समरूपता (भौतिकी)

For other uses, see Symmetry (disambiguation).

एफसीसी जालक का पहला ब्रिलौइन क्षेत्र समरूपता लेबल दिखाते हुए

भौतिकी में, एक भौतिक निकाय की समरूपता, उस निकाय (प्रेक्षित या आंतरिक) की एक ऐसी भौतिक या गणितीय विशेषता है, जो कुछ रूपान्तरणों के तहत संरक्षित या अपरिवर्तित रहती है।

विशेष रूपान्तरणों का एक परिवार सतत (जैसे कि एक वृत्त का घूर्णन) या असतत (जैसे, द्विपक्षीय रूप से सममित आकृति का प्रतिबिंब (भौतिकी), या एक समबहुभुज का घूर्णन) हो सकता है। सतत और असतत परिवर्तन इसी प्रकार की समरूपता को जन्म देते हैं। सतत समरूपता को लाई समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जबकि असतत समरूपता को परिमित समूहों द्वारा वर्णित किया जाता है (समरूपता समूह देखें)।

दो अवधारणाएँ, लाई और परिमित समूह, आधुनिक भौतिकी के मूलभूत सिद्धांतों की नींव हैं। समरूपता प्रायः गणितीय संरूपण जैसे समूह निरूपण के लिए उत्तरदायी होती है और इसके अतिरिक्त, कई समस्याओं को सरल बनाने के लिए इसका लाभ लिया जा सकता है।

तर्कसंगत रूप से भौतिकी में समरूपता का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण यह है कि सभी निर्देश तंत्रों में प्रकाश की गति का मान समान होता है, जिसे विशेष सापेक्षता में पोइन्केरे समूह के रूप में ज्ञात दिक्काल के परिवर्तनों के एक समूह द्वारा वर्णित किया गया है। इसका एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण स्वेच्छ अवकलनीय निर्देशांक परिवर्तनों के तहत भौतिक नियमों के रूपों की निश्चरता है, जो सामान्य सापेक्षता में एक महत्वपूर्ण विचार है।

एक प्रकार की निश्चरता के रूप में

निश्चरता को गणितीय रूप से ऐसे रूपांतरणों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो कुछ गुणों (जैसे मात्रा) को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। यह विचार आधारभूत वास्तविक संसार के अवलोकनों पर लागू हो सकता है। उदाहरण के लिए, पूरे कक्ष में तापमान समान हो सकता है। चूँकि तापमान कक्ष के भीतर एक पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, हम कहते हैं कि कक्ष के भीतर एक पर्यवेक्षक की स्थिति में बदलाव के तहत तापमान निश्चर है।

इसी प्रकार, एक समान गोला अपने केंद्र के चारों ओर घूमता हुआ ठीक वैसा ही दिखाई देता है, जैसा वह घूमने से पहले दिखाई देता है। गोले को गोलाकार समरूपता प्रदर्शित करने वाला कहा जाता है। गोले के किसी भी अक्ष के बारे में एक घूर्णन यह संरक्षित करता है, कि गोला "कैसा दिखाई देता है"।

बल में निश्चरता

उपरोक्त विचार भौतिक समरूपता पर चर्चा करते समय निश्चरता के उपयोगी विचार की ओर अग्रसर होते हैं; इसे बलों में समरूपता पर भी लागू किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, एक अनंत लंबाई के विद्युत आवेशित तार के कारण एक विद्युत क्षेत्र को बेलनाकार समरूपता प्रदर्शित करने वाला कहा जाता है, क्योंकि तार से दी गई दूरी r पर विद्युत क्षेत्र की शक्ति का त्रिज्या r वाले एक बेलन (जिसकी अक्ष तार है) की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर समान परिमाण होता है। तार को अपने अक्ष पर घुमाने से इसकी स्थिति या आवेश घनत्व में कोई परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए यह क्षेत्र को संरक्षित रखता है। घूर्णित स्थिति में क्षेत्र की शक्ति समान होती है। यह आवेशों की स्वेच्छ प्रणाली के लिए सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

