सदिश कलन

Not to be confused with Geometric calculus or Matrix calculus.

सदिश कलन, या सदिश विश्लेषण, मुख्य रूप से 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{3}.$ में सदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न और अभिन्न अंग से संबंधित है सदिश कलन शब्द को कभी-कभी बहुविकल्पीय कलन के व्यापक विषय के समानार्थी के रूप में प्रयोग किया जाता है, जो सदिश कलन के साथ-साथ आंशिक व्युत्पन्न और एक से अधिक अभिन्न अंग भी फैलाता है। सदिश कलन अवकलन ज्यामितीय में और आंशिक अवकलन समीकरण अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और द्रव प्रवाह के विवरण में।

सदिश कलन को 19वीं सदी के अंत में जे. विलार्ड गिब्स और ओलिवर हीविसाइड द्वारा चार का समुदाय विश्लेषण से विकसित किया गया था, और अधिकांश संकेतन और शब्दावली गिब्स और एडविन बिडवेल विल्सन ने अपनी 1901 की पुस्तक, सदिश एनालिसिस में स्थापित की थी। क्रॉस उत्पादों का उपयोग करने वाले पारंपरिक रूप में, सदिश कलन उच्च आयामों को सामान्यीकृत नहीं करता है, जबकि ज्यामितीय बीजगणित का वैकल्पिक दृष्टिकोण जो बाहरी उत्पादों का उपयोग करता है (देखें § Generalizations के लिए नीचे)।

मूल वस्तुएं

अदिश क्षेत्र

Main article: Scalar field

एक अदिश क्षेत्र एक अदिश (गणित) मान को अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु से जोड़ता है। अदिश एक गणितीय संख्या है है जो एक भौतिकी मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। अनुप्रयोगों में अदिश क्षेत्रों के उदाहरणों में पूरे अंतरिक्ष में तापमान वितरण, द्रव में दबाव वितरण, और स्पिन-शून्य क्वांटम क्षेत्र (स्केलर बोसॉन के रूप में जाना जाता है), जैसे हिग्स क्षेत्र शामिल हैं। ये क्षेत्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत के विषय हैं।

सदिश क्षेत्र

Main article: Vector field

एक सदिश क्षेत्र एक अंतरिक्ष (गणित) में प्रत्येक बिंदु के लिए एक सदिश (ज्यामिति) का एक

कार्यभार है। उदाहरण के लिए, विमान में एक सदिश क्षेत्र को दिए गए परिमाण और विमान में एक बिंदु से जुड़ी प्रत्येक दिशा के साथ तीरों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है। सदिश क्षेत्र अक्सर नमूना के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, पूरे अंतरिक्ष में एक गतिशील तरल पदार्थ की गति और दिशा, या चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण बल जैसे कुछ बल की ताकत और दिशा, क्योंकि यह बिंदु से बिंदु में बदलती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग एक रेखा पर किए गए कार्य (भौतिकी) की गणना के लिए किया जा सकता है।

सदिश और स्यूडोसदिश

अधिक विकसित उपचारों में, स्यूडोसदिश क्षेत्र और स्यूडोअदिस क्षेत्र को अलग किया जाता है, जो सदिश क्षेत्र और अदिस क्षेत्र के समान होते हैं, इसके अतिरिक्त कि वे ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग मैप के तहत साइन बदलते हैं: उदाहरण के लिए, सदिश क्षेत्र का कर्ल (गणित) एक है स्यूडोसदिश क्षेत्र, और यदि कोई सदिश क्षेत्र को दर्शाता है, तो कर्ल विपरीत दिशा में दर्शाता करता है। इस अंतर को ज्यामितीय बीजगणित में स्पष्ट और विस्तृत किया गया है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

सदिश बीजगणित

Main article: Euclidean vector § Basic properties

सदिश कलन में बीजगणितीय (गैर-विभेदक) संचालन को सदिश बीजगणित के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे सदिश स्थान के लिए परिभाषित किया जाता है और फिर विश्व स्तर पर सदिश क्षेत्र में लागू किया जाता है। बुनियादी बीजगणितीय संचालन में शामिल हैं:

Notations in vector calculus

Operation	Notation	Description
Vector जोड़	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Addition of two vectors, yielding a vector.
Scalar multiplication	$a\mathbf {v}$	Multiplication of a scalar and a vector, yielding a vector.
Dot product	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Multiplication of two vectors, yielding a scalar.
Cross product	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Multiplication of two vectors in $\mathbb {R} ^{3}$, yielding a (pseudo)vector.

