अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति की शब्दावली

यह गणित में अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति की एक शब्दावली है, जो संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति के बड़े भाग को सम्मिलित करने के लिए डायोफैंटाइन समीकरणों के पारंपरिक अध्ययन से विकसित होने वाले क्षेत्र हैं। अधिकांश सिद्धांत प्रस्तावित अनुमानों के रूप में हैं, जिन्हें व्यापकता के विभिन्न स्तरों पर संबंधित किया जा सकता है।

सामान्य रूप से डायोफैंटाइन ज्यामिति क्षेत्र K के ऊपर बीजगणितीय प्रकार V का अध्ययन है जो कि उनके प्रमुख क्षेत्रों पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं - जिसमें विशेष रुचि वाले संख्या क्षेत्र और परिमित क्षेत्र और स्थानीय क्षेत्र सम्मिलित है। उनमें से, केवल सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद हैं; किसी भी अन्य K की तुलना में K में निर्देशांक के साथ V के बिंदुओं का अस्तित्व एक अतिरिक्त विषय के रूप में सिद्ध और अध्ययन किया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि V की ज्यामिति को जानते हुए भी किया जाना चाहिए।

अंकगणितीय ज्यामिति को सामान्यतः पूर्णांकों के वलय के स्पेक्ट्रम पर परिमित प्रकार की योजनाओं के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अंकगणितीय ज्यामिति को संख्या सिद्धांत में समस्याओं के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की तकनीकों के अनुप्रयोग के रूप में भी परिभाषित किया गया है।

ए

एबीसी अनुमान

मैसर और ओस्टरले का एबीसी अनुमान एक समीकरण a + b = c में दोहराए गए अभाज्य कारकों के बारे में जितना संभव हो उतना बताने का प्रयास करता है। उदाहरण के लिए 3 + 125 = 128 लेकिन यहाँ की प्रमुख शक्तियाँ असाधारण हैं।

अराकेलोव वर्ग समूह

अरकेलोव वर्ग समूह अरकेलोव विभाजकों के लिए आदर्श वर्ग समूह या विभाजक वर्ग समूह का एनालॉग है।

अराकेलोव विभाजक

वैश्विक क्षेत्र पर एक अराकेलोव भाजक (या पूर्ण भाजक) भाजक या भिन्नात्मक आदर्श की अवधारणा का विस्तार है। यह क्षेत्र के स्थानों का एक औपचारिक रैखिक संयोजन है जिसमें पूर्णांक गुणांक वाले परिमित स्थान और वास्तविक गुणांक वाले अनंत स्थान होते हैं।

अराकेलोव ऊंचाई

बीजगणितीय संख्याओं के क्षेत्र में एक प्रक्षेप्य स्थान पर अराकेलोव ऊंचाई एक वैश्विक ऊंचाई फलन है जिसमें आर्किमिडीयन क्षेत्रों पर फ़ुबिनी-अध्ययन मापन और गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों पर सामान्य मापन से स्थानीय योगदान आता है।

अराकेलोव सिद्धांत

अराकेलोव सिद्धांत अंकगणितीय ज्यामिति का एक दृष्टिकोण है जिसमें स्पष्ट रूप से 'अनंत अभाज्य' सम्मिलित हैं।

एबेलियन प्रकार का अंकगणित

मुख्य लेख देखें एबेलियन प्रकार का अंकगणित

आर्टिन L-फलन

आर्टिन L-फलन को सम्पूर्ण रूप में सामान्य गैलोइस प्रतिनिधित्व के लिए परिभाषित किया गया है। 1960 के दशक में एटेले सह समरूपता की प्रारंभ का अर्थ था कि हस्से-वेइल L-फलन को L-एडिक सह समरूपता समूहों पर गैलोज़ अभ्यावेदन के लिए आर्टिन L-फलन के रूप में माना जा सकता है।

