विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण

For the formulation in general relativity, see Maxwell's equations in curved spacetime. For the manifestly covariant formulation in special relativity, see Classical electromagnetism and special relativity and Covariant formulation of classical electromagnetism.

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विभिन्न गणितीय विवरण हैं जिनका उपयोग विद्युत चुंबकत्व के अध्ययन में किया जाता है, जो प्रकृति के चार मौलिक इंटरैक्शन में से एक है। इस लेख में, कई दृष्टिकोणों पर चर्चा की गई है, हालांकि समीकरण विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र, क्षमता और धाराओं के साथ आवेशों के संदर्भ में हैं, आम तौर पर बोलते हैं।

वेक्टर क्षेत्र दृष्टिकोण

Main article: Classical electromagnetism

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का सबसे आम वर्णन दो त्रि-आयामी वेक्टर क्षेत्रों का उपयोग करता है जिन्हें विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र कहा जाता है। इन सदिश क्षेत्रों में प्रत्येक का मान स्थान और समय के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित होता है और इस प्रकार अक्सर उन्हें स्थान और समय के निर्देशांक के कार्यों के रूप में माना जाता है। जैसे, उन्हें अक्सर लिखा जाता है E(x, y, z, t) (विद्युत क्षेत्र) और B(x, y, z, t) (चुंबकीय क्षेत्र)।

यदि केवल विद्युत क्षेत्र (E) गैर-शून्य है, और समय में स्थिर है, तो क्षेत्र को इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र कहा जाता है। इसी प्रकार, यदि केवल चुंबकीय क्षेत्र (बी) गैर-शून्य है और समय में स्थिर है, तो क्षेत्र को चुंबकीय क्षेत्र कहा जाता है। हालांकि, अगर विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र में समय-निर्भरता है, तो मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग करके दोनों क्षेत्रों को एक युग्मित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के रूप में एक साथ माना जाना चाहिए।

वेक्टर क्षेत्र दृष्टिकोण में मैक्सवेल के समीकरण

Main article: Maxwell's equations

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का व्यवहार, चाहे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, मैग्नेटोस्टैटिक्स, या बिजली का गतिविज्ञान (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र) के मामलों में, मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा नियंत्रित होता है। मैक्सवेल-हेविसाइड के समीकरण:

Maxwell's equations (vector fields)
$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	Gauss's law
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Gauss's law for magnetism
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	Faraday's law
$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	Ampère–Maxwell law

जहां ρ चार्ज घनत्व है, जो (और अक्सर करता है) समय और स्थिति पर निर्भर करता है, ε₀ विद्युत स्थिरांक है, μ₀ चुंबकीय स्थिरांक है, और J वर्तमान प्रति इकाई क्षेत्र है, समय और स्थिति का एक कार्य भी है। समीकरण इस रूप को मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के साथ लेते हैं।

जब केवल अविक्षेपी आइसोट्रोपिक रैखिक सामग्री के साथ व्यवहार करते हैं, तो मैक्सवेल के समीकरणों को अक्सर प्रश्न में रैखिक सामग्री की पारगम्यता और पारगम्यता के साथ मुक्त स्थान की पारगम्यता और पारगम्यता को बदलकर बाध्य आवेशों को अनदेखा करने के लिए संशोधित किया जाता है। कुछ सामग्रियों के लिए जिनके पास विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए अधिक जटिल प्रतिक्रियाएं हैं, इन गुणों को टेंसरों द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, समय-निर्भरता के साथ तेजी से क्षेत्र परिवर्तन (फैलाव (ऑप्टिक्स), ग्रीन-कुबो संबंध) और संभवतः भी प्रतिक्रिया करने की सामग्री की क्षमता से संबंधित बड़े आयाम क्षेत्रों (गैर रेखीय प्रकाशिकी ) के लिए गैर-रैखिक और/या गैर-स्थानीय सामग्री प्रतिक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने वाली क्षेत्र निर्भरता।

संभावित क्षेत्र दृष्टिकोण

कई बार बिजली और चुंबकीय क्षेत्रों के उपयोग और गणना में, पहले इस्तेमाल किया गया दृष्टिकोण एक संबद्ध क्षमता की गणना करता है: विद्युत क्षमता, $\varphi$, विद्युत क्षेत्र के लिए, और चुंबकीय वेक्टर क्षमता, A, चुंबकीय क्षेत्र के लिए। विद्युत क्षमता एक अदिश क्षेत्र है, जबकि चुंबकीय क्षमता एक सदिश क्षेत्र है। यही कारण है कि कभी-कभी विद्युत क्षमता को स्केलर क्षमता कहा जाता है और चुंबकीय क्षमता को वेक्टर क्षमता कहा जाता है। इन संभावनाओं का उपयोग उनके संबंधित क्षेत्रों को निम्नानुसार खोजने के लिए किया जा सकता है:

$$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$$

$$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$$

संभावित सूत्रीकरण में मैक्सवेल के समीकरण

इन संबंधों को बाद वाले को क्षमता के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए मैक्सवेल के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। फैराडे का प्रेरण का नियम|फैराडे का नियम और चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम (सजातीय समीकरण) किसी भी क्षमता के लिए समान रूप से सत्य साबित होते हैं। इसका कारण यह है कि जिस तरह से फ़ील्ड को स्केलर और वेक्टर क्षमता के ग्रेडिएंट और कर्ल के रूप में व्यक्त किया जाता है। इन संभावनाओं के संदर्भ में सजातीय समीकरणों में कर्ल का विचलन शामिल है $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A}$ और ग्रेडिएंट का कर्ल $\nabla \times \nabla \varphi$, जो हमेशा शून्य होते हैं। मैक्सवेल के अन्य दो समीकरण (असमान समीकरण) वे हैं जो संभावित सूत्रीकरण में गतिकी का वर्णन करते हैं।