न्यूटन के यांत्रिकी के सिद्धांत में, द्रव्यमान m वाले दिए गए दो पिंड मूल बिंदु से प्रारंभ होकर x-अक्ष के अनुदिश क्रमशः v₁ और v₂ गतियों से विपरीत दिशाओं में चलते है, निकाय की कुल गतिज ऊर्जा (मूलबिंदु पर एक प्रेक्षक की गणना के अनुसार) 1/2m(v₁² + v₂²) है और यदि वेग परस्पर परिवर्तित कर दिए जाते हैं तो गतिज ऊर्जा समान रहती है। कुल गतिज ऊर्जा y-अक्ष में एक प्रतिबिंब के तहत संरक्षित रहती है।

उपरोक्त अंतिम उदाहरण समरूपताओं को व्यक्त करने की एक और विधि प्रदर्शित करता है, अर्थात् इसमें समरूपता कोऐसे समीकरणों के माध्यम से प्रदर्शित किया जाता है जो भौतिक प्रणाली के कुछ दृष्टिकोणों का वर्णन करती हैं। उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि यदि v₁ और v₂ को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो कुल गतिज ऊर्जा समान रहती है।

स्थानीय और वैश्विक

समरूपता को साधारण रूप से वैश्विक या स्थानीय के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। वैश्विक समरूपता वह समरूपता है जो ऐसे रूपान्तरण के लिए एक गुण को निश्चर रखती है जो दिक्काल के सभी बिंदुओं पर एक साथ लागू किया जाता है, जबकि स्थानीय समरूपता वह समरूपता होती है जो दिक्काल के प्रत्येक बिंदु पर संभवतः भिन्न समरूपता रूपान्तरण लागू होने पर एक गुण को निश्चर रखती है; विशेष रूप से एक स्थानीय समरूपता रूपान्तरण को दिक्काल निर्देशांकों द्वारा पैमानीकृत किया जाता है, जबकि वैश्विक समरूपता के साथ ऐसा नहीं है। इसका तात्पर्य है कि एक वैश्विक समरूपता भी एक स्थानीय समरूपता है। स्थानीय समरूपता गेज सिद्धांतों का आधार बनाने के कारण भौतिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

सतत

ऊपर वर्णित घूर्णी समरूपता के दो उदाहरण, गोलाकार और बेलनाकार समरूपता, प्रत्येक सतत समरूपता के उदाहरण हैं। इन्हें निकाय की ज्यामिति में सतत रूपान्तरण के बाद निश्चरता द्वारा विशेषीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, तार को अपने अक्ष के परितः किसी भी कोण से घुमाया जा सकता है और दिए गए बेलन पर क्षेत्र की शक्ति समान होती है। गणितीय रूप से, सतत समरूपता को उन रूपान्तरणों द्वारा वर्णित किया जाता है जो उनके पैमानीकरण के फलन के रूप में लगातार परिवर्तित होते रहते हैं। भौतिकी में सतत समरूपता का एक महत्वपूर्ण उपवर्ग दिक्काल समरूपता है।

दिक्काल

Main article: Spacetime symmetries

सतत दिक्काल समरूपताएँ अंतरिक्ष और समय के रूपान्तरणों से संबंधित समरूपताएँ हैं। इन्हें आगे स्थानिक समरूपता, लौकिक समरूपता या स्थान-लौकिक समरूपता के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। जिसमें स्थानिक समरूपता, केवल भौतिक निकाय से जुड़ी स्थानिक ज्यामिति को; लौकिक समरूपता, केवल समय में रूपान्तरणों को; और स्थान-लौकिक समरूपता, स्थान और समय दोनों में रूपान्तरणों को सम्मिलित करती है।

