असतत कलन

This article is about कलन का असतत संस्करण. It is not to be confused with कैलकुलस में असंततकरण.

असतत कलन या असतत कार्यों की कलन वृद्धिशील परिवर्तन का गणितीय अध्ययन है। उसी प्रकार जैसे ज्यामिति आकार का अध्ययन है और बीजगणित अंकगणितीय फलनों के सामान्यीकरण का अध्ययन है। कैलकुलस शब्द एक लैटिन शब्द है। जिसका अर्थ मूल रूप से "छोटा कंकड़" होता है। चूंकि इस प्रकार के कंकड़ गणना के लिए उपयोग किए जाते थे। इस शब्द का अर्थ विकसित हुआ है और आज के समय सामान्यतः गणना की एक विधि का अर्थ है। इसके बीच कैलकुलस निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है। जिसे मूल रूप से इनफिनिटिमल्स कैलकुलस या इनफिनिटिमल्स का कैलकुलस कहा जाता है।

असतत कैलकुलस के दो प्रवेश बिंदु होते हैं, डिफरेंशियल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस। डिफरेंशियल कैलकुलस परिवर्तन की वृद्धिशील दरों और टुकड़े-वार रैखिक वक्रों के ढलानों से संबंधित है। इंटीग्रल कैलकुस मात्राओं के संचय और टुकड़े-वार स्थिर वक्र के तहत क्षेत्रों से संबंधित है। असतत कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा ये दो दृष्टिकोण एक दूसरे से संबंधित हैं।

परिवर्तन की अवधारणाओं का अध्ययन उनके असतत रूप से शुरू होता है। विकास एक पैरामीटर, वेतन वृद्धि पर निर्भर है $\Delta x$ स्वतंत्र चर का। यदि हम ऐसा चुनते हैं, तो हम वृद्धि को छोटा और छोटा कर सकते हैं और इन अवधारणाओं के निरंतर समकक्षों को सीमा के रूप में पा सकते हैं। अनौपचारिक रूप से, असतत पथरी की सीमा के रूप में $\Delta x\to 0$ अतिसूक्ष्म कलन है। भले ही यह कलन के असतत आधार के रूप में कार्य करता है, असतत कलन का मुख्य मूल्य अनुप्रयोगों में है।

दो प्रारंभिक निर्माण

असतत अवकल कलन किसी फलन के अंतर भागफल की परिभाषा, गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन है। अंतर भागफल ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। वास्तविक रेखा के कई बिंदुओं पर परिभाषित एक फ़ंक्शन को देखते हुए, उस बिंदु पर अंतर भागफल फ़ंक्शन के छोटे-पैमाने (यानी, बिंदु से अगले तक) को एन्कोड करने का एक तरीका है। अपने डोमेन में लगातार बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी पर एक फ़ंक्शन के अंतर भागफल को खोजने से, एक नया फ़ंक्शन उत्पन्न करना संभव है, जिसे 'अंतर भागफल फ़ंक्शन' या मूल फ़ंक्शन का 'अंतर भागफल' कहा जाता है। औपचारिक शब्दों में, अंतर भागफल एक रेखीय ऑपरेटर है जो इसके इनपुट के रूप में एक फ़ंक्शन लेता है और इसके आउटपुट के रूप में दूसरा फ़ंक्शन उत्पन्न करता है। प्राथमिक बीजगणित में अध्ययन की गई कई प्रक्रियाओं की तुलना में यह अधिक सारगर्भित है, जहां कार्य सामान्यतः एक संख्या इनपुट करते हैं और दूसरी संख्या का उत्पादन करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि दोहरीकरण फ़ंक्शन को इनपुट तीन दिया जाता है, तो यह छह को आउटपुट करता है, और यदि स्क्वेरिंग फ़ंक्शन को इनपुट तीन दिया जाता है, तो यह नौ को आउटपुट करता है। हालांकि, डेरिवेटिव, स्क्वायरिंग फ़ंक्शन को इनपुट के रूप में ले सकता है। इसका मतलब यह है कि व्युत्पन्न वर्ग फलन की सभी जानकारी लेता है - जैसे कि दो को चार को भेजा जाता है, तीन को नौ को भेजा जाता है, चार को सोलह को भेजा जाता है, और इसी तरह - और इस जानकारी का उपयोग दूसरे कार्य को उत्पन्न करने के लिए करता है। स्क्वेरिंग फ़ंक्शन को अलग करने से उत्पन्न फ़ंक्शन दोहरीकरण फ़ंक्शन के करीब कुछ हो जाता है।

मान लीजिए कि कार्यों को वेतन वृद्धि से अलग किए गए बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है $\Delta x=h>0$:

$a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots$

दोहरीकरण समारोह द्वारा निरूपित किया जा सकता है $g(x)=2x$ और स्क्वायरिंग फ़ंक्शन द्वारा $f(x)=x^{2}$. अंतर भागफल एक अंतराल पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है $[x,x+h]$ सूत्र द्वारा परिभाषित:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

यह कार्य लेता है $f$ एक इनपुट के रूप में, वह सारी जानकारी है - जैसे कि दो को चार को भेजा जाता है, तीन को नौ को भेजा जाता है, चार को सोलह को भेजा जाता है, और इसी तरह - और इस जानकारी का उपयोग दूसरे फ़ंक्शन, फ़ंक्शन को आउटपुट करने के लिए करता है $g(x)=2x+h$, जैसा निकलेगा। सुविधा की दृष्टि से, नए फ़ंक्शन को उपरोक्त अंतरालों के मध्य बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है:

$a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,...,a+nh+h/2,...$

चूंकि परिवर्तन की दर पूरे अंतराल के लिए है $[x,x+h]$, इसके भीतर किसी भी बिंदु को इस तरह के संदर्भ के रूप में या इससे भी बेहतर, पूरे अंतराल का उपयोग किया जा सकता है जो अंतर को भागफल बनाता है $1$-कोचेन।

अंतर भागफल के लिए सबसे आम संकेतन है:

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x+h/2)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

यदि फ़ंक्शन का इनपुट समय का प्रतिनिधित्व करता है, तो अंतर भागफल समय के संबंध में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ एक ऐसा कार्य है जो इनपुट के रूप में एक समय लेता है और उस समय आउटपुट के रूप में एक गेंद की स्थिति देता है, फिर अंतर भागफल $f$ समय के साथ स्थिति कैसे बदल रही है, यह गेंद का वेग है।

यदि कोई फलन रेखीय फलन है (अर्थात, यदि फलन के फलन के ग्राफ के बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं), तो फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है $y=mx+b$, कहाँ $x$ स्वतंत्र चर है, $y$ निर्भर चर है, $b$ है $y$-अवरोधन, और:

$m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

ढलान: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$

यह एक सीधी रेखा के ढलान के लिए एक सटीक मान देता है।

हालांकि, यदि फ़ंक्शन रैखिक नहीं है, तो इसमें परिवर्तन $y$ में परिवर्तन से विभाजित $x$ भिन्न होता है। अंतर भागफल इनपुट में परिवर्तन के संबंध में आउटपुट में परिवर्तन की धारणा को सटीक अर्थ देता है। ठोस होने के लिए, चलो $f$ एक समारोह बनें, और एक बिंदु तय करें $x$ के अधिकार क्षेत्र में $f$. $(x,f(x))$ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु है। अगर $h$ की वृद्धि है $x$, तब $x+h$ का अगला मान है $x$. इसलिए, $(x+h,f(x+h))$ की वृद्धि है $(x,f(x))$. इन दो बिंदुओं के बीच की रेखा का ढलान है

$m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

इसलिए $m$ के बीच की रेखा का ढाल है $(x,f(x))$ और $(x+h,f(x+h))$.

यहाँ एक विशेष उदाहरण है, स्क्वेरिंग फ़ंक्शन का अंतर भागफल। होने देना $f(x)=x^{2}$ स्क्वायरिंग फ़ंक्शन बनें। तब:

${\begin{aligned}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x)&={(x+h)^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={2hx+h^{2} \over {h}}\\&=2x+h.\end{aligned}}$

अंतर भागफल के अंतर भागफल को दूसरा अंतर भागफल कहा जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है

$a+h,a+2h,a+3h,\ldots ,a+nh,\ldots$

और इसी तरह।

डिस्क्रीट इंटीग्रल कैलकुलस रीमैन योग की परिभाषाओं, गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन है। राशि का मूल्य ज्ञात करने की प्रक्रिया को 'एकीकरण' कहा जाता है। तकनीकी भाषा में, इंटीग्रल कैलकुलस एक निश्चित लीनियर ऑपरेटर का अध्ययन करता है।

रिमैन सम एक फंक्शन को इनपुट करता है और एक फंक्शन को आउटपुट करता है, जो इनपुट के ग्राफ के हिस्से और X- अक्ष के बीच क्षेत्रों का बीजगणितीय योग देता है।

एक प्रेरक उदाहरण एक निश्चित समय में तय की गई दूरी है।

${\text{distance}}={\text{speed}}\cdot {\text{time}}$

यदि गति स्थिर है, तो केवल गुणन की आवश्यकता है, लेकिन यदि गति बदलती है, तो हम समय के कई छोटे अंतरालों में समय को तोड़कर तय की गई दूरी का मूल्यांकन करते हैं, फिर प्रत्येक अंतराल में बीतने वाले समय को उस अंतराल में गति से गुणा करते हैं। , और फिर प्रत्येक अंतराल में तय की गई दूरी का योग (रीमैन योग) लेना।

स्थिर गति

रीमैन योग द्वारा परिभाषित सलाखों के कुल क्षेत्रफल को माप रहा है $f$, दो बिंदुओं के बीच (यहाँ $a$ और $b$).

जब वेग स्थिर होता है, तो दिए गए समय अंतराल में तय की गई कुल दूरी की गणना वेग और समय को गुणा करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 3 घंटे के लिए 50 मील प्रति घंटे की गति से यात्रा करने से कुल 150 मील की दूरी तय होती है। बाईं ओर के आरेख में, जब निरंतर वेग और समय का रेखांकन किया जाता है, तो ये दो मान एक आयत बनाते हैं जिसकी ऊँचाई वेग के बराबर होती है और चौड़ाई बीता हुआ समय के बराबर होती है। इसलिए, वेग और समय का गुणनफल भी (स्थिर) वेग वक्र के अंतर्गत आयताकार क्षेत्र की गणना करता है। एक वक्र के तहत क्षेत्र और तय की गई दूरी के बीच के इस संबंध को किसी भी अनियमित आकार के क्षेत्र में विस्तारित किया जा सकता है जो एक निश्चित समय अवधि में वृद्धिशील रूप से भिन्न वेग प्रदर्शित करता है। यदि दाईं ओर आरेख में बार गति का प्रतिनिधित्व करते हैं क्योंकि यह अंतराल से अगले तक भिन्न होता है, तो तय की गई दूरी (द्वारा दर्शाए गए समय के बीच) $a$ और $b$) छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल है $s$.

तो, बीच का अंतराल $a$ और $b$ कई समान खंडों में बांटा गया है, प्रत्येक खंड की लंबाई प्रतीक द्वारा दर्शायी जाती है $\Delta x$. प्रत्येक छोटे खंड के लिए, हमारे पास फ़ंक्शन का एक मान होता है $f(x)$. उस मूल्य को बुलाओ $v$. फिर आधार के साथ आयत का क्षेत्रफल $\Delta x$ और ऊंचाई $v$ दूरी देता है (time $\Delta x$ गति से गुणा $v$) उस सेगमेंट में यात्रा की। प्रत्येक खंड के साथ संबद्ध इसके ऊपर के कार्य का मान है, $f(x)=v$. ऐसे सभी आयतों का योग अक्ष और टुकड़े-वार स्थिर वक्र के बीच का क्षेत्र देता है, जो कि तय की गई कुल दूरी है।

मान लीजिए कि एक फलन समान लंबाई के अंतरालों के मध्य-बिंदुओं पर परिभाषित है $\Delta x=h>0$:

$a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,\ldots ,a+nh-h/2,\ldots$

फिर रीमैन योग से $a$ को $b=a+nh$ सिग्मा संकेतन में है:

$\sum _{i=1}^{n}f(a+ih)\,\Delta x.$

चूंकि यह गणना प्रत्येक के लिए की जाती है $n$, नया फ़ंक्शन बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है:

$a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots$

कलन की मूलभूत प्रमेय में कहा गया है कि विभेदीकरण और एकीकरण व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं। अधिक सटीक रूप से, यह अंतर भागफलों को रीमैन रकम से संबंधित करता है। इसकी व्याख्या इस तथ्य के सटीक कथन के रूप में भी की जा सकती है कि विभेदीकरण एकीकरण का विलोम है।

कैलकुलस का मूलभूत प्रमेय: यदि कोई फलन $f$ अंतराल के एक विभाजन पर परिभाषित किया गया है $[a,b]$, $b=a+nh$, और अगर $F$ एक ऐसा फलन है जिसका अंतर भागफल है $f$, तो हमारे पास हैं:

$\sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).$

इसके अलावा, प्रत्येक के लिए ${\textstyle m=0,1,2,\ldots ,n-1}$, अपने पास:

${\frac {\Delta }{\Delta x}}\sum _{i=0}^{m}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=f(a+mh+h/2).$

यह अंतर समीकरण का एक प्रोटोटाइप समाधान भी है। अंतर समीकरण एक अज्ञात कार्य को उसके अंतर या अंतर भागफल से संबंधित करते हैं, और विज्ञान में सर्वव्यापी हैं।

इतिहास

असतत कलन का प्रारंभिक इतिहास कलन का इतिहास है। इस तरह के बुनियादी विचार अंतर भागफल और रीमैन रकम परिभाषाओं और प्रमाणों में स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। हालांकि, सीमा तय हो जाने के बाद, उन्हें फिर कभी नहीं देखा जा सकता है। हालांकि, किरचॉफ के वोल्टेज कानून (1847) को एक आयामी असतत बाहरी व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

20वीं सदी के दौरान असतत कैलकुलस इनफिनिटिमल कैलकुलस के साथ जुड़ा रहता है, विशेष रूप से डिफरेंशियल रूप, लेकिन जैसे-जैसे दोनों विकसित होते हैं, बीजगणितीय टोपोलॉजी से भी आकर्षित होना शुरू हो जाता है। मुख्य योगदान निम्नलिखित व्यक्तियों से आता है:

• हेनरी पॉइनकेयर: त्रिकोणासन (बैरीसेंट्रिक उपखंड, दोहरा ग्राफ), पॉइंकेयर की लेम्मा, सामान्य स्टोक्स प्रमेय का पहला प्रमाण, और भी बहुत कुछ
• ल. ई. जे. ब्रौवर: सरल सन्निकटन प्रमेय
• एली कार्टन, जार्ज डी रहम: अंतर रूप की धारणा, एक समन्वय-स्वतंत्र रैखिक ऑपरेटर के रूप में बाहरी व्युत्पन्न, रूपों की सटीकता / निकटता
• एमी नोथेर, हेंज हॉफ, लियोपोल्ड विटोरिस, वाल्थर मेयर: श्रृंखलाओं की प्रतिरूपकता, सीमा संचालक, श्रृंखला परिसर
• जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर II|जे. डब्ल्यू अलेक्जेंडर, सोलोमन लेफशेट्ज़, लेव पोंट्रीगिन, एंड्री कोलमोगोरोव, नॉर्मन स्टीनरोड, एडुआर्ड चेक: प्रारंभिक कोचेन धारणाएं
• हरमन वेइल: किरचॉफ कानून सीमा और सह-सीमा संचालकों के संदर्भ में बताए गए हैं
• डब्ल्यू। वी। डी। हॉज: हॉज स्टार ऑपरेटर, हॉज अपघटन
• सैमुअल एलेनबर्ग, सॉन्डर्स मैक लेन, नॉर्मन स्टीनरोड, जे.एच.सी. व्हाइटहेड: श्रृंखला और कोचेन कॉम्प्लेक्स, कप उत्पाद सहित सह-समरूपता (गणित) और कोहोलॉजी सिद्धांत का कठोर विकास
• हस्लर व्हिटनी: कोहोलॉजी इंटिग्रैंड्स के रूप में

व्हिटनी से शुरू होकर असतत कलन का हालिया विकास संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरणों की जरूरतों से प्रेरित है।

अनुप्रयोग

असतत कलन का उपयोग भौतिक विज्ञान, बीमांकिक विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, व्यवसाय, चिकित्सा, जनसांख्यिकी, और अन्य क्षेत्रों में जहाँ कहीं भी समस्या हो सकती है, की प्रत्येक शाखा में प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से मॉडलिंग के लिए किया जाता है। गणितीय मॉडल हो। यह किसी को परिवर्तन की (अस्थिर) दरों से कुल परिवर्तन या इसके विपरीत जाने की अनुमति देता है, और कई बार एक समस्या का अध्ययन करने में हम एक को जानते हैं और दूसरे को खोजने की कोशिश कर रहे हैं।

भौतिकी कलन का विशेष उपयोग करती है; शास्त्रीय यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व में सभी असतत अवधारणाएँ असतत कलन के माध्यम से संबंधित हैं। ज्ञात घनत्व की एक वस्तु का द्रव्यमान जो वृद्धिशील रूप से भिन्न होता है, ऐसी वस्तुओं की जड़ता का क्षण, साथ ही असतत रूढ़िवादी क्षेत्र के भीतर किसी वस्तु की कुल ऊर्जा असतत कलन के उपयोग से पाई जा सकती है। यांत्रिकी में असतत कैलकुलस के उपयोग का एक उदाहरण न्यूटन के गति के नियम हैं। न्यूटन का गति का दूसरा नियम: ऐतिहासिक रूप से कहा गया है कि यह स्पष्ट रूप से गति के परिवर्तन शब्द का उपयोग करता है जिसका अर्थ है अंतर भागफल यह कहना कि किसी पिंड के संवेग का परिवर्तन परिणामी के बराबर है बल शरीर पर कार्य करता है और उसी दिशा में होता है। सामान्यतः आज बल = द्रव्यमान × त्वरण के रूप में व्यक्त किया जाता है, जब परिवर्तन वृद्धिशील होता है तो असतत कलन को आमंत्रित करता है क्योंकि त्वरण समय के संबंध में वेग का अंतर भागफल या स्थानिक स्थिति का दूसरा अंतर भागफल है। किसी वस्तु का त्वरण कैसे हो रहा है, यह जानने से शुरू करते हुए, हम इसका पथ निकालने के लिए रिमेंन योग का उपयोग करते हैं।

मैक्सवेल का विद्युत चुंबकत्व का सिद्धांत और अल्बर्ट आइंस्टीन का सामान्य सापेक्षता का सिद्धांत असतत कलन की भाषा में व्यक्त किया गया है।

रसायन विज्ञान प्रतिक्रिया दर और रेडियोधर्मी क्षय (घातीय क्षय) निर्धारित करने में कलन का उपयोग करता है।

जीव विज्ञान में, जनसंख्या गतिशीलता मॉडल जनसंख्या परिवर्तन (जनसंख्या मॉडलिंग) के लिए प्रजनन और मृत्यु दर से शुरू होती है।

इंजीनियरिंग में, शून्य गुरुत्वाकर्षण वातावरण के भीतर एक अंतरिक्ष यान के पाठ्यक्रम को साजिश करने के लिए, गर्मी हस्तांतरण, प्रसार और तरंग प्रसार के मॉडल के लिए अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

ग्रीन के प्रमेय के असतत एनालॉग को प्लैनीमीटर के रूप में जाने वाले उपकरण में लागू किया जाता है, जिसका उपयोग ड्राइंग पर एक सपाट सतह के क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, संपत्ति के एक टुकड़े के लेआउट को डिजाइन करते समय अनियमित आकार के फूलों के बिस्तर या स्विमिंग पूल द्वारा उठाए गए क्षेत्र की मात्रा की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इसका उपयोग छवियों में आयताकार डोमेन की कुशलता से गणना करने, सुविधाओं को तेजी से निकालने और वस्तु का पता लगाने के लिए किया जा सकता है; एक अन्य एल्गोरिथ्म जिसका उपयोग किया जा सकता है वह है सारांशित क्षेत्र तालिका

दवा के क्षेत्र में, रक्त वाहिका के इष्टतम शाखाओं के कोण को खोजने के लिए कलन का उपयोग किया जा सकता है ताकि प्रवाह को अधिकतम किया जा सके। शरीर से किसी विशेष दवा के उन्मूलन के लिए क्षय कानूनों से, इसका उपयोग खुराक कानूनों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। परमाणु चिकित्सा में, लक्षित ट्यूमर उपचारों में विकिरण परिवहन के मॉडल बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

अर्थशास्त्र में, कैलकुस सीमांत लागत और सीमांत राजस्व, साथ ही बाजारों के मॉडलिंग दोनों की गणना करके अधिकतम लाभ के निर्धारण की अनुमति देता है। असतत कलन का उपयोग अन्य गणितीय विषयों के संयोजन में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक अनुमानित घनत्व समारोह से असतत यादृच्छिक चर की संभावना निर्धारित करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत में इसका उपयोग किया जा सकता है।

अंतर और रकम की गणना

मान लीजिए एक समारोह (ए $0$-कोचेन) $f$ वेतन वृद्धि द्वारा अलग किए गए बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है $\Delta x=h>0$:

$a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots$

फ़ंक्शन का अंतर (या बाहरी व्युत्पन्न, या कोबाउंडरी ऑपरेटर) द्वारा दिया गया है:

${\big (}\Delta f{\big )}{\big (}[x,x+h]{\big )}=f(x+h)-f(x).$

इसे उपरोक्त प्रत्येक अंतराल पर परिभाषित किया गया है; यह है एक $1$-कोचेन।

मान लीजिए ए $1$-कोचेन $g$ उपरोक्त प्रत्येक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। फिर इसका योग एक कार्य है (ए $0$-cochain) द्वारा प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित:

$\left(\sum g\right)\!(a+nh)=\sum _{i=1}^{n}g{\big (}[a+(i-1)h,a+ih]{\big )}.$

ये हैं इनके गुण:

• निरंतर नियम : यदि $c$ एक स्थिर (गणित) है, फिर

$\Delta c=0$

• विभेदन की रैखिकता: यदि $a$ और $b$ स्थिर हैं (गणित),

$\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g$

• प्रॉडक्ट नियम:

$\Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g$

• कलन I का मौलिक प्रमेय:

$\left(\sum \Delta f\right)\!(a+nh)=f(a+nh)-f(a)$

• कलन II का मौलिक प्रमेय:

$\Delta \!\left(\sum g\right)=g$

परिभाषाएँ ग्राफ (असतत गणित) पर निम्नानुसार लागू होती हैं। यदि कोई फ़ंक्शन (ए $0$-कोचेन) $f$ एक ग्राफ के नोड्स पर परिभाषित किया गया है:

$a,b,c,\ldots$

तो इसका बाहरी व्युत्पन्न (या अंतर) अंतर है, अर्थात, निम्नलिखित फ़ंक्शन को ग्राफ के किनारों पर परिभाषित किया गया है ($1$-कोचेन):

$\left(df\right)\!{\big (}[a,b]{\big )}=f(b)-f(a).$

अगर $g$ एक है $1$-कोचेन, फिर किनारों के अनुक्रम पर इसका अभिन्न अंग $\sigma$ ग्राफ़ के सभी किनारों पर इसके मानों का योग है $\sigma$ (पथ अभिन्न):

$\int _{\sigma }g=\sum _{\sigma }g{\big (}[a,b]{\big )}.$

ये गुण हैं:

• निरंतर नियम : यदि $c$ एक स्थिर (गणित) है, फिर

$dc=0$

• रैखिकता: यदि $a$ और $b$ स्थिर हैं (गणित),

$d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g$

• प्रॉडक्ट नियम:

$d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg$

• कैलकुलस I का मौलिक प्रमेय: यदि ए $1$-ज़ंजीर $\sigma$ किनारों से मिलकर बनता है $[a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]$, फिर किसी के लिए $0$-कोचेन $f$

$\int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})$

• कैलकुलस II का मौलिक प्रमेय: यदि ग्राफ एक पेड़ (डेटा संरचना) है, $g$ एक है $1$-कोचेन, और एक समारोह ($0$-cochain) द्वारा ग्राफ के नोड्स पर परिभाषित किया गया है

$f(x)=\int _{\sigma }g$

जहाँ एक $1$-ज़ंजीर $\sigma$ के होते हैं $[a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]$ कुछ निश्चित के लिए $a_{0}$, तब

$df=g$

संदर्भ देखें।

सिंपलिस और क्यूब्स की चेन

एक साधारण परिसर।

एक साधारण परिसर $S$ सिंप्लेक्स का एक सेट है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. हर संकेतन # सिंप्लेक्स के तत्व $S$ में भी है $S$.

2. किसी भी दो सरलताओं का गैर-खाली सेट चौराहा $\sigma _{1},\sigma _{2}\in S$ दोनों का चेहरा है $\sigma _{1}$ और $\sigma _{2}$.

2-सिंप्लेक्स (बाएं) की सीमा की सीमा और 1-श्रृंखला (दाएं) की सीमा ली गई है। दोनों 0 हैं, योग होने के नाते जिसमें 0-सिम्प्लेक्स के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों एक बार होते हैं। एक सीमा की सीमा हमेशा 0 होती है। एक गैर-तुच्छ चक्र एक ऐसी चीज है जो एक सिम्प्लेक्स की सीमा की तरह बंद हो जाती है, जिसमें इसकी सीमा 0 होती है, लेकिन जो वास्तव में एक सिम्प्लेक्स या श्रृंखला की सीमा नहीं होती है।

परिभाषा के अनुसार, के-सिम्प्लेक्स की उन्मुखता वर्टिकल के ऑर्डर द्वारा दी जाती है, जिसे लिखा जाता है $(v_{0},...,v_{k})$, इस नियम के साथ कि दो क्रम एक ही अभिविन्यास को परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि वे एक समान क्रमचय से भिन्न होते हैं। इस प्रकार प्रत्येक सिम्प्लेक्स में बिल्कुल दो ओरिएंटेशन होते हैं, और दो कोने के क्रम को बदलने से एक ओरिएंटेशन विपरीत ओरिएंटेशन में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, दो संभावित दिशाओं में से किसी एक को चुनने के लिए 1-सिम्प्लेक्स राशियों का ओरिएंटेशन चुनना, और 2-सिम्प्लेक्स राशियों का ओरिएंटेशन चुनने के लिए यह चुनना कि वामावर्त का क्या मतलब होना चाहिए।

होने देना $S$ एक साधारण जटिल हो। एक शृंखला (बीजगणितीय टोपोलॉजी)|सरल k-श्रृंखला एक परिमित मुक्त एबेलियन समूह#औपचारिक योग है

$\sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,$

जहां प्रत्येक सी_i एक पूर्णांक और σ है_i एक उन्मुख के-सिम्प्लेक्स है। इस परिभाषा में, हम घोषणा करते हैं कि प्रत्येक ओरिएंटेड सिम्प्लेक्स विपरीत ओरिएंटेशन वाले सिम्प्लेक्स के नेगेटिव के बराबर है। उदाहरण के लिए,

$(v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).$

k-श्रृंखलाओं का सदिश स्थान चालू है $S$ लिखा है $C_{k}$. इसमें के-सरलताओं के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में इसका आधार है $S$. एक आधार को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, प्रत्येक सिम्प्लेक्स का एक ओरिएंटेशन चुनना होगा। ऐसा करने का एक मानक तरीका यह है कि सभी शीर्षों के क्रम का चयन किया जाए और प्रत्येक सिम्प्लेक्स को उसके शीर्षों के प्रेरित क्रम के अनुरूप अभिविन्यास दिया जाए।

होने देना $\sigma =(v_{0},...,v_{k})$ एक उन्मुख के-सिम्प्लेक्स बनें, जिसे आधार तत्व के रूप में देखा जाता है $C_{k}$. सीमा संचालक

$\partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}$

द्वारा परिभाषित रैखिक ऑपरेटर है:

$\partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),$

जहां उन्मुख सिंप्लेक्स

$(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})$

है $i$का चेहरा $\sigma$, इसे हटाकर प्राप्त किया गया $i$वें शीर्ष।

में $C_{k}$, उपसमूह के तत्व

$Z_{k}=\ker \partial _{k}$

चक्र, और उपसमूह के रूप में जाना जाता है

$B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}$

सीमाओं से युक्त बताया गया है।

प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है $\partial ^{2}=0$. ज्यामितीय शब्दों में, यह कहता है कि किसी भी चीज़ की सीमा की कोई सीमा नहीं होती है। समान रूप से, वेक्टर रिक्त स्थान $(C_{k},\partial _{k})$ एक चेन कॉम्प्लेक्स बनाएं। एक अन्य समतुल्य कथन है $B_{k}$ में निहित है $Z_{k}$.

एक [[घनक्षेत्र िकल कॉम्प्लेक्स]] एक सेट (गणित) है जो बिंदु (ज्यामिति), रेखा खंडों, वर्गों, क्यूब्स और उनके हाइपरक्यूब |एन-आयामी समकक्षों से बना है। उनका उपयोग कॉम्प्लेक्स बनाने के लिए सरलता के अनुरूप किया जाता है। एक प्राथमिक अंतराल एक उपसमुच्चय है $I\subset \mathbf {R}$ फार्म का

$I=[\ell ,\ell +1]\quad {\text{or}}\quad I=[\ell ,\ell ]$

कुछ के लिए $\ell \in \mathbf {Z}$. एक प्राथमिक घन $Q$ प्रारंभिक अंतराल का परिमित उत्पाद है, अर्थात

$Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subset \mathbf {R} ^{d}$

कहाँ $I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}$ प्रारंभिक अंतराल हैं। समतुल्य रूप से, एक प्रारंभिक घन इकाई घन का कोई भी अनुवाद है $[0,1]^{n}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडिंग $\mathbf {R} ^{d}$ (कुछ के लिए $n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}$ साथ $n\leq d$). एक सेट $X\subseteq \mathbf {R} ^{d}$ एक क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स है अगर इसे प्राथमिक क्यूब्स के संघ के रूप में लिखा जा सकता है (या संभवतः, ऐसे सेट के लिए होमियोमोर्फिज्म है) और इसमें इसके सभी क्यूब्स के सभी चेहरे शामिल हैं। बाउंड्री ऑपरेटर और चेन कॉम्प्लेक्स को सरलीकृत कॉम्प्लेक्स के समान ही परिभाषित किया गया है।

अधिक सामान्य कोशिका परिसर हैं।

एक चेन कॉम्प्लेक्स $(C_{*},\partial _{*})$ वेक्टर रिक्त स्थान का अनुक्रम है $\ldots ,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},\ldots$ रैखिक ऑपरेटरों द्वारा जुड़ा हुआ है (सीमा ऑपरेटरों कहा जाता है) $\partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}$, जैसे कि किन्हीं भी दो क्रमिक मानचित्रों की रचना शून्य मानचित्र है। स्पष्ट रूप से, सीमा संचालक संतुष्ट हैं $\partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0$, या दबे हुए सूचकांकों के साथ, $\partial ^{2}=0$. कॉम्प्लेक्स को निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

$\cdots \xleftarrow {\partial _{0}} C_{0}\xleftarrow {\partial _{1}} C_{1}\xleftarrow {\partial _{2}} C_{2}\xleftarrow {\partial _{3}} C_{3}\xleftarrow {\partial _{4}} C_{4}\xleftarrow {\partial _{5}} \cdots$

एक सरलीकृत नक्शा सरलीकृत परिसरों के बीच एक संपत्ति के साथ एक नक्शा है कि एक सिंप्लेक्स के कोने की छवियां हमेशा एक सिंप्लेक्स को फैलाती हैं (इसलिए, कोने में छवियों के लिए कोने होते हैं)। एक साधारण नक्शा $f$ एक साधारण परिसर से $S$ दूसरे करने के लिए $T$ के वर्टेक्स सेट से एक फ़ंक्शन है $S$ के शीर्ष सेट के लिए $T$ ऐसा है कि प्रत्येक सिंप्लेक्स की छवि में $S$ (कोने के एक सेट के रूप में देखा गया) एक सिंप्लेक्स है $T$. यह एक रेखीय मानचित्र बनाता है, जिसे श्रृंखला मानचित्र कहा जाता है, श्रृंखला परिसर से $S$ के श्रृंखला परिसर के लिए $T$. स्पष्ट रूप से, यह दिया जाता है $k$-चेन द्वारा

$f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))$

अगर $f(v_{0}),...,f(v_{k})$ सभी अलग हैं, और अन्यथा इसे बराबर सेट किया गया है $0$.

एक श्रृंखला का नक्शा $f$ दो श्रृंखला परिसरों के बीच $(A_{*},d_{A,*})$ और $(B_{*},d_{B,*})$ एक क्रम है $f_{*}$ समरूपता का $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$ प्रत्येक के लिए $n$ जो दो श्रृंखला परिसरों पर सीमा संचालकों के साथ संचार करता है, इसलिए $d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}$. यह निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख में लिखा गया है:

एक श्रृंखला मानचित्र चक्रों को चक्रों और सीमाओं को सीमाओं में भेजता है।

संदर्भ देखें।

असतत अंतर रूप: कोचेन्स

प्रत्येक सदिश समष्टि के लिए C_iश्रृंखला परिसर में हम इसके दोहरे स्थान पर विचार करते हैं $C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},{\bf {R}}),$ और $d^{i}=\partial _{i}^{*}$ इसकी दोहरी जगह है # एक रैखिक मानचित्र का स्थानांतरण

$d^{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.$

यह एक कोचेन कॉम्प्लेक्स को छोड़कर, मूल परिसर के सभी तीरों को उलटने का प्रभाव है

$\cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {\partial _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots$

कोचेन कॉम्प्लेक्स $(C^{*},d^{*})$ एक श्रृंखला परिसर के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा है। इसमें वेक्टर रिक्त स्थान का अनुक्रम होता है $...,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},...$ रैखिक ऑपरेटरों द्वारा जुड़ा हुआ है $d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}$ संतुष्टि देने वाला $d^{n+1}\circ d^{n}=0$. कोचेन कॉम्प्लेक्स को चेन कॉम्प्लेक्स के समान ही लिखा जा सकता है।

$\cdots \xrightarrow {d^{-1}} C^{0}\xrightarrow {d^{0}} C^{1}\xrightarrow {d^{1}} C^{2}\xrightarrow {d^{2}} C^{3}\xrightarrow {d^{3}} C^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots$

अनुक्रमणिका $n$ में या तो $C_{n}$ या $C^{n}$ डिग्री (या आयाम) के रूप में जाना जाता है। चेन और कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच अंतर यह है कि, चेन कॉम्प्लेक्स में डिफरेंशियल डायमेंशन को कम करते हैं, जबकि कोचेन कॉम्प्लेक्स में वे डायमेंशन बढ़ाते हैं।

एक (सह) श्रृंखला परिसर के अलग-अलग वेक्टर रिक्त स्थान के तत्वों को कोचेन्स कहा जाता है। के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) में तत्व $d$ चक्र (या बंद तत्व), और की छवि (गणित) में तत्व कहलाते हैं $d$ कोबाउंडरी (या सटीक तत्व) कहा जाता है। अंतर की परिभाषा से ही, सभी सीमाएँ चक्र हैं।

पोंकारे लेम्मा बताता है कि अगर $B$ में एक खुली गेंद है ${\bf {R}}^{n}$, कोई बंद $p$-प्रपत्र $\omega$ पर परिभाषित $B$ सटीक है, किसी भी पूर्णांक के लिए $p$ साथ $1\leq p\leq n$.

जब हम कोचेन को डिस्क्रीट (डिफरेंशियल) रूपों के रूप में संदर्भित करते हैं, तो हम संदर्भित करते हैं $d$ बाहरी व्युत्पन्न के रूप में। हम रूपों के मूल्यों के लिए कलन संकेतन का भी उपयोग करते हैं:

$\omega (s)=\int _{s}\omega .$

स्टोक्स प्रमेय कई गुना पर असतत अंतर रूपों के बारे में एक बयान है, जो एक अंतराल के विभाजन के लिए असतत पथरी के मौलिक प्रमेय को सामान्य करता है:

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\Delta F}{\Delta x}}(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).$

स्टोक्स की प्रमेय कहती है कि एक रूप का योग $\omega$ कुछ ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) के कई गुना की सीमा पर # कई गुना कई गुना पर अभिविन्यास $\Omega$ इसके बाहरी व्युत्पन्न के योग के बराबर है $d\omega$ पूरे में $\Omega$, अर्थात।,

