लाई व्युत्पन्न

अवकल ज्यामिति में, लाइ व्युत्पन्न (/liː/ LEE), जिसका नाम व्लाडिसलाव स्लेबोडज़िंस्की द्वारा सोफस लाइ के नाम पर रखा गया, किसी अन्य सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित प्रवाह के साथ एक प्रदिश क्षेत्र (अदिश फलन, सदिश क्षेत्र और एक-रूपों सहित) के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। यह परिवर्तन निर्देशांक अपरिवर्तनीय है और इसलिए लाई व्युत्पन्न को किसी भी अलग-अलग कई गुना पर परिभाषित किया गया है।

सदिश क्षेत्र के संबंध में फलन, प्रदिश क्षेत्र और रूपों को अलग किया जा सकता है। यदि T एक प्रदिश क्षेत्र है और X एक सदिश क्षेत्र है, तो X के संबंध में T का लाई व्युत्पन्न ${\mathcal {L}}_{X}(T)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। अवकल संकारक $T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}(T)$ अंतर्निहित बहुरूपता के प्रदिश क्षेत्रों के बीजगणित की व्युत्पत्ति है।

लाई व्युत्पन्न प्रदिश संकुचन के साथ संचार करता है और अवकल रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न होता है।

यद्यपि विभेदक ज्यामिति में व्युत्पन्न लेने की कई अवधारणाएँ हैं, वे सभी सहम त हैं जब विभेदित किया जा रहा व्यंजक एक फलन या अदिश क्षेत्र है। इस प्रकार इस प्रकरण में ''लाइ'' शब्द को हटा दिया गया है, और एक फलन के व्युत्पन्न के बारे में बात करता है।

एक अन्य सदिश क्षेत्र X के संबंध में एक सदिश क्षेत्र Y का लाई व्युत्पन्न X और Y के ''लाई कोष्ठक'' के रूप में जाना जाता है, और प्रायः ${\mathcal {L}}_{X}(Y)$ के बदले [X,Y] को निरूपित किया जाता है। सदिश क्षेत्रों का स्थान इस लाई कोष्ठक के संबंध में एक लाई बीजगणित बनाता है। लाइ व्युत्पन्न इस लाइ बीजगणित के अनंत-आयामी लाइ बीजगणित प्रतिनिधित्व का गठन करता है, पहचान के कारण

${\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,$

किसी भी सदिश क्षेत्र X और Y और किसी प्रदिश क्षेत्र T के लिए मान्य।

M पर सदिश क्षेत्रों को प्रवाह के अत्यणु जनक (अर्थात भिन्नता के एक-आयामी समूह) के रूप में मानते हुए, लाई व्युत्पन्न प्रदिश क्षेत्र पर डिफियोमोर्फिज्म समूह के प्रतिनिधित्व का अंतर है, लाई समूह सिद्धांत में समूह प्रतिनिधित्व से जुड़े अत्यल्प प्रतिनिधित्व के रूप में लाई बीजगणित अभ्यावेदन के अनुरूप है।

सामान्यीकरण स्पिनर क्षेत्रों, संयोजन के साथ फाइबर बंडलों और सदिश-मूल्यवान अवकल रूपों के लिए उपस्तिथ हैं।

