली एक प्रणाली के रूप में अधिक स्पष्ट रूप से लिखी गई है

{\frac {d}{dt}}\varphi (P(t,p))=d\varphi _{P(t,p)}X(P(t,p))

${\mathbb {R} }^{n}$ में, प्रारंभिक स्थिति $\varphi (P(0,p))=\varphi (p)$ होने के साथ। यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि समाधान $P(t,p)$ समन्वय मानचित्र के चयन से स्वतंत्र है।

समायोजन ${\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f$ किसी फलन के लाई व्युत्पन्न को दिशात्मक व्युत्पन्न के साथ पहचानता है।

सदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

यदि X और Y दोनों सदिश क्षेत्र हैं, तो X के संबंध में Y के लाई व्युत्पन्न को X और Y के लाई कोष्ठक के रूप में भी जाना जाता है, और कभी-कभी $[X,Y]$ के रूप में दर्शाया जाता है। लाई कोष्ठक को परिभाषित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं, जिनमें से सभी समतुल्य हैं। हम यहां दो परिभाषाओं को सूचीबद्ध करते हैं, जो ऊपर दी गई सदिश क्षेत्र की दो परिभाषाओं के अनुरूप हैं:

p पर X और Y का लाई कोष्ठक सूत्र द्वारा स्थानीय निर्देशांक में दिया गया है
${\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),$
जहां $\partial _{X}$ and $\partial _{Y}$ क्रमशः X और Y के संबंध में दिशात्मक व्युत्पन्न लेने के संचालन को इंगित करते हैं। यहां हम n-विमीय समष्टि में एक सदिश को n-ट्यूपल के रूप में मान रहे हैं, ताकि इसका दिशात्मक व्युत्पन्न केवल इसके निर्देशांक के दिशात्मक व्युत्पन्न से युक्त ट्यूपल हो।हालांकि इस परिभाषा में दिखाई देने वाली अंतिम अभिव्यक्ति $\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)$ स्थानीय निर्देशांक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है, अलग-अलग शब्द $\partial _{X}Y(p)$ और $\partial _{Y}X(p)$ निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करते हैं।
यदि X और Y दूसरी परिभाषा के अनुसार कई गुना M पर सदिश क्षेत्र हैं, तो संचालक ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ सूत्र द्वारा परिभाषित
$[X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$
M के सुचारु फलन के बीजगणित के क्रम शून्य की व्युत्पत्ति है, अर्थात दूसरी परिभाषा के अनुसार यह संकारक एक सदिश क्षेत्र है।

प्रदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

प्रवाह के संदर्भ में परिभाषा

लाइ व्युत्पन्न वह गति है जिसके साथ प्रवाह के कारण होने वाले समष्टि विरूपण के अंतर्गत प्रदिश क्षेत्र बदलता है।

औपचारिक रूप से, एक समतल बहुरूपता $M$ पर एक अलग-अलग (समय-स्वतंत्र) सदिश क्षेत्र $X$ , अनुमान $\Gamma _{X}^{t}:M\to M$ इसी स्थानीय प्रवाह और $\Gamma _{X}^{0}$ पहचान मानचित्र हो। क्योंकि $\Gamma _{X}^{t}$ एक स्थानीय भिन्नता है, प्रत्येक $t$ और $p\in M$ के लिए, व्युत्क्रम

\left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M

अवकल $\left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)$ का विशिष्ट रूप से समरूपता तक विस्तार होता है

h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\right)\to T(T_{p}M)

स्पर्शी समष्टि $T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M$ और $T_{p}M$ के प्रदिश बीजगणित के मध्य इसी तरह, पुलबैक मानचित्र

\left(\Gamma _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M

एक अद्वितीय प्रदिश बीजगणित समरूपता के लिए लिफ्ट करता है

h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\right)\to T(T_{p}^{*}M).

परिणामस्वरूप, प्रत्येक $t$ के लिए, $Y$ के समान संयोजकता का एक प्रदिश क्षेत्र $h_{p}^{t}Y$ होता है।

अगर $Y$ एक $(r,0)$ - या $(0,s)$ -प्रकार प्रदिश क्षेत्र है, तो सदिश क्षेत्र $X$ के साथ $Y$ का लाइ व्युत्पन्न ${\cal {L}}_{X}Y$ बिंदु $p\in M$ पर परिभाषित किया गया है

{\cal {L}}_{X}Y(p)={\frac {d}{dt}}{\Biggl |}_{t=0}\left(h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]-Y(p)}{t}}.

परिणामी प्रदिश क्षेत्र ${\cal {L}}_{X}Y$ की संयोजकता $Y$ 's के समान है।

बीजगणितीय परिभाषा

अब हम एक बीजगणितीय परिभाषा देते हैं। प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के लिए बीजगणितीय परिभाषा निम्नलिखित चार स्वयंसिद्धों से होती है:

अभिगृहीत 1. किसी फलन का लाइ व्युत्पन्न फलन के दिशात्मक अवकलज के समान होता है। यह तथ्य प्रायः सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

{\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)

अभिगृहीत 2. लाई व्युत्पन्न लीबनिज के नियम के निम्नलिखित संस्करण का पालन करता है: किसी भी प्रदिश क्षेत्र S और T के लिए, हमारे पास है

{\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).

अभिगृहीत 3. लाइ व्युत्पन्न संकुचन के संबंध में लीबनिज नियम का पालन करता है:

{\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))

अभिगृहीत 4. लाइ व्युत्पन्न फलनों पर बाहरी व्युत्पन्न के साथ परिवर्तित होता है:

[{\mathcal {L}}_{X},d]=0

यदि ये अभिगृहीत मान्य हैं, तो तो संबंध $df(Y)=Y(f)$ पर लाइ व्युत्पन्न ${\mathcal {L}}_{X}$ को परिपालन करने से पता चलता है कि

{\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),

जो लाइ कोष्ठक के लिए मानक परिभाषाओं में से एक है।

विभेदक रूप पर अभिनय करने वाला लाई व्युत्पन्न बाहरी गुणन के साथ आंतरिक गुणन का एंटीकोम्यूटेटर है। तो अगर α एक अवकल रूप है,

{\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .

यह जाँच कर आसानी से अनुसरण करता है कि अभिव्यक्ति बाहरी व्युत्पन्न के साथ चलती है, एक व्युत्पत्ति है (श्रेणीबद्ध व्युत्पत्तियों का एक एंटीकोम्यूटेटर होने के नाते) और फलनों पर सही काम करता है।

स्पष्ट रूप से, T को (p, q) प्रकार का एक प्रदिश क्षेत्र होने दें। T को सह स्पर्शरेखा बंडल T^∗M के समतल वर्गों α¹, α², ..., α^p का एक अलग बहुरेखीय मानचित्र होने पर विचार करें और स्पर्शरेखा बंडल TM के X₁, X₂, ..., X_q वर्गों का T(α¹, α², ..., X₁, X₂, ...) को R में लिखा है।

({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))

-T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots

-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots

विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय परिभाषाओं को विभेदीकरण के लिए ज़ारी रखना और लीबनिज़ नियम का उपयोग करके समतुल्य सिद्ध किया जा सकता है। लाई व्युत्पन्न संकुचन के साथ आवागमन करता है।

एक अवकल रूप का लाई व्युत्पन्न

प्रदिश क्षेत्रों का एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण वर्ग विभेदक रूपों का वर्ग है। विभेदक रूपों के स्थान पर लाई व्युत्पन्न का प्रतिबंध बाहरी व्युत्पन्न से निकटता से संबंधित है। लाई व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न दोनों अलग-अलग प्रकार से व्युत्पन्न के विचार को ग्रहण करने का प्रयास करते हैं। एक आंतरिक गुणन के विचार को प्रस्तुत करके इन भिन्नता को दूर किया जा सकता है, जिसके बाद संबंध एक पहचान के रूप में सामने आते हैं जिसे कार्टन के सूत्र के रूप में जाना जाता है। कार्टन के सूत्र का उपयोग अवकल रूपों के स्थान पर लाई व्युत्पन्न की परिभाषा के रूप में भी किया जा सकता है।

M को बहुसंख्यक और X को M पर एक सदिश क्षेत्र होने दें। मान लीजिए $\omega \in \Lambda ^{k+1}(M)$ एक (k + 1)-रूप है, अर्थात प्रत्येक $p\in M$ के लिए, $\omega (p)$ वास्तविक संख्याओं के लिए $(T_{p}M)^{k+1}$ से एक वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र है। X और ω का आंतरिक गुणन k- रूप $i_{X}\omega$ के रूप में परिभाषित है।

(i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,

अवकल रूप $i_{X}\omega$ को X के साथ ω का संकुचन भी कहा जाता है, और

i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)

एक $\wedge$ -प्रति व्युत्पत्ति अवकलन है जहाँ $\wedge$ अवकल रूपों पर वैज गुणन है। अर्थात्, $i_{X}$ R-रैखिक है, और

i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )

$\omega \in \Lambda ^{k}(M)$ और η के लिए एक और अवकल रूप। इसके अलावा, एक फलन $f\in \Lambda ^{0}(M)$ के लिए, अर्थात, M पर एक वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान फलन, एक के पास है

i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega

जहाँ $fX$ f और X के गुणनफल को दर्शाता है। बाहरी व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न के मध्य संबंध को संक्षेप में निम्नानुसार किया जा सकता है। सबसे पहले, क्योंकि सदिश क्षेत्र X के संबंध में एक फलन f का लाई व्युत्पन्न दिशात्मक व्युत्पन्न X(f) के समान है, यह X के साथ f के बाहरी व्युत्पन्न के संकुचन के समान भी है:

{\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df

एक सामान्य अवकल रूप के लिए, लाइ व्युत्पन्न इसी तरह एक संकुचन है, X में भिन्नता को ध्यान में रखते हुए:

{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).

इस पहचान को कार्टन सूत्र, कार्टन समरूपता सूत्र या कार्टन के मैजिक सूत्र के रूप में जाना जाता है। विवरण के लिए आंतरिक गुणन देखें। कार्टन सूत्र का उपयोग विभेदक रूप के लाई व्युत्पन्न की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है। कार्टन का सूत्र विशेष रूप से दर्शाता है कि

d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).

लाई व्युत्पन्न भी संबंध को संतुष्ट करता है

{\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .

समन्वय अभिव्यक्ति

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

स्थानीय समन्वय संकेतन में, एक प्रकार (r, s) प्रदिश क्षेत्र $T$ के लिए, $X$ के साथ लाई व्युत्पन्न है

{\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}

यहाँ, संकेतन $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ का अर्थ समन्वय $x^{a}$ के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेना है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम टोशन मुक्त संबंधन (उदाहरण के लिए, लेवी सिविटा संबंधन) का उपयोग कर रहे हैं, फिर आंशिक व्युत्पन्न $\partial _{a}$ को सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका अर्थ है $\partial _{a}X^{b}$ को प्रतिस्थापित करना के साथ (संकेतन के दुरुपयोग से) $\nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}$ जहां $\Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}$ क्रिस्टोफेल गुणांक हैं।

एक प्रदिश का लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार का एक और प्रदिश है, अर्थात, भले ही अभिव्यक्ति में अलग-अलग शब्द समन्वय पद्धति की चयन पर निर्भर करते हैं, समग्र रूप से अभिव्यक्ति एक प्रदिश में परिणत होती है

({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}

जो किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और $T$ के समान प्रकार का है।

परिभाषा को आगे प्रदिश घनत्वों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि T कुछ वास्तविक संख्या मूल्यवान भार w (उदाहरण के लिए भार 1 का आयतन घनत्व) का प्रदिश घनत्व है, तो इसका लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार और भार का एक प्रदिश घनत्व है।

{\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}

अभिव्यक्ति के अंत में नए शब्द पर ध्यान दें।

एक रैखिक संबंधन के लिए $\Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})$ , $X$ के साथ लाई व्युत्पन्न है^[3]

({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}

उदाहरण

स्पष्टता के लिए अब हम निम्नलिखित उदाहरण स्थानीय समन्वय संकेतन में दिखाते हैं।

एक अदिश क्षेत्र के लिए $\phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)$ हमारे पास है:

({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi

.

इसलिए अदिश क्षेत्र $\phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)$ और सदिश क्षेत्र $X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}$ के लिए संबंधित लाई व्युत्पन्न बन जाता है

{\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}

उच्च श्रेणी अवकलन रूप के उदाहरण के लिए, पूर्व उदाहरण से 2-रूप

\omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz

और सदिश क्षेत्र

X

पर विचार करें। तब,

{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}

[1] Trautman, A. (2008). "Remarks on the history of the notion of Lie differentiation". In Krupková, O.; Saunders, D. J. (eds.). Variations, Geometry and Physics: In honour of Demeter Krupka's sixty-fifth birthday. New York: Nova Science. pp. 297–302. ISBN 978-1-60456-920-9.

