उपसंरचना (गणित)

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गणितीय तर्क में, एक (प्रेरित) उपसंरचना या (प्रेरित) उपबीजगणित एक संरचना है जिसका प्रक्षेत्र एक बड़ी संरचना का एक उपसमूह है, और जिसके फलन और संबंध उपसंरचना के प्रक्षेत्र तक ही सीमित हैं। उपबीजगणित के कुछ उदाहरण उपसमूह, उपएकाभ, उपरिंग्स, उपक्षेत्र, किसी क्षेत्र पर बीजगणित के उपबीजगणित या प्रेरित उपग्राफ हैं। दृष्टिकोण को बदलते हुए, बड़ी संरचना को उसके उपसंरचना का विस्तार या अधिरचना कहा जाता है।

प्रतिरूप सिद्धांत में, उपप्रतिरूप शब्द का उपयोग प्रायः उपसंरचना के पर्याय के रूप में किया जाता है, विशेष रूप से जब संदर्भ एक सिद्धांत का सुझाव देता है जिसमें दोनों संरचनाएं प्रतिरूप हैं।

संबंधों की उपस्थिति में (अर्थात क्रमबद्ध समूहों या ग्राफ़ जैसी संरचनाओं के लिए, जिनके चिह्‍नक प्रकार्यात्मक नहीं हैं) उप-बीजगणित पर शर्तों को शिथिल करने का अर्थ हो सकता है ताकि कमजोर उप-संरचना (या कमजोर उप-बीजगणित) पर संबंध अधिकतम बड़ी संरचना से प्रेरित हों। उपग्राफ एक उदाहरण है जहां अंतर मायने रखता है, और उपग्राफ शब्द वास्तव में कमजोर उपसंरचना को संदर्भित करता है। दूसरी ओर, क्रमित समूहों का यह विशिष्ट गुणधर्म होता है कि एक क्रमित समूह की प्रत्येक उपसंरचना, जो स्वयं एक क्रमित समूह है, एक प्रेरित उपसंरचना होती है।

परिभाषा

एक ही चिह्‍नक σ की दो संरचनाओं A और B को देखते हुए, A को B की 'कमजोर उपसंरचना', या B की 'कमजोर उप-बीजगणित' कहा जाता है, यदि

• A का प्रक्षेत्र B के प्रक्षेत्र का उपसमुच्चय है,
• σ में प्रत्येक n-ary फलन प्रतीक f के लिए f ^A=f^B|_Aⁿ, और
• σ में प्रत्येक n-ary संबंध प्रतीक R के लिए R^A $\subseteq$ R^B $\cap$ Aⁿ।

A को B की 'उपसंरचना' या B का 'उपबीजगणित' कहा जाता है, यदि A, B का कमजोर उपबीजगणित है और, इसके अतिरिक्त,

• σ में प्रत्येक n-ary संबंध प्रतीक R के लिए R^A = R^B $\cap$ Aⁿ।

यदि A, B की एक उपसंरचना है, तो B को A की 'अधिरचना' कहा जाता है या, विशेष रूप से यदि A एक प्रेरित उपसंरचना है, तो A का 'विस्तार' कहा जाता है।

उदाहरण

बाइनरी फ़ंक्शंस + और ×, बाइनरी रिलेशन <, और स्थिरांक 0 और 1 से युक्त भाषा में, संरचना (Q, +, ×, <, 0, 1) (R, +, ×, <, 0, 1) की एक उपसंरचना है। अधिक आम तौर पर, एक क्रमित क्षेत्र (या सिर्फ एक क्षेत्र (गणित)) की उपसंरचनाएं वास्तव में इसके उपक्षेत्र हैं। इसी प्रकार, भाषा में (×, ⁻¹, 1) समूहों की, एक समूह की उपसंरचना (गणित) उसके उपसमूह हैं। हालाँकि, मोनोइड्स की भाषा (×, 1) में, एक समूह की उपसंरचनाएँ इसके सबमोनॉइड्स हैं। उन्हें समूह होने की आवश्यकता नहीं है; और भले ही वे समूह हों, उन्हें उपसमूह होने की आवश्यकता नहीं है।

ग्राफ़ (अलग-अलग गणित) के मामले में (एक बाइनरी संबंध से युक्त चिह्‍नक में), ग्राफ सिद्धांत # उपग्राफ की शब्दावली, और इसकी कमजोर उप-संरचनाएँ वास्तव में इसके उपग्राफ हैं।

उपवस्तुओं के रूप में

प्रत्येक चिह्‍नक σ के लिए, σ-संरचनाओं की प्रेरित उप-संरचनाएं σ-संरचनाओं और संरचना (गणितीय तर्क)#समरूपता (और σ-संरचनाओं और σ-संरचना (गणितीय तर्क)#समरूपता की ठोस श्रेणी में भी) की ठोस श्रेणी में उप-वस्तुएं हैं। σ-संरचनाओं की कमजोर उप-संरचनाएं σ-संरचनाओं और संरचना (गणितीय तर्क) की ठोस श्रेणी में सामान्य अर्थों में #समरूपताएं हैं।

सबमॉडल

प्रतिरूप सिद्धांत में, एक संरचना एम दी गई है जो सिद्धांत टी का एक प्रतिरूप है, एक संकीर्ण अर्थ में एम का एक 'उपमॉडल' एम का एक उपसंरचना है जो टी का एक प्रतिरूप भी है। उदाहरण के लिए, यदि टी चिह्‍नक (+, 0) में एबेलियन समूहों का सिद्धांत है, तो पूर्णांकों के समूह ('जेड', +, 0) के उपप्रतिरूप उपसंरचनाएं हैं जो एबेलियन समूह भी हैं। इस प्रकार प्राकृतिक संख्याएँ ('N', +, 0) ('Z', +, 0) की एक उपसंरचना बनाती हैं जो एक उपप्रतिरूप नहीं है, जबकि सम संख्याएँ (2'Z', +, 0) एक उपप्रतिरूप बनाती हैं।

अन्य उदाहरण:

1. बीजीय संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में जटिल संख्याओं का एक उपप्रतिरूप बनाती हैं।
2. क्षेत्र (गणित) के सिद्धांत में तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक उपप्रतिरूप बनाती हैं।
3. सिद्धांत T के प्रतिरूप की प्रत्येक प्रारंभिक उपसंरचना भी T को संतुष्ट करती है; इसलिए यह एक उपप्रतिरूप है।

किसी सिद्धांत के प्रतिरूप और उनके बीच एम्बेडिंग की श्रेणी (गणित) में, किसी प्रतिरूप के उपप्रतिरूप उसके उप-विषय होते हैं।

यह भी देखें

• प्राथमिक उपसंरचना
• अंत विस्तार
• लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
• प्रधान प्रतिरूप

संदर्भ

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 173 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-26183-4
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6