प्रेरणा

एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक प्रदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को परिभाषित करने का एक 'नैवे' प्रयास, प्रदिश क्षेत्र के घटकों को लेना सदिश क्षेत्र के संबंध में प्रत्येक घटक के दिशात्मक व्युत्पन्न को लेना होगा। तथापि, यह परिभाषा अवांछनीय है क्योंकि यह समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है, उदा. ध्रुवीय या गोलीय निर्देशांक में व्यक्त निष्क्रिय व्युत्पन्न कार्तीय निर्देशांक में घटकों के निष्क्रिय व्युत्पन्न से भिन्न होता है। एक अमूर्त बहुरूपता पर ऐसी परिभाषा अर्थहीन और गलत परिभाषित है। अवकल ज्योमेट्री में, प्रदिश क्षेत्रों के विभेदीकरण की तीन मुख्य निर्देशांक स्वतंत्र धारणाएँ हैं: लाइ व्युत्पन्न, संयोजन के संबंध में व्युत्पन्न, और पूरी तरह से प्रतिसममित (सहपरिवर्ती ) प्रदिश या अवकल रूपों के बाहरी व्युत्पन्न है। एक संयोजन के संबंध में लाई व्युत्पन्न और व्युत्पन्न के मध्य मुख्य अवकल यह है कि स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र का बाद वाला व्युत्पन्न अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही यह निर्दिष्ट न हो कि उस स्पर्श सदिश को सदिश क्षेत्र में कैसे बढ़ाया जाए। तथापि एक संयोजन के लिए बहुरूपता पर एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना (उदाहरण के लिए एक रीमानी मीट्रिक या सिर्फ एक अमूर्त संयोजन) की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, लाई व्युत्पन्न लेते समय, बहुरूपता पर कोई अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक स्पर्श सदिश के संबंध में प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के बारे में बात करना असंभव है, क्योंकि बिंदु p एक सदिश क्षेत्र X के संबंध में सदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न का मान केवल p पर ही नहीं, बल्कि p के आसपास में X के मान पर निर्भर करता है। अंत में, विभेदक रूपों के बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी अतिरिक्त विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल अवकल रूपों (फलनों सहित) का एक अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न है।

परिभाषा

लाइ व्युत्पन्न को कई समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। वस्तुओ को सरल रखने के लिए, हम सामान्य प्रदिश की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, अदिश फलन और सदिश क्षेत्र पर लाई व्युत्पन्न अभिनय को परिभाषित करके आरंभ करते हैं।

(लाइ) किसी फलन का व्युत्पन्न

एक फलन के व्युत्पन्न को परिभाषित करना $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ बहुरूपता पर समस्याग्रस्त है क्योंकि अवकल भागफल $\textstyle (f(x+h)-f(x))/h$ निर्धारित नहीं किया जा सकता है जबकि विस्थापन $x+h$ अपरिभाषित है।

एक बिंदु $p\in M$ पर एक सदिश क्षेत्र $X$ के संबंध में फलन $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ का लाइ व्युत्पन्न फलन है

$({\mathcal {L}}_{X}f)(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(P(t,p))-f(p)}{t}}\colon M\to {\mathbb {R} },$

जहां $P(t,p)$ वह बिंदु है जिस पर सदिश क्षेत्र $X$ द्वारा परिभाषित प्रवाह बिंदु $p$ को उस समय तुरंत $t$ पर मानचित्र करता है $t=0,$ के आसपास के क्षेत्र में, $P(t,p)$ प्रणाली का अद्वितीयहल है

${\frac {d}{dt}}P(t,p)=X(P(t,p))$

$P(0,p)=p$ के साथ स्पर्शी समष्टि $T_{P(t,p)}M$ में प्रथम-क्रम स्वायत्त (यानी स्वतंत्र समय) अवकल समीकरण

कई गुना $M,$ और $x\in U$ पर एक समन्वय मानचित्र $(U,\varphi )$ के लिए, $d\varphi _{x}\colon T_{x}U\to T_{\varphi (x)}{\mathbb {R} }^{n}\cong {\mathbb {R} }^{n}$ को स्पर्शरेखा रैखिक मानचित्र होने दें। अवकल समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली एक प्रणाली के रूप में अधिक स्पष्ट रूप से लिखी गई है

${\frac {d}{dt}}\varphi (P(t,p))=d\varphi _{P(t,p)}X(P(t,p))$

${\mathbb {R} }^{n}$ में, प्रारंभिक स्थिति $\varphi (P(0,p))=\varphi (p)$ होने के साथ। यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि समाधान $P(t,p)$ समन्वय मानचित्र के चयन से स्वतंत्र है।

समायोजन ${\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f$ किसी फलन के लाई व्युत्पन्न को दिशात्मक व्युत्पन्न के साथ पहचानता है।

सदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

यदि X और Y दोनों सदिश क्षेत्र हैं, तो X के संबंध में Y के लाई व्युत्पन्न को X और Y के लाई कोष्ठक के रूप में भी जाना जाता है, और कभी-कभी $[X,Y]$ के रूप में दर्शाया जाता है। लाई कोष्ठक को परिभाषित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं, जिनमें से सभी समतुल्य हैं। हम यहां दो परिभाषाओं को सूचीबद्ध करते हैं, जो ऊपर दी गई सदिश क्षेत्र की दो परिभाषाओं के अनुरूप हैं:

• p पर X और Y का लाई कोष्ठक सूत्र द्वारा स्थानीय निर्देशांक में दिया गया है

  ${\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),$

  जहां $\partial _{X}$ and $\partial _{Y}$ क्रमशः X और Y के संबंध में दिशात्मक व्युत्पन्न लेने के संचालन को इंगित करते हैं। यहां हम n-विमीय समष्टि में एक सदिश को n-ट्यूपल के रूप में मान रहे हैं, ताकि इसका दिशात्मक व्युत्पन्न केवल इसके निर्देशांक के दिशात्मक व्युत्पन्न से युक्त ट्यूपल हो।हालांकि इस परिभाषा में दिखाई देने वाली अंतिम अभिव्यक्ति $\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)$ स्थानीय निर्देशांक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है, अलग-अलग शब्द $\partial _{X}Y(p)$ और $\partial _{Y}X(p)$ निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करते हैं।
• यदि X और Y दूसरी परिभाषा के अनुसार कई गुना M पर सदिश क्षेत्र हैं, तो संचालक ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ सूत्र द्वारा परिभाषित

  $[X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

  $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$

  M के सुचारु फलन के बीजगणित के क्रम शून्य की व्युत्पत्ति है, अर्थात दूसरी परिभाषा के अनुसार यह संकारक एक सदिश क्षेत्र है।

प्रदिश क्षेत्र का लाइ व्युत्पन्न

प्रवाह के संदर्भ में परिभाषा

लाइ व्युत्पन्न वह गति है जिसके साथ प्रवाह के कारण होने वाले समष्टि विरूपण के अंतर्गत प्रदिश क्षेत्र बदलता है।

औपचारिक रूप से, एक समतल बहुरूपता $M$ पर एक अलग-अलग (समय-स्वतंत्र) सदिश क्षेत्र $X$, अनुमान $\Gamma _{X}^{t}:M\to M$ इसी स्थानीय प्रवाह और $\Gamma _{X}^{0}$ पहचान मानचित्र हो। क्योंकि $\Gamma _{X}^{t}$ एक स्थानीय भिन्नता है, प्रत्येक $t$ और $p\in M$ के लिए, व्युत्क्रम

$\left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M$

अवकल $\left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)$ का विशिष्ट रूप से समरूपता तक विस्तार होता है

$h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\right)\to T(T_{p}M)$

स्पर्शी समष्टि $T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M$ और $T_{p}M$ के प्रदिश बीजगणित के मध्य इसी तरह, पुलबैक मानचित्र

$\left(\Gamma _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M$

एक अद्वितीय प्रदिश बीजगणित समरूपता के लिए लिफ्ट करता है

$h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\right)\to T(T_{p}^{*}M).$

परिणामस्वरूप, प्रत्येक $t$ के लिए, $Y$ के समान संयोजकता का एक प्रदिश क्षेत्र $h_{p}^{t}Y$ होता है।

अगर $Y$ एक $(r,0)$- या $(0,s)$-प्रकार प्रदिश क्षेत्र है, तो सदिश क्षेत्र $X$ के साथ $Y$ का लाइ व्युत्पन्न ${\cal {L}}_{X}Y$ बिंदु $p\in M$ पर परिभाषित किया गया है

${\cal {L}}_{X}Y(p)={\frac {d}{dt}}{\Biggl |}_{t=0}\left(h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]-Y(p)}{t}}.$

परिणामी प्रदिश क्षेत्र ${\cal {L}}_{X}Y$ की संयोजकता $Y$'s के समान है।

बीजगणितीय परिभाषा

अब हम एक बीजगणितीय परिभाषा देते हैं। प्रदिश क्षेत्र के लाई व्युत्पन्न के लिए बीजगणितीय परिभाषा निम्नलिखित चार स्वयंसिद्धों से होती है:

अभिगृहीत 1. किसी फलन का लाइ व्युत्पन्न फलन के दिशात्मक अवकलज के बराबर होता है। यह तथ्य प्रायः सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

${\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)$

अभिगृहीत 2। लाई व्युत्पन्न लीबनिज के नियम के निम्नलिखित संस्करण का पालन करता है: किसी भी प्रदिश क्षेत्र S और T के लिए, हमारे पास है

${\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).$

अभिगृहीत 3. लाइ व्युत्पन्न प्रदिश संकुचन के संबंध में लीबनिज नियम का पालन करता है:

${\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))$

अभिगृहीत 4. लाइ व्युत्पन्न फलनों पर बाहरी व्युत्पन्न के साथ आवागमन करता है:

$[{\mathcal {L}}_{X},d]=0$

यदि ये स्वयंसिद्ध धारण करते हैं, तो लाई व्युत्पन्न को लागू करना ${\mathcal {L}}_{X}$ संबंध के लिए $df(Y)=Y(f)$ पता चलता है कि

${\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),$

जो सदिश क्षेत्रों के लाइ कोष्ठक के लिए मानक परिभाषाओं में से एक है।

एक विभेदक रूप पर काम करने वाला लाई व्युत्पन्न बाहरी उत्पाद के साथ आंतरिक उत्पाद का कम्यूटेटर # रिंग सिद्धांत है। तो अगर α एक अवकल रूप है,

${\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .$

यह आसानी से जाँच कर पता चलता है कि अभिव्यक्ति बाहरी व्युत्पन्न के साथ चलती है, एक व्युत्पत्ति है (श्रेणीबद्ध व्युत्पत्तियों का एक एंटीकोम्यूटेटर होने के नाते) और फलनों पर सही काम करता है।

स्पष्ट रूप से, T को प्रकार का एक प्रदिश क्षेत्र होने दें (p, q). T को चिकने फंक्शन अनुभाग (फाइबर बंडल) α का एक अलग-अलग बहुरेखीय नक्शा माना जाता है^{1</सुप>, ए2</सुप>, ..., एp कोटैंजेंट बंडल T का∗M और सेक्शन X का₁, एक्स₂, ..., एक्स_q स्पर्शरेखा बंडल TM का, लिखा हुआ T(α1</सुप>, ए2, ..., एक्स₁, एक्स₂, ...) R में। सूत्र द्वारा Y के साथ T के लाई व्युत्पन्न को परिभाषित करें}

$({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))$

$-T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots$

$-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots$

विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय परिभाषाओं को पुशफॉरवर्ड के गुणों और भेदभाव के लिए सामान्य लीबनिज़ नियम का उपयोग करके समकक्ष साबित किया जा सकता है। लाई व्युत्पन्न संकुचन के साथ आवागमन करता है।

एक अवकल रूप का लाइ व्युत्पन्न

See also: Interior product

प्रदिश क्षेत्रों का एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण वर्ग विभेदक रूपों का वर्ग है। विभेदक रूपों के स्थान पर लाई व्युत्पन्न का प्रतिबंध बाहरी व्युत्पन्न से निकटता से संबंधित है। लाई व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न दोनों अलग-अलग तरीकों से व्युत्पन्न के विचार को पकड़ने का प्रयास करते हैं। एक आंतरिक उत्पाद के विचार को पेश करके इन अवकलों को पाटा जा सकता है, जिसके बाद संबंध एक पहचान के रूप में सामने आते हैं जिसे कार्टन के सूत्र के रूप में जाना जाता है। कार्टन के सूत्र का उपयोग अवकल रूपों के स्थान पर लाई व्युत्पन्न की परिभाषा के रूप में भी किया जा सकता है।

बता दें कि एम कई गुना है और एम पर एक्स एक सदिश क्षेत्र है। होने देना $\omega \in \Lambda ^{k+1}(M)$ एक हो (k + 1)-विभेदक रूप, अर्थात प्रत्येक के लिए $p\in M$, $\omega (p)$ से एक वैकल्पिक रूप बहुरेखीय मानचित्र है $(T_{p}M)^{k+1}$ वास्तविक संख्या के लिए। X और ω का आंतरिक उत्पाद k- रूप है $i_{X}\omega$ के रूप में परिभाषित

