अंतःक्षेपक मॉड्यूल

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे मॉड्यूल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, एक इंजेक्शन मॉड्यूल एक मॉड्यूल (गणित) 'क्यू' है जो सभी तर्कसंगत संख्याओं के जेड-मॉड्यूल क्यू के साथ कुछ वांछनीय गुण साझा करता है। विशेष रूप से, यदि Q किसी अन्य मॉड्यूल का submodule है, तो यह पहले से ही उस मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है; इसके अलावा, एक मॉड्यूल Y का एक सबमॉड्यूल दिया जाता है, तो इस सबमॉड्यूल से Q तक किसी भी मॉड्यूल समरूपता को Y से Q तक के होमोमोर्फिज्म तक बढ़ाया जा सकता है। यह अवधारणा प्रक्षेपी मॉड्यूल के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) है। इंजेक्शन मॉड्यूल में पेश किए गए थे (Baer 1940) और पाठ्यपुस्तक में कुछ विस्तार से चर्चा की गई है (Lam 1999, §3).

इंजेक्टिव मॉड्यूल का गहन अध्ययन किया गया है, और विभिन्न प्रकार की अतिरिक्त धारणाओं को उनके संदर्भ में परिभाषित किया गया है: इंजेक्शन कोजेनरेटर इंजेक्शन मॉड्यूल हैं जो ईमानदारी से मॉड्यूल की पूरी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करते हैं। इंजेक्शन के संकल्प मापते हैं कि # इंजेक्शन के संकल्प के संदर्भ में एक मॉड्यूल इंजेक्शन से कितना दूर है और व्युत्पन्न श्रेणी में मॉड्यूल का प्रतिनिधित्व करता है। इंजेक्शन पतवार ्स अधिकतम आवश्यक एक्सटेंशन हैं, और न्यूनतम इंजेक्शन एक्सटेंशन बन जाते हैं। नोथेरियन रिंग पर, प्रत्येक इंजेक्शन मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अविघटनीय मॉड्यूल मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, और उनकी संरचना अच्छी तरह से समझी जाती है। एक अंगूठी पर एक इंजेक्शन मॉड्यूल, दूसरे पर इंजेक्शन नहीं हो सकता है, लेकिन रिंगों को बदलने की अच्छी तरह से समझी जाने वाली विधियां हैं जो विशेष मामलों को संभालती हैं। रिंग्स जो स्वयं इंजेक्टिव मॉड्यूल हैं, उनमें कई दिलचस्प गुण हैं और इसमें रिंग्स शामिल हैं जैसे कि फील्ड (गणित) पर परिमित समूहों के समूह के छल्ले। इंजेक्शन मॉड्यूल में विभाज्य समूह शामिल होते हैं और श्रेणी सिद्धांत में इंजेक्शन वाली वस्तुओं की धारणा से सामान्यीकृत होते हैं।

परिभाषा

रिंग (गणित) R के ऊपर एक बायाँ मॉड्यूल Q अंतःक्षेपी होता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से एक (और इसलिए सभी) को संतुष्ट करता है:

• यदि Q किसी अन्य बाएँ R-मॉड्यूल M का एक सबमॉड्यूल है, तो M का एक और सबमॉड्यूल K मौजूद है जैसे M, Q और K के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, यानी Q + K = M और Q ∩ K = {0 }.
• बाएं आर-मॉड्यूल का कोई भी छोटा सटीक अनुक्रम 0 →Q → M → K → 0 सटीक अनुक्रम को विभाजित करता है।
• यदि एक्स और वाई शेष आर-मॉड्यूल हैं, तो एफ : एक्स → वाई एक इंजेक्शन मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है और जी : एक्स → क्यू एक मनमाना मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है, तो एक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म एच : वाई → क्यू मौजूद है जैसे कि एचएफ = जी, यानी ऐसा है कि निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:

* वाम आर-मॉड्यूल के श्रेणी सिद्धांत से एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं होम (-, क्यू) सटीक फ़ंक्टर है।

इंजेक्टिव राइट आर-मॉड्यूल को पूर्ण सादृश्य में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण

पहला उदाहरण

तुच्छ रूप से, शून्य मॉड्यूल {0} इंजेक्टिव है।

एक फ़ील्ड (गणित) k दिया गया है, प्रत्येक k-सदिश स्थल Q एक इंजेक्शन k-मॉड्यूल है। कारण: यदि Q, V की एक उपसमष्टि है, तो हम Q की एक सदिश समष्टि का आधार खोज सकते हैं और इसे V के आधार पर विस्तारित कर सकते हैं। नया विस्तार आधार सदिश V और V की एक उपसमष्टि K का रैखिक फैलाव आंतरिक प्रत्यक्ष योग है क्यू और के। ध्यान दें कि क्यू का प्रत्यक्ष पूरक के विशिष्ट रूप से क्यू द्वारा निर्धारित नहीं किया गया है, और इसी तरह उपरोक्त परिभाषा में विस्तारित मानचित्र एच आमतौर पर अद्वितीय नहीं है।

तर्कसंगत 'क्यू' (जोड़ के साथ) एक इंजेक्शन एबेलियन समूह (यानी एक इंजेक्शन 'जेड'-मॉड्यूल) बनाता है। कारक समूह 'क्यू'/'जेड' और सर्कल समूह इंजेक्शन 'जेड'-मॉड्यूल भी हैं। n> 1 के लिए कारक समूह 'Z'/n'Z' एक 'Z'/n'Z'-मॉड्यूल के रूप में इंजेक्शन है, लेकिन एक एबेलियन समूह के रूप में इंजेक्शन नहीं है।

क्रमविनिमेय उदाहरण

अधिक आम तौर पर, किसी भी अभिन्न डोमेन R के लिए अंश K के क्षेत्र के साथ, R-मॉड्यूल K एक इंजेक्शन R-मॉड्यूल है, और वास्तव में R युक्त सबसे छोटा इंजेक्शन R-मॉड्यूल है। किसी भी Dedekind डोमेन के लिए, भागफल मॉड्यूल K/R भी है इंजेक्शन, और इसके अविघटनीय मॉड्यूल सारांश एक अंगूठी का स्थानीयकरण हैं $R_{\mathfrak {p}}/R$ गैर शून्य प्रमुख आदर्शों के लिए ${\mathfrak {p}}$. शून्य आदर्श भी प्रमुख है और इंजेक्शन के के अनुरूप है। इस तरह से प्रमुख आदर्शों और अपरिवर्तनीय इंजेक्शन मॉड्यूल के बीच 1-1 पत्राचार होता है।

एबेन मैटलिस के कारण क्रमविनिमेय वलय नोथेरियन वलय के लिए एक विशेष रूप से समृद्ध सिद्धांत उपलब्ध है, (Lam 1999, §3I). प्रत्येक इंजेक्शन मॉड्यूल विशिष्ट रूप से अपरिवर्तनीय इंजेक्शन मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है, और अपरिवर्तनीय इंजेक्शन मॉड्यूल को विशिष्ट रूप से भागफल आर/पी के इंजेक्शन हल्स के रूप में पहचाना जाता है जहां पी अंगूठी के प्रधान स्पेक्ट्रम पर भिन्न होता है। आर-मॉड्यूल के रूप में आर/पी का इंजेक्शन हल कैननिक रूप से एक आर है_P मॉड्यूल, और आर है_P-आर/पी का इंजेक्शन हल। दूसरे शब्दों में, यह स्थानीय छल्लों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। आर/पी के इंजेक्शन हल की एंडोमोर्फिज्म रिंग पूर्णता है (रिंग सिद्धांत) ${\hat {R}}_{P}$ P पर R का। दो उदाहरण Z-मॉड्यूल Z/pZ (प्रूफ़र समूह) के इंजेक्शन हल हैं, और k[x]-मॉड्यूल k के इंजेक्शन हल हैं। (प्रतिलोम बहुपदों का वलय)। बाद वाले को आसानी से k[x,x के रूप में वर्णित किया जाता है^-1]/xk[x]। इस मॉड्यूल का एक आधार है जिसमें व्युत्क्रम मोनोमियल्स होते हैं, जो कि x है⁻ⁿ n के लिए = 0, 1, 2, …. स्केलर्स द्वारा गुणन अपेक्षित है, और x द्वारा गुणा सामान्य रूप से x·1 = 0 को छोड़कर व्यवहार करता है। एंडोमोर्फिज्म रिंग केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला की रिंग है।