समान्यता उपयोग किए जाने वाले दो ट्रिपल उत्पाद भी हैं:

Vector calculus triple products

Operation	Notation	Description
Scalar triple product	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	The dot product of the cross product of two vectors.
Vector triple product	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	The cross product of the cross product of two vectors.

प्रचालक और प्रमेय

Main article: Vector calculus identities

विभेदक प्रचालक

Main articles: Gradient, Divergence, Curl (mathematics), and Laplacian

सदिश कलन, अदिश या सदिश क्षेत्रों पर परिभाषित विभिन्न अवकल संकारकों का अध्ययन करता है, जो विशिष्ट रूप से डेल प्रचालक ($\nabla$), के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं, जिसे नबला के नाम से भी जाना जाता है। तीन बुनियादी सदिश प्रचालक हैं:

Differential operators in vector calculus

Operation	Notation	Description	Notational analogy	Domain/Range
Gradient	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Measures the rate and direction of change in a scalar field.	Scalar multiplication	Maps scalar fields to vector fields.
Divergence	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Measures the scalar of a source or sink at a given point in a vector field.	Dot product	Maps vector fields to scalar fields.
Curl	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Measures the tendency to rotate about a point in a vector field in $\mathbb {R} ^{3}$.	Cross product	Maps vector fields to (pseudo)vector fields.

इस्तेमाल किए जाने वाले समान्यता दो लाप्लास प्रचालक भी हैं:

Laplace operators in vector calculus

Operation	Notation	Description	Domain/Range
Laplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Measures the difference between the value of the scalar field with its average on infinitesimal balls.	Maps between scalar fields.
Vector Laplacian	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Measures the difference between the value of the vector field with its average on infinitesimal balls.	Maps between vector fields.
f denotes a scalar field and F denotes a vector field

जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक नामक एक मात्रा कार्यों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होती है जब फलन के डोमेन और रेंज दोनों बहुविकल्पीय होते हैं, जैसे एकीकरण के दौरान चर के परिवर्तन।

अभिन्न प्रमेय

तीन बुनियादी सदिश प्रचालको से संबंधित प्रमेय होते हैं जो कलन के मौलिक प्रमेय को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करते हैं:

Integral theorems of vector calculus

Theorem	Statement	Description
Gradient theorem	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	The line integral of the gradient of a scalar field over a curve L is equal to the change in the scalar field between the endpoints p and q of the curve.
Divergence theorem	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	The integral of the divergence of a vector field over an n-dimensional solid V is equal to the flux of the vector field through the (n−1)-dimensional closed boundary surface of the solid.
Curl (Kelvin–Stokes) theorem	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	The integral of the curl of a vector field over a surface Σ in $\mathbb {R} ^{3}$ is equal to the circulation of the vector field around the closed curve bounding the surface.

विचलन और कर्ल प्रमेय दो आयामों में, ग्रीन के प्रमेय को कम करते हैं:

Green's theorem of vector calculus

Theorem	Statement	Description
Green's theorem	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	The integral of the divergence (or curl) of a vector field over some region A in $\mathbb {R} ^{2}$ equals the flux (or circulation) of the vector field over the closed curve bounding the region.
For divergence, F = (M, −L). For curl, F = (L, M, 0). L and M are functions of (x, y).

अनुप्रयोग

रैखिक सन्निकटन

Main article: Linear approximation

रैखिक सन्निकटन का उपयोग जटिल कार्यों को रैखिक कार्यों के साथ बदलने के लिए किया जाता है जो लगभग समान होते हैं। वास्तविक मूल्यों के साथ एक अलग कार्य f(x, y), को देखते हुए कोई सूत्र द्वारा (a, b) के करीब (x, y) के लिये f(x, y) अनुमान लगा सकता है

