एक मॉड्यूल का समर्थन

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक क्रमविनिमेय वलय A पर एक मॉड्यूल M का समर्थन, A के सभी अभाज्य आदर्शों ${\mathfrak {p}}$ का समुच्चय है, जैसे कि $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ (अर्थात्, $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ पर M का स्थानीयकरण ${\mathfrak {p}}$ शून्य के समान नहीं है)। इस प्रकार इसे $\operatorname {Supp} M$ से दर्शाया जाता है. परिभाषा के अनुसार समर्थन A के स्पेक्ट्रम का एक उपसमुच्चय है।

गुण

• $M=0$ यदि और केवल यदि इसका समर्थन रिक्त समुच्चय है।
• मान लीजिए $0\to M'\to M\to M''\to 0$ A-मॉड्यूल का संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम बनें। तब

  $\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.$

ध्यान दें कि यह फेडरेशन असंयुक्त फेडरेशन नहीं हो सकता है।

• यदि $M$ सबमॉड्यूल $M_{\lambda }$ का योग है , तब $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.$
• यदि $M$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है तो $\operatorname {Supp} M$ M के एनीहिलेटर वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी में विवृत है।
• यदि $M,N$ फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं

• $\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.$

• यदि $M$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न A-मॉड्यूल है और I, A का एक आदर्श (वलय सिद्धांत) है, तो $\operatorname {Supp} (M/IM)$ $I+\operatorname {Ann} M.$ वाले सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है, यह $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$ है

एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन

यदि f स्कीम (गणित) x पर अर्ध सुसंगत शीफ है, तो f का समर्थन x में सभी बिंदुओं x का समुच्चय है जैसे कि डंठल (शीफ) f_x शून्येतर है इस प्रकार यह परिभाषा स्पेस x पर समर्थन (गणित) की परिभाषा के समान है, और यह समर्थन शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। समर्थन के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, संबंधित शीफ (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रकार का शीफ) का समर्थन x का विवृत उपस्थान है।

यदि M वलय A के ऊपर मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में M का समर्थन मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ ${\tilde {M}}$ एफ़िन स्कीम Spec A पर से जुड़े शीफ के समर्थन से मेल खाता है । इसके अतिरिक्त, यदि $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ एक स्कीम x का एक एफ़िन आवरण है, तो एक क्वासिकोहेरेंट शीफ़ f का समर्थन प्रत्येक A_α पर संबंधित मॉड्यूल m_α के समर्थन के फेडरेशन के समान है।.

उदाहरण

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ तभी समर्थन में है जब इसमें $M$ का एन्निहिलेटर सम्मिलित होता है। उदाहरण के लिए $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ से अधिक, मॉड्यूल का एन्निहिलेटर है

$M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}$

आदर्श $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$ है. इसका तात्पर्य यह है कि $\operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)$, बहुपद f का लुप्त बिंदु है। संक्षिप्त स्पष्ट अनुक्रम को देखते हुए

$0\to I\to R\to R/I\to 0$

हम गलती से अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का समर्थन Spec(R_(f)) है, जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R एक अभिन्न डोमेन है, आदर्श I = (f) = Rf एक मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका समर्थन संपूर्ण स्थान Supp(I) = Spec(R) है।

नोथेरियन वलय पर परिमित मॉड्यूल का समर्थन सदैव विशेषज्ञता के अनुसार विवृत रहता है।

अब, यदि हम एक अभिन्न डोमेन में दो बहुपद $f_{1},f_{2}\in R$ लेते हैं जो एक पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श $(f_{1},f_{2})$ बनाते हैं तो टेंसर गुण हमें दिखाता है

$\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).$

यह भी देखें

• एन्निहिलेटर (वलय सिद्धांत)
• एसोसिएटेड प्राइम
• समर्थन (गणित)

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Atiyah, M. F., and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR242802