आर्टिनियन उदाहरण

यदि G एक परिमित समूह है और k विशेषता (बीजगणित) 0 के साथ एक क्षेत्र है, तो एक समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में दिखाता है कि किसी दिए गए उप-प्रतिनिधित्व पहले से ही दिए गए एक का प्रत्यक्ष योग है। मॉड्यूल भाषा में अनुवादित, इसका मतलब है कि ग्रुप रिंग केजी पर सभी मॉड्यूल इंजेक्शन हैं। यदि k का अभिलाक्षणिक शून्य नहीं है, तो निम्न उदाहरण मदद कर सकता है।

यदि A, क्षेत्र k पर एक इकाई साहचर्य बीजगणित है, जिसमें k पर सदिश स्थान का परिमित आयाम है, तो होम_k(-, k) सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बाएं ए-मॉड्यूल और अंतिम रूप से उत्पन्न दाएं ए-मॉड्यूल के बीच श्रेणियों का द्वंद्व है। इसलिए, बारीक रूप से उत्पन्न इंजेक्टिव लेफ्ट ए-मॉड्यूल ठीक होम के मॉड्यूल हैं_k(पी, के) जहां पी एक अंतिम रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव राइट ए-मॉड्यूल है। फ्रोबेनियस बीजगणित के लिए, द्वैत विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल और इंजेक्शन मॉड्यूल मेल खाते हैं।

किसी भी आर्टिनियन रिंग के लिए, जैसे कि कम्यूटेटिव रिंग के लिए, प्राइम आइडियल्स और इंडिकंपोज़ेबल इंजेक्टिव मॉड्यूल के बीच 1-1 पत्राचार होता है। इस मामले में पत्राचार शायद और भी सरल है: एक प्रमुख आदर्श एक अद्वितीय सरल मॉड्यूल का विनाशक है, और संबंधित अपरिवर्तनीय इंजेक्शन मॉड्यूल इसकी इंजेक्शन हल है। खेतों पर परिमित-आयामी बीजगणित के लिए, ये इंजेक्शन हल्स सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल हैं (Lam 1999, §3G, §3J).

कम्प्यूटिंग इंजेक्शन हल्स

अगर $R$ एक नोथेरियन रिंग है और ${\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श, सेट है $E=E(R/{\mathfrak {p}})$ इंजेक्शन पतवार के रूप में। का इंजेक्शन पतवार $R/{\mathfrak {p}}$ आर्टिनियन रिंग के ऊपर $R/{\mathfrak {p}}^{k}$ मॉड्यूल के रूप में गणना की जा सकती है $(0:_{E}{\mathfrak {p}}^{k})$. यह उसी लंबाई का एक मॉड्यूल है $R/{\mathfrak {p}}^{k}$. विशेष रूप से, मानक वर्गीकृत अंगूठी के लिए $R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\bullet }$ और ${\mathfrak {p}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, $E=\oplus _{i}{\text{Hom}}(R_{i},k)$ एक इंजेक्शन मॉड्यूल है, जो आर्टिनियन रिंग्स के लिए अपरिवर्तनीय इंजेक्शन मॉड्यूल की गणना के लिए टूल देता है $k$.

स्व इंजेक्शन

एक आर्टिन स्थानीय अंगूठी $(R,{\mathfrak {m}},K)$ अगर और केवल अगर खुद पर इंजेक्शन है $soc(R)$ एक 1-आयामी वेक्टर स्पेस ओवर है $K$. इसका मतलब है कि हर स्थानीय गोरेंस्टीन रिंग जो कि आर्टिन भी है, अपने आप में इंजेक्टिव है क्योंकि इसमें 1-आयामी सोसल है। एक साधारण गैर-उदाहरण रिंग है $R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})$ जिसका अधिकतम आदर्श है $(x,y)$ और अवशेष क्षेत्र $\mathbb {C}$. इसका सोसल है $\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y$, जो द्वि-आयामी है। अवशेष क्षेत्र में इंजेक्शन हल है ${\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )$.

