लम्बवत

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खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।

प्राथमिक ज्यामिति में, दो ज्यामितीय वस्तु एं लंबवत होती हैं यदि वे एक समकोण (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को 'लंबवत प्रतीक ', का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।

लंबवतता ओर्थोगोनालिटी की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके सामान्य (ज्यामिति) के बीच।

परिभाषाएँ

एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा कोण ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को सममित दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।

लंबवतता आसानी से रेखा खंड ों और रे (ज्यामिति) तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड ${\overline {AB}}$ एक रेखा खंड के लंबवत है ${\overline {CD}}$ यदि, जब प्रत्येक को एक अनंत रेखा बनाने के लिए दोनों दिशाओं में बढ़ाया जाता है, तो ये दो परिणामी रेखाएँ ऊपर के अर्थ में लंबवत होती हैं। प्रतीकों में, ${\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}$ अर्थात रेखाखंड AB, रेखाखंड CD पर लंबवत है। एक रेखा को एक समतल (ज्यामिति) के लिए लंबवत कहा जाता है यदि यह उस समतल की प्रत्येक रेखा के लंबवत हो जिस पर यह प्रतिच्छेद करता है। यह परिभाषा रेखाओं के बीच लंबवतता की परिभाषा पर निर्भर करती है।

अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है।

लम्ब का पाद

पैर शब्द का प्रयोग अक्सर लंबवत के संबंध में किया जाता है। इस प्रयोग का उदाहरण शीर्ष आरेख, ऊपर, और इसके शीर्षक में दिया गया है। आरेख किसी भी अभिविन्यास में हो सकता है। जरूरी नहीं कि पैर नीचे ही हो।

अधिक सटीक, चलो A एक बिंदु हो और m एक पंक्ति। यदि B चौराहे का बिंदु है m और अद्वितीय रेखा के माध्यम से A जो के लंबवत है m, फिर B के माध्यम से इस लंब का पैर कहा जाता है A.

लंब का निर्माण

Construction of the perpendicular (blue) to the line AB through the point P.

Construction of the perpendicular to the half-line h from the point P (applicable not only at the end point A, M is freely selectable), animation at the end with pause 10 s

कंपास-और-सीधा निर्माण का उपयोग करके बिंदु P के माध्यम से रेखा AB पर लंबवत बनाने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें (बाएं चित्र देखें):

• चरण 1 (लाल): रेखा AB पर बिंदु A' और B' बनाने के लिए P पर केंद्र के साथ एक वृत्त की रचना करें, जो P से समान दूरी पर हैं।
• चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले A' और B' पर केंद्रित वृत्त बनाएं। माना Q और P इन दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
• चरण 3 (नीला): वांछित लंबवत PQ बनाने के लिए Q और P को कनेक्ट करें।

यह सिद्ध करने के लिए कि PQ AB पर लंबवत है, सर्वांगसमता (ज्यामिति)#QPA' और QPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण OPA' और OPB' बराबर हैं। फिर सर्वांगसमता (ज्यामिति)#त्रिभुजों OPA' और OPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण POA और POB बराबर हैं।

थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा g पर या बिंदु P से होकर लंब बनाने के लिए, दाईं ओर एनीमेशन देखें।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है।

समानांतर रेखाओं के संबंध में

तीर के निशान इंगित करते हैं कि अनुप्रस्थ रेखा c द्वारा काटी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं।

यदि दो रेखाएँ (ए और बी) दोनों एक तीसरी रेखा (सी) के लंबवत हैं, तो तीसरी रेखा के साथ बने सभी कोण समकोण हैं। इसलिए, यूक्लिडियन ज्यामिति में, कोई भी दो रेखाएँ जो दोनों एक तीसरी रेखा के लंबवत हैं, एक दूसरे के समानांतर (ज्यामिति) हैं, क्योंकि समानांतर अभिधारणा है। इसके विपरीत, यदि एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत है, तो यह उस दूसरी रेखा के समानांतर किसी भी रेखा के लंबवत भी है।

दाईं ओर की आकृति में, सभी नारंगी-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं और सभी हरे-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि लंबवत (कोण) समांतर हैं और समानांतर काटने वाले तिर्यक द्वारा गठित वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं रेखाएँ सर्वांगसम हैं। इसलिए, यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो निम्नलिखित में से कोई भी निष्कर्ष अन्य सभी की ओर ले जाता है:

• आरेख में कोणों में से एक समकोण है।
• नारंगी-छायांकित कोणों में से एक हरे-छायांकित कोणों में से एक के सर्वांगसम है।
• रेखा c, रेखा a के लंबवत है।
• रेखा c, रेखा b के लंबवत है।

कार्यों का ग्राफ

द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके ढलानों का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: y₁ = a₁x + b₁ तथा y₂ = a₂x + b₂, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि a₁a₂ = −1. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)।

एक अन्य विधि के लिए, दो रैखिक कार्य होने दें: a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0. रेखाएँ लंबवत होंगी यदि और केवल यदि a₁a₂ + b₁b₂ = 0. इस विधि को यूक्लिडियन वेक्टर के डॉट उत्पाद (या, अधिक सामान्यतः, आंतरिक उत्पाद) से सरल बनाया गया है। विशेष रूप से, दो वैक्टर को ऑर्थोगोनल माना जाता है यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है।

मंडलियों और अन्य शंकुओं में

मंडलियां

एक वृत्त का प्रत्येक व्यास उस वृत्त की स्पर्श रेखा के उस बिंदु पर लंबवत होता है जहाँ व्यास वृत्त को काटता है।