Maxwell's equations (potential formulation)

$\nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

$\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}$

एक साथ लिए गए ये समीकरण मैक्सवेल के समीकरण जितने ही शक्तिशाली और पूर्ण हैं। इसके अलावा, समस्या कुछ हद तक कम हो गई है, क्योंकि बिजली और चुंबकीय क्षेत्रों के पास हल करने के लिए छह घटक थे। संभावित निर्माण में, केवल चार घटक होते हैं: विद्युत क्षमता और वेक्टर क्षमता के तीन घटक। हालाँकि, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग करते हुए मैक्सवेल के समीकरणों की तुलना में समीकरण अधिक गड़बड़ हैं।

गेज स्वतंत्रता

इस तथ्य का लाभ उठाकर इन समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र भौतिक रूप से सार्थक मात्राएँ हैं जिन्हें मापा जा सकता है; संभावनाएं नहीं हैं। क्षमता के रूप को सीमित करने की स्वतंत्रता है, बशर्ते कि यह परिणामी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को प्रभावित न करे, जिसे गेज फिक्सिंग#गेज स्वतंत्रता कहा जाता है। विशेष रूप से इन समीकरणों के लिए, स्थिति और समय λ के दो-भिन्न अदिश फलन के किसी भी विकल्प के लिए, यदि (φ, A) किसी दिए गए सिस्टम के लिए एक समाधान है, तो दूसरी क्षमता भी है (φ′, A′) द्वारा दिए गए:

$$\varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}$$

$$\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda$$

इस स्वतंत्रता का उपयोग संभावित सूत्रीकरण को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है। ऐसे दो अदिश कार्यों में से किसी एक को आमतौर पर चुना जाता है: कूलम्ब गेज और लॉरेंज गेज।

कूलम्ब गेज

Main article: Gauge fixing § Coulomb gauge

कूलम्ब गेज को इस तरह से चुना जाता है $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0$, जो मैग्नेटोस्टैटिक्स के मामले से मेल खाती है। λ के संदर्भ में, इसका मतलब है कि इसे समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$$\nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} .$$

मैक्सवेल के समीकरणों के निम्नलिखित सूत्रीकरण में फलन के इस चुनाव का परिणाम है:

$$\nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)$$

कूलम्ब गेज में मैक्सवेल के समीकरणों के बारे में कई विशेषताएं इस प्रकार हैं। सबसे पहले, विद्युत क्षमता के लिए हल करना बहुत आसान है, क्योंकि समीकरण पोइसन के समीकरण का एक संस्करण है। दूसरे, चुंबकीय वेक्टर क्षमता को हल करना विशेष रूप से कठिन है। यह इस गेज का बड़ा नुकसान है। ध्यान देने वाली तीसरी बात, और जो तुरंत स्पष्ट नहीं होती है, वह यह है कि एक इलाके में परिस्थितियों में बदलाव के जवाब में बिजली की क्षमता हर जगह तुरंत बदल जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि स्थानीय समयानुसार दोपहर 1 बजे न्यू यॉर्क में कोई चार्ज स्थानांतरित किया जाता है, तो ऑस्ट्रेलिया में एक काल्पनिक पर्यवेक्षक जो विद्युत क्षमता को सीधे माप सकता है, वह न्यूयॉर्क समयानुसार दोपहर 1 बजे क्षमता में बदलाव को मापेगा। यह प्रतीत होता है कि विशेष सापेक्षता में कार्य-कारण का उल्लंघन करता है, अर्थात सूचना, संकेतों या प्रकाश की गति से तेज यात्रा करने वाली किसी भी चीज की असंभवता। इस स्पष्ट समस्या का समाधान इस तथ्य में निहित है कि, जैसा कि पहले कहा गया है, कोई भी पर्यवेक्षक क्षमता को माप नहीं सकता है; वे विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र को मापते हैं। इसलिए, विद्युत क्षेत्र का निर्धारण करने में उपयोग किए जाने वाले ∇φ और ∂A/∂t का संयोजन विद्युत क्षेत्र के लिए विशेष सापेक्षता द्वारा लगाई गई गति सीमा को पुनर्स्थापित करता है, जिससे सभी अवलोकन योग्य मात्राएँ सापेक्षता के अनुरूप हो जाती हैं।

लॉरेंज गेज की स्थिति

Main article: Gauge fixing § Lorenz gauge

एक गेज जो अक्सर उपयोग किया जाता है वह लॉरेंज गेज की स्थिति है। इसमें अदिश फलन λ को इस प्रकार चुना जाता है कि