• समय रूपान्तरण: एक भौतिक निकाय में एक निश्चित समय अंतराल Δt पर समान विशेषताएँ हो सकती हैं; इसे गणितीय रूप से अंतराल में किसी भी वास्तविक पैमाने t और t + a के रूपान्तरण t → t + a के तहत निश्चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, चिरसम्मत यांत्रिकी में, पृथ्वी की सतह से h ऊँचाई से निलंबित होने पर केवल गुरुत्वाकर्षण द्वारा कार्य करने वाले कण में गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा mgh होती है। यह मानते हुए कि कण की ऊंचाई में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तब यह प्रत्येक समय कण की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होती है। दूसरे शब्दों में, किसी समय t₀ और t₀ + a पर भी कण की स्थिति पर विचार करने पर कण की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।
• स्थानिक रूपान्तरण: इन स्थानिक समरूपताओं को r→ → r→ + a→ के रूपांतरणों द्वारा दर्शाया जाता है और यह उन स्थितियों का वर्णन करता है जहाँ निकाय का गुण स्थान में सतत रूपान्तरण के साथ नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, एक कक्ष का तापमान कक्ष में तापमापी की स्थिति से स्वतंत्र हो सकता है।
• स्थानिक घूर्णन: इन स्थानिक समरूपताओं को उचित घूर्णन और अनुचित घूर्णन के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। पूर्व समरूपताएँ केवल 'साधारण' घूर्णन हैं; गणितीय रूप से, ये इकाई सारणिक वाले वर्ग आव्यूहों द्वारा दर्शाए जाते हैं। बाद वाली समरूपताओं को -1 सारणिक वाले वर्ग आव्यूहों द्वारा दर्शाया जाता है और इनमें एक उचित घूर्णन एक स्थानिक प्रतिबिंब (व्युत्क्रम) के साथ संयुक्त होता है। उदाहरण के लिए, एक गोले में उचित घूर्णी समरूपता होती है। अन्य प्रकार के स्थानिक घूर्णनों का वर्णन घूर्णी समरूपता लेख में किया गया है।
• पोइंकेरे रूपान्तरण: ये स्थान-लौकिक समरूपताएँ हैं जो मिन्कोव्स्की दिक्काल में दूरियों को संरक्षित करती हैं, अर्थात् ये मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की सममितियाँ हैं। इनका अध्ययन मुख्य रूप से विशेष सापेक्षता में किया जाता है। वे सममितियाँ जो मूलबिंदु को स्थिर छोड़ देती हैं, लोरेंत्ज़ रूपान्तरण कहलाती हैं और इस समरूपता को लोरेंत्ज़ सहचर के रूप में जाना जाता है।
• प्रक्षेपी सममितियाँ: ये स्थान-लौकिक समरूपताएँ हैं जो दिक्काल की भूगणितीय संरचना को संरक्षित करती हैं। इन्हें किसी भी समतल मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सामान्य सापेक्षता में यथार्थ समाधानों के अध्ययन में इसके कई अनुप्रयोग मिलते हैं।
• व्युत्क्रम रूपान्तरण: ये स्थान-लौकिक समरूपताएँ हैं जो दिक्काल निर्देशांकों पर अन्य अनुकोण एकैकी परिवर्तनों को सम्मिलित करने के लिए पोइंकेरे रूपान्तरणों को सामान्यीकृत करती हैं। व्युत्क्रम रूपान्तरणों के तहत लम्बाई निश्चर नहीं है लेकिन चार निश्चर बिंदुओं पर एक तिर्यक-अनुपात है।

गणितीय रूप से, दिक्काल समरूपताएँ सामान्यतः समतल सदिश क्षेत्र द्वारा समतल मैनिफोल्ड पर वर्णित होती है। सदिश क्षेत्रों से जुड़े अंतर्निहित स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म, भौतिक समरूपता के अधिक प्रत्यक्ष रूप से संगत हैं, लेकिन भौतिक निकाय की समरूपता को वर्गीकृत करते समय सदिश क्षेत्र स्वयं अधिक प्रायः उपयोग किए जाते हैं।

किलिंग सदिश क्षेत्र अतिमहत्वपूर्ण सदिश क्षेत्रों में से एक हैं जो ऐसी दिक्काल समरूपताएँ हैं जो मैनिफोल्ड की अंतर्निहित मीट्रिक संरचना को संरक्षित करती हैं। साधारणतया, किलिंग वेक्टर क्षेत्र मैनिफोल्ड के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित रखते हैं और प्रायः सममितियों के नाम से जाने जाते हैं।

असतत

Main article: Discrete symmetry

असतत समरूपता एक समरूपता है जो एक प्रणाली में सतत परिवर्तन का वर्णन करती है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग में असतत घूर्णी समरूपता होती है, क्योंकि समकोण के गुणकों द्वारा केवल घुमाव ही वर्ग के मूल स्वरूप को संरक्षित करेगा। असतत समरूपता में कभी-कभी कुछ प्रकार की 'अदला-बदली' शामिल होती है, इन स्वैपों को आमतौर पर प्रतिबिंब या इंटरचेंज कहा जाता है।