बी

अशुध्द कमी

अच्छी कमी देखें।

बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान

बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान दीर्घवृत्तीय वक्र पर एक दीर्घवृत्तीय वक्र की श्रेणी और इसके हासे-वेइल L-फलन के ध्रुव के क्रम के मध्य एक संबंध बताता है। कोट्स-विल्स प्रमेय, ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय और कोलाइविन प्रमेय जैसे परिणामों के साथ, यह 1960 के दशक के मध्य से डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण ऐतिहासिक स्थल रहा है।

सी

विहित ऊंचाई

एबेलियन किस्म पर विहित ऊंचाई एक ऊंचाई फलन है जो एक विशिष्ट द्विघात रूप है। नेरॉन-टेट ऊंचाई देखें।

चाबाउटी की विधि

चबाउटी की विधि, p-एडिक विश्लेषणात्मक फलनों पर आधारित, एक विशेष अनुप्रयोग है लेकिन उन वक्रों के लिए मोर्डेल अनुमान के प्रकरणों को सिद्ध करने में सक्षम है जिनकी जैकोबियन की श्रेणी उसके आयाम से कम है। इसने बीजगणितीय टोरस के लिए थोरलफ स्कोलेम की विधि से विचार विकसित किया है। (डायोफैंटाइन समस्याओं के लिए अन्य पुराने विधि में रंज की विधि सम्मिलित है।)

कोट्स-विल्स प्रमेय

कोट्स-विल्स प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग संख्या 1 और सकारात्मक श्रेणी के एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र द्वारा सम्मिश्र गुणन के साथ एक दीर्घवृत्तीय वक्र में s = 1 पर शून्य के साथ L-फलन होता है। यह बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान का एक विशेष प्रकरण है।

क्रिस्टलीय सह समरूपता

क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी विशेषता p में एक p-एडिक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है, जिसे एटेले कोहोमोलॉजी द्वारा छोड़े गए अंतर को भरने के लिए अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तावित किया गया, जो इस प्रकरण में मॉड p गुणांक का उपयोग करने में कमी है। यह कई सिद्धांतों में से एक है जो किसी न किसी तरह से डवर्क की विधि से निकला है, और इसमें विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रश्नों के बाहर भी अनुप्रयोग हैं।

डी

विकर्ण रूप

विकर्ण रूप अंकगणितीय दृष्टिकोण फर्मेट प्रकार से अध्ययन करने के लिए सबसे सरल प्रक्षेपी प्रकार में से कुछ हैं। उनके स्थानीय ज़ेटा-फलन की गणना जैकोबी जोड़ के संदर्भ में की जाती है। वारिंग की समस्या सबसे शास्त्रीय प्रकरण है।

डायोफैंटाइन आयाम

किसी क्षेत्र का डायोफैंटाइन आयाम सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या k है, यदि यह उपस्थित है, तो इसका क्षेत्र वर्ग C_k है: अर्थात्, N चरों में घात d वाले किसी भी सजातीय बहुपद में N > d^k होने पर एक गैर-तुच्छ शून्य होता है। बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र डायोफ़ैंटाइन आयाम 0 के हैं; आयाम 1 के अर्ध-बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है।

किसी बिंदु का विभेदक

एक बिंदु का विभेदक एक संख्या क्षेत्र K पर परिभाषित बीजगणितीय विविधता V पर एक बिंदु P से संबंधित दो संबंधित अवधारणाओं को संदर्भित करता है: ज्यामितीय (लघुगणकीय) विभेदक d(P) और अंकगणितीय विभेदक, वोज्टा द्वारा परिभाषित है। दोनों के मध्य के अंतर की तुलना एकवचन वक्र के अंकगणितीय जीनस और डीसिंगुलराइज़ेशन के ज्यामितीय जीनस के मध्य के अंतर से की जा सकती है। अंकगणितीय जीनस ज्यामितीय जीनस से बड़ा है, और एक बिंदु की ऊंचाई अंकगणितीय जीनस के संदर्भ में सीमित हो सकती है। ज्यामितीय जीनस को सम्मिलित करते हुए समान सीमाएँ प्राप्त करने के महत्वपूर्ण परिणाम होते है।

डवर्क की विधि

बर्नार्ड डवर्क ने p-एडिक विश्लेषण, p-एडिकबीजगणितीय अंतर समीकरण, कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स और अन्य तकनीकों के विशिष्ट प्रकार का उपयोग किया, जिन्हें क्रिस्टलीय कोहोलॉजी जैसे सामान्य सिद्धांतों में अवशोषित नहीं किया गया है। उन्होंने सबसे पहले स्थानीय ज़ेटा-फलन की तर्कसंगतता को सिद्ध किया, जो कि वेइल अनुमान की दिशा में प्रारंभिक प्रगति थी।

ई

एटले सह समरूपता

वेइल कोहोमोलॉजी (क्यू.वी.) की खोज कम से कम आंशिक रूप से अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और माइकल आर्टिन के एटेले कोहोमोलॉजी सिद्धांत में पूरी हुई थी। इसने स्थानीय ज़ेटा-फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण का प्रमाण प्रदान किया, और टेट अनुमान (क्यू.वी.) और कई अन्य सिद्धांतों के निर्माण में बुनियादी था।

एफ

फाल्टिंग की ऊंचाई

एक संख्या क्षेत्र पर परिभाषित दीर्घवृत्तीय वक्र या एबेलियन विविधता की फाल्टिंग्स ऊंचाई मोर्डेल अनुमान के अपने प्रमाण में फाल्टिंग्स द्वारा प्रस्तावित की गई इसकी सम्मिश्रता का एक माप है।

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय

फ़र्मेट अंतिम प्रमेय, डायोफैंटाइन ज्यामिति का सबसे प्रसिद्ध अनुमान, एंड्रयू विल्स और रिचर्ड टेलर द्वारा सिद्ध किया गया था।

समतल सह समरूपता

समतल सह समरूपता ग्रोथेंडिक स्कूल के लिए, विकास का एक अंतिम बिंदु है। इसका हानि यह है कि इसकी गणना करना अत्यन्त कठिन है। योजना सिद्धांत के लिए समतल टोपोलॉजी को 'सही' मूलभूत टोपोस माना गया है, इसका कारण विश्वसनीय समतल अवरोहण के तथ्य पर वापस जाता है, ग्रोथेंडिक की खोज कि प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक इसके लिए शेव हैं (अर्थात एक बहुत ही सामान्य ग्लूइंग अभिगृहीत मान्य है)।

फलन क्षेत्र समानता

उन्नीसवीं सदी में यह महसूस किया गया कि किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग में बीजगणितीय वक्र या सघन रीमैन सतह की एफ़िन समन्वय रिंग के साथ समानताएं होती हैं, किसी संख्या क्षेत्र के 'अनंत स्थानों' के अनुरूप एक या अधिक बिंदु हटा दिए जाते है। यह विचार इस सिद्धांत में अधिक सटीक रूप से कूटबद्ध है कि सभी वैश्विक क्षेत्रों को एक ही आधार पर व्यवहार किया जाना चाहिए।विचार और आगे बढ़ता है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय सतहों में भी संख्या क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के साथ कुछ यथार्थ समानताएँ होती हैं।

जी

[[ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]

वर्ग क्षेत्र सिद्धांत-वर्ग क्षेत्र सिद्धांत एबेलियन आवरण से कम से कम दो आयामों के प्रकार तक विस्तार को प्रायः ज्यामितीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है।

उपयुक्त कमी

अंकगणितीय समस्याओं में स्थानीय विश्लेषण के लिए मौलिक रूप से सभी अभाज्य संख्याओं p या, अधिक सामान्यतः, अभाज्य आदर्शों को कम करना है। सामान्य स्थिति में यह लगभग सभी p के लिए थोड़ी कठिनाई प्रस्तुत करता है; उदाहरण के लिए, भिन्नों के भाजक कठिन होते हैं, उस कमी मॉड्यूलो में भाजक में एक अभाज्य शून्य से विभाजन जैसा दिखता है, लेकिन यह प्रति अंश केवल सीमित संख्या में p को ही वर्जित करता है। थोड़े अतिरिक्त परिष्कार के साथ, सजातीय निर्देशांक एक सामान्य अदिश से गुणा करके भाजक को निकास करने की अनुमति देता हैं। किसी दिए गए, एकल बिंदु के लिए कोई ऐसा कर सकता है और एक सामान्य गुणनखंड p नहीं छोड़ सकता हैं। हालाँकि विलक्षणता सिद्धांत में प्रवेश होता है: एक गैर-एकवचन बिंदु न्यूनीकरण मॉड्यूल p पर एक विलक्षण बिंदु बन सकता है, क्योंकि ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि बड़ा हो सकता है जब रैखिक शब्द 0 तक कम हो जाते हैं (ज्यामितीय सूत्रीकरण से पता चलता है कि यह निर्देशांक के एक समुच्चय की गलती नहीं है)। अच्छी कमी से तात्पर्य उस कम प्रकार से है जिसमें मूल के समान गुण होते हैं, उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय वक्र जिसमें एक ही जीनस होता है, या एक स्मूथ प्रकार स्मूथ बना हुआ है। सामान्य रूप में किसी दी गई किस्म V के लिए अभाज्य संख्याओं का एक सीमित समुच्चय S होगा, सुचारू मान लिया गया है, जैसे कि अन्यथा Z/pZ पर एक सुचारू रूप से Vp कम किया गया है। एबेलियन प्रकार के लिए, अच्छी कमी नेरॉन-ओग-शफारेविच मानदंड द्वारा विभाजन बिंदुओं के क्षेत्र में प्रभाव से जुड़ी हुई है। सिद्धांत सूक्ष्म है, इस अर्थ में कि प्रकरणों को सुधारने की कोशिश करने के लिए चर बदलने की स्वतंत्रता स्पष्ट नहीं है: नेरॉन मॉडल, संभावित उपयुक्त कमी, टेट वक्र, सेमीस्टेबल एबेलियन विविधता, सेमीस्टेबल दीर्घवृत्तीय वक्र, सेरे-टेट प्रमेय देखें।

ग्रोथेंडिक-काट्ज़ अनुमान

The ग्रोथेंडिक-काट्ज़ p-वक्रता अनुमान बीजीय फलन समाधानों पर जानकारी प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय अंतर समीकरण में कमी मॉड्यूलो अभाज्य को उपयोजित करता है। यह 2016 तक एक विवृत समस्या है। इस प्रकार का प्रारंभिक परिणाम आइसेनस्टीन का प्रमेय था।

एच

हस्से सिद्धांत

हैसे सिद्धांत बताता है कि वैश्विक क्षेत्र के लिए विलेयता सभी प्रासंगिक स्थानीय क्षेत्र में विलेयता के समान है। डायोफैंटाइन ज्यामिति का एक मुख्य उद्देश्य उन प्रकरणों को वर्गीकृत करना है जहां हस्से सिद्धांत उपयोजित होता है। सामान्यतः यह बड़ी संख्या में चरों के लिए होता है, जब किसी समीकरण की डिग्री निश्चित रखी जाती है। हस्से सिद्धांत प्रायः हार्डी-लिटलवुड वृत्त पद्धति की सफलता से जुड़ा होता है। जब वृत्त पद्धति काम करती है,यह अतिरिक्त, मात्रात्मक जानकारी जैसे समाधानों की स्पर्शोन्मुख संख्या प्रदान कर सकता है। चरों की संख्या कम करने से वृत्त विधि कठिन हो जाती है; इसलिए हैस सिद्धांत की विफलताएं, उदाहरण के लिए छोटी संख्या में चर में घन रूपों के लिए (और विशेष रूप से घन वक्र के रूप में दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए) विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण की सीमाओं से जुड़े सामान्य स्तर पर हैं।

