संदर्भ विन्यास: Difference between revisions

Revision as of 18:10, 20 February 2023

भौतिकी और खगोल विज्ञान में, संदर्भ का एक वृत्ति (या संदर्भ वृत्ति) एक सार समन्वय प्रणाली है जिसका मूल (गणित), अभिविन्यास (ज्यामिति), और मापक्रम (ज्यामिति) संदर्भ बिंदुओं के एक समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है - बिंदु (ज्यामिति) जिसका स्थान (ज्यामिति) को गणितीय रूप से (संख्यात्मक निर्देशांक मानों के साथ) और भौतिक रूप से (पारंपरिक मार्करों द्वारा संकेतित) दोनों के रूप में पहचाना जाता है।^[1]

एन आयामों के लिए, n + 1 संदर्भ बिंदु पूरी तरह से संदर्भ फ्रेम को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं। कार्तीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए, एक संदर्भ फ्रेम को मूल पर एक संदर्भ बिंदु के साथ परिभाषित किया जा सकता है और प्रत्येक एन समन्वय अक्ष (गणित) के साथ एक इकाई दूरी पर एक संदर्भ बिंदु।^{[citation needed]} सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ फ्रेम का उपयोग एक गतिमान पर्यवेक्षक (विशेष सापेक्षता) और अवलोकन के तहत घटना के बीच संबंध को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, शब्द अक्सर अवलोकन संबंधी संदर्भ (या अवलोकन संबंधी संदर्भ फ्रेम) बन जाता है, जिसका अर्थ है कि पर्यवेक्षक फ्रेम में आराम कर रहा है, हालांकि जरूरी नहीं कि वह इसके मूल (गणित) में स्थित हो। एक सापेक्षतावादी संदर्भ फ्रेम में समन्वय समय शामिल (या तात्पर्य) होता है, जो विभिन्न संदर्भ फ्रेमों में एक दूसरे के सापेक्ष गति के बराबर नहीं होता है। इस प्रकार स्थिति गैलीलियन आक्रमण से भिन्न होती है, जिसमें सभी संभव समन्वय समय अनिवार्य रूप से समतुल्य होते हैं।^{[citation needed]}

परिभाषा

संदर्भ के फ्रेम के विभिन्न अर्थों के बीच अंतर करने की आवश्यकता ने कई तरह के शब्दों को जन्म दिया है। उदाहरण के लिए, कभी-कभी समन्वय प्रणाली का प्रकार संशोधक के रूप में जुड़ा होता है, जैसा कि कार्टेशियन फ्रेम ऑफ रेफरेंस में होता है। कभी-कभी गति की स्थिति पर बल दिया जाता है, जैसा कि घूर्णन संदर्भ फ्रेम में होता है। कभी-कभी जिस तरह से यह संबंधित माने जाने वाले फ्रेम में बदल जाता है, उस पर संदर्भ के गैलिलियन फ्रेम के रूप में जोर दिया जाता है। कभी-कभी फ्रेम को उनके अवलोकन के पैमाने से अलग किया जाता है, जैसे संदर्भ के मैक्रोस्कोपिक और सूक्ष्म फ्रेम में।^[2]