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},$$

जिसका अर्थ है कि λ को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$$\nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.$$

मैक्सवेल के समीकरणों के निम्नलिखित रूप में लॉरेंज गेज का परिणाम है:

$$\nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J}$$

परिचालक $\Box ^{2}$ डी'अलेम्बर्टियन कहा जाता है (कुछ लेखक इसे केवल वर्ग द्वारा निरूपित करते हैं $\Box$). ये समीकरण तरंग समीकरण के विषम संस्करण हैं, समीकरण के दाईं ओर की शर्तों के साथ तरंग के स्रोत कार्यों के रूप में कार्य करते हैं। जैसा कि किसी भी तरंग समीकरण के साथ होता है, ये समीकरण दो प्रकार के समाधान की ओर ले जाते हैं: उन्नत क्षमता (जो भविष्य के समय में स्रोतों के विन्यास से संबंधित हैं), और मंद क्षमता (जो स्रोतों के पिछले विन्यास से संबंधित हैं); जहां कार्य-कारण के दृष्टिकोण से क्षेत्र का विश्लेषण किया जाना है, वहां आमतौर पर पूर्व की उपेक्षा की जाती है।

जैसा कि ऊपर बताया गया है, लॉरेंज गेज किसी भी अन्य गेज की तुलना में अधिक मान्य नहीं है क्योंकि क्षमता को सीधे मापा नहीं जा सकता है, हालांकि लॉरेंज गेज को लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय होने के समीकरणों का लाभ है।

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स का विस्तार

वैद्युतचुम्बकीय क्षेत्रों का विहित परिमाणीकरण, अदिश और सदिश विभवों को ऊपर उठाकर आगे बढ़ता है; φ('x'), 'A'('x'), फील्ड से क्षेत्र संचालक ्स तक। स्थानापन्न 1/c² = ε₀μ₀ पिछले लॉरेंज गेज समीकरणों में देता है:

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}$$

$$\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

यहाँ, J और ρ मामला क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का करंट और चार्ज डेंसिटी है। यदि पदार्थ क्षेत्र को चार-घटक डिराक स्पिनर क्षेत्र ψ द्वारा दिए गए डायराक समीकरण के साथ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की बातचीत का वर्णन करने के लिए लिया जाता है, तो वर्तमान और चार्ज घनत्व का रूप है:

$$\mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,$$

जहां α पहले तीन गामा आव्यूह हैं। इसका उपयोग करके, हम मैक्सवेल के समीकरणों को फिर से लिख सकते हैं:

Maxwell's equations (QED)

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi$

$\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi$

जो क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में प्रयुक्त रूप है।

ज्यामितीय बीजगणित सूत्र

टेन्सर सूत्रीकरण के अनुरूप, दो वस्तुओं, एक क्षेत्र के लिए और एक धारा के लिए, पेश किए जाते हैं। ज्यामितीय बीजगणित (जीए) में ये मल्टीवैक्टर हैं। फील्ड multivector , जिसे रीमैन-सिल्बरस्टीन वेक्टर के रूप में जाना जाता है, है

$$\mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k}$$

और वर्तमान मल्टीवेक्टर है

$$c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}$$

जहाँ, भौतिक स्थान के बीजगणित (APS) में $C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )$ वेक्टर आधार के साथ $\{\sigma _{k}\}$. इकाई छद्म अदिश है $I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ (एक अलौकिक आधार मानकर)। ऑर्थोनॉर्मल बेसिस वैक्टर पॉल मैट्रिसेस के बीजगणित को साझा करते हैं, लेकिन आमतौर पर उनके साथ समान नहीं होते हैं। व्युत्पन्न को परिभाषित करने के बाद

$${\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k}$$

मैक्सवेल के समीकरणों को एकल समीकरण में घटाया जाता है

Maxwell's equations (APS formulation)

$\left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J} ).$

तीन आयामों में, व्युत्पन्न की एक विशेष संरचना होती है जो क्रॉस उत्पाद की शुरूआत की अनुमति देती है:

$${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F}$$

जिससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि गॉस का नियम अदिश भाग है, एम्पीयर-मैक्सवेल नियम सदिश भाग है, फैराडे का नियम स्यूडोवेक्टर भाग है, और चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम समीकरण का स्यूडोस्केलर भाग है। विस्तार और पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0$$

हम APS को स्पेसटाइम बीजगणित (STA) के उप-लजेब्रा के रूप में पहचान सकते हैं। $C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )$, परिभाषित करना $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$ और $I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$. $\gamma _{\mu }$th>s में गामा आव्यूहों के समान बीजगणितीय गुण होते हैं लेकिन उनके आव्यूह निरूपण की आवश्यकता नहीं होती है। व्युत्पन्न अब है

$$\nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.$$

रीमैन-सिल्बरस्टीन एक बायवेक्टर बन जाता है

$$F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),$$

और आवेश और धारा घनत्व सदिश बन जाते हैं

$$J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).$$

पहचान के कारण

$$\gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},$$

मैक्सवेल के समीकरण एकल समीकरण में घटते हैं

Maxwell's equations (STA formulation)