$f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).$

दायीं ओर z = f(x, y) पर (a, b). के ग्राफ पर समतल स्पर्शरेखा का समीकरण है

अनुकूलन

Main article: Mathematical optimization

कई वास्तविक चरों के निरंतर भिन्न होने वाले फलन के लिए, एक बिंदु P (अर्थात, इनपुट चर के लिए मानों का एक सेट, जिसे 'R' में एक बिंदु के रूप में देखा जाता है)ⁿ) 'महत्वपूर्ण' है यदि फलन के सभी आंशिक अवकलज P पर शून्य हैं, या, समकक्ष, यदि इसकी प्रवणता शून्य है। महत्वपूर्ण मान महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फलन के मान हैं।

यदि फलन सुचारू रूप से कार्य करता है, या कम से कम दो बार निरंतर भिन्न होता है, तो एक महत्वपूर्ण बिंदु या तो एक स्थानीय अधिकतम, एक स्थानीय न्यूनतम या एक काठी बिंदु हो सकता है। दूसरे अवकलज के हेस्सियन मैट्रिक्स के हैजेनमान ​​​​पर विचार करके विभिन्न मामलों को अलग किया जा सकता है।

फर्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) | फर्मेट के प्रमेय द्वारा, एक अलग-अलग फलन के सभी स्थानीय उच्तम और निम्नतम महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होते हैं। इसलिए, सैद्धांतिक रूप से,स्थानीय उच्तम और निम्नतम को खोजने के लिए इन शून्यों पर हेस्सियन मैट्रिक्स के प्रवणता के शून्य और हैजेनमान की गणना करना पर्याप्त है।

भौतिकी और अभियांत्रिकी

अध्ययन में सदिश कलन विशेष रूप से उपयोगी है:

• द्रव्यमान केंद्र
• क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी)
• गतिकी
• मैक्सवेल के समीकरण

सामान्यीकरण

विभिन्न 3-कई गुना

सदिश कलन को शुरू में यूक्लिडियन 3-स्पेस $\mathbb {R} ^{3},$ के लिए परिभाषित किया गया है, जिसमें केवल 3-आयामी वास्तविक सदिश स्थान होने से परे अतिरिक्त संरचना है, अर्थात्: एक आंतरिक उत्पाद (डॉट उत्पाद ) के माध्यम से परिभाषित एक मानदंड (गणित) (लंबाई की धारणा देना), जो बदले में कोण की धारणा और एक अभिविन्यास देता है, जो बाएं हाथ और दाएं हाथ की धारणा देती है। ये संरचनाएं एक आयतन रूप को जन्म देती हैं, और क्रॉस उत्पाद भी, जिसका व्यापक रूप से सदिश कलन में उपयोग किया जाता है।

प्रवणता और विचलन के लिए केवल आंतरिक उत्पाद की आवश्यकता होती है, जबकि कर्ल और क्रॉस उत्पाद को भी समन्वय प्रणाली की आवश्यकता को ध्यान में रखा जाना चाहिए (अधिक विवरण के लिए क्रॉस उत्पाद # हैंडेडनेस देखें)।

सदिश कलन को अन्य 3-आयामी वास्तविक सदिश रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है यदि उनके पास एक आंतरिक उत्पाद (या अधिक आम तौर पर एक सममित अविकृत रूप) और एक अभिविन्यास है; ध्यान दें कि यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए एक समरूपता से कम जानकारी है, क्योंकि इसमें निर्देशांक (संदर्भ का एक फ्रेम) के समूह की आवश्यकता नहीं होती है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि सदिश कलन घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है (विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3)) .

सामान्यतः से अधिक सदिश कलन को किसी भी 3-आयामी स्पष्ट रिमेंनियन कई गुना पर परिभाषित किया जा सकता है, या अधिक सामान्यतः छद्म-रिमेंनियन मैनिफोल्ड। इस संरचना का सीधा सा मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में एक आंतरिक उत्पाद होता है (अधिक सामान्यतः, एक सममित अविकृत रूप) और एक अभिविन्यास, या अधिक विश्व स्तर पर कि एक सममित अविकृत रूप मीट्रिक टेंसर और एक अभिविन्यास है, और काम करता है क्योंकि सदिश कलन को प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश के संदर्भ में परिभाषित किया गया है