इस लेख में, संदर्भ के अवलोकन संबंधी वृत्ति शब्द का उपयोग तब किया जाता है जब बल गति की स्थिति पर होता है न कि समन्वय विकल्प या टिप्पणियों या अवलोकन तंत्र के चरित्र पर। इस अर्थ में, संदर्भ का एक अवलोकन संबंधी ढांचा समन्वय प्रणालियों के पूरे परिवार पर गति के प्रभाव का अध्ययन करने की अनुमति देता है जो इस वृत्ति से जुड़ा हो सकता है। दूसरी ओर, एक समन्वय प्रणाली को कई उद्देश्यों के लिए नियोजित किया जा सकता है जहां गति की स्थिति प्राथमिक चिंता का विषय नहीं है। उदाहरण के लिए, एक प्रणाली की समरूपता का लाभ उठाने के लिए एक समन्वय प्रणाली को अधिगृहीत किया जा सकता है। अभी भी व्यापक परिप्रेक्ष्य में, भौतिकी में कई समस्याओं का सूत्रीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक, सामान्य प्रणाली या ईजेनवेक्टरों को नियोजित करता है, जो केवल अप्रत्यक्ष रूप से स्थान और समय से संबंधित हैं। नीचे दी गई चर्चा के लिए संदर्भ वृत्ति के विभिन्न पहलुओं को पृथक करना उपयोगी लगता है। इसलिए हम संदर्भ के प्रेक्षणात्मक ढाँचे लेते हैं, समन्वय प्रणाली, और प्रेक्षण उपकरण को स्वतंत्र अवधारणाओं के रूप में लेते हैं, जिन्हें नीचे के रूप में अलग किया गया है:

एक अवलोकन वृत्ति (जैसे एक जड़त्वीय वृत्ति या संदर्भ के गैर-जड़त्वीय वृत्ति) गति की स्थिति से संबंधित एक भौतिक अवधारणा है।
एक समन्वय प्रणाली एक गणितीय अवधारणा है, जो अवलोकनों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा की पसंद के बराबर होती है।^[3] नतीजतन, संदर्भ के एक अवलोकन संबंधी वृत्ति में एक पर्यवेक्षक संदर्भ के उस वृत्ति से बने अवलोकनों का वर्णन करने के लिए किसी भी समन्वय प्रणाली (कार्टेसियन, ध्रुवीय, घुमावदार, सामान्यीकृत, ...) को नियोजित करना चुन सकता है। इस समन्वय प्रणाली की पसंद में बदलाव से पर्यवेक्षक की गति की स्थिति में बदलाव नहीं होता है, और इसलिए पर्यवेक्षक के अवलोकन के संदर्भ में बदलाव की आवश्यकता नहीं होती है। यह दृष्टिकोण अन्यत्र भी पाया जा सकता है।^[4] जो विवादित नहीं है कि कुछ समन्वय प्रणालियां कुछ अवलोकनों के लिए दूसरों की तुलना में बेहतर विकल्प हो सकती हैं।

क्या मापना है और किस अवलोकन तंत्र के साथ चयन करना पर्यवेक्षक की गति की स्थिति और समन्वय प्रणाली की पसंद से अलग स्तिथि है।

^{[lower-alpha 1]}

समन्वय प्रणाली

एक पर्यवेक्षक ओ, निर्देशांक के एक स्थानीय समुच्चय के मूल में स्थित है - संदर्भ एफ का एक वृत्ति। इस वृत्ति में पर्यवेक्षक एक स्पेसटाइम घटना का वर्णन करने के लिए निर्देशांक (x, y, z, t) का उपयोग करता है, जैसा दिखाया गया है एक सितारा।

यद्यपि शब्द समन्वय प्रणाली का उपयोग प्रायः (विशेष रूप से भौतिकविदों द्वारा) एक गैर-तकनीकी अर्थ में किया जाता है, शब्द समन्वय प्रणाली का गणित में यथार्थ अर्थ होता है, और कभी-कभी भौतिक विज्ञानी का भी यही अर्थ होता है।

गणित में समन्वय प्रणाली ज्यामिति या बीजगणित का एक पहलू है,^[9]^[10] विशेष रूप से, बहुआयामी की विशेषता (उदाहरण के लिए, भौतिकी में, विन्यास समष्टि (भौतिकी) या प्रावस्था समष्टि)।^[11]^[12] एक 'n'-विमीय दिक् में एक बिंदु r की कार्तीय समन्वय प्रणाली केवल 'n' संख्याओं का एक क्रमबद्ध समुच्चय है:^[13]^[14] :