$\int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.$

के लिए एक उदाहरण पर विचार करके अंतर्निहित सिद्धांत की जांच करना सार्थक है $d=2$ आयाम। आवश्यक विचार को बाईं ओर आरेख द्वारा समझा जा सकता है, जो दर्शाता है कि, कई गुना उन्मुख टाइलिंग में, आंतरिक पथ विपरीत दिशाओं में चलते हैं; पथ अभिन्न में उनका योगदान इस प्रकार एक दूसरे को जोड़ीदार रूप से रद्द कर देता है। नतीजतन, केवल सीमा से योगदान रहता है।

संदर्भ देखें।

रूपों का कील उत्पाद

असतत कलन में, यह एक ऐसा निर्माण है जो उच्च क्रम के रूपों से बनाता है: डिग्री के दो कोचेन से सटे $p$ और $q$ डिग्री का एक समग्र कोचेन बनाने के लिए $p+q$.

क्यूबिकल कॉम्प्लेक्स के लिए, वेज उत्पाद को उसी आयाम के वेक्टर स्पेस के रूप में देखे जाने वाले प्रत्येक क्यूब पर परिभाषित किया गया है।

साधारण परिसरों के लिए, वेज उत्पाद को कप उत्पाद के रूप में लागू किया जाता है: यदि $f^{p}$ एक है $p$-कोचेन और $g^{q}$ एक है $q$-कोचेन, फिर

$(f^{p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p,p+1,...,p+q})$

कहाँ $\sigma$ एक है $(p+q)$ -सिम्प्लेक्स और $\sigma _{S},\ S\subset \{0,1,...,p+q\}$, सिंप्लेक्स द्वारा फैलाया गया है $S$ में $(p+q)$-सिम्प्लेक्स जिसका वर्टिकल द्वारा अनुक्रमित किया जाता है $\{0,...,p+q\}$. इसलिए, $\sigma _{0,1,...,p}$ है $p$-वाँ सामने का चेहरा और $\sigma _{p,p+1,...,p+q}$ है $q$-वाँ पिछला चेहरा $\sigma$, क्रमश।

कोचेन के कप उत्पाद की सीमा $f^{p}$ और $g^{q}$ द्वारा दिया गया है

$d(f^{p}\smile g^{q})=d{f^{p}}\smile g^{q}+(-1)^{p}(f^{p}\smile d{g^{q}}).$

दो कोसायकल का कप उत्पाद फिर से एक कोसायकल है, और एक कोसायकल के साथ एक कोबाउंड्री का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक कोबाउंड्री है।

कप उत्पाद संचालन पहचान को संतुष्ट करता है

$\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p}).$

दूसरे शब्दों में, संबंधित गुणन सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित है | श्रेणीबद्ध-कम्यूटेटिव।

संदर्भ देखें।

लाप्लास ऑपरेटर

लाप्लास ऑपरेटर $\Delta f$ एक समारोह का $f$ एक शीर्ष पर $p$, (एक कारक तक) वह दर है जिस पर औसत मूल्य $f$ के एक सेलुलर पड़ोस पर $p$ से विचलित होता है $f(p)$. लाप्लास ऑपरेटर किसी फ़ंक्शन के ढाल प्रवाह के प्रवाह घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, शुद्ध दर जिस पर किसी द्रव में घुला हुआ रसायन किसी बिंदु की ओर या उससे दूर जाता है, उस बिंदु पर रासायनिक सांद्रता के लाप्लास ऑपरेटर के समानुपाती होता है; प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त, परिणामी समीकरण प्रसार समीकरण है। इन कारणों से, विभिन्न भौतिक घटनाओं के मॉडलिंग के लिए विज्ञान में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

कोड डिफरेंशियल

$\delta :C^{k}\to C^{k-1}$

पर परिभाषित एक ऑपरेटर है $k$-द्वारा रूप:

$\delta =(-1)^{n(k-1)+1}{\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star },$

कहाँ $d$ बाहरी व्युत्पन्न या अंतर है और $\star$ हॉज स्टार ऑपरेटर है।

स्टोक्स के प्रमेय के अनुसार कोडिफ़रेंशियल बाहरी डेरिवेटिव का हर्मिटियन सहायक है:

$(\eta ,\delta \zeta )=(d\eta ,\zeta ).$

चूंकि अंतर संतुष्ट करता है $d^{2}=0$, कोडिफ़रेंशियल में संबंधित संपत्ति होती है

$\delta ^{2}={\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}{\star }d^{2}{\star }=0.$

लाप्लास ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta .$

संदर्भ देखें।

संबंधित

• असतत तत्व विधि
• विभाजित मतभेद
• परिमित अंतर गुणांक
• परिमित अंतर विधि
• सीमित तत्व विधि
• परिमित मात्रा विधि
• संख्यात्मक भेद
• संख्यात्मक एकीकरण
• साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके

यह भी देखें

• परिमित अंतरों की गणना
• परिमित भारित रेखांकन पर कलन
• सेलुलर automaton
• असतत अंतर ज्यामिति
• असतत लाप्लास ऑपरेटर
• असतत गणित# परिमित अंतर, असतत विश्लेषण और असतत कलन की गणना | परिमित अंतर की गणना, असतत कलन या असतत विश्लेषण
• असतत मोर्स सिद्धांत