अन्य आयाम

अधिकांश विश्लेषणात्मक परिणामों को अधिक सामान्य रूप में, आसानी से समझा जा सकता है, विभेदक ज्यामिति तन्त्र का उपयोग करते हुए, जिनमें से सदिश कलन एक उपसमूह बनाता है। ग्रैड और डिव तुरंत अन्य आयामों के लिए सामान्यीकरण करते हैं, जैसा कि प्रवणता प्रमेय, विचलन प्रमेय, और लाप्लासियन (उपज देने वाले हार्मोनिक विश्लेषण) करते हैं, जबकि कर्ल और क्रॉस उत्पाद सीधे सामान्यीकरण नहीं करते हैं।

एक सामान्य दृष्टिकोण से, (3-आयामी) सदिश कलन में विभिन्न क्षेत्रों को समान रूप से k-सदिश क्षेत्र के रूप में देखा जाता है: स्केलर क्षेत्र 0-सदिश क्षेत्र हैं, सदिश क्षेत्र 1-सदिश क्षेत्र हैं, स्यूडोसदिश क्षेत्र 2-सदिश क्षेत्र हैं, और स्यूडोस्केलर क्षेत्र 3-सदिश क्षेत्र हैं। उच्च आयामों में अतिरिक्त प्रकार के क्षेत्र हैं (स्केलर/सदिश/स्यूडोसदिश/स्यूडोस्केलर 0/1/n−1/n आयामों के अनुरूप, जो आयाम 3 में संपूर्ण है), इसलिए कोई केवल (छद्म) स्केलर के साथ काम नहीं कर सकता है और ( छद्म) वैक्टर।

एक गैर-डीजेनरेट फॉर्म मानते हुए,किसी भी आयाम में स्केलर फलन का श्रेणी एक सदिश क्षेत्र होता है, और सदिश क्षेत्र का डिव एक अदिश फलन होता है, लेकिन केवल आयाम 3 या 7 में (और, क्षुद्र रूप से, आयाम 0 या 1 में) एक सदिश क्षेत्र का कर्ल एक सदिश क्षेत्र है, और केवल 3 या सात-आयामी क्रॉस उत्पाद आयामों में एक क्रॉस उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है (अन्य आयामों में सामान्यीकरण या तो आवश्यकता होती है $n-1$ सदिश 1 सदिश प्राप्त करने के लिए, या वैकल्पिक झूठ बीजगणित हैं, जो अधिक सामान्य एंटीसिमेट्रिक बिलिनियर उत्पाद हैं)। ग्रेड और डिव का सामान्यीकरण, और कर्ल को कैसे सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसे कर्ल (गणित) में संक्षेप किया गया है, एक सदिश क्षेत्र का कर्ल एक द्विभाजक क्षेत्र है, जिसे अनन्तसूक्ष्म घुमावों के विशेष ऑर्थोगोनल झूठ बीजगणित के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; हालाँकि, इसे सदिश क्षेत्र से पहचाना नहीं जा सकता क्योंकि आयाम भिन्न हैं - 3 आयामों में घुमाव के 3 आयाम हैं, लेकिन 4 आयामों में घुमाव के 6 आयाम हैं (और अधिक सामान्यतः $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ n आयामों में घुमावों के आयाम)।

सदिश कलन के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक सामान्यीकरण हैं। पहला, ज्यामितीय बीजगणित, सदिश क्षेत्र के अतिरिक्त एक से अधिक सदिश | k-सदिश क्षेत्र का उपयोग करता है (3 या उससे कम आयामों में, प्रत्येक के-सदिश क्षेत्र को अदिस फलन या सदिश क्षेत्र से पहचाना जा सकता है, लेकिन यह उच्च आयामों में सत्य नहीं है)। यह क्रॉस उत्पाद को प्रतिस्थापित करता है, जो 3 आयामों के लिए विशिष्ट है, दो सदिश क्षेत्रों में ले रहा है और आउटपुट के रूप में एक सदिश क्षेत्र दे रहा है, बाहरी उत्पाद के साथ, जो सभी आयामों में मौजूद है और दो सदिश क्षेत्रों में लेता है, आउटपुट के रूप में एक बायसदिश (2-सदिश) क्षेत्र। यह उत्पाद सदिश रिक्त स्थान पर बीजीय संरचना के रूप में क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करता है (एक अभिविन्यास और गैर डिजेनरेट फॉर्म के साथ)। ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग ज्यादातर भौतिकी के सामान्यीकरण और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में उच्च आयामों में किया जाता है।