• टाइम रिवर्सल: भौतिकी के कई नियम वास्तविक घटना का वर्णन करते हैं जब समय की दिशा उलट जाती है। गणितीय रूप से, यह रूपांतरण द्वारा दर्शाया जाता है, $t\,\rightarrow -t$ । उदाहरण के लिए, न्यूटन का गति का दूसरा नियम अभी भी लागू होता है, यदि समीकरण में $F\,=m{\ddot {r}}$ , $t$ को बदल दिया जाए $-t$ द्वारा। इसे लंबवत रूप से ऊपर फेंकी गई वस्तु की गति को रिकॉर्ड करके (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए) और फिर इसे वापस चलाकर चित्रित किया जा सकता है। वस्तु हवा के माध्यम से समान परवलयिक प्रक्षेपवक्र का पालन करेगी, चाहे रिकॉर्डिंग सामान्य रूप से या रिवर्स में खेली जाए। इस प्रकार, स्थिति उस क्षण के संबंध में सममित होती है जब वस्तु अपनी अधिकतम ऊंचाई पर होती है।
• स्थानिक उलटा: इन्हें ${\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}$ और निर्देशांक 'उल्टे' होने पर सिस्टम की एक अपरिवर्तनीय संपत्ति इंगित करें। दूसरे तरीके से कहा गया है, ये एक निश्चित वस्तु और उसकी दर्पण छवि के बीच समरूपता हैं।
• सरकना प्रतिबिंब: ये एक रूपान्तरण और एक प्रतिबिंब की रचना द्वारा दर्शाए जाते हैं। ये समरूपता कुछ क्रिस्टल में और कुछ प्लानर समरूपता में होती है, जिन्हें वॉलपेपर समरूपता के रूप में जाना जाता है।

सी, पी, और टी

Main article: Wu experiment

कण भौतिकी के मानक मॉडल में तीन संबंधित प्राकृतिक निकट-समरूपताएँ हैं। ये कहते हैं कि जिस ब्रह्मांड में हम रहते हैं, वह उस ब्रह्मांड से अप्रभेद्य होना चाहिए जहां एक निश्चित प्रकार का परिवर्तन पेश किया जाता है।

• सी-समरूपता (आवेश समरूपता), एक ब्रह्मांड जहां हर कण को ​​​​उसके एंटीपार्टिकल से बदल दिया जाता है
• पी-समरूपता (समता समरूपता), एक ब्रह्मांड जहां सब कुछ तीन भौतिक अक्षों के साथ प्रतिबिम्बित होता है। यह चिएन-शिउंग वू द्वारा प्रदर्शित कमजोर अंतःक्रियाओं को शामिल नहीं करता है।
• टी-समरूपता (समय उत्क्रमण समरूपता), एक ब्रह्मांड जहां समय की दिशा उलट जाती है। टी-समरूपता प्रतिकूल है (भविष्य और अतीत सममित नहीं हैं) लेकिन इस तथ्य से समझाया गया है कि मानक मॉडल स्थानीय गुणों का वर्णन करता है, न कि एन्ट्रापी जैसे वैश्विक गुणों का। समय की दिशा को ठीक से उलटने के लिए, किसी को बिग बैंग और परिणामी कम-एन्ट्रॉपी स्थिति को "भविष्य" में रखना होगा। चूँकि हम "अतीत" ("भविष्य") को वर्तमान की तुलना में कम (उच्च) एन्ट्रापी के रूप में देखते हैं, इस काल्पनिक समय-उलट ब्रह्मांड के निवासी भविष्य को उसी तरह से देखेंगे जैसे हम अतीत को देखते हैं, और इसके विपरीत।

ये समरूपता निकट-समरूपता हैं क्योंकि प्रत्येक वर्तमान ब्रह्मांड में टूटा हुआ है। हालाँकि, मानक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि तीनों का संयोजन (अर्थात, तीनों परिवर्तनों का एक साथ अनुप्रयोग) एक समरूपता होनी चाहिए, जिसे CPT समरूपता कहा जाता है। सीपी उल्लंघन, सी- और पी-समरूपता के संयोजन का उल्लंघन, ब्रह्मांड में महत्वपूर्ण मात्रा में बैरोनिक पदार्थ की उपस्थिति के लिए आवश्यक है। सीपी उल्लंघन कण भौतिकी में वर्तमान शोध का एक उपयोगी क्षेत्र है।