[2] Ślebodziński, W. (1931). "Sur les équations de Hamilton". Bull. Acad. Roy. D. Belg. 17 (5): 864–870.

[3] Yano, K. (1957). The Theory of Lie Derivatives and its Applications. North-Holland. p. 8. ISBN 978-0-7204-2104-0.

[autogenerated317-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Kosmann, Y. (1971). "Dérivées de Lie des spineurs". Ann. Mat. Pura Appl. 91 (4): 317–395. doi:10.1007/BF02428822. S2CID 121026516.

[5] Trautman, A. (1972). "Invariance of Lagrangian Systems". In O'Raifeartaigh, L. (ed.). General Relativity: Papers in honour of J. L. Synge. Oxford: Clarenden Press. p. 85. ISBN 0-19-851126-4.

[6] Fatibene, L.; Francaviglia, M. (2003). शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांतों के लिए प्राकृतिक और गेज प्राकृतिक औपचारिकता. Dordrecht: Kluwer Academic.

[7] Lichnerowicz, A. (1963). "हार्मोनिक स्पिनर". C. R. Acad. Sci. Paris. 257: 7–9.

[8] Fatibene, L.; Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Godina, M. (1996). "A geometric definition of Lie derivative for Spinor Fields". In Janyska, J.; Kolář, I.; Slovák, J. (eds.). Proceedings of the 6th International Conference on Differential Geometry and Applications, August 28th–September 1st 1995 (Brno, Czech Republic). Brno: Masaryk University. pp. 549–558. arXiv:gr-qc/9608003v1. Bibcode:1996gr.qc.....8003F. ISBN 80-210-1369-9.

[9] Godina, M.; Matteucci, P. (2003). "रिडक्टिव जी-स्ट्रक्चर्स और लाई डेरिवेटिव". Journal of Geometry and Physics. 47 (1): 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. S2CID 16408289.

[10] Rosenfeld, L. (1940). "Sur le tenseur d'impulsion-énergie". Mémoires Acad. Roy. D. Belg. 18 (6): 1–30.

[11] Pauli's book on relativity.

[12] Pauli, W. (1981) [1921]. सापेक्षता के सिद्धांत (First ed.). New York: Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. See section 23

[1]

[2]

[3]

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[6]

[7]

[8]

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[10]