=== झूठ बीजगणित === पर मॉड्यूल

झूठ बीजगणित के लिए ${\mathfrak {g}}$ एक मैदान के ऊपर $k$ विशेषता 0 की, मॉड्यूल की श्रेणी ${\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})$ इसके इंजेक्शन मॉड्यूल का अपेक्षाकृत सीधा विवरण है। किसी भी इंजेक्शन के सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित का उपयोग करना ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल से बनाया जा सकता है ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल <ब्लॉककोट>${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$कुछ के लिए $k$-सदिश स्थल $V$. ध्यान दें कि इस सदिश स्थान में एक है ${\mathfrak {g}}$-इंजेक्शन से मॉड्यूल संरचना

${\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})$

वास्तव में, हर ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल में कुछ में इंजेक्शन है ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$ और हर इंजेक्शन ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल कुछ का प्रत्यक्ष योग है ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$.

सिद्धांत

=== कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग्स === के लिए संरचना प्रमेय

क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय के ऊपर $R$, प्रत्येक इंजेक्शन मॉड्यूल अविघटनीय इंजेक्शन मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है और प्रत्येक अपघटन योग्य इंजेक्शन मॉड्यूल एक प्रमुख स्थान पर अवशेष क्षेत्र का इंजेक्शन हल है ${\mathfrak {p}}$. यानी एक इंजेक्शन के लिए $I\in {\text{Mod}}(R)$ , एक समरूपता <ब्लॉककोट> है$I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$कहाँ $E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$ मॉड्यूल के इंजेक्शन हल्स हैं $R/{\mathfrak {p}}_{i}$. इसके अलावा अगर $I$ कुछ मॉड्यूल का इंजेक्शन हल है $M$ फिर ${\mathfrak {p}}_{i}$ की संबद्ध अभाज्य संख्याएँ हैं $M$.

सबमॉड्यूल, भागफल, उत्पाद और योग

इंजेक्शन मॉड्यूल का कोई भी उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) (यहां तक ​​​​कि असीम रूप से कई) इंजेक्शन है; इसके विपरीत, यदि मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद इंजेक्शन है, तो प्रत्येक मॉड्यूल इंजेक्शन है (Lam 1999, p. 61). सूक्ष्म रूप से अनेक अंतःक्षेपी मॉड्यूलों का प्रत्येक प्रत्यक्ष योग अंतःक्षेपी होता है। सामान्य तौर पर, सबमॉड्यूल, कारक मॉड्यूल, या इंजेक्शन मॉड्यूल के मॉड्यूल के अनंत प्रत्यक्ष योग को इंजेक्शन नहीं होना चाहिए। हर इंजेक्टिव मॉड्यूल का हर सबमॉड्यूल इंजेक्टिव होता है अगर और केवल अगर रिंग आर्टिनियन रिंग अर्द्ध साधारण अंगूठी हो (Golan & Head 1991, p. 152); प्रत्येक इंजेक्शन मॉड्यूल का प्रत्येक कारक मॉड्यूल इंजेक्शन है अगर और केवल अगर अंगूठी वंशानुगत अंगूठी है, (Lam 1999, Th. 3.22); इंजेक्शन मॉड्यूल का हर अनंत प्रत्यक्ष योग इंजेक्शन है अगर और केवल अगर अंगूठी नोथेरियन अंगूठी है, (Lam 1999, Th 3.46).

बायर की कसौटी

बेयर के मूल पेपर में, उन्होंने एक उपयोगी परिणाम साबित किया, जिसे आमतौर पर बेयर की कसौटी के रूप में जाना जाता है, यह जांचने के लिए कि क्या कोई मॉड्यूल इंजेक्शन है: एक बायां आर-मॉड्यूल क्यू इंजेक्शन है अगर और केवल अगर कोई होमोमोर्फिज्म जी  : I → Q एक आदर्श (रिंग थ्योरी) पर परिभाषित R के I को सभी R तक बढ़ाया जा सकता है।