$\nabla F=\mu _{0}cJ.$

विभेदक रूप दृष्टिकोण

See also: Differential form and Exterior algebra

फील्ड 2-फॉर्म

निर्वात में, कहाँ ε = ε₀ और μ = μ₀ हर जगह स्थिर हैं, एक बार अवकल ज्यामिति और अवकल रूपों की भाषा का उपयोग करने के बाद मैक्सवेल के समीकरण काफी सरल हो जाते हैं। निम्नलिखित में, गॉसियन इकाइयां | सीजीएस-गाऊसी इकाइयां, एसआई इकाइयों का उपयोग नहीं किया जाता है। (एसआई में परिवर्तित करने के लिए, गॉसियन इकाइयां देखें।) विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र अब संयुक्त रूप से एक 4-आयामी अंतरिक्ष समय मैनिफोल्ड में विभेदक रूप |2-फॉर्म एफ द्वारा वर्णित हैं। फैराडे टेंसर $F_{\mu \nu }$ (विद्युत चुम्बकीय टेंसर) को मेट्रिक हस्ताक्षर के साथ मिंकोव्स्की स्पेस में 2-फॉर्म के रूप में लिखा जा सकता है (− + + +) जैसा

$${\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}$$

जो, वक्रता रूप के रूप में, विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता का बाहरी व्युत्पन्न है,

$$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} =(\partial _{\mu }A_{\nu })\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }$$

स्रोत मुक्त समीकरणों को इस 2-फॉर्म पर बाहरी डेरिवेटिव की क्रिया द्वारा लिखा जा सकता है। लेकिन स्रोत शर्तों (गॉस के कानून और एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण) के समीकरणों के लिए, इस 2-फॉर्म के हॉज दोहरे की आवश्यकता है। हॉज स्टार ऑपरेटर एक पी-फॉर्म लेता है a (n − p)-रूप, जहाँ n आयामों की संख्या है। यहाँ, यह 2-रूप (F) लेता है और दूसरा 2-रूप देता है (चार आयामों में, n − p = 4 − 2 = 2). आधार कोटैंजेंट वैक्टर के लिए, हॉज डुअल को इस प्रकार दिया गया है (देखें Hodge star operator § Four dimensions)

$${\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,$$

और इसी तरह। इन संबंधों का उपयोग करते हुए, फैराडे 2-रूप का द्वैत मैक्सवेल टेन्सर है,

$${\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$$

वर्तमान 3-रूप, दोहरी वर्तमान 1-रूप

यहाँ, 3-रूप J को विद्युत धारा रूप या अंतर रूप#भौतिकी में अनुप्रयोग|वर्तमान 3-रूप कहा जाता है:

$$\mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$$

इसी दोहरे 1-फॉर्म के साथ:

$${{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z$$

मैक्सवेल के समीकरण क्रमशः बियांची पहचान और स्रोत समीकरण को कम करते हैं:

Maxwell's equations (current 3-form)

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$

$\mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J}$

जहां डी बाहरी व्युत्पन्न को दर्शाता है - एक प्राकृतिक समन्वय- और मीट्रिक-स्वतंत्र अंतर ऑपरेटर रूपों पर अभिनय करता है, और (दोहरी) हॉज स्टार ऑपरेटर ${\star }$ 2-रूपों के स्थान से (4 - 2) के स्थान तक एक रैखिक परिवर्तन है - मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में मीट्रिक द्वारा परिभाषित रूप (इस मीट्रिक के लिए किसी भी मीट्रिक अनुरूप ज्यामिति द्वारा भी चार आयामों में)। क्षेत्र प्राकृतिक इकाइयों में हैं जहां 1/4πε₀ = 1.

चूंकि डी² = 0, 3-फॉर्म J करंट के संरक्षण को संतुष्ट करता है (निरंतरता समीकरण#विद्युत चुंबकत्व):

$$\mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.$$

वर्तमान 3-फॉर्म को 3-आयामी स्पेस-टाइम क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है। इस इंटीग्रल की भौतिक व्याख्या उस क्षेत्र में चार्ज है यदि यह अंतरिक्ष की तरह है, या चार्ज की मात्रा जो एक सतह के माध्यम से एक निश्चित समय में बहती है यदि वह क्षेत्र एक अंतरिक्ष की तरह की सतह है जो समय-समान अंतराल को पार करती है। जैसा कि बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी कई गुना पर परिभाषित किया गया है, बियांची पहचान का अंतर रूप संस्करण किसी भी 4-आयामी कई गुना के लिए समझ में आता है, जबकि स्रोत समीकरण को परिभाषित किया जाता है यदि कई गुना उन्मुख है और लोरेंत्ज़ मीट्रिक है। विशेष रूप से मैक्सवेल समीकरणों का विभेदक रूप संस्करण सामान्य सापेक्षता में मैक्सवेल समीकरणों का एक सुविधाजनक और सहज सूत्रीकरण है।

नोट: अधिकांश साहित्य में, अंकन $\mathbf {J}$ और ${\star }\mathbf {J}$ स्विच किए जाते हैं, ताकि $\mathbf {J}$ एक 1-रूप है जिसे करंट कहा जाता है और ${\star }\mathbf {J}$ एक 3-रूप है जिसे दोहरी धारा कहा जाता है।

पदार्थ का रेखीय मैक्रोस्कोपिक प्रभाव

एक रेखीय, मैक्रोस्कोपिक सिद्धांत में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र पर पदार्थ के प्रभाव को 2-रूपों के स्थान में अधिक सामान्य रैखिक परिवर्तन के माध्यम से वर्णित किया गया है। हम बुलाते है

$$C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}$$

संवैधानिक परिवर्तन। इस परिवर्तन की भूमिका हॉज द्वैत परिवर्तन के बराबर है। पदार्थ की उपस्थिति में मैक्सवेल समीकरण बन जाते हैं:

$$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$$

$$\mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J}$$

जहां वर्तमान 3-रूप J अभी भी निरंतरता समीकरण को संतुष्ट करता है dJ = 0.

जब क्षेत्रों को आधार रूपों के रैखिक संयोजनों (बाहरी उत्पादों के) के रूप में व्यक्त किया जाता है^{पी</सुप>,}

$$\mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.$$

संवैधानिक संबंध रूप लेता है

$$G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}$$

जहां क्षेत्र गुणांक कार्य सूचकांकों में एंटीसिमेट्रिक हैं और संगत गुणांक संबंधित जोड़े में एंटीसिमेट्रिक हैं। विशेष रूप से, ऊपर चर्चा की गई निर्वात समीकरणों की ओर ले जाने वाले हॉज द्वैत परिवर्तन को लेकर प्राप्त किया जाता है

$$C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}$$

जो स्केलिंग तक इस प्रकार का एकमात्र अपरिवर्तनीय टेन्सर है जिसे मीट्रिक के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

इस सूत्रीकरण में, विद्युत चुंबकत्व तुरंत किसी भी 4-आयामी उन्मुख कई गुना या किसी भी कई गुना छोटे अनुकूलन के साथ सामान्यीकृत होता है।

वैकल्पिक मीट्रिक हस्ताक्षर

साइन परिपाटी में#मीट्रिक हस्ताक्षर|मीट्रिक हस्ताक्षर के लिए कण भौतिक विज्ञानी की साइन परिपाटी (+ − − −), संभावित 1-रूप है

$$\mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.$$

फैराडे वक्रता 2-रूप बन जाता है

$${\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}$$

और मैक्सवेल टेंसर बन जाता है

$${{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.$$

वर्तमान 3-रूप J है

$$\mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$$

और संबंधित दोहरा 1-रूप है

$${{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.$$

वर्तमान मानदंड अब सकारात्मक और बराबर है

$${\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=(\rho ^{2}+j_{x}^{2}+j_{y}^{2}+j_{z}^{2})\,{\star }(1)$$

कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म के साथ ${\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$.

घुमावदार स्पेसटाइम

पारंपरिक सूत्रीकरण

पदार्थ और ऊर्जा दिक्-काल की वक्रता उत्पन्न करते हैं। यह सामान्य सापेक्षता का विषय है। स्पेसटाइम की वक्रता इलेक्ट्रोडायनामिक्स को प्रभावित करती है। ऊर्जा और गति वाला एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र भी दिक्-काल में वक्रता उत्पन्न करता है। कर्व्ड स्पेसटाइम में मैक्सवेल के समीकरणों को फ्लैट स्पेसटाइम में सहसंयोजक डेरिवेटिव के साथ समीकरणों सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है। (क्या यह उपयुक्त सामान्यीकरण है, अलग जांच की आवश्यकता है।) स्रोत और स्रोत-मुक्त समीकरण बन जाते हैं (गाऊसी इकाइयां|सीजीएस-गाऊसी इकाइयां):

$${4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!$$

और

$$0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,$$

यहाँ,

$${\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }$$

एक क्रिस्टोफेल प्रतीक है जो स्पेसटाइम और ∇ की वक्रता को दर्शाता है_α सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है।

विभेदक रूपों के संदर्भ में सूत्रीकरण

विभेदक रूपों के संदर्भ में मैक्सवेल समीकरणों के निर्माण का उपयोग सामान्य सापेक्षता में परिवर्तन के बिना किया जा सकता है। अधिक पारंपरिक सामान्य सापेक्षतावादी सूत्रीकरण की तुल्यता को सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ विभेदक रूप सूत्रीकरण के रूप में निम्नानुसार देखा जा सकता है। स्थानीय निर्देशांक x चुनें^α जो 1-फॉर्म dx का आधार देता है^α खुले सेट के हर बिंदु पर जहाँ निर्देशांक परिभाषित हैं। इस आधार और गॉसियन इकाइयों|सीजीएस-गाऊसी इकाइयों का उपयोग करके हम परिभाषित करते हैं

• प्रतिसममित क्षेत्र टेन्सर F_αβ, फ़ील्ड 2-फ़ॉर्म F के अनुरूप
  $$\mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$$
• वर्तमान-सदिश अपरिमित 3-रूप J
  $$\mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)$$

एप्सिलॉन टेन्सर 3-फॉर्म डिफरेंशियल के साथ अनुबंधित होता है जो आवश्यक शर्तों की संख्या का 6 गुना उत्पादन करता है।

यहाँ जी हमेशा की तरह मीट्रिक टेंसर, जी का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स का निर्धारक है_αβ. एक छोटी संगणना जो क्रिस्टोफेल प्रतीकों की समरूपता (यानी, लेवी-Civita कनेक्शन की मरोड़-मुक्तता) और हॉज स्टार ऑपरेटर की सहसंयोजक स्थिरता का उपयोग करती है, तब पता चलता है कि इस समन्वय पड़ोस में हमारे पास है:

• बियांची पहचान
  $$\mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,$$
• स्रोत समीकरण
  $$\mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \eta }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\eta }=\mathbf {J} ,$$
• निरंतरता समीकरण
  $$\mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.$$

एक लाइन बंडल की वक्रता के रूप में क्लासिकल इलेक्ट्रोडायनामिक्स

मैक्सवेल के समीकरणों को तैयार करने का एक सुंदर और सहज तरीका जटिल लाइन बंडलों या प्रधान बंडल | प्रिंसिपल यू(1)-बंडल का उपयोग करना है, जिसके तंतुओं पर यू(1) समूह क्रिया (गणित) #नियमित है। कनेक्शन (प्रमुख बंडल) U(1) - कनेक्शन (गणित) ∇ लाइन बंडल पर एक वक्रता रूप है F = ∇² जो एक दो रूप है जो स्वचालित रूप से संतुष्ट करता है dF = 0 और क्षेत्र-शक्ति के रूप में व्याख्या की जा सकती है। यदि फ्लैट संदर्भ कनेक्शन के साथ लाइन बंडल तुच्छ है तो हम लिख सकते हैं ∇ = d + A और F = dA ए के साथ विभेदक रूप | 1-रूप विद्युत क्षमता और चुंबकीय सदिश क्षमता से बना है।

क्वांटम यांत्रिकी में, कनेक्शन का उपयोग सिस्टम की गतिशीलता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। यह सूत्रीकरण अहरोनोव-बोहम प्रभाव के प्राकृतिक विवरण की अनुमति देता है। इस प्रयोग में, एक लंबे चुंबकीय तार के माध्यम से एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र चलता है (उदाहरण के लिए, एक लोहे का तार अनुदैर्ध्य रूप से चुंबकित होता है)। इस तार के बाहर चुंबकीय प्रेरण शून्य है, वेक्टर क्षमता के विपरीत, जो अनिवार्य रूप से तार के क्रॉस-सेक्शन के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह पर निर्भर करता है और बाहर गायब नहीं होता है। चूँकि कोई विद्युत क्षेत्र भी नहीं है, मैक्सवेल टेंसर F = 0 प्रयोग के दौरान ट्यूब के बाहर स्पेस-टाइम क्षेत्र में। इसका मतलब परिभाषा से है कि कनेक्शन ∇ वहां सपाट है।

हालांकि, जैसा कि उल्लेख किया गया है, कनेक्शन ट्यूब के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर करता है क्योंकि ट्यूब को घेरने वाले गैर-संकुचित वक्र के साथ समरूपता उचित इकाइयों में ट्यूब के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह है। ट्यूब के चारों ओर घूमने वाली इलेक्ट्रॉन तरंग पर एक डबल-स्लिट इलेक्ट्रॉन विवर्तन प्रयोग के साथ क्वांटम-यांत्रिक रूप से इसका पता लगाया जा सकता है। holonomi एक अतिरिक्त चरण बदलाव से मेल खाती है, जो विवर्तन पैटर्न में बदलाव की ओर ले जाती है।

चर्चा

ऐसे प्रत्येक फॉर्मूलेशन का उपयोग करने के कारण निम्नलिखित हैं।

संभावित सूत्रीकरण

उन्नत शास्त्रीय यांत्रिकी में यह अक्सर उपयोगी होता है, और क्वांटम यांत्रिकी में अक्सर आवश्यक होता है, मैक्सवेल के समीकरणों को विद्युत क्षमता (जिसे स्केलर क्षमता भी कहा जाता है) φ, और चुंबकीय वेक्टर क्षमता (एक वेक्टर क्षमता) 'ए' से जुड़े संभावित फॉर्मूलेशन में व्यक्त करने के लिए। उदाहरण के लिए, रेडियो एंटेना का विश्लेषण मैक्सवेल के वेक्टर और स्केलर क्षमता का पूर्ण उपयोग चर को अलग करने के लिए करता है, एक सामान्य तकनीक जो अंतर समीकरणों के समाधान तैयार करने में उपयोग की जाती है। एक सार्वभौमिक तरीके से उन्हें हल करने के लिए सजातीय समीकरणों पर पॉइनकेयर लेम्मा का उपयोग करके संभावितों को पेश किया जा सकता है (यह मानता है कि हम एक टोपोलॉजी को सरल मानते हैं, उदाहरण के लिए अनुबंधित स्थान)। संभावनाओं को उपरोक्त तालिका में परिभाषित किया गया है। वैकल्पिक रूप से, ये समीकरण विद्युत और चुंबकीय क्षमता के संदर्भ में 'ई' और 'बी' को परिभाषित करते हैं जो फिर 'ई' और 'बी' के समरूप समीकरणों को पहचान के रूप में संतुष्ट करते हैं। प्रतिस्थापन संभावित रूप में गैर-सजातीय मैक्सवेल समीकरण देता है।