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 {{Short description|A derivative in Differential Geometry}}
-[[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में, लाइ व्युत्पन्न ({{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}), जिसका नाम व्लाडिसलाव स्लेबोडज़िंस्की द्वारा[[ सोफस झूठ | सोफस लाइ]] के नाम पर रखा गया,<ref>{{cite book |first=A. |last=Trautman |author-link=Andrzej Trautman |year=2008 |chapter=Remarks on the history of the notion of Lie differentiation |title=Variations, Geometry and Physics: In honour of Demeter Krupka's sixty-fifth birthday |editor1-first=O. |editor1-last=Krupková |editor2-first=D. J. |editor2-last=Saunders |location=New York |publisher=Nova Science |isbn=978-1-60456-920-9 |pages=297–302 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Ślebodziński |first=W. |year=1931 |title=Sur les équations de Hamilton |journal=Bull. Acad. Roy. D. Belg. |volume=17 |issue=5 |pages=864–870 }}</ref> किसी अन्य सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित [[प्रवाह (गणित)|प्रवाह]] के साथ एक प्रदिश क्षेत्र (अदिश फलन, [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्र]] और एक-रूपों सहित) के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। यह परिवर्तन निर्देशांक अपरिवर्तनीय है और इसलिए लाई व्युत्पन्न को किसी भी अलग-अलग कई गुना पर परिभाषित किया गया है।
+[[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में, लाइ व्युत्पन्न ({{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}), जिसका नाम व्लाडिसलाव स्लेबोडज़िंस्की द्वारा[[ सोफस झूठ | सोफस लाइ]] के नाम पर रखा गया,<ref>{{cite book |first=A. |last=Trautman |author-link=Andrzej Trautman |year=2008 |chapter=Remarks on the history of the notion of Lie differentiation |title=Variations, Geometry and Physics: In honour of Demeter Krupka's sixty-fifth birthday |editor1-first=O. |editor1-last=Krupková |editor2-first=D. J. |editor2-last=Saunders |location=New York |publisher=Nova Science |isbn=978-1-60456-920-9 |pages=297–302 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Ślebodziński |first=W. |year=1931 |title=Sur les équations de Hamilton |journal=Bull. Acad. Roy. D. Belg. |volume=17 |issue=5 |pages=864–870 }}</ref> किसी अन्य सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित [[प्रवाह (गणित)|प्रवाह]] के साथ एक प्रदिश क्षेत्र (अदिश फलन, [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्र]] और एक-रूपों सहित) के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। यह परिवर्तन समन्वय अपरिवर्तनीय है और इसलिए लाई व्युत्पन्न को किसी भी अलग-अलग कई गुना पर परिभाषित किया गया है।
 सदिश क्षेत्र के संबंध में फलन, [[टेंसर क्षेत्र|प्रदिश क्षेत्र]] और रूपों को अलग किया जा सकता है। यदि ''T'' एक प्रदिश क्षेत्र है और ''X'' एक सदिश क्षेत्र है, तो ''X'' के संबंध में ''T'' का लाई व्युत्पन्न <math> \mathcal{L}_X(T)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। [[अंतर ऑपरेटर|अवकल संकारक]] <math> T \mapsto \mathcal{L}_X(T)</math> अंतर्निहित बहुरूपता के प्रदिश क्षेत्रों के बीजगणित की व्युत्पत्ति है।
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 ''M'' पर सदिश क्षेत्रों को प्रवाह के अत्यणु जनक (अर्थात भिन्नता के एक-आयामी समूह) के रूप में मानते हुए, लाई व्युत्पन्न प्रदिश क्षेत्र पर डिफियोमोर्फिज्म समूह के प्रतिनिधित्व का अंतर है, लाई समूह सिद्धांत में [[समूह प्रतिनिधित्व]] से जुड़े अत्यल्प प्रतिनिधित्व के रूप में लाई बीजगणित अभ्यावेदन के अनुरूप है।
-सामान्यीकरण [[spinor|स्पिनर]] क्षेत्रों, [[कनेक्शन (गणित)|संयोजन]] के साथ [[फाइबर बंडल|फाइबर बंडलों]] और सदिश-मूल्यवान अवकल रूपों के लिए उपस्तिथ हैं।
+सामान्यीकरण [[spinor|स्पिनर]] क्षेत्रों, [[कनेक्शन (गणित)|संबंधन]] के साथ [[फाइबर बंडल|फाइबर बंडलों]] और सदिश-मूल्यवान अवकल रूपों के लिए उपस्तिथ हैं।
 == प्रेरणा ==
-एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक प्रदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को परिभाषित करने का एक 'नैवे' प्रयास, प्रदिश क्षेत्र के घटकों को लेना सदिश क्षेत्र के संबंध में प्रत्येक घटक के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] को लेना होगा। तथापि, यह परिभाषा अवांछनीय है क्योंकि यह समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है, उदा. [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली|ध्रुवीय]] या [[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलीय निर्देशांक]] में व्यक्त निष्क्रिय व्युत्पन्न कार्तीय निर्देशांक में घटकों के निष्क्रिय व्युत्पन्न से भिन्न होता है। एक अमूर्त [[कई गुना|बहुरूपता]] पर ऐसी परिभाषा अर्थहीन और गलत परिभाषित है। अवकल ज्योमेट्री में, प्रदिश क्षेत्रों के विभेदीकरण की तीन मुख्य निर्देशांक स्वतंत्र धारणाएँ हैं: लाइ व्युत्पन्न, संयोजन के संबंध में व्युत्पन्न, और पूरी तरह से प्रतिसममित (सहपरिवर्ती ) प्रदिश या अवकल रूपों के बाहरी व्युत्पन्न है। एक संयोजन के संबंध में लाई व्युत्पन्न और व्युत्पन्न के मध्य मुख्य अवकल यह है कि [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्श सदिश]] के संबंध में प्रदिश क्षेत्र का बाद वाला व्युत्पन्न अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही यह निर्दिष्ट न हो कि उस स्पर्श सदिश को सदिश क्षेत्र में कैसे बढ़ाया जाए। तथापि एक संयोजन के लिए बहुरूपता पर एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना (उदाहरण के लिए एक [[रीमैनियन कई गुना|रीमानी मीट्रिक]] या सिर्फ एक अमूर्त संयोजन) की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, लाई व्युत्पन्न लेते समय, बहुरूपता पर कोई अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के बारे में बात करना असंभव है, क्योंकि बिंदु ''p'' एक सदिश क्षेत्र ''X'' के संबंध में सदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न का मान केवल ''p'' पर ही नहीं, बल्कि p के आसपास में X के मान पर निर्भर करता है। अंत में, विभेदक रूपों के बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी अतिरिक्त विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल अवकल रूपों (फलनों सहित) का एक अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न है।
+एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक प्रदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को परिभाषित करने का एक 'नैवे' प्रयास, प्रदिश क्षेत्र के घटकों को लेना सदिश क्षेत्र के संबंध में प्रत्येक घटक के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] को लेना होगा। तथापि, यह परिभाषा अवांछनीय है क्योंकि यह समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है, उदा. [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली|ध्रुवीय]] या [[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलीय समन्वय]] में व्यक्त निष्क्रिय व्युत्पन्न कार्तीय समन्वय में घटकों के निष्क्रिय व्युत्पन्न से भिन्न होता है। एक अमूर्त [[कई गुना|बहुरूपता]] पर ऐसी परिभाषा अर्थहीन और गलत परिभाषित है। अवकल ज्योमेट्री में, प्रदिश क्षेत्रों के विभेदीकरण की तीन मुख्य समन्वय स्वतंत्र धारणाएँ हैं: लाइ व्युत्पन्न, संबंधन के संबंध में व्युत्पन्न, और पूरी तरह से प्रतिसममित (सहपरिवर्ती ) प्रदिश या अवकल रूपों के बाहरी व्युत्पन्न है। एक संबंधन के संबंध में लाई व्युत्पन्न और व्युत्पन्न के मध्य मुख्य अवकल यह है कि [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्श सदिश]] के संबंध में प्रदिश क्षेत्र का बाद वाला व्युत्पन्न अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही यह निर्दिष्ट न हो कि उस स्पर्श सदिश को सदिश क्षेत्र में कैसे बढ़ाया जाए। तथापि एक संबंधन के लिए बहुरूपता पर एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना (उदाहरण के लिए एक [[रीमैनियन कई गुना|रीमानी मीट्रिक]] या सिर्फ एक अमूर्त संबंधन) की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, लाई व्युत्पन्न लेते समय, बहुरूपता पर कोई अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के बारे में बात करना असंभव है, क्योंकि बिंदु ''p'' एक सदिश क्षेत्र ''X'' के संबंध में सदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न का मान केवल ''p'' पर ही नहीं, बल्कि p के आसपास में X के मान पर निर्भर करता है। अंत में, विभेदक रूपों के बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी अतिरिक्त विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल अवकल रूपों (फलनों सहित) का एक अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न है।
 == परिभाषा ==
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 :<math>\mathcal{L}_{fX}\omega = f\mathcal{L}_X\omega + df \wedge i_X \omega .</math>
-== समन्वय भाव ==
+== समन्वय अभिव्यक्ति ==
 {{Einstein summation convention}}
-स्थानीय समन्वय संकेतन में, एक प्रकार के लिए {{nowrap|(''r'', ''s'')}} प्रदिश क्षेत्र <math>T</math>, लाइ व्युत्पन्न साथ <math>X</math> है
+स्थानीय समन्वय संकेतन में, एक प्रकार {{nowrap|(''r'', ''s'')}} प्रदिश क्षेत्र <math>T</math> के लिए, <math>X</math> के साथ लाई व्युत्पन्न है
 :<math>\begin{align}
    (\mathcal{L}_X T) ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} ={}
@@ Line 149: / Line 149: @@
      & + (\partial_{b_1} X^c) T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{c b_2 \ldots b_s} + \ldots + (\partial_{b_s}X^c) T ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_{s-1} c}
 \end{align}</math>
-यहाँ, अंकन <math>\partial_a = \frac{\partial}{\partial x^a}</math> का अर्थ समन्वय के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेना है <math>x^a</math>. वैकल्पिक रूप से, यदि हम मरोड़ (अवकल ज्योमेट्री) | मरोड़ मुक्त संयोजन (गणित) (जैसे, [[ लाइट सिटी कनेक्शन | लाइट सिटी संयोजन]] ) का उपयोग कर रहे हैं, तो आंशिक व्युत्पन्न <math>\partial_a</math> सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका अर्थ है प्रतिस्थापित करना <math>\partial_a X^b</math> के साथ (संकेतन के दुरुपयोग से) <math>\nabla_a X^b = X^b_{;a} := (\nabla X)_a^{\ b} = \partial_a X^b + \Gamma^b_{ac}X^c</math> जहां <math>\Gamma^a_{bc} = \Gamma^a_{cb}</math> क्रिस्टोफेल गुणांक हैं।
+यहाँ, संकेतन <math>\partial_a = \frac{\partial}{\partial x^a}</math> का अर्थ समन्वय <math>x^a</math> के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेना है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम टोशन मुक्त संबंधन (उदाहरण के लिए, लेवी सिविटा संबंधन) का उपयोग कर रहे हैं, फिर आंशिक व्युत्पन्न <math>\partial_a</math> को सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका अर्थ है <math>\partial_a X^b</math> को प्रतिस्थापित करना  के साथ (संकेतन के दुरुपयोग से) <math>\nabla_a X^b = X^b_{;a} := (\nabla X)_a^{\ b} = \partial_a X^b + \Gamma^b_{ac}X^c</math> जहां <math>\Gamma^a_{bc} = \Gamma^a_{cb}</math> क्रिस्टोफेल गुणांक हैं।
-एक प्रदिश का लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार का एक और प्रदिश है, यानी, भले ही अभिव्यक्ति में अलग-अलग शब्द समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर करते हैं, एक पूरे के रूप में अभिव्यक्ति एक प्रदिश में परिणाम देती है
+एक प्रदिश का लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार का एक और प्रदिश है, अर्थात, भले ही अभिव्यक्ति में अलग-अलग शब्द समन्वय पद्धति की चयन पर निर्भर करते हैं, समग्र रूप से अभिव्यक्ति एक प्रदिश में परिणत होती है
 :<math>(\mathcal{L}_X T) ^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s}\partial_{a_1}\otimes\cdots\otimes\partial_{a_r}\otimes dx^{b_1}\otimes\cdots\otimes dx^{b_s}</math>
-जो किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और उसी प्रकार का है <math>T</math>.
+जो किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और <math>T</math> के समान प्रकार का है।
-परिभाषा को आगे प्रदिश घनत्वों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि टी कुछ वास्तविक संख्या मूल्यवान वजन डब्ल्यू (उदाहरण के लिए वजन 1 की मात्रा घनत्व) का [[टेंसर घनत्व|प्रदिश घनत्व]] है, तो इसका लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार और वजन का एक प्रदिश घनत्व है।