$(i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

विभेदक रूप $i_{X}\omega$ को X के साथ ω का संकुचन भी कहा जाता है, और

$i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)$

एक बाह्य बीजगणित है | $\wedge$-व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) जहां बाहरी बीजगणित |$\wedge$बाहरी बीजगणित है। वह है, $i_{X}$ आर-रैखिक है, और

$i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )$

के लिए $\omega \in \Lambda ^{k}(M)$ और η एक और अवकल रूप। वो भी एक फलन के लिए $f\in \Lambda ^{0}(M)$, यानी, एम पर एक वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान फलन, एक है

$i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega$

कहाँ $fX$ एफ और एक्स के उत्पाद को दर्शाता है। बाहरी व्युत्पन्न्स और लाई व्युत्पन्न्स के मध्य संबंध को संक्षेप में निम्नानुअमूर्त किया जा सकता है। सबसे पहले, चूंकि एक सदिश क्षेत्र X के संबंध में एक फलन f का लाई व्युत्पन्न दिशात्मक व्युत्पन्न X(f) के समान है, यह अवकल फॉर्म के समान भी है # एक्स के साथ f के बाहरी व्युत्पन्न के रूपों पर संचालन :

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df$

एक सामान्य अवकल रूप के लिए, लाइ व्युत्पन्न इसी तरह एक संकुचन है, एक्स में भिन्नता को ध्यान में रखते हुए:

${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).$

इस पहचान को कार्टन सूत्र, कार्टन समरूपता सूत्र या कार्टन के जादुई सूत्र के रूप में जाना जाता है। विवरण के लिए आंतरिक उत्पाद देखें। कार्टन सूत्र का उपयोग विभेदक रूप के लाई व्युत्पन्न की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है। कार्टन का सूत्र विशेष रूप से दर्शाता है कि

$d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).$

लाई व्युत्पन्न भी संबंध को संतुष्ट करता है

${\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .$

समन्वय भाव

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

स्थानीय समन्वय संकेतन में, एक प्रकार के लिए (r, s) प्रदिश क्षेत्र $T$, लाइ व्युत्पन्न साथ $X$ है

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}$

यहाँ, अंकन $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ का अर्थ समन्वय के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेना है $x^{a}$. वैकल्पिक रूप से, यदि हम मरोड़ (अवकल ज्योमेट्री) | मरोड़ मुक्त संयोजन (गणित) (जैसे, लाइट सिटी संयोजन ) का उपयोग कर रहे हैं, तो आंशिक व्युत्पन्न $\partial _{a}$ सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका अर्थ है प्रतिस्थापित करना $\partial _{a}X^{b}$ के साथ (संकेतन के दुरुपयोग से) $\nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}$ जहां $\Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}$ क्रिस्टोफेल गुणांक हैं।

एक प्रदिश का लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार का एक और प्रदिश है, यानी, भले ही अभिव्यक्ति में अलग-अलग शब्द समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर करते हैं, एक पूरे के रूप में अभिव्यक्ति एक प्रदिश में परिणाम देती है

$({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}$

जो किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और उसी प्रकार का है $T$.

परिभाषा को आगे प्रदिश घनत्वों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि टी कुछ वास्तविक संख्या मूल्यवान वजन डब्ल्यू (उदाहरण के लिए वजन 1 की मात्रा घनत्व) का प्रदिश घनत्व है, तो इसका लाई व्युत्पन्न उसी प्रकार और वजन का एक प्रदिश घनत्व है।

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}$

अभिव्यक्ति के अंत में नए शब्द पर ध्यान दें।

Affine संयोजन के लिए $\Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})$, लाइ व्युत्पन्न साथ $X$ है

$({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}$

उदाहरण

स्पष्टता के लिए अब हम निम्नलिखित उदाहरण स्थानीय समन्वय संकेतन में दिखाते हैं।

एक अदिश क्षेत्र के लिए $\phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)$ अपने पास:

$({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi$.

इसलिए अदिश क्षेत्र के लिए $\phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)$ और सदिश क्षेत्र $X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}$ संबंधित लाई व्युत्पन्न बन जाता है

$${\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}$$

उच्च रैंक अवकल फॉर्म के उदाहरण के लिए, 2-फॉर्म पर विचार करें $\omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz$ और सदिश क्षेत्र $X$ पिछले उदाहरण से। तब,

$${\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}$$