एक वृत्त के केंद्र के माध्यम से एक जीवा (ज्यामिति) को द्विभाजित करने वाला एक रेखा खंड जीवा के लंबवत होता है।

यदि किन्हीं दो लंब जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो a² + b² + c² + d² व्यास के वर्ग के बराबर है। किसी दिए गए बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग उसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं के समान होता है, और 8r द्वारा दिया जाता है² - 4p² (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और p केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है)। थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त पर एक ही बिंदु के माध्यम से लेकिन एक व्यास के विपरीत छोरों से होकर जाने वाली दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। यह कहने के बराबर है कि वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के किसी भी बिंदु पर समकोण बनाता है, व्यास के दो अंत बिंदुओं को छोड़कर।

दीर्घवृत्त

एक दीर्घवृत्त की समरूपता के प्रमुख और लघु अक्ष एक दूसरे के लंबवत होते हैं और दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं के उन बिंदुओं पर जहाँ कुल्हाड़ियाँ दीर्घवृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं।

एक दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) और प्रत्येक दाईं ओर के लंबवत होती है।

परवलय

एक पैराबोला में, समरूपता का अक्ष प्रत्येक लेटस रेक्टम, डायरेक्ट्रिक्स और टेंगेंट लाइन के उस बिंदु पर लंबवत होता है जहां धुरी पैराबोला को काटती है।

स्पर्श रेखा पर एक बिंदु से परवलय के शीर्ष तक, परवलय # परवलय के फोकस (ज्यामिति) के माध्यम से एक स्पर्शरेखा और फोकस से लंबवत का चौराहे उस बिंदु से रेखा के लिए लंबवत है।

पैराबोला # पैराबोला की ऑर्थोप्टिक संपत्ति यह है कि यदि पैराबोला के दो स्पर्शक एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं, तो वे डायरेक्ट्रिक्स पर छेड़छाड़ करते हैं। इसके विपरीत, दो स्पर्श रेखाएँ जो नियता पर प्रतिच्छेद करती हैं, लंबवत होती हैं। इसका तात्पर्य यह है कि, इसकी नियता पर किसी भी बिंदु से देखने पर, कोई भी परवलय एक समकोण बनाता है।

हाइपरबोलस

अतिशयोक्ति # नामकरण और एक हाइपरबोला की विशेषताएं संयुग्मित अक्ष और प्रत्येक डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत हैं।

हाइपरबोला पर एक बिंदु पी से लंबवत दूरी का उत्पाद या इसके संयुग्मित हाइपरबोला से अनंतस्पर्शी तक पी के स्थान से निरंतर स्वतंत्र है।

एक अतिपरवलय#आयताकार अतिपरवलय में स्पर्शोन्मुख होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं। इसमें एक विलक्षणता (गणित) के बराबर है ${\sqrt {2}}.$

बहुभुज में

त्रिकोण

एक समकोण त्रिभुज के पैर एक दूसरे के लंबवत होते हैं।

एक त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) उनके संबंधित आधार (ज्यामिति) के लंबवत होती है। त्रिभुज की ज्यामिति में भुजाओं के लंब समद्विभाजक भी प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा त्रिभुज के आधार पर लंबवत होती है।

Droz-Farny रेखा प्रमेय एक त्रिभुज के orthocenter पर प्रतिच्छेद करने वाली दो लंबवत रेखाओं की संपत्ति से संबंधित है।

हार्कोर्ट का प्रमेय एक शीर्ष (ज्यामिति) के माध्यम से रेखा खंडों के संबंध से संबंधित है और त्रिभुज के अंतःवृत्त के स्पर्शरेखा के किसी भी रेखा के लंबवत है।

चतुर्भुज

एक वर्ग या अन्य आयत में, आसन्न भुजाओं के सभी जोड़े लंबवत होते हैं। एक समलंब चतुर्भुज एक समलम्ब ाकार होता है जिसमें आसन्न भुजाओं के दो जोड़े होते हैं जो लंबवत होते हैं।

चतुर्भुज के चार कोणों में से प्रत्येक विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से एक तरफ लंबवत है।

एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसके विकर्ण लंबवत होते हैं। इनमें वर्ग, विषमकोण और पतंग (ज्यामिति) शामिल हैं। ब्रह्मगुप्त के प्रमेय के अनुसार, एक ऑर्थोडाइगोनल चतुर्भुज में, जो चक्रीय चतुर्भुज भी है, एक तरफ के मध्य बिंदु के माध्यम से और विकर्णों के चौराहे बिंदु के माध्यम से एक रेखा विपरीत दिशा में लंबवत है।

वैन औबेल के प्रमेय के अनुसार, यदि वर्गों को चतुर्भुज के किनारों पर बाहरी रूप से बनाया जाता है, तो विपरीत वर्गों के केंद्रों को जोड़ने वाले रेखा खंड लंबवत और लंबाई में बराबर होते हैं।

तीन आयामों में रेखाएँ

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में तीन पंक्तियों तक जोड़ीदार लंबवत हो सकती है, जैसा कि त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों द्वारा उदाहरण दिया गया है।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन
• स्पर्शरेखा और सामान्य घटक

संदर्भ

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52-13504
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69-12075

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• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• त्रि-आयामी स्थान

बाहरी संबंध

• Definition: perpendicular with interactive animation.
• How to draw a perpendicular bisector of a line with compass and straight edge (animated demonstration).
• How to draw a perpendicular at the endpoint of a ray with compass and straight edge (animated demonstration).