+परिभाषा को आगे प्रदिश घनत्वों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि ''T'' कुछ वास्तविक संख्या मूल्यवान भार ''w'' (उदाहरण के लिए भार 1 का आयतन घनत्व) का [[टेंसर घनत्व|प्रदिश घनत्व]] है, तो इसका लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार और भार का एक प्रदिश घनत्व है।
 :<math>\begin{align}
    (\mathcal {L}_X T)^{a_1 \ldots a_r}{}_{b_1 \ldots b_s} ={}
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 अभिव्यक्ति के अंत में नए शब्द पर ध्यान दें।
-Affine संयोजन के लिए <math>\Gamma = ( \Gamma^{a}_{bc} )</math>, लाइ व्युत्पन्न साथ <math>X</math> है<ref>{{cite book|author-link=Kentaro Yano (mathematician) |last=Yano |first=K. |title=The Theory of Lie Derivatives and its Applications
+एक रैखिक संबंधन के लिए <math>\Gamma = ( \Gamma^{a}_{bc} )</math>, <math>X</math> के साथ लाई व्युत्पन्न है<ref>{{cite book|author-link=Kentaro Yano (mathematician) |last=Yano |first=K. |title=The Theory of Lie Derivatives and its Applications
 |url=https://archive.org/details/theoryofliederiv029601mbp|publisher=North-Holland|year=1957|page=[https://archive.org/details/theoryofliederiv029601mbp/page/n25 8]|isbn=978-0-7204-2104-0}}</ref>
 :<math>
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 स्पष्टता के लिए अब हम निम्नलिखित उदाहरण स्थानीय समन्वय संकेतन में दिखाते हैं।
-एक अदिश क्षेत्र के लिए <math>\phi(x^c)\in\mathcal{F}(M)</math> अपने पास:
+एक अदिश क्षेत्र के लिए <math>\phi(x^c)\in\mathcal{F}(M)</math> हमारे पास है:
 :<math> (\mathcal {L}_X \phi) = X(\phi) = X^a \partial_a \phi</math>.
-इसलिए अदिश क्षेत्र के लिए <math>\phi(x,y) = x^2 - \sin(y)</math> और सदिश क्षेत्र <math>X = \sin(x)\partial_y - y^2\partial_x</math> संबंधित लाई व्युत्पन्न बन जाता है
+इसलिए अदिश क्षेत्र <math>\phi(x,y) = x^2 - \sin(y)</math> और सदिश क्षेत्र <math>X = \sin(x)\partial_y - y^2\partial_x</math> के लिए संबंधित लाई व्युत्पन्न बन जाता है
 <math display="block">\begin{alignat}{3}
 \mathcal{L}_X\phi &= (\sin(x)\partial_y - y^2\partial_x)(x^2 - \sin(y))\\
@@ Line 179: / Line 179: @@
                    & = -\sin(x)\cos(y) - 2xy^2 \\
 \end{alignat}</math>
-उच्च रैंक अवकल फॉर्म के उदाहरण के लिए, 2-फॉर्म पर विचार करें <math>\omega = (x^2 + y^2)dx\wedge dz</math> और सदिश क्षेत्र <math>X</math> पिछले उदाहरण से। तब,
+उच्च श्रेणी अवकलन रूप के उदाहरण के लिए, पूर्व उदाहरण से 2-रूप <math>\omega = (x^2 + y^2)dx\wedge dz</math> और सदिश क्षेत्र <math>X</math> पर विचार करें। तब,
 <math display="block">\begin{align}
 \mathcal{L}_X\omega & = d(i_{\sin(x)\partial_y - y^2\partial_x}((x^2 + y^2)dx\wedge dz)) + i_{\sin(x)\partial_y - y^2\partial_x}(d((x^2 + y^2)dx\wedge dz)) \\
@@ Line 189: / Line 189: @@
 :<math>\mathcal{L}_X (dx^b) = d i_X (dx^b) = d X^b = \partial_a X^b dx^a </math>.
-इसलिए एक रूप के लिए, यानी, एक अवकल रूप, <math>A = A_a(x^b)dx^a</math> अपने पास:
+इसलिए एककोवेक्टर क्षेत्र के लिए, अर्थात, एक अवकल रूप, <math>A = A_a(x^b)dx^a</math> हमारे पास है:
 :<math>\mathcal{L}_X A =  X (A_a) dx^a +  A_b \mathcal{L}_X (dx^b) = (X^b \partial_b A_a + A_b\partial_a (X^b))dx^a</math>
 अंतिम अभिव्यक्ति का गुणांक लाई व्युत्पन्न की स्थानीय समन्वय अभिव्यक्ति है।
-एक सहसंयोजक रैंक 2 प्रदिश क्षेत्र के लिए <math>T = T_{ab}(x^c)dx^a \otimes dx^b</math> अपने पास:
+एक सहसंयोजक श्रेणी 2 प्रदिश क्षेत्र के लिए <math>T = T_{ab}(x^c)dx^a \otimes dx^b</math> हमारे पास है:
 <math display="block">\begin{align}
 (\mathcal {L}_X T) &= (\mathcal {L}_X T)_{ab} dx^a\otimes dx^b\\
@@ Line 199: / Line 199: @@
                     &= (X^c \partial_c T_{ab}+T_{cb}\partial_a X^c+T_{ac}\partial_b X^c)dx^a\otimes dx^b\\
 \end{align}</math>
-अगर <math>T = g</math> सममित मीट्रिक प्रदिश है, यह [[लेवी-Civita कनेक्शन|लेवी-Civita संयोजन]] (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) के संबंध में समानांतर है, और यह संयोजन का उपयोग करने के लिए उपयोगी हो जाता है। यह सभी व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ बदलने का प्रभाव देता है
+अगर <math>T = g</math> सममित मीट्रिक प्रदिश है, तो यह [[लेवी-Civita कनेक्शन|लेवी-सीविटा संबंधन]] (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) के संबंध में समानांतर है, और यह संबंधन का उपयोग करने के लिए उपयोगी हो जाता है। यह सभी व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ बदलने का प्रभाव देता है
 :<math>(\mathcal {L}_X g) = (X^c g_{ab; c} + g_{cb}X^c_{;a} + g_{ac}X^c_{; b})dx^a\otimes dx^b = (X_{b;a} + X_{a;b}) dx^a\otimes dx^b</math>
 == गुण ==
-लाइ व्युत्पन्न में कई गुण होते हैं। होने देना <math>\mathcal{F}(M)</math> कई गुना एम पर परिभाषित फलनों के [[एक क्षेत्र पर बीजगणित]] हो। फिर
+लाइ व्युत्पन्न में कई गुण होते हैं। बता दें कि <math>\mathcal{F}(M)</math> बहुसंख्यक ''M'' पर परिभाषित फलनों का बीजगणित है। फिर
 :<math>\mathcal{L}_X : \mathcal{F}(M) \rightarrow \mathcal{F}(M)</math>
-बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) है <math>\mathcal{F}(M)</math>. वह है,
+बीजगणित <math>\mathcal{F}(M)</math> पर एक व्युत्पत्ति है। अर्थात, <math>\mathcal{L}_X</math> R-रैखिक है और
-<math>\mathcal{L}_X</math> आर-रैखिक है और
 :<math>\mathcal{L}_X(fg) = (\mathcal{L}_Xf) g + f\mathcal{L}_Xg.</math>
-इसी प्रकार, यह एक व्युत्पत्ति है <math>\mathcal{F}(M) \times \mathcal{X}(M)</math> कहाँ <math>\mathcal{X}(M)</math> M पर सदिश क्षेत्रों का सेट है (cf. लेख से प्रमेय 6: निकिता, FF एकीकरण सिद्धांत: नए परिणाम और उदाहरण। Axioms 2019, 8, 60):
+इसी प्रकार, यह <math>\mathcal{F}(M) \times \mathcal{X}(M)</math> पर एक व्युत्पत्ति है जहां <math>\mathcal{X}(M)</math> M पर सदिश क्षेत्रों का समुच्चय है (cf. लेख से प्रमेय 6: निचिता, FF एकीकरण सिद्धांत: नए परिणाम और उदाहरण। अभिगृहीत 2019, 8, 60):