सुपरसिमेट्री

Main article: Supersymmetry

मानक मॉडल में सैद्धांतिक प्रगति करने की कोशिश करने के लिए सुपरसिमेट्री के रूप में जाना जाने वाला समरूपता का उपयोग किया गया है। सुपरसममिति इस विचार पर आधारित है कि मानक मॉडल में पहले से ही विकसित समरूपता से परे एक और भौतिक समरूपता है, विशेष रूप से बोसॉन और फर्मियन के बीच एक समरूपता। सुपरसिममेट्री का दावा है कि प्रत्येक प्रकार के बोसोन में एक सुपरसिमेट्रिक पार्टनर के रूप में, एक फ़र्मियन, जिसे सुपरपार्टनर कहा जाता है, और इसके विपरीत। सुपरसममिति अभी तक प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं हुई है: किसी भी ज्ञात कण में किसी अन्य ज्ञात कण का सुपरपार्टनर होने के लिए सही गुण नहीं हैं। वर्तमान में LHC एक ऐसे रन की तैयारी कर रहा है जो सुपरसिमेट्री का परीक्षण करता है।

भौतिक समरूपता का गणित

Main article: Symmetry group

See also: Symmetry in quantum mechanics and Symmetries in general relativity

भौतिक समरूपता का वर्णन करने वाले रूपांतरण आमतौर पर एक गणितीय समूह (गणित) बनाते हैं। भौतिकविदों के लिए समूह सिद्धांत गणित का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है।

सतत समरूपता गणितीय रूप से सतत समूहों (जिन्हें लाई समूह कहा जाता है) द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। कई भौतिक समरूपताएं आइसोमेट्री हैं और समरूपता समूहों द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं। कभी-कभी इस शब्द का प्रयोग अधिक सामान्य प्रकार की सममितियों के लिए किया जाता है। एक गोले के किसी भी अक्ष के माध्यम से सभी उचित घुमावों (किसी भी कोण के बारे में) का सेट एक लाइ समूह बनाता है जिसे विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3) कहा जाता है। ('3' एक साधारण गोले के त्रि-आयामी स्थान को संदर्भित करता है।) इस प्रकार, उचित घुमाव वाले गोले का समरूपता समूह SO(3) है। कोई भी घुमाव गेंद की सतह पर दूरियों को बनाए रखता है। सभी लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का सेट एक समूह बनाता है जिसे लोरेंत्ज़ समूह कहा जाता है (इसे पोइंकेरे समूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है)।

असतत समूह असतत समरूपता का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज की सममितियों की विशेषता सममित समूह S₃ है।

स्थानीय समरूपता पर आधारित एक प्रकार के भौतिक सिद्धांत को गेज सिद्धांत कहा जाता है और ऐसे सिद्धांत के लिए प्राकृतिक समरूपता को गेज समरूपता कहा जाता है। मानक मॉडल में गेज समरूपता, तीन मूलभूत अंतःक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाती है, जो SU(3) × SU(2) × U(1) समूह पर आधारित हैं। (मोटे तौर पर, एसयू (3) समूह की समरूपता मजबूत बल का वर्णन करती है, एसयू (2) समूह कमजोर बातचीत का वर्णन करता है और यू (1) समूह विद्युत चुम्बकीय बल का वर्णन करता है।)

इसके अतिरिक्त, एक समूह द्वारा कार्रवाई के तहत कार्यात्मक ऊर्जा की समरूपता में कमी और सममित समूहों के परिवर्तनों के सहज समरूपता को तोड़ना कण भौतिकी में विषयों को स्पष्ट करने के लिए प्रकट होता है (उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व का एकीकरण और भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में कमजोर बल)।

संरक्षण कानून और समरूपता

Main article: Noether's theorem

एक भौतिक प्रणाली के समरूपता गुण उस प्रणाली की विशेषता वाले संरक्षण कानूनों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। नोएदर का प्रमेय इस संबंध का सटीक विवरण देता है। प्रमेय कहता है कि भौतिक प्रणाली की प्रत्येक सतत समरूपता का तात्पर्य है कि उस प्रणाली की कुछ भौतिक संपत्ति संरक्षित है। इसके विपरीत, प्रत्येक संरक्षित मात्रा में एक समान समरूपता होती है। उदाहरण के लिए, स्थानिक रूपान्तरण समरूपता (यानी अंतरिक्ष की एकरूपता) (रैखिक) संवेग के संरक्षण को जन्म देती है, और लौकिक रूपान्तरण समरूपता (यानी समय की एकरूपता) ऊर्जा के संरक्षण को जन्म देती है।