$\mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}]$

एक सामान्य बानाख समष्टि में, ये संख्याएँ (उदाहरण के लिए) फोरियर श्रेणी जैसे कार्यात्मक विस्तार में गुणांक हो सकती हैं। एक भौतिक समस्या में, वे अंतरिक्ष समय निर्देशांक या सामान्य वृत्ति विपुलता हो सकते हैं। यंत्रमानवशास्त्र में, वे सापेक्ष घूर्णन, रैखिक विस्थापन, या संयोजन (यांत्रिक) के विकृतियों के कोण हो सकते हैं।^[15] यहां हम मान लेंगे कि ये निर्देशांक कार्यों के एक समुच्चय द्वारा कार्तीय समन्वय प्रणाली से संबंधित हो सकते हैं:

x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,

जहाँ x, y, z, आदि बिंदु के n कार्तीय निर्देशांक हैं। इन कार्यों को देखते हुए, 'समन्वय सतहों' को संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है:

x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.

इन सतहों का प्रतिच्छेदन समन्वय रेखाओं को परिभाषित करता है। किसी भी चयनित बिंदु पर, उस बिंदु पर प्रतिच्छेदी निर्देशांक रेखाओं की स्पर्शरेखाएँ आधार सदिशों के एक समुच्चय को उस बिंदु {e₁, e₂, …, e_n} पर परिभाषित करती हैं। वह है:^[16]

\mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,

जिसे इकाई लंबाई का सामान्यीकृत किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए वक्ररेखीय सहपरिवर्ती आधार देखें।

समन्वय सतह, समन्वय रेखाएँ और आधार (रैखिक बीजगणित) एक समन्वय प्रणाली के घटक हैं।^[17] यदि आधार सदिश हर बिंदु पर आयतीय हैं, तो समन्वय प्रणाली एक आयतीय निर्देशांक है।

एक समन्वय प्रणाली का एक महत्वपूर्ण पहलू इसका मापीय प्रदिश g_ik है जो अपने निर्देशांक के संदर्भ में समन्वय प्रणाली में चाप की लंबाई ds निर्धारित करता है:^[18]

(ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},

जहां दोहराए गए सूचकांकों का योग किया जाता है।

जैसा कि इन टिप्पणियों से स्पष्ट है, एक समन्वय प्रणाली एक आदर्श सिद्धांत है, एक स्वयंसिद्ध प्रणाली का हिस्सा है। समन्वय प्रणालियों और भौतिक गति (या वास्तविकता के किसी अन्य पहलू) के बीच कोई आवश्यक संबंध नहीं है। हालांकि, समन्वय प्रणाली समय को एक समन्वय के रूप में सम्मिलित कर सकती है, और इसका उपयोग गति का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, लोरेंत्ज़ परिवर्तनों और गैलीलियन परिवर्तनों को समन्वय प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है।

संदर्भ का अवलोकन ढांचा

विशेष सापेक्षता में संदर्भ के तीन वृत्ति। काला वृत्ति आराम पर है। प्राइमेड वृत्ति 40% प्रकाश गति से चलता है, और डबल प्राइमेड वृत्ति 80% पर चलता है। गति बढ़ने पर कैंची जैसा बदलाव नोट करें।

संदर्भ का एक पर्यवेक्षणीय वृत्ति, जिसे प्रायः 'संदर्भ का भौतिक वृत्ति', 'संदर्भ का वृत्ति', या बस 'वृत्ति' के रूप में संदर्भित किया जाता है, पर्यवेक्षक और पर्यवेक्षक की स्थिति से संबंधित एक भौतिक अवधारणा है। यहां हम कुमार और बर्वे द्वारा व्यक्त किए गए दृष्टिकोण को अधिग्रहण करते हैं: संदर्भ का एक अवलोकन तंत्र 'केवल इसकी गति की स्थिति' की विशेषता है।^[19] हालाँकि, इस बिंदु पर एकमत का अभाव है। विशेष सापेक्षता में, कभी-कभी पर्यवेक्षक और वृत्ति के बीच भेद किया जाता है। इस दृष्टिकोण के अनुसार, वृत्ति एक पर्यवेक्षक और एक समन्वित जाली है जो एक समयबद्ध सदिश के लंबवत स्पेसलाइक सदिश के प्रसामान्य लांबिक दक्षिणावर्ती समुच्चय के रूप में निर्मित होता है। डोरान देखें।^[20] इस प्रतिबंधित दृश्य का यहां उपयोग नहीं किया गया है, और सापेक्षता की चर्चाओं में भी इसे सार्वभौमिक रूप से अपनाया नहीं गया है।^[21]^[22] सामान्य सापेक्षता में सामान्य समन्वय प्रणालियों का उपयोग सामान्य है (देखें, उदाहरण के लिए, एक पृथक क्षेत्र के बाहर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए कार्ल श्वार्जचाइल्ड समाधान^[23]).