 :<math>\mathcal{L}_X(fY) = (\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y</math>
-जिसे समतुल्य अंकन में भी लिखा जा सकता है
+जिसे समतुल्य संकेतन में भी लिखा जा सकता है
 :<math>\mathcal{L}_X(f\otimes Y) = (\mathcal{L}_Xf) \otimes Y + f\otimes \mathcal{L}_X Y</math>
-जहां प्रदिश गुणन प्रतीक <math>\otimes</math> इस तथ्य पर जोर देने के लिए उपयोग किया जाता है कि एक सदिश क्षेत्र के फलन समय का गुणनफल पूरे कई गुना पर ले जाया जा रहा है।
+जहां प्रदिश गुणन प्रतीक <math>\otimes</math> इस तथ्य पर जोर देने के लिए उपयोग किया जाता है कि एक सदिश क्षेत्र के फलन के गुणनफल को संपूर्ण बहुसंख्यक पर ले जाया जा रहा है।
-अतिरिक्त गुण सदिश क्षेत्रों के लाइ कोष्ठक के अनुरूप हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक सदिश क्षेत्र पर एक व्युत्पत्ति के रूप में माना जाता है,
+अतिरिक्त गुण लाइ कोष्ठक के अनुरूप हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक सदिश क्षेत्र पर एक व्युत्पत्ति के रूप में माना जाता है,
 :<math>\mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z]</math>
-उपरोक्त को केवल [[जैकोबी पहचान]] के रूप में पाता है। इस प्रकार, एक का महत्वपूर्ण परिणाम है कि M पर सदिश क्षेत्रों का स्थान, जो लाई कोष्ठक से सुसज्जित है, एक लाई बीजगणित बनाता है।
+उपरोक्त को केवल [[जैकोबी पहचान]] के रूप में प्राप्त होता है। इस प्रकार, एक का महत्वपूर्ण परिणाम है कि M पर सदिश क्षेत्रों का स्थान, जो लाई कोष्ठक से सुसज्जित है, एक लाई बीजगणित बनाता है।
-विभेदक रूपों पर फलन करते समय लाई व्युत्पन्न में भी महत्वपूर्ण गुण होते हैं। चलो α और β एम पर दो अलग-अलग रूप हैं, और एक्स और वाई को दो सदिश क्षेत्र होने दें। तब
+अवकल रूपों पर फलन करते समय लाई व्युत्पन्न में भी महत्वपूर्ण गुण होते हैं। चलो α और β ''M'' पर दो अलग-अलग रूप हैं, और ''X'' और ''Y'' को दो सदिश क्षेत्र होने दें। तब
 * <math>\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta) = (\mathcal{L}_X\alpha) \wedge\beta + \alpha\wedge (\mathcal{L}_X\beta)</math>
 * <math>[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\alpha := \mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\alpha-\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\alpha = \mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha</math>
-* <math>[\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha = [i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha = i_{[X,Y]}\alpha,</math> जहां मैं ऊपर परिभाषित आंतरिक गुणन को दर्शाता हूं और यह स्पष्ट है कि क्या [·,·] [[कम्यूटेटर]] या सदिश क्षेत्रों के लाइ कोष्ठक को दर्शाता है।
+* <math>[\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha = [i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha = i_{[X,Y]}\alpha,</math> जहां ''i'' ऊपर परिभाषित आंतरिक गुणन को दर्शाता है और यह स्पष्ट है कि क्या [·,·] [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] या सदिश क्षेत्रों के लाइ कोष्ठक को दर्शाता है।
 == सामान्यीकरण ==
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 कहाँ <math>[\gamma^{a},\gamma^{b}]= \gamma^a\gamma^b - \gamma^b\gamma^a</math> कम्यूटेटर है, <math>d</math> बाहरी व्युत्पन्न है, <math>X^\flat = g(X, -)</math> के अनुरूप दोहरा 1 रूप है <math>X</math> मीट्रिक के अंतर्गत (यानी कम सूचकांकों के साथ) और <math> \cdot </math> क्लिफोर्ड गुणन है।
-यह ध्यान देने योग्य है कि स्पिनर लाई व्युत्पन्न मीट्रिक से स्वतंत्र है, और इसलिए संयोजन (अवकल ज्यामिति) का भी। यह कोस्मान की स्थानीय अभिव्यक्ति के दाहिने हाथ की ओर से स्पष्ट नहीं है, क्योंकि दाएं हाथ की ओर स्पिन संयोजन (सहसंयोजक व्युत्पन्न) के माध्यम से मीट्रिक पर निर्भर करता है, सदिश क्षेत्रों का दोहरीकरण (सूचकांकों को कम करना) और क्लिफर्ड [[स्पिनर बंडल]] पर गुणन। ऐसा मामला नहीं है: कोस्मान की स्थानीय अभिव्यक्ति के दाईं ओर की मात्राएं गठबंधन करती हैं ताकि सभी मीट्रिक और संयोजन निर्भर शर्तों को रद्द कर दिया जा सके।
+यह ध्यान देने योग्य है कि स्पिनर लाई व्युत्पन्न मीट्रिक से स्वतंत्र है, और इसलिए संबंधन (अवकल ज्यामिति) का भी। यह कोस्मान की स्थानीय अभिव्यक्ति के दाहिने हाथ की ओर से स्पष्ट नहीं है, क्योंकि दाएं हाथ की ओर स्पिन संबंधन (सहसंयोजक व्युत्पन्न) के माध्यम से मीट्रिक पर निर्भर करता है, सदिश क्षेत्रों का दोहरीकरण (सूचकांकों को कम करना) और क्लिफर्ड [[स्पिनर बंडल]] पर गुणन। ऐसा मामला नहीं है: कोस्मान की स्थानीय अभिव्यक्ति के दाईं ओर की मात्राएं गठबंधन करती हैं ताकि सभी मीट्रिक और संबंधन निर्भर शर्तों को रद्द कर दिया जा सके।
 स्पिनोर क्षेत्र्स के ली व्युत्पन्न की लंबी बहस वाली अवधारणा की बेहतर समझ हासिल करने के लिए मूल लेख का उल्लेख किया जा सकता है,<ref>{{cite book |last1=Fatibene |first1=L. |last2=Ferraris |first2=M. |last3=Francaviglia |first3=M. |last4=Godina |first4=M. |year=1996 |chapter=A geometric definition of Lie derivative for Spinor Fields |title=Proceedings of the 6th International Conference on Differential Geometry and Applications, August 28th–September 1st 1995 (Brno, Czech Republic) |editor-last=Janyska |editor-first=J. |editor2-last=Kolář |editor2-first=I. |editor3-last=Slovák |editor3-first=J. |publisher=Masaryk University |location=Brno |pages=549–558 |isbn=80-210-1369-9 |arxiv=gr-qc/9608003v1 |bibcode=1996gr.qc.....8003F }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Godina |first1=M. |last2=Matteucci |first2=P. |year=2003 |title=रिडक्टिव जी-स्ट्रक्चर्स और लाई डेरिवेटिव|journal=[[Journal of Geometry and Physics]] |volume=47 |issue=1 |pages=66–86 |doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2 |arxiv=math/0201235 |bibcode=2003JGP....47...66G |s2cid=16408289 }}</ref> जहां स्पिनर क्षेत्रों के लाइ व्युत्पन्न की परिभाषा को फाइबर बंडलों के अनुभागों के लाइ व्युत्पन्न के सिद्धांत के अधिक सामान्य ढांचे में रखा गया है और वाई। कोसमैन द्वारा स्पिनर केस के लिए प्रत्यक्ष दृष्टिकोण को प्राकृतिक बंडलों के रूप में गेज करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है। [[ कोसमैन लिफ्ट ]] नामक एक नई ज्यामितीय अवधारणा।