दूसरा सामान्यीकरण सदिश क्षेत्र या के-सदिश क्षेत्र के बजाय अवकलन अवस्था (k-सदिश क्षेत्र) का उपयोग करता है, और गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से विभेदक ज्योमेट्री, ज्यामितीय टोपोलॉजी और हार्मोनिक विश्लेषण में, विशेष रूप से उन्मुख छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर हॉज सिद्धांत देने वाले। इस दृष्टिकोण से, ग्रेड, कर्ल और डिव क्रमशः 0-रूपों, 1-रूपों और 2-रूपों के बाहरी व्युत्पन्न के अनुरूप हैं, और सदिश कलन के प्रमुख प्रमेय स्टोक्स प्रमेय के सामान्य रूप के सभी विशेष मामले हैं।

इन दोनों सामान्यीकरणों के दृष्टिकोण से, सदिश कलन गणितीय रूप से विशिष्ट वस्तुओं की स्पष्ट रूप से पहचान करता है, जो प्रस्तुति को सरल बनाता है लेकिन अंतर्निहित गणितीय संरचना और सामान्यीकरण कम स्पष्ट होता है।

ज्यामितीय बीजगणित के दृष्टिकोण से, सदिश कलन स्पष्ट रूप से सदिश क्षेत्र या अदिस फलन के साथ के-सदिश क्षेत्र की पहचान करता है: 0-वैक्टर और अदिश के साथ 3-सदिश, 1-वैक्टर और वैक्टर के साथ 2-सदिश। विभेदक रूपों के दृष्टिकोण से, सदिश कलन स्पष्ट रूप से अदिश क्षेत्र या सदिश क्षेत्र के साथ k-अवस्था की पहचान करता है: 0-अवस्था और 3-अवस्था अदिश क्षेत्र के साथ, 1-अवस्था और 2-अवस्था सदिश क्षेत्र के साथ। इस प्रकार उदाहरण के लिए कर्ल स्वाभाविक रूप से एक सदिश क्षेत्र या 1-अवस्था इनपुट के रूप में लेता है, लेकिन स्वाभाविक रूप से आउटपुट के रूप में 2-सदिश क्षेत्र या 2-अवस्था (इसलिए स्यूडोसदिश क्षेत्र) होता है, जिसे सीधे सदिश क्षेत्र के रूप में व्याख्या किया जाता है, बजाय सीधे लेने के सदिश क्षेत्र से सदिश क्षेत्र; यह उच्च आयामों में एक सदिश क्षेत्र के कर्ल में परिलक्षित होता है, जिसमें सदिश क्षेत्र का उत्पादन नहीं होता है।

यह भी देखें

• वास्तविक मूल्यवान समारोह
• एक वास्तविक चर का कार्य
• कई वास्तविक चर का कार्य
• वेक्टर पथरी पहचान
• वेक्टर बीजगणित संबंध
• डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में
• दिशात्मक व्युत्पन्न
• रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र
• सोलेनॉइडल वेक्टर फील्ड
• लाप्लासियन वेक्टर क्षेत्र
• हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
• ऑर्थोगोनल निर्देशांक
• तिरछा निर्देशांक
• वक्रीय निर्देशांक
• टेंसर
• ज्यामितीय कलन

संदर्भ

स्रोत

• सैंड्रो कैपरिनी (2002) क्षणों और कोणीय वेग के वेक्टर प्रतिनिधित्व की खोज, सटीक विज्ञान के इतिहास के लिए पुरालेख 56:151–81 .
• Crowe, Michael J. (1967). वेक्टर विश्लेषण का इतिहास: एक वेक्टरियल सिस्टम के विचार का विकास (reprint ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
• Marsden, J. E. (1976). वेक्टर पथरी. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
• Schey, H. M. (2005). डिव ग्रैड कर्ल और वह सब: वेक्टर कलन पर एक अनौपचारिक पाठ. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
• बैरी स्पेन (1965) वेक्टर विश्लेषण, दूसरा संस्करण, इंटरनेट आर्काइव से लिंक।
• चेन-टू ताई (1995)। वेक्टर विश्लेषण का एक ऐतिहासिक अध्ययन। तकनीकी रिपोर्ट आरएल 915, विकिरण प्रयोगशाला, मिशिगन विश्वविद्यालय।

बाहरी संबंध

• "Vector analysis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Vector algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
• Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis