स्थानांतरण सिद्धांत

मॉडल सिद्धांत में, एक स्थानांतरण सिद्धांत बताता है कि किसी भाषा के सभी कथन जो किसी संरचना के लिए सत्य हैं, दूसरी संरचना के लिए भी सत्य हैं। पहले उदाहरणों में से एक था बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति#लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत, जो बताता है कि फ़ील्ड (गणित) की प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम भाषा में कोई भी वाक्य जो जटिल संख्याओं के