हस्से-वेइल L-फलन

एक हैस-वेइल L-फलन, जिसे कभी-कभी वैश्विक L-फलन भी कहा जाता है, एक यूलर उत्पाद है जो स्थानीय ज़ेटा-फलन से बनता है। ऐसे L-फलन के गुण बड़े पैमाने पर अनुमान के क्षेत्र में रहते हैं, जिसमें तानियामा-शिमुरा अनुमान का प्रमाण एक सफलता है। लैंगलैंड्स दर्शनशास्त्र व्यापक रूप से वैश्विक L-फलन के सिद्धांत का पूरक है।

ऊंचाई फलन

डायोफैंटाइन ज्यामिति में एक ऊंचाई फलन डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार को निर्धारित करता है।

हिल्बर्टियन क्षेत्र

हिल्बर्टियन क्षेत्र K वह है जिसके लिए K के ऊपर प्रक्षेप्य समष्टि जीन-पियरे सेरे के अर्थ में क्षीण समुच्चय नहीं हैं। यह हिल्बर्ट की अपरिवर्तनीयता प्रमेय पर एक ज्यामितीय विचार है जो दर्शाता है कि तर्कसंगत संख्याएं हिल्बर्टियन हैं। परिणाम व्युत्क्रम गैलोज़ समस्या पर उपयोजित होते हैं। क्षीण समुच्चय (फ़्रेंच शब्द मिंस) कुछ अर्थों में बेयर श्रेणी प्रमेय के अल्प समुच्चय (फ़्रेंच मेग्रे) के अनुरूप हैं।

मैं

Igusa zeta-function

An Igusa zeta-function, named for Jun-ichi Igusa, is a generating function counting numbers of points on an algebraic variety modulo high powers pⁿ of a fixed prime number p. General rationality theorems are now known, drawing on methods of mathematical logic.

Infinite descent

Infinite descent was Pierre de Fermat's classical method for Diophantine equations. It became one half of the standard proof of the Mordell–Weil theorem, with the other being an argument with height functions (q.v.). Descent is something like division by two in a group of principal homogeneous spaces (often called 'descents', when written out by equations); in more modern terms in a Galois cohomology group which is to be proved finite. See Selmer group.

Iwasawa theory

Iwasawa theory builds up from the analytic number theory and Stickelberger's theorem as a theory of ideal class groups as Galois modules and p-adic L-functions (with roots in Kummer congruence on Bernoulli numbers). In its early days in the late 1960s it was called Iwasawa's analogue of the Jacobian. The analogy was with the Jacobian variety J of a curve C over a finite field F (qua Picard variety), where the finite field has roots of unity added to make finite field extensions F′ The local zeta-function (q.v.) of C can be recovered from the points J(F′) as Galois module. In the same way, Iwasawa added pⁿ-power roots of unity for fixed p and with n → ∞, for his analogue, to a number field K, and considered the inverse limit of class groups, finding a p-adic L-function earlier introduced by Kubota and Leopoldt.

के

K-theory

Algebraic K-theory is on one hand a quite general theory with an abstract algebra flavour, and, on the other hand, implicated in some formulations of arithmetic conjectures. See for example Birch–Tate conjecture, Lichtenbaum conjecture.

एल

Lang conjecture

Enrico Bombieri (dimension 2), Serge Lang and Paul Vojta (integral points case) and Piotr Blass have conjectured that algebraic varieties of general type do not have Zariski dense subsets of K-rational points, for K a finitely-generated field. This circle of ideas includes the understanding of analytic hyperbolicity and the Lang conjectures on that, and the Vojta conjectures. An analytically hyperbolic algebraic variety V over the complex numbers is one such that no holomorphic mapping from the whole complex plane to it exists, that is not constant. Examples include compact Riemann surfaces of genus g > 1. Lang conjectured that V is analytically hyperbolic if and only if all subvarieties are of general type.

Linear torus

A linear torus is a geometrically irreducible Zariski-closed subgroup of an affine torus (product of multiplicative groups).

Local zeta-function

A local zeta-function is a generating function for the number of points on an algebraic variety V over a finite field F, over the finite field extensions of F. According to the Weil conjectures (q.v.) these functions, for non-singular varieties, exhibit properties closely analogous to the Riemann zeta-function, including the Riemann hypothesis.