इस कसौटी का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि Q एक अंतःक्षेपी एबेलियन समूह है (अर्थात Z पर एक अंतःक्षेपी मॉड्यूल)। अधिक आम तौर पर, एक एबेलियन समूह इंजेक्शन है अगर और केवल अगर यह विभाज्य मॉड्यूल है। अधिक आम तौर पर अभी भी: एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक मॉड्यूल इंजेक्शन है अगर और केवल अगर यह विभाज्य है (वेक्टर रिक्त स्थान का मामला इस प्रमेय का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक क्षेत्र एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और प्रत्येक सदिश स्थान विभाज्य है)। एक सामान्य अभिन्न डोमेन पर, हमारे पास अभी भी एक निहितार्थ है: एक अभिन्न डोमेन पर प्रत्येक इंजेक्शन मॉड्यूल विभाज्य है।

बेयर की कसौटी को कई तरह से परिष्कृत किया गया है (Golan & Head 1991, p. 119), के परिणाम सहित (Smith 1981) और (Vamos 1983) कि एक क्रमविनिमेय नोथेरियन रिंग के लिए, यह केवल प्रमुख आदर्शों I पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। बायर की कसौटी का दोहरापन, जो प्रोजेक्टिविटी के लिए एक परीक्षण देगा, सामान्य रूप से गलत है। उदाहरण के लिए, 'जेड'-मॉड्यूल 'क्यू' बायर की कसौटी के दोहरे को संतुष्ट करता है लेकिन प्रक्षेपी नहीं है।

इंजेक्शन सहजनरेटर

Main article: injective cogenerator

शायद सबसे महत्वपूर्ण इंजेक्शन मॉड्यूल एबेलियन समूह क्यू/जेड है। यह एबेलियन समूहों की श्रेणी में एक इंजेक्शन कोजेनरेटर है, जिसका अर्थ है कि यह इंजेक्शन है और कोई अन्य मॉड्यूल क्यू/जेड की प्रतियों के उपयुक्त बड़े उत्पाद में निहित है। तो विशेष रूप से, प्रत्येक एबेलियन समूह एक इंजेक्शन का एक उपसमूह है। यह काफी महत्वपूर्ण है कि यह किसी भी अंगूठी पर भी सच है: प्रत्येक मॉड्यूल इंजेक्शन का एक सबमिशन है, या बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं। इसे साबित करने के लिए, बाएं 'आर'-मॉड्यूल की श्रेणी में एक इंजेक्टिव कोजनरेटर बनाने के लिए एबेलियन ग्रुप क्यू/जेड के अजीबोगरीब गुणों का उपयोग किया जाता है।

बाएं आर-मॉड्यूल एम के लिए, तथाकथित कैरेक्टर मॉड्यूल एम⁺ = होम_Z(एम, 'क्यू'/'जेड') एक सही आर-मॉड्यूल है जो इंजेक्शन मॉड्यूल और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के बीच नहीं बल्कि इंजेक्शन मॉड्यूल और फ्लैट मॉड्यूल के बीच एक दिलचस्प द्वंद्व प्रदर्शित करता है। (Enochs & Jenda 2001, pp. 78–80). किसी भी रिंग आर के लिए, एक बायां आर-मॉड्यूल सपाट है अगर और केवल अगर इसका कैरेक्टर मॉड्यूल इंजेक्शन है। यदि आर नोथेरियन छोड़ दिया गया है, तो एक बाएं आर-मॉड्यूल इंजेक्शन है अगर और केवल अगर इसका चरित्र मॉड्यूल फ्लैट है।

इंजेक्शन हल्स

Main article: injective hull

मॉड्यूल का इंजेक्शन हल सबसे छोटा इंजेक्शन मॉड्यूल है जिसमें दिया गया है और इसमें वर्णित किया गया था (Eckmann & Shopf 1953).

एक न्यूनतम इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन (नीचे देखें) को परिभाषित करने के लिए इंजेक्शन हल्स का उपयोग कर सकते हैं। यदि अंतःक्षेपी विभेदन का प्रत्येक पद पिछले मानचित्र के कोकर्नेल का अंतःक्षेपी हल है, तो अंतःक्षेपी विभेदन की न्यूनतम लंबाई होती है।

इंजेक्शन संकल्प

प्रत्येक मॉड्यूल एम में 'इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन (बीजगणित)' भी होता है: फॉर्म का सटीक अनुक्रम

0 → एम → मैं⁰ → आई¹ → आई² → ...