अवलोकन संबंधी संदर्भ वृत्ति दो प्रकार के होते हैं: संदर्भ के जड़त्वीय वृत्ति और गैर-जड़त्वीय संदर्भ वृत्ति। संदर्भ के जड़त्वीय तंत्र को एक ऐसे वृत्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें भौतिकी के सभी नियम अपने सरलतम रूप धारण कर लेते हैं। विशेष सापेक्षता में ये वृत्ति लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंधित हैं, जो कि शीघ्रता द्वारा प्राचलिकारित हैं। न्यूटोनियन यांत्रिकी में, एक अधिक प्रतिबंधित परिभाषा के लिए केवल यह आवश्यक है कि न्यूटन का पहला नियम सही हो; अर्थात्, एक न्यूटनी जड़त्वीय वृत्ति वह है जिसमें एक मुक्त कण निरंतर गति से एक सीधी रेखा में यात्रा करता है, या आराम करता है। ये वृत्ति गैलिलियन परिवर्तनों से संबंधित हैं। ये आपेक्षिकवादी और न्यूटनी रूपांतरण पोंकारे समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संदर्भ में सामान्य आयाम के रिक्त स्थान में पोंकारे समूह और गैलिलियन समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त किए गए हैं।

जड़त्वीय ढाँचे के विपरीत, गैर-जड़त्वीय ढाँचा एक ऐसा ढाँचा है जिसमें प्रेक्षणों की व्याख्या करने के लिए काल्पनिक शक्तियों का प्रयोग किया जाना चाहिए। एक उदाहरण संदर्भ का एक अवलोकन वृत्ति है जो पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु पर केंद्रित है। संदर्भ का यह वृत्ति पृथ्वी के केंद्र के चारों ओर परिक्रमा करता है, जो कोरिओलिस बल, केन्द्रापसारक बल और गुरुत्वाकर्षण बल के रूप में जानी जाने वाली काल्पनिक शक्तियों का परिचय देता है। (गुरुत्वाकर्षण सहित ये सभी बल वास्तव में जड़त्वीय संदर्भ वृत्ति में विलुप्त हो जाते हैं, जो मुक्त-पतन में से एक है।)

माप उपकरण

संदर्भ के एक वृत्ति का एक और पहलू मापविद्या (उदाहरण के लिए, घड़ियां और छड़ें) की भूमिका है जो वृत्ति से जुड़ा हुआ है (ऊपर नॉर्टन उद्धरण देखें)। इस प्रश्न को इस लेख में संबोधित नहीं किया गया है, और क्वांटम यांत्रिकी में मापन में विशेष रुचि है, जहां पर्यवेक्षक और माप के बीच संबंध अभी भी चर्चा में है (माप समस्या देखें)।