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 यदि हमारे पास संरचना समूह के रूप में G के साथ कई गुना M पर एक प्रमुख बंडल है, और हम X को मुख्य बंडल के स्पर्शरेखा स्थान के खंड के रूप में एक सहसंयोजक सदिश क्षेत्र के रूप में चुनते हैं (अर्थात इसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं), तो सहसंयोजक मुख्य बंडल पर X के संबंध में लाई व्युत्पन्न सिर्फ लाई व्युत्पन्न है।
-अब, अगर हमें M के ऊपर एक सदिश क्षेत्र Y दिया गया है (लेकिन प्रिंसिपल बंडल नहीं) लेकिन हमारे पास प्रिंसिपल बंडल के ऊपर एक संयोजन (गणित) भी है, तो हम एक सदिश क्षेत्र X को प्रिंसिपल बंडल के ऊपर परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि इसका क्षैतिज घटक वाई से मेल खाता है और इसका लंबवत घटक संयोजन से सहमत है। यह सहपरिवर्ती लाई व्युत्पन्न है।
+अब, अगर हमें M के ऊपर एक सदिश क्षेत्र Y दिया गया है (लेकिन प्रिंसिपल बंडल नहीं) लेकिन हमारे पास प्रिंसिपल बंडल के ऊपर एक संबंधन (गणित) भी है, तो हम एक सदिश क्षेत्र X को प्रिंसिपल बंडल के ऊपर परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि इसका क्षैतिज घटक वाई से मेल खाता है और इसका लंबवत घटक संबंधन से सहमत है। यह सहपरिवर्ती लाई व्युत्पन्न है।
-अधिक विवरण के लिए [[कनेक्शन प्रपत्र|संयोजन प्रपत्र]] देखें।
+अधिक विवरण के लिए [[कनेक्शन प्रपत्र|संबंधन प्रपत्र]] देखें।
 === निजेनहुइस-लाइ व्युत्पन्न ===
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 :<math>\mathcal{L}_K\alpha=[d,i_K]\alpha = di_K\alpha-(-1)^{k-1}i_K \, d\alpha.</math>
 == इतिहास ==
-में, व्लाडिसलाव Ślebodziński ने एक नया अवकल संकारक पेश किया, जिसे बाद में [[डेविड वैन डेंजिग]] ने लाइ व्युत्पत्ति का नाम दिया, जिसे स्केलर, वैक्टर, प्रदिश और एफाइन संयोजन पर लागू किया जा सकता है और जो ऑटोमोर्फिज़्म के समूहों के अध्ययन में एक शक्तिशाली उपकरण साबित हुआ। .
+में, व्लाडिसलाव Ślebodziński ने एक नया अवकल संकारक पेश किया, जिसे बाद में [[डेविड वैन डेंजिग]] ने लाइ व्युत्पत्ति का नाम दिया, जिसे स्केलर, वैक्टर, प्रदिश और एफाइन संबंधन पर लागू किया जा सकता है और जो ऑटोमोर्फिज़्म के समूहों के अध्ययन में एक शक्तिशाली उपकरण साबित हुआ। .
 सामान्य ज्यामितीय वस्तुओं (अर्थात्, [[प्राकृतिक बंडल]]ों के वर्ग) के लाई व्युत्पन्न का अध्ययन अल्बर्ट निजेनहुइस|ए द्वारा किया गया था। निजेनहुइस, वाई. ताशिरो और केंटारो यानो (गणितज्ञ)|के. हा नहीं।
-काफी लंबे समय से, गणितज्ञों के काम के संदर्भ के बिना, भौतिक विज्ञानी लाई व्युत्पन्न का उपयोग कर रहे थे। 1940 में, लियोन रोसेनफेल्ड<ref>{{cite journal |last=Rosenfeld |first=L. |year=1940 |title=Sur le tenseur d'impulsion-énergie |journal=Mémoires Acad. Roy. D. Belg. |volume=18 |issue=6 |pages=1–30 }}</ref>—और उससे पहले (1921 में<ref>Pauli's book on relativity.</ref>) [[वोल्फगैंग पाउली]]<ref>{{cite book |last=Pauli |first=W. |title=सापेक्षता के सिद्धांत|edition=First |year=1981 |publisher=Dover |location=New York |orig-year=1921 |isbn=978-0-486-64152-2 }} ''See section 23''</ref>- पेश किया जिसे उन्होंने 'स्थानीय भिन्नता' कहा <math>\delta^{\ast}A</math> एक ज्यामितीय वस्तु का <math>A\,</math> एक सदिश क्षेत्र द्वारा उत्पन्न निर्देशांकों के एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन से प्रेरित <math>X\,</math>. कोई आसानी से साबित कर सकता है कि उसका <math>\delta^{\ast}A</math> है <math> - \mathcal{L}_X(A)\,</math>.
+काफी लंबे समय से, गणितज्ञों के काम के संदर्भ के बिना, भौतिक विज्ञानी लाई व्युत्पन्न का उपयोग कर रहे थे। 1940 में, लियोन रोसेनफेल्ड<ref>{{cite journal |last=Rosenfeld |first=L. |year=1940 |title=Sur le tenseur d'impulsion-énergie |journal=Mémoires Acad. Roy. D. Belg. |volume=18 |issue=6 |pages=1–30 }}</ref>—और उससे पहले (1921 में<ref>Pauli's book on relativity.</ref>) [[वोल्फगैंग पाउली]]<ref>{{cite book |last=Pauli |first=W. |title=सापेक्षता के सिद्धांत|edition=First |year=1981 |publisher=Dover |location=New York |orig-year=1921 |isbn=978-0-486-64152-2 }} ''See section 23''</ref>- पेश किया जिसे उन्होंने 'स्थानीय भिन्नता' कहा <math>\delta^{\ast}A</math> एक ज्यामितीय वस्तु का <math>A\,</math> एक सदिश क्षेत्र द्वारा उत्पन्न समन्वयों के एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन से प्रेरित <math>X\,</math>. कोई आसानी से साबित कर सकता है कि उसका <math>\delta^{\ast}A</math> है <math> - \mathcal{L}_X(A)\,</math>.
 == यह भी देखें ==
 * सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
-* संयोजन (गणित)
+* संबंधन (गणित)
 * फ्रोलिचर-निजेनहुइस कोष्ठक
 * [[जियोडेसिक]]

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प्रेरणा

परिभाषा

(लाइ) किसी फलन का व्युत्पन्न

सदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

प्रदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

प्रवाह के संदर्भ में परिभाषा

बीजगणितीय परिभाषा

एक अवकल रूप का लाई व्युत्पन्न

समन्वय अभिव्यक्ति

उदाहरण

गुण

सामान्यीकरण

एक स्पिनर क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

सहपरिवर्ती लाइ व्युत्पन्न

निजेनहुइस-लाइ व्युत्पन्न

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लाई व्युत्पन्न: Difference between revisions

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परिभाषा

(लाइ) किसी फलन का व्युत्पन्न

सदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

प्रदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

प्रवाह के संदर्भ में परिभाषा

बीजगणितीय परिभाषा

एक अवकल रूप का लाई व्युत्पन्न

समन्वय अभिव्यक्ति

उदाहरण

गुण

सामान्यीकरण

एक स्पिनर क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

सहपरिवर्ती लाइ व्युत्पन्न

निजेनहुइस-लाइ व्युत्पन्न

इतिहास

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