जहां मैं^j इंजेक्शन वाले मॉड्यूल हैं। व्युत्पन्न प्रस्तावों को परिभाषित करने के लिए इंजेक्टिव रेजोल्यूशन का उपयोग किया जा सकता है जैसे कि Ext functor।

परिमित अंतःक्षेपी विभेदन की लंबाई पहला सूचकांक n है जैसे कि Iⁿ अशून्य है और Iⁱ = 0 i के लिए n से बड़ा है। यदि एक मॉड्यूल एम एक परिमित अंतःक्षेपण संकल्प को स्वीकार करता है, तो एम के सभी परिमित अंतःक्षेपी संकल्पों के बीच न्यूनतम लंबाई को इसका 'अंतःक्षेपण आयाम' और निरूपित आईडी (एम) कहा जाता है। यदि एम परिमित अंतःक्षेपी संकल्प को स्वीकार नहीं करता है, तो परिपाटी द्वारा अंतःक्षेपी आयाम को अनंत कहा जाता है। (Lam 1999, §5C) उदाहरण के तौर पर, एक मॉड्यूल एम पर विचार करें जैसे कि आईडी (एम) = 0। इस स्थिति में, अनुक्रम की सटीकता 0 → एम → आई⁰ → 0 इंगित करता है कि केंद्र में तीर एक तुल्याकारिता है, और इसलिए M स्वयं अंतःक्षेपी है। समान रूप से, M का अंतःक्षेपी आयाम न्यूनतम पूर्णांक है (यदि ऐसा है, अन्यथा ∞) n ऐसा है कि Ext^N
_A(–,M) = 0 सभी N > n के लिए।

अविघटनीय

एक इंजेक्शन मॉड्यूल का प्रत्येक इंजेक्शन सबमॉड्यूल एक सीधा योग है, इसलिए अविघटनीय मॉड्यूल इंजेक्शन मॉड्यूल को समझना महत्वपूर्ण है, (Lam 1999, §3F).

प्रत्येक अविघटनीय इंजेक्टिव मॉड्यूल में एक स्थानीय रिंग एंडोमोर्फिज्म रिंग होती है। एक मॉड्यूल को एक समान मॉड्यूल कहा जाता है यदि प्रत्येक दो गैर-शून्य सबमॉड्यूल में गैर-शून्य चौराहा होता है। एक इंजेक्शन मॉड्यूल एम के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं:

• एम अविघटनीय है
• M नॉनज़रो है और हर नॉनज़रो सबमॉड्यूल का इंजेक्शन हल है
• एम एकसमान है
• एम एक समान मॉड्यूल का इंजेक्शन हल है
• एम एक समान चक्रीय मॉड्यूल का इंजेक्शन पतवार है
• एम में एक स्थानीय एंडोमोर्फिज्म रिंग है

नोथेरियन रिंग के ऊपर, प्रत्येक इंजेक्शन मॉड्यूल (विशिष्ट रूप से निर्धारित) अविघटनीय इंजेक्शन मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है। एक क्रमविनिमेय नोथेरियन रिंग के ऊपर, यह में वर्णित सभी इंजेक्शन मॉड्यूल की विशेष रूप से अच्छी समझ देता है (Matlis 1958). अविघटनीय इंजेक्टिव मॉड्यूल, रिंग आर के एक प्रमुख आदर्श के लिए मॉड्यूल आर / पी के इंजेक्शन हल्स हैं। इसके अलावा, आर / पी के इंजेक्शन हल एम में मॉड्यूल एम द्वारा एक बढ़ती हुई निस्पंदन है।_n आदर्शों के विनाशकों द्वारा दिया गया पी^एन, और एम_n+1/एम_n होम के लिए R/p के भागफल क्षेत्र k(p) पर परिमित-आयामी सदिश स्थान के रूप में आइसोमॉर्फिक है_R/p(पी^एन/p^{एन+1 </सुप>, के(पी))।}

अंगूठियों का परिवर्तन

विशेष रूप से बहुपद रिंगों के लिए सबरिंग्स या भागफल के छल्ले पर मॉड्यूल पर विचार करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। सामान्य तौर पर, यह कठिन है, लेकिन कई परिणाम ज्ञात हैं, (Lam 1999, p. 62).