भौतिकी प्रयोगों में, संदर्भ के वृत्ति जिसमें प्रयोगशाला माप उपकरणों को आराम पर रखा जाता है, सामान्यतः प्रयोगशाला वृत्ति (लेबोरेटरी फ्रेम) या केवल प्रयोगशाला वृत्ति (लैब फ्रेम) के रूप में जाना जाता है। एक उदाहरण वह वृत्ति होगा जिसमें कण त्वरक के लिए संसूचक आराम पर हैं। कुछ प्रयोगों में प्रयोगशाला वृत्ति एक जड़त्वीय वृत्ति है, लेकिन यह होना आवश्यक नहीं है (उदाहरण के लिए कई भौतिकी प्रयोगों में पृथ्वी की सतह पर प्रयोगशाला जड़त्वीय नहीं है)। कण भौतिकी प्रयोगों में, यह प्रायः लैब वृत्ति से ऊर्जा और कणों के संवेग को बदलने के लिए उपयोगी होता है, जहां उन्हें मापा जाता है, संवेग वृत्ति COM वृत्ति के केंद्र में, जिसमें गणना कभी-कभी सरल होती है, क्योंकि संभावित रूप से सभी गतिज ऊर्जा अभी भी COM में मौजूद हैं। नए कण बनाने के लिए वृत्ति का उपयोग किया जा सकता है।

इस संबंध में यह ध्यान दिया जा सकता है कि विचार में पर्यवेक्षकों के मापन उपकरण का वर्णन करने के लिए प्रायः घड़ियों और छड़ों का उपयोग किया जाता है, अभ्यास में इसे एक अधिक जटिल और अप्रत्यक्ष मापविद्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो खालीपन की प्रकृति से जुड़ा होता है, और परमाणु घड़ियों का उपयोग करता है जो मानक प्रतिरूप के अनुसार काम करते हैं और गुरुत्वाकर्षण समय विस्फारण के लिए इसे ठीक किया जाना चाहिए।^[24] (दूसरा, मीटर और किलोग्राम देखें)।

वस्तुत:, आइंस्टीन ने महसूस किया कि घड़ियाँ और छड़ें केवल समीचीन मापने वाले उपकरण थे और उन्हें परमाणु और अणुओं के आधार पर अधिक मौलिक संस्थाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।^[25]

सामान्यीकरण

ब्रेडिंग और कैस्टेलानी द्वारा चर्चा को सरल अंतरिक्ष-समय समन्वय प्रणालियों के अतिरिक्त ले जाया गया है।^[26] सामान्यीकृत निर्देशांकों का उपयोग करते हुए समन्वय प्रणालियों का विस्तार हैमिल्टन के सिद्धांत और लग्रांजी यांत्रिकी के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम गुरुत्वाकर्षण योगों को रेखांकित करता है^[27]।^[28]^[29]^[30]^[31]^[32]

उदाहरण

अंतर्राष्ट्रीय भौमिक संदर्भ तंत्र
अंतर्राष्ट्रीय आकाशीय संदर्भ तंत्र
द्रव यांत्रिकी में, प्रवाह क्षेत्र के लाग्रंगियन और यूलेरियन विनिर्देश

अन्य वृत्ति

सामान्य सापेक्षता में तंत्र क्षेत्रक
गणित में चल तंत्र

यह भी देखें

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
अनुप्रयुक्त यांत्रिकी
कार्तीय समन्वय प्रणाली
गति-का-केंद्र तंत्र
अपकेन्द्रीय बल
अभिकेन्द्र बल
चिरसम्मत यांत्रिकी
कोरिओलिस बल
वक्रीय निर्देशांक
डेटम संदर्भ
[[गतिकी (भौतिकी)]]
फ्रेनेट-सीरेट सूत्र
गैलिलियन आक्रमण
सामान्य सापेक्षता
सामान्यीकृत निर्देशांक
सामान्यीकृत बल
भूगणितीय संदर्भ तंत्र
संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा
स्थानीय निर्देशांक
सामग्री तंत्र-उपेक्षा
छड़ और तंत्र टेस्ट
गतिकी
संदर्भ के प्रयोगशाला तंत्र
लोरेंत्ज़ परिवर्तन
मच का सिद्धांत
आयतीय निर्देशांक
सापेक्षता का सिद्धांत
परिमाण संदर्भ तंत्र