एम

Manin–Mumford conjecture

The Manin–Mumford conjecture, now proved by Michel Raynaud, states that a curve C in its Jacobian variety J can only contain a finite number of points that are of finite order in J, unless C = J.

Mordell conjecture

The Mordell conjecture is now the Faltings theorem, and states that a curve of genus at least two has only finitely many rational points. The Uniformity conjecture states that there should be a uniform bound on the number of such points, depending only on the genus and the field of definition.

Mordell–Lang conjecture

The Mordell–Lang conjecture, now proved by McQuillan following work of Laurent, Raynaud, Hindry, Vojta, and Faltings, is a conjecture of Lang unifying the Mordell conjecture and Manin–Mumford conjecture in an abelian variety or semiabelian variety.

Mordell–Weil theorem

The Mordell–Weil theorem is a foundational result stating that for an abelian variety A over a number field K the group A(K) is a finitely-generated abelian group. This was proved initially for number fields K, but extends to all finitely-generated fields.

Mordellic variety

A Mordellic variety is an algebraic variety which has only finitely many points in any finitely generated field.

एन

Naive height

The naive height or classical height of a vector of rational numbers is the maximum absolute value of the vector of coprime integers obtained by multiplying through by a lowest common denominator. This may be used to define height on a point in projective space over Q, or of a polynomial, regarded as a vector of coefficients, or of an algebraic number, from the height of its minimal polynomial.

Néron symbol

The Néron symbol is a bimultiplicative pairing between divisors and algebraic cycles on an Abelian variety used in Néron's formulation of the Néron–Tate height as a sum of local contributions. The global Néron symbol, which is the sum of the local symbols, is just the negative of the height pairing.

Néron–Tate height

The Néron–Tate height (also often referred to as the canonical height) on an abelian variety A is a height function (q.v.) that is essentially intrinsic, and an exact quadratic form, rather than approximately quadratic with respect to the addition on A as provided by the general theory of heights. It can be defined from a general height by a limiting process; there are also formulae, in the sense that it is a sum of local contributions.

Nevanlinna invariant

The Nevanlinna invariant of an ample divisor D on a normal projective variety X is a real number which describes the rate of growth of the number of rational points on the variety with respect to the embedding defined by the divisor. It has similar formal properties to the abscissa of convergence of the height zeta function and it is conjectured that they are essentially the same.

ओ

Ordinary reduction

An Abelian variety A of dimension d has ordinary reduction at a prime p if it has good reduction at p and in addition the p-torsion has rank d.

क्यू

Quasi-algebraic closure

The topic of quasi-algebraic closure, i.e. solubility guaranteed by a number of variables polynomial in the degree of an equation, grew out of studies of the Brauer group and the Chevalley–Warning theorem. It stalled in the face of counterexamples; but see Ax–Kochen theorem from mathematical logic.

आर

Reduction modulo a prime number or ideal

See good reduction.

Replete ideal

A replete ideal in a number field K is a formal product of a fractional ideal of K and a vector of positive real numbers with components indexed by the infinite places of K. A replete divisor is an Arakelov divisor.

एस

Sato–Tate conjecture

The Sato–Tate conjecture describes the distribution of Frobenius elements in the Tate modules of the elliptic curves over finite fields obtained from reducing a given elliptic curve over the rationals. Mikio Sato and, independently, John Tate suggested it around 1960. It is a prototype for Galois representations in general.

Skolem's method

See Chabauty's method.

Special set

The special set in an algebraic variety is the subset in which one might expect to find many rational points. The precise definition varies according to context. One definition is the Zariski closure of the union of images of algebraic groups under non-trivial rational maps; alternatively one may take images of abelian varieties; another definition is the union of all subvarieties that are not of general type. For abelian varieties the definition would be the union of all translates of proper abelian subvarieties. For a complex variety, the holomorphic special set is the Zariski closure of the images of all non-constant holomorphic maps from C. Lang conjectured that the analytic and algebraic special sets are equal.