S और R को रिंग होने दें, और P एक लेफ्ट-R, राइट-S bimodule है जो लेफ्ट-R मॉड्यूल के रूप में फ्लैट मॉड्यूल है। किसी भी इंजेक्टिव राइट एस-मॉड्यूल एम के लिए, मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म होम का सेट_S(पी, एम) एक इंजेक्शन सही आर-मॉड्यूल है। बाएँ और दाएँ गुणों के आदान-प्रदान के बाद निश्चित रूप से यही कथन लागू होता है।

उदाहरण के लिए, यदि R, S का एक सबरिंग है जैसे कि S एक फ्लैट R-मॉड्यूल है, तो प्रत्येक इंजेक्टिव S-मॉड्यूल एक इंजेक्टिव R-मॉड्यूल है। विशेष रूप से, यदि R एक अभिन्न डोमेन है और S इसके अंशों का क्षेत्र है, तो S पर प्रत्येक सदिश स्थान एक अंतःक्षेपी R-मॉड्यूल है। इसी तरह, प्रत्येक इंजेक्टिव आर [एक्स] -मॉड्यूल एक इंजेक्शन आर-मॉड्यूल है।

विपरीत दिशा में, एक अंगूठी समरूपता $f:S\to R$ बाएँ और दाएँ गुणन द्वारा R को बाएँ-R, दाएँ-S द्विमॉड्यूल में बनाता है। अपने आप में मुक्त मॉड्यूल होने के नाते आर भी मुफ्त मॉड्यूल # फ्री और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल बाएं आर-मॉड्यूल के रूप में है। पी = आर के लिए उपरोक्त कथन की विशेषज्ञता, यह कहता है कि जब एम एक इंजेक्टिव सही एस-मॉड्यूल सह-प्रेरित मॉड्यूल है $f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)$ एक इंजेक्शन सही आर-मॉड्यूल है। इस प्रकार, च पर संयोग इंजेक्शन एस-मॉड्यूल से इंजेक्शन आर-मॉड्यूल पैदा करता है।

भागफल वलय R/I के लिए, वलय का परिवर्तन भी बहुत स्पष्ट है। एक आर-मॉड्यूल ठीक उसी समय एक आर/आई-मॉड्यूल होता है जब इसे I. द्वारा विलोपित किया जाता है। सबमॉड्यूल एन_I(M) = {m in M: im = 0 for all i in I} बाएं आर-मॉड्यूल एम का एक बायां सबमॉड्यूल है, और एम का सबसे बड़ा सबमॉड्यूल है जो एक आर/आई-मॉड्यूल है। यदि एम एक इंजेक्शन बाएं आर-मॉड्यूल है, तो एन_I(एम) एक इंजेक्टिव लेफ्ट आर/आई-मॉड्यूल है। इसे R='Z', I=n'Z' और M='Q'/'Z' पर लागू करने पर, एक परिचित तथ्य यह मिलता है कि 'Z'/n'Z' अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में इंजेक्शन है। हालांकि इंजेक्टिव आर-मॉड्यूल को इंजेक्टिव आर/आई-मॉड्यूल में परिवर्तित करना आसान है, यह प्रक्रिया इंजेक्शनी आर-रिज़ॉल्यूशन को इंजेक्टिव आर/आई-रेज़ोल्यूशन में परिवर्तित नहीं करती है, और परिणामी कॉम्प्लेक्स की समरूपता प्रारंभिक और मौलिक क्षेत्रों में से एक है आपेक्षिक समजातीय बीजगणित का अध्ययन।

पाठ्यपुस्तक (Rotman 1979, p. 103) के पास एक गलत सबूत है कि अंगूठी का स्थानीयकरण इंजेक्शन को संरक्षित करता है, लेकिन इसमें एक काउंटर उदाहरण दिया गया था (Dade 1981).

