उपसंरचना (गणित)

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गणितीय तर्क में, एक (प्रेरित) उपसंरचना या (प्रेरित) उपबीजगणित एक संरचना है जिसका प्रक्षेत्र एक बड़ी संरचना का एक उपसमूह है, और जिसके फलन और संबंध उपसंरचना के प्रक्षेत्र तक ही सीमित हैं। उपबीजगणित के कुछ उदाहरण उपसमूह, उपएकाभ, उपरिंग्स, उपक्षेत्र, किसी क्षेत्र पर बीजगणित के उपबीजगणित या प्रेरित उपग्राफ हैं। दृष्टिकोण को बदलते हुए, बड़ी संरचना को उसके उपसंरचना का विस्तार या अधिरचना कहा जाता है।

प्रतिरूप सिद्धांत में, उपप्रतिरूप शब्द का उपयोग प्रायः उपसंरचना के पर्याय के रूप में किया जाता है, विशेष रूप से जब संदर्भ एक सिद्धांत का सुझाव देता है जिसमें दोनों संरचनाएं प्रतिरूप हैं।

संबंधों की उपस्थिति में (अर्थात क्रमबद्ध समूहों या ग्राफ़ जैसी संरचनाओं के लिए, जिनके चिह्‍नक प्रकार्यात्मक नहीं हैं) उप-बीजगणित पर शर्तों को शिथिल करने का अर्थ हो सकता है ताकि कमजोर उप-संरचना (या कमजोर उप-बीजगणित) पर संबंध अधिकतम बड़ी संरचना से प्रेरित हों। उपग्राफ एक उदाहरण है जहां अंतर मायने रखता है, और उपग्राफ शब्द वास्तव में कमजोर उपसंरचना को संदर्भित करता है। दूसरी ओर, क्रमित समूहों का यह विशिष्ट गुणधर्म होता है कि एक क्रमित समूह की प्रत्येक उपसंरचना, जो स्वयं एक क्रमित समूह है, एक प्रेरित उपसंरचना होती है।

परिभाषा

एक ही चिह्‍नक σ की दो संरचनाओं A और B को देखते हुए, A को B की 'कमजोर उपसंरचना', या B की 'कमजोर उप-बीजगणित' कहा जाता है, यदि

• A का प्रक्षेत्र B के प्रक्षेत्र का उपसमुच्चय है,
• σ में प्रत्येक n-ary फलन प्रतीक f के लिए f ^A=f^B|_Aⁿ, और
• σ में प्रत्येक n-ary संबंध प्रतीक R के लिए R^A $\subseteq$ R^B $\cap$ Aⁿ।

A को B की 'उपसंरचना' या B का 'उपबीजगणित' कहा जाता है, यदि A, B का कमजोर उपबीजगणित है और, इसके अतिरिक्त,

• σ में प्रत्येक n-ary संबंध प्रतीक R के लिए R^A = R^B $\cap$ Aⁿ।

यदि A, B की एक उपसंरचना है, तो B को A की 'अधिरचना' कहा जाता है या, विशेष रूप से यदि A एक प्रेरित उपसंरचना है, तो A का 'विस्तार' कहा जाता है।

उदाहरण

द्विआधारी फलन + और ×, द्विआधारी सम्बन्ध <, और स्थिरांक 0 और 1 से युक्त भाषा में, संरचना (Q, +, ×, <, 0, 1) (R, +, ×, <, 0, 1) की एक उपसंरचना है। आम तौर पर अधिक, एक क्रमित क्षेत्र (या सिर्फ एक क्षेत्र) की उपसंरचनाएं वास्तव में इसके उपक्षेत्र होते हैं। इसी प्रकार, समूहों की भाषा (×, ⁻¹, 1) में, एक समूह की उपसंरचना उसके उपसमूह हैं। हालाँकि, एकाभ की भाषा (×, 1) में, एक समूह की उपसंरचनाएँ इसके उपएकाभ हैं। उन्हें समूह होने की आवश्यकता नहीं है, और भले ही वे समूह हों, फिर भी उन्हें उपसमूह होने की आवश्यकता नहीं है।

ग्राफ़ की स्थिति में (एक द्विआधारी संबंध से युक्त चिह्‍नक में), उपग्राफ, और इसकी कमजोर उप-संरचनाएँ वास्तव में इसके उपग्राफ हैं।

उपवस्तुओं के रूप में

प्रत्येक चिह्‍नक σ के लिए, σ-संरचनाओं की प्रेरित उप-संरचनाएं σ-संरचनाओं और संरचना और मजबूत समरूपता (और σ-संरचनाओं और σ-अंत: स्थापन की ठोस श्रेणी में भी) की ठोस श्रेणी में उप-वस्तुएं हैं। σ-संरचनाओं की कमजोर उप-संरचनाएं σ-संरचनाओं और समरूपता की ठोस श्रेणी में उप-वस्तुएं हैं।

उपप्रतिरूप

प्रतिरूप सिद्धांत में, एक संरचना M दी गई है जो सिद्धांत T का एक प्रतिरूप है, एक संकीर्ण अर्थ में M का एक 'उपप्रतिरूप' M की एक उपसंरचना है जो T का एक प्रतिरूप भी है। उदाहरण के लिए, यदि T चिह्‍नक (+, 0) में एबेलियन समूहों का सिद्धांत है, तो पूर्णांकों के समूह ('Z', +, 0) के उपप्रतिरूप उपसंरचनाएं हैं जो एबेलियन समूह भी हैं। इस प्रकार प्राकृतिक संख्याएँ ('N', +, 0) ('Z', +, 0) की एक उपसंरचना बनाती हैं जो एक उपप्रतिरूप नहीं है, जबकि सम संख्याएँ (2'Z', +, 0) एक उपप्रतिरूप बनाती हैं।

अन्य उदाहरण,

1. बीजगणितीय संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में समिश्र संख्याओं का एक उपप्रतिरूप बनाती हैं।
2. तर्कसंगत संख्याएँ क्षेत्र सिद्धांत में वास्तविक संख्याओं का एक उपप्रतिरूप बनाती हैं।
3. सिद्धांत T के प्रतिरूप की प्रत्येक प्रारंभिक उपसंरचना भी T को संतुष्ट करती है, इसलिए यह एक उपप्रतिरूप है।

किसी सिद्धांत के प्रतिरूप और उनके बीच अंत: स्थापन की श्रेणी में, किसी प्रतिरूप के उपप्रतिरूप उसकी उप-वस्तुएं होती हैं।

यह भी देखें

• प्राथमिक उपसंरचना
• अंत विस्तार
• लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
• प्रधान प्रतिरूप

संदर्भ

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 173 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-26183-4
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6