द्रव्यमान प्रवाह

भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी में द्रव्यमान प्रवाह द्रव्यमान प्रवाह दर है। इसका SI मात्रक kg m है^{-2 एस-1. सामान्य प्रतीक हैं j, J, q, Q, φ, या Φ (ग्रीक भाषा लोअर या कैपिटल Phi), कभी-कभी सबस्क्रिप्ट m के साथ द्रव्यमान को इंगित करने के लिए प्रवाहित मात्रा है। मास फ्लक्स भी फ़िक के कानून में प्रवाह के वैकल्पिक रूप का उल्लेख कर सकता है जिसमें आणविक द्रव्यमान शामिल है, या डार्सी के कानून में द्रव्यमान घनत्व शामिल है। कभी-कभी इस लेख में द्रव्यमान प्रवाह के लिए परिभाषित समीकरण का उपयोग बड़े पैमाने पर प्रवाह दर में परिभाषित समीकरण के साथ किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्रव यांत्रिकी, शाउम एट अल द्रव्यमान प्रवाह की परिभाषा का उपयोग द्रव्यमान प्रवाह दर लेख में समीकरण के रूप में करता है।}

परिभाषा

गणितीय रूप से, द्रव्यमान प्रवाह को किसी फ़ंक्शन की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है

$$j_{m}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{m}}{A}},$$

कहाँ

$$I_{m}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}$$

द्रव्यमान धारा है (द्रव्यमान का प्रवाह m प्रति यूनिट समय t) और A वह क्षेत्र है जिससे द्रव्यमान प्रवाहित होता है।

सदिश के रूप में द्रव्यमान प्रवाह के लिए j_m, एक सतह (गणित) S पर इसका सतही समाकलन, इसके बाद समयावधि में समाकलन t₁ को t₂, उस समय में सतह के माध्यम से प्रवाहित द्रव्यमान की कुल मात्रा देता है (t₂ − t₁):

$$m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.$$

प्रवाह की गणना करने के लिए आवश्यक क्षेत्र वास्तविक या काल्पनिक, सपाट या घुमावदार है, या तो क्रॉस-आंशिक क्षेत्र या सतह के रूप में।

उदाहरण के लिए, एक फिल्टर पेपर या एक कृत्रिम झिल्ली से गुजरने वाले पदार्थों के लिए, वास्तविक सतह फिल्टर का (आमतौर पर घुमावदार) सतह क्षेत्र है, मैक्रोस्कोपिक स्केल - फिल्टर/झिल्ली में छेद द्वारा फैले क्षेत्र की अनदेखी। रिक्त स्थान पार-अनुभागीय क्षेत्र होंगे। एक पाइप से गुजरने वाले तरल पदार्थ के लिए, क्षेत्र माना जाने वाले खंड में पाइप का क्रॉस-सेक्शन है।

सदिश क्षेत्र उस क्षेत्र के परिमाण का एक संयोजन है जिसके माध्यम से द्रव्यमान ए से गुजरता है, और एक इकाई वेक्टर क्षेत्र के लिए सामान्य है, $\mathbf {\hat {n}}$. सम्बन्ध है $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$.

यदि द्रव्यमान प्रवाह j_m सामान्य क्षेत्र से θ कोण पर क्षेत्र से गुजरता है $\mathbf {\hat {n}}$, तब

$$\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta$$

कहाँ · यूनिट वैक्टर का डॉट उत्पाद है। अर्थात्, सतह से गुजरने वाले द्रव्यमान प्रवाह का घटक (अर्थात इसके लिए सामान्य) है j_m cos θ, जबकि क्षेत्र में स्पर्शरेखा से गुजरने वाले द्रव्यमान प्रवाह का घटक है j_m sin θ, लेकिन वास्तव में स्पर्शरेखा दिशा में क्षेत्र से गुजरने वाला कोई द्रव्यमान प्रवाह नहीं है। द्रव्यमान प्रवाह का एकमात्र घटक जो क्षेत्र के लिए सामान्य है, कोसाइन घटक है।

उदाहरण

बहते पानी के एक पाइप पर विचार करें। मान लीजिए कि पाइप का एक स्थिर अनुप्रस्थ काट है और हम इसके एक सीधे खंड पर विचार करते हैं (किसी भी मोड़/जंक्शन पर नहीं), और मानक परिस्थितियों में पानी एक स्थिर दर पर स्थिर रूप से बह रहा है। क्षेत्र ए पाइप का क्रॉस-आंशिक क्षेत्र है। मान लीजिए कि पाइप में त्रिज्या है r = 2 cm = 2 × 10⁻² m. क्षेत्र तब है

$$A=\pi r^{2}.$$

द्रव्यमान प्रवाह की गणना करने के लिए j_m (परिमाण), हमें क्षेत्र के माध्यम से स्थानांतरित पानी के द्रव्यमान और लगने वाले समय की भी आवश्यकता है। मान लीजिए एक मात्रा V = 1.5 L = 1.5 × 10⁻³ m³ समय t = 2 s में जाता है। पानी के गुणों को मानते हुए # पानी और बर्फ का घनत्व है ρ = 1000 kg m⁻³, अपने पास:

$${\begin{aligned}\Delta m&=\rho \Delta V\\m_{2}-m_{1}&=\rho (V_{2}-V_{1})\\m&=\rho V\\\end{aligned}}$$

(चूंकि क्षेत्र से गुजरने वाली प्रारंभिक मात्रा शून्य थी, अंतिम है V, तो संगत द्रव्यमान है m), तो द्रव्यमान प्रवाह है

$$j_{m}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.$$

संख्याओं को प्रतिस्थापित करना देता है:

$$j_{m}={\frac {1000\times \left(1.5\times 10^{-3}\right)}{\pi \times \left(2\times 10^{-2}\right)^{2}\times 2}}={\frac {3}{16\pi }}\times 10^{4},$$

जो लगभग 596.8 किलोग्राम है^{-1</सुप> मी-2</सुप>.}

तरल पदार्थ के लिए समीकरण

वैकल्पिक समीकरण

सदिश परिभाषा का प्रयोग करते हुए, द्रव्यमान प्रवाह भी इसके बराबर है:

$$\mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u}$$

कहाँ:

• ρ = द्रव्यमान घनत्व,
• u = बहने वाले द्रव्यमान तत्वों का वेग क्षेत्र (अर्थात अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर पदार्थ के एक तत्व का वेग कुछ वेग सदिश है u).

कभी-कभी इस समीकरण को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है j_m वेक्टर के रूप में।

मिश्रित द्रवों के लिए द्रव्यमान और मोलर फ्लक्स

मास फ्लक्स

मामले में द्रव शुद्ध नहीं है, यानी पदार्थों का मिश्रण है (तकनीकी रूप से कई घटक पदार्थ होते हैं), मिश्रण के प्रत्येक घटक के लिए द्रव्यमान प्रवाह को अलग से माना जाना चाहिए।

द्रव प्रवाह (यानी पदार्थ का प्रवाह) का वर्णन करते समय, द्रव्यमान प्रवाह उपयुक्त होता है। कण परिवहन (बड़ी संख्या में कणों की गति) का वर्णन करते समय, एक समान मात्रा का उपयोग करना उपयोगी होता है, जिसे मोलर फ्लक्स कहा जाता है।

द्रव्यमान का प्रयोग करके घटक i का द्रव्यमान प्रवाह है

$$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.$$

घटक i का बैरीसेंट्रिक मास फ्लक्स है

$$\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),$$

कहाँ $\langle \mathbf {u} \rangle$ द्वारा दिए गए मिश्रण में सभी घटकों का औसत द्रव्यमान वेग है

$$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}$$

कहाँ

• ρ = पूरे मिश्रण का द्रव्यमान घनत्व,
• ρ_i = घटक i का द्रव्यमान घनत्व,
• u_i = घटक i का वेग।

घटकों के वेगों पर औसत लिया जाता है।

मोलर फ्लक्स

अगर हम घनत्व को बदलते हैं ρ दाढ़ घनत्व, एकाग्रता द्वारा c, हमारे पास दाढ़ प्रवाह अनुरूप हैं।

दाढ़ प्रवाह प्रति इकाई क्षेत्र में प्रति इकाई समय मोल्स की संख्या है, आम तौर पर:

$$\mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .$$

तो घटक i का दाढ़ प्रवाह है (प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय में मोल्स की संख्या):

$$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}$$

और घटक i का बैरीसेंट्रिक मोलर फ्लक्स है

$$\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),$$

कहाँ $\langle \mathbf {u} \rangle$ यह समय मिश्रण में सभी घटकों का औसत दाढ़ वेग है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:

$$\langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.$$

उपयोग

बड़े पैमाने पर प्रवाह जलगतिकी में कुछ समीकरणों में प्रकट होता है, विशेष रूप से निरंतरता समीकरण:

$$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,$$

जो द्रव के द्रव्यमान संरक्षण का कथन है। हाइड्रोडायनामिक्स में, द्रव्यमान केवल एक स्थान से दूसरे स्थान पर प्रवाहित हो सकता है।

फिक के विसरण के नियमों में मोलर फ्लक्स होता है#फिक का पहला नियम|फिक का विसरण का पहला नियम:

$$\nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n$$

कहाँ D प्रसार गुणांक है।

यह भी देखें

• मास-फ्लक्स अंश
• प्रवाह
• फिक का नियम
• डार्सी का नियम
• एयरी वेव थ्योरी#वेव मास फ्लक्स और वेव मोमेंटम
• परिभाषित समीकरण (भौतिकी)
• परिभाषा समीकरण (भौतिक रसायन विज्ञान)