सेल्फ-इंजेक्शन रिंग्स

एकता के साथ प्रत्येक अंगूठी एक मुक्त मॉड्यूल है और इसलिए एक मॉड्यूल के रूप में एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल है, लेकिन यह एक अंगूठी के लिए एक मॉड्यूल के रूप में इंजेक्टिव होने के लिए दुर्लभ है, (Lam 1999, §3B). यदि एक अंगूठी सही मॉड्यूल के रूप में खुद पर इंजेक्टिव है, तो इसे राइट सेल्फ-इंजेक्शन रिंग कहा जाता है। प्रत्येक फ्रोबेनियस बीजगणित स्व-अंतःक्षेपी है, लेकिन कोई भी अभिन्न डोमेन जो एक क्षेत्र (गणित) नहीं है, स्वयं-अंतःक्षेपी है। डेडेकाइंड डोमेन का हर उचित कोशेंट रिंग सेल्फ-इंजेक्शन है।

एक सही नोथेरियन रिंग, राइट सेल्फ-इंजेक्शन रिंग को अर्ध-फ्रोबेनियस रिंग कहा जाता है, और यह दो तरफा आर्टिनियन रिंग और दो तरफा इंजेक्शन है, (Lam 1999, Th. 15.1). अर्ध-फ्रोबेनियस रिंगों का एक महत्वपूर्ण मॉड्यूल सैद्धांतिक गुण यह है कि प्रक्षेपी मॉड्यूल बिल्कुल इंजेक्शन मॉड्यूल हैं।

सामान्यीकरण और विशेषज्ञता

इंजेक्शन वाली वस्तुएं

Main article: injective object

एक मॉड्यूल श्रेणियों की तुलना में श्रेणी (गणित) में इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट्स के बारे में भी बात करता है, उदाहरण के लिए फ़ंक्टर श्रेणी में या ओ के शेफ (गणित) की श्रेणियों में_Xकुछ चक्राकार स्थान पर -मॉड्यूल (X, O_X). निम्नलिखित सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है: श्रेणी सी का एक ऑब्जेक्ट क्यू 'इंजेक्शन' है यदि किसी एकरूपता के लिए एफ: एक्स → वाई सी में और कोई मॉर्फिज्म जी: एक्स → क्यू में एक मॉर्फिज्म मौजूद है: वाई → क्यू एचएफ = जी के साथ .

विभाज्य समूह

Main article: divisible group

एबेलियन समूहों की श्रेणी में इंजेक्शन वस्तु की धारणा को विभाज्य समूह शब्द के तहत इंजेक्शन मॉड्यूल से कुछ हद तक स्वतंत्र रूप से अध्ययन किया गया था। यहां एक जेड-मॉड्यूल एम इंजेक्टिव है अगर और केवल अगर एन⋅एम = एम हर गैर शून्य पूर्णांक एन के लिए। यहां फ्लैट मॉड्यूल, शुद्ध सबमॉड्यूल और इंजेक्शन मॉड्यूल के बीच संबंध अधिक स्पष्ट हैं, क्योंकि यह केवल पूर्णांक द्वारा मॉड्यूल तत्वों के कुछ विभाज्य गुणों को संदर्भित करता है।

शुद्ध इंजेक्शन

Main article: pure injective module

रिश्तेदार होमोलॉजिकल बीजगणित में, समरूपता की विस्तार संपत्ति सभी के बजाय केवल कुछ सबमॉड्यूल के लिए आवश्यक हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अंतःक्षेपी मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल होता है जिसमें शुद्ध सबमॉड्यूल से समरूपता को पूरे मॉड्यूल तक बढ़ाया जा सकता है।

संदर्भ

पाठ्यपुस्तकें

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Rings and Categories of Modules, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97845-1, retrieved 30 July 2016
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• Golan, Jonathan S.; Head, Tom (1991), Modules and the structure of rings, Monographs and पाठ्यपुस्तकें in Pure and Applied Mathematics, vol. 147, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, MR 1201818
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, vol. 85, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-599250-3, MR 0538169

प्राथमिक स्रोत

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• Chase, Stephen U. (1960), "Direct products of modules", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, Vol. 97, No. 3, 97 (3): 457–473, doi:10.2307/1993382, JSTOR 1993382, MR 0120260
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• Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics, 8: 511–528, doi:10.2140/pjm.1958.8.511, ISSN 0030-8730, MR 0099360
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• Utumi, Yuzo (1956), "On quotient rings", Osaka Journal of Mathematics, 8: 1–18, ISSN 0030-6126, MR 0078966
• Vámos, P. (1983), "Ideals and modules testing injectivity", Communications in Algebra, 11 (22): 2495–2505, doi:10.1080/00927878308822975, MR 0733337

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