निम्न तालिका कुछ मौलिक समरूपता और संबंधित संरक्षित मात्रा का सारांश देती है।

Class	Invariance	Conserved quantity
Proper orthochronous Lorentz symmetry	translation in time (homogeneity)	energy E
	translation in space (homogeneity)	linear momentum p
	rotation in space (isotropy)	angular momentum L = r × p
	Lorentz-boost (isotropy)	boost 3-vector N = tp − Er
Discrete symmetry	P, coordinate inversion	spatial parity
	C, charge conjugation	charge parity
	T, time reversal	time parity
	CPT	product of parities
Internal symmetry (independent of spacetime coordinates)	U(1) gauge transformation	electric charge
	U(1) gauge transformation	lepton generation number
	U(1) gauge transformation	hypercharge
	U(1)Y gauge transformation	weak hypercharge
	U(2) [ U(1) × SU(2) ]	electroweak force
	SU(2) gauge transformation	isospin
	SU(2)L gauge transformation	weak isospin
	P × SU(2)	G-parity
	SU(3) "winding number"	baryon number
	SU(3) gauge transformation	quark color
	SU(3) (approximate)	quark flavor
	S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ]	Standard Model

गणित

भौतिकी में सतत समरूपता परिवर्तनों को संरक्षित करती है। एक बहुत छोटा परिवर्तन विभिन्न कण क्षेत्रों (भौतिकी) को कैसे प्रभावित करता है, यह दिखा कर एक समरूपता निर्दिष्ट कर सकता है। इन अपरिमेय परिवर्तनों में से दो का कम्यूटेटर एक ही प्रकार के तीसरे अतिसूक्ष्म परिवर्तन के बराबर है इसलिए वे एक लाई बीजगणित बनाते हैं।

सामान्य क्षेत्र $h(x)$ (जिसे डिफियोमोर्फिज्म भी कहा जाता है) के रूप में वर्णित एक सामान्य समन्वय परिवर्तन का अदिश $\phi (x)$ पर अतिसूक्ष्म प्रभाव होता है। स्पिनर $\psi (x)$ या वेक्टर क्षेत्र $A(x)$ जिसे व्यक्त किया जा सकता है (आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग करके):

$\delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)$

$\delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)$

$\delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)$

गुरुत्वाकर्षण के बिना केवल पोंकारे समरूपता संरक्षित रहती है जो $h(x)$ को इस रूप में प्रतिबंधित करती है:

$h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }$

जहाँ M एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स है (लोरेंत्ज़ और घूर्णी समरूपता दे रहा है) और P एक सामान्य वेक्टर है (ट्रांसलेशनल समरूपता दे रहा है)। अन्य समरूपताएँ एक साथ कई क्षेत्रों को प्रभावित करती हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय गेज परिवर्तन वेक्टर और स्पिनर फ़ील्ड दोनों पर लागू होते हैं:

$\delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)$

$\delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),$

जहां $\tau$ एक विशेष लाई समूह के जनक हैं। अब तक दाईं ओर के रूपांतरणों में केवल उसी प्रकार के फ़ील्ड शामिल किए गए हैं। सुपरसिमेट्री को विभिन्न प्रकार के मिश्रण क्षेत्रों के अनुसार परिभाषित किया गया है।

एक अन्य समरूपता जो भौतिकी के कुछ सिद्धांतों का हिस्सा है और अन्य में नहीं है, स्केल इनवेरियन है जिसमें निम्न प्रकार के वेइल परिवर्तन शामिल हैं:

$\delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)$

यदि खेतों में यह समरूपता है तो यह दिखाया जा सकता है कि क्षेत्र सिद्धांत लगभग निश्चित रूप से अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय भी है। इसका मतलब यह है कि गुरुत्वाकर्षण के अभाव में h(x) फॉर्म तक ही सीमित रहेगा:

$h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },$

D जनरेटिंग स्केल ट्रांसफ़ॉर्मेशन और K जनरेटिंग स्पेशल कन्फ़र्मल ट्रांसफ़ॉर्मेशन के साथ। उदाहरण के लिए, एन = 4 सुपर-यांग-मिल्स सिद्धांत में यह समरूपता है, जबकि सामान्य सापेक्षता में नहीं है, हालांकि गुरुत्वाकर्षण के अन्य सिद्धांत जैसे अनुरूप गुरुत्व करते हैं। क्षेत्र सिद्धांत की 'कार्रवाई' सिद्धांत की सभी समरूपताओं के तहत एक अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है। अधिकांश आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी ब्रह्मांड में मौजूद विभिन्न समरूपताओं पर अनुमान लगाने और मॉडल के रूप में क्षेत्र सिद्धांतों का निर्माण करने के लिए आक्रमणकारियों को खोजने के लिए है।

स्ट्रिंग सिद्धांतों में, चूँकि एक स्ट्रिंग को अनंत संख्या में कण क्षेत्रों में विघटित किया जा सकता है, स्ट्रिंग वर्ल्ड शीट पर समरूपता विशेष परिवर्तनों के बराबर होती है जो अनंत संख्या में फ़ील्ड को मिलाते हैं।

यह भी देखें

• संरक्षित करंट और चार्ज (भौतिकी)
• समन्वय मुक्त
• सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
• बनावटी बल
• गैलिलियन आक्रमण
• सहप्रसरण का सिद्धांत
• सामान्य सहप्रसरण
• हार्मोनिक समन्वय स्थिति
• संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम
• सापेक्षता में गणितीय विषयों की सूची
• मानक मॉडल (गणितीय सूत्रीकरण)
• व्हीलर-फेनमैन अवशोषक सिद्धांत

संदर्भ

सामान्य पाठक

• Lederman, L.; Hill, C.T. (2011) [2005]. Symmetry and the Beautiful Universe. Prometheus Books. ISBN 9781615920419.
• Schumm, B. (2004). Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics. Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-7971-5.
• Stenger, V.J. (2000). Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. ISBN 9781573928595. Chapter 12 is a gentle introduction to symmetry, invariance, and conservation laws.
• Zee, A. (2007). Fearful Symmetry: The search for beauty in modern physics (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00946-9.

तकनीकी पाठक

• Brading, K.; Castellani, E. (2003). भौतिकी में समरूपता: दार्शनिक प्रतिबिंब. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-44202-2.
• Brading, K.; Castellani, E. (2007). "Symmetries and Invariances in Classical Physics". In Butterfield, J.; Earman, J. (eds.). फिजिक्स पार्ट बी फिलॉसफी. North Holland. pp. 1331–68. ISBN 978-0-08-046665-1.
• Debs, T.; Redhead, M. (2007). ऑब्जेक्टिविटी, इनवेरिएंस एंड कन्वेंशन: फिजिकल साइंस में सिमिट्री. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03413-6.
• Earman, J. (2002), Laws, Symmetry, and Symmetry Breaking: Invariance, Conservations Principles, and Objectivity. (PDF) विज्ञान संघ के दर्शनशास्त्र की 2002 की बैठक में संबोधन।
• Mainzer, K. (1996). प्रकृति की समरूपता: प्रकृति और विज्ञान के दर्शनशास्त्र के लिए एक पुस्तिका. de Gruyter. ISBN 978-3-11-088693-1.
• Mouchet, A. (2013). "समरूपता के चार पहलुओं पर प्रतिबिंब: कैसे भौतिकी तर्कसंगत सोच का उदाहरण देती है". European Physical Journal H. 38 (5): 661–702. arXiv:1111.0658. Bibcode:2013EPJH...38..661M. CiteSeerX 10.1.1.400.2867. doi:10.1140/epjh/e2013-40018-4. S2CID 14475702.
• Thompson, William J. (1994). एंगुलर मोमेंटम: एन इलस्ट्रेटेड गाइड टू रोटेशनल सिमिट्रीज़ फॉर फिजिकल सिस्टम्स. Wiley. ISBN 0-471-55264-X.
• Van Fraassen, B. (1989). कानून और समरूपता. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-151999-4.
• Wigner, E. (1970) [1967]. समरूपता और प्रतिबिंब. M.I.T. Press. ISBN 978-0-262-73021-1.

बाहरी कड़ियाँ

• The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 52: Symmetry in Physical Laws
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Symmetry"—by K. Brading and E. Castellani.
• Pedagogic Aids to Quantum Field Theory Click on link to Chapter 6: Symmetry, Invariance, and Conservation for a simplified, step-by-step introduction to symmetry in physics.