'ए' और φ के कई अलग-अलग विकल्प दिए गए अवलोकन योग्य विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र 'ई' और 'बी' के अनुरूप हैं, इसलिए संभावना में अधिक, (शास्त्रीय भौतिकी) अप्राप्य जानकारी शामिल है। हालाँकि, संभावनाओं की गैर-विशिष्टता अच्छी तरह से समझी जाती है। स्थिति और समय के प्रत्येक अदिश कार्य के लिए λ(x, t), क्षमता को गेज परिवर्तन द्वारा बदला जा सकता है

$$\varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda$$

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र को बदले बिना। गेज के दो जोड़े ने क्षमता बदल दी (φ, A) और (φ′, A′) को गेज समतुल्य कहा जाता है, और इसके गेज समकक्ष वर्ग में क्षमता के किसी भी जोड़े को चुनने की स्वतंत्रता को गेज फिक्सिंग#गेज स्वतंत्रता कहा जाता है। फिर से पोनकारे लेम्मा (और इसकी मान्यताओं के तहत), गेज स्वतंत्रता अनिश्चितता का एकमात्र स्रोत है, इसलिए यदि हम संभावित समीकरणों को गेज तुल्यता वर्गों के समीकरणों के रूप में मानते हैं तो क्षेत्र सूत्रीकरण संभावित सूत्रीकरण के बराबर है।

गेज फिक्सिंग नामक प्रक्रिया का उपयोग करके संभावित समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है। चूँकि क्षमताएँ केवल गेज तुल्यता तक परिभाषित की जाती हैं, हम क्षमता पर अतिरिक्त समीकरण लागू करने के लिए स्वतंत्र हैं, जब तक कि क्षमता के प्रत्येक जोड़े के लिए एक गेज समकक्ष जोड़ी होती है जो अतिरिक्त समीकरणों को संतुष्ट करती है (अर्थात यदि गेज फिक्सिंग समीकरण एक परिभाषित करते हैं) गेज थ्योरी#स्लाइस टू गेज एक्शन). गेज-फिक्स्ड पोटेंशिअल में अभी भी सभी गेज परिवर्तनों के तहत गेज की स्वतंत्रता है जो गेज फिक्सिंग समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ देता है। संभावित समीकरणों का निरीक्षण दो प्राकृतिक विकल्पों का सुझाव देता है। कूलम्ब गेज में, हम लगाते हैं ∇ ⋅ A = 0 जो ज्यादातर मैग्नेटो स्टैटिक्स के मामले में उपयोग किया जाता है जब हम उपेक्षा कर सकते हैं c⁻²∂²A/∂t² अवधि। लॉरेंज गेज में (डेन लुडविग लॉरेंज के नाम पर), हम लगाते हैं

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.$$

लॉरेंज गेज की स्थिति में लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय होने और क्षमता के लिए लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय समीकरणों की ओर अग्रसर होने का लाभ है।

प्रकट रूप से सहपरिवर्ती (टेंसर) दृष्टिकोण

मैक्सवेल के समीकरण विशेष आपेक्षिकता के साथ पूरी तरह से संगत हैं - यानी, यदि वे एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में मान्य हैं, तो वे स्वचालित रूप से हर दूसरे जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में मान्य हैं। वास्तव में, विशेष सापेक्षता के ऐतिहासिक विकास में मैक्सवेल के समीकरण महत्वपूर्ण थे। हालाँकि, मैक्सवेल के समीकरणों के सामान्य सूत्रीकरण में, विशेष सापेक्षता के साथ उनकी संगति स्पष्ट नहीं है; यह केवल एक श्रमसाध्य गणना द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, गतिमान चुम्बक और चालक समस्या पर विचार करें। चुंबक के जड़त्वीय फ्रेम में, वह कंडक्टर एक चुंबकीय बल का अनुभव करता है। लेकिन चुम्बक के सापेक्ष गतिमान चालक के फ्रेम में, चालक विद्युत क्षेत्र के कारण एक बल का अनुभव करता है। गति इन दो अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों में बिल्कुल संगत है, लेकिन यह गणितीय रूप से काफी भिन्न तरीकों से उत्पन्न होती है।

इस कारण और अन्य कारणों से, मैक्सवेल के समीकरणों को इस तरह से फिर से लिखना अक्सर उपयोगी होता है जो प्रकट रूप से सहसंयोजक है - अर्थात। विशेष सापेक्षता के साथ स्पष्ट रूप से संगत, यहां तक ​​​​कि समीकरणों पर सिर्फ एक नज़र के साथ - सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण का उपयोग करते हुए | सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती चार-सदिश और टेन्सर। यह EM टेन्सर 'F', या 4-संभावित 'A' का उपयोग करके किया जा सकता है, 4-वर्तमान 'J' के साथ - क्लासिकल इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म का सहपरिवर्ती सूत्रीकरण देखें।