Subspace theorem

Schmidt's subspace theorem shows that points of small height in projective space lie in a finite number of hyperplanes. A quantitative form of the theorem, in which the number of subspaces containing all solutions, was also obtained by Schmidt, and the theorem was generalised by Schlickewei (1977) to allow more general absolute values on number fields. The theorem may be used to obtain results on Diophantine equations such as Siegel's theorem on integral points and solution of the S-unit equation.

टी

Tamagawa numbers

The direct Tamagawa number definition works well only for linear algebraic groups. There the Weil conjecture on Tamagawa numbers was eventually proved. For abelian varieties, and in particular the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture (q.v.), the Tamagawa number approach to a local–global principle fails on a direct attempt, though it has had heuristic value over many years. Now a sophisticated equivariant Tamagawa number conjecture is a major research problem.

Tate conjecture

The Tate conjecture (John Tate, 1963) provided an analogue to the Hodge conjecture, also on algebraic cycles, but well within arithmetic geometry. It also gave, for elliptic surfaces, an analogue of the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture (q.v.), leading quickly to a clarification of the latter and a recognition of its importance.

Tate curve

The Tate curve is a particular elliptic curve over the p-adic numbers introduced by John Tate to study bad reduction (see good reduction).

Tsen rank

The Tsen rank of a field, named for C. C. Tsen who introduced their study in 1936, is the smallest natural number i, if it exists, such that the field is of class T_i: that is, such that any system of polynomials with no constant term of degree d_j in n variables has a non-trivial zero whenever n > Σ d_jⁱ. Algebraically closed fields are of Tsen rank zero. The Tsen rank is greater or equal to the Diophantine dimension but it is not known if they are equal except in the case of rank zero.

यू

Uniformity conjecture

The uniformity conjecture states that for any number field K and g > 2, there is a uniform bound B(g,K) on the number of K-rational points on any curve of genus g. The conjecture would follow from the Bombieri–Lang conjecture.

Unlikely intersection

An unlikely intersection is an algebraic subgroup intersecting a subvariety of a torus or abelian variety in a set of unusually large dimension, such as is involved in the Mordell–Lang conjecture.

वी

Vojta conjecture

The Vojta conjecture is a complex of conjectures by Paul Vojta, making analogies between Diophantine approximation and Nevanlinna theory.

डब्ल्यू

Weights

The yoga of weights is a formulation by Alexander Grothendieck of analogies between Hodge theory and l-adic cohomology.

Weil cohomology

The initial idea, later somewhat modified, for proving the Weil conjectures (q.v.), was to construct a cohomology theory applying to algebraic varieties over finite fields that would both be as good as singular homology at detecting topological structure, and have Frobenius mappings acting in such a way that the Lefschetz fixed-point theorem could be applied to the counting in local zeta-functions. For later history see motive (algebraic geometry), motivic cohomology.

Weil conjectures

The Weil conjectures were three highly influential conjectures of André Weil, made public around 1949, on local zeta-functions. The proof was completed in 1973. Those being proved, there remain extensions of the Chevalley–Warning theorem congruence, which comes from an elementary method, and improvements of Weil bounds, e.g. better estimates for curves of the number of points than come from Weil's basic theorem of 1940. The latter turn out to be of interest for Algebraic geometry codes.

Weil distributions on algebraic varieties

André Weil proposed a theory in the 1920s and 1930s on prime ideal decomposition of algebraic numbers in coordinates of points on algebraic varieties. It has remained somewhat under-developed.

Weil function

A Weil function on an algebraic variety is a real-valued function defined off some Cartier divisor which generalises the concept of Green's function in Arakelov theory. They are used in the construction of the local components of the Néron–Tate height.

Weil height machine

The Weil height machine is an effective procedure for assigning a height function to any divisor on smooth projective variety over a number field (or to Cartier divisors on non-smooth varieties).

यह भी देखें

• अंकगणित टोपोलॉजी
• अंकगणितीय गतिशीलता

संदर्भ

• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Vol. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023.
• Lang, Serge (1988). Introduction to Arakelov theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001.
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Zbl 0956.11021.

अग्रिम पठन

• Dino Lorenzini (1996), An invitation to arithmetic geometry, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0267-0