विभेदक रूप दृष्टिकोण

चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम और फैराडे-मैक्सवेल कानून को एक साथ समूहीकृत किया जा सकता है क्योंकि समीकरण सजातीय हैं, और क्षेत्र 'एफ' (एक 2-फॉर्म) को व्यक्त करने वाली विभेदक ज्यामिति पहचान के रूप में देखा जा सकता है, जिसे 4-संभावित 'से प्राप्त किया जा सकता है। ए'। बिजली के लिए गॉस का नियम और एम्पीयर-मैक्सवेल कानून को खेतों की गति के गतिशील समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है, जो कम से कम क्रिया के लैग्रैन्जियन (क्षेत्र सिद्धांत) सिद्धांत के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, बातचीत शब्द 'एजे' से (गेज सिद्धांत सहसंयोजक डेरिवेटिव के माध्यम से पेश किया गया) ), फ़ील्ड को मैटर से जोड़ना। एक्सट्रीमल एक्शन (भौतिकी) के सिद्धांत के संदर्भ में मैक्सवेल के समीकरणों के क्षेत्र निर्माण के लिए, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक टेन्सर # लैग्रैंगियन फॉर्मूलेशन ऑफ क्लासिकल इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म बिना चार्ज और करंट के देखें।

अक्सर, फैराडे-मैक्सवेल समीकरण में व्युत्पन्न समय इस समीकरण को गतिशील कहने के लिए प्रेरित करता है, जो पूर्ववर्ती विश्लेषण के अर्थ में कुछ हद तक भ्रामक है। बल्कि यह पसंदीदा समय दिशा चुनकर विशेष सापेक्षता सहप्रसरण को तोड़ने की एक कलाकृति है। इन क्षेत्र समीकरणों द्वारा प्रचारित स्वतंत्रता की भौतिक डिग्री प्राप्त करने के लिए, एक गतिज शब्द शामिल होना चाहिए F ⋆F ए के लिए, और स्वतंत्रता की गैर-भौतिक डिग्री को ध्यान में रखें जिसे गेज परिवर्तन द्वारा हटाया जा सकता है A ↦ A − dα. गेज फिक्सिंग और फद्दीव-पोपोव भूत भी देखें।

ज्यामितीय कलन दृष्टिकोण

यह सूत्रीकरण बीजगणित का उपयोग करता है जो अंतरिक्ष-समय एक वितरणात्मक, साहचर्य (लेकिन क्रमविनिमेय नहीं) उत्पाद की शुरूआत के माध्यम से उत्पन्न करता है जिसे ज्यामितीय बीजगणित कहा जाता है। बीजगणित के तत्व और संचालन आम तौर पर ज्यामितीय अर्थ से जुड़े हो सकते हैं। बीजगणित के सदस्यों को ग्रेड द्वारा विघटित किया जा सकता है (जैसा कि विभेदक रूपों के औपचारिकता में) और एक के-वेक्टर वाले वेक्टर के (ज्यामितीय) उत्पाद में विघटित हो जाता है (k − 1)-वेक्टर और ए (k + 1)-वेक्टर। वह (k − 1)-वेक्टर घटक को आंतरिक उत्पाद और के साथ पहचाना जा सकता है (k + 1)-वेक्टर घटक बाहरी उत्पाद के साथ। यह बीजगणितीय सुविधा का है कि ज्यामितीय उत्पाद व्युत्क्रमणीय है, जबकि आंतरिक और बाहरी उत्पाद नहीं हैं। मैक्सवेल के समीकरणों में दिखाई देने वाले डेरिवेटिव्स वैक्टर हैं और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र फैराडे बाइवेक्टर एफ द्वारा दर्शाए जाते हैं। यह सूत्रीकरण उतना ही सामान्य है जितना कि मीट्रिक टेन्सर के साथ मैनिफोल्ड्स के लिए डिफरेंशियल फॉर्म, तब ये स्वाभाविक रूप से आर से पहचाने जाते हैं- रूपों और संबंधित संचालन हैं। मैक्सवेल के समीकरण इस औपचारिकता में एक समीकरण तक कम हो जाते हैं। इस समीकरण को भागों में विभाजित किया जा सकता है जैसा कि तुलनात्मक कारणों से ऊपर किया गया है।

यह भी देखें

• घुंघराले पथरी
• विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण
• प्रकाश की गति
• विद्युत स्थिरांक
• चुंबकीय स्थिरांक
• मुक्त स्थान
• निकट और दूर का क्षेत्र
• विद्युत चुम्बकीय
• विद्युत चुम्बकीय विकिरण
• क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
• विद्युत चुंबकत्व समीकरणों की सूची

संदर्भ

• Warnick, Karl; Russer, Peter (2014). "Differential Forms and Electromagnetic Field Theory" (PDF). Progress in Electromagnetics Research. 148: 83–112. doi:10.2528/PIER14063009.
• Russer, Peter (2006). Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for Communications Engineering (2nd ed.). Artech House. ISBN 978-1-58053-907-4. (with worked problems in Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9)
• Hehl, Friedrich; Obukhov, Yuri (2003). Foundations of Classical Electrodynamics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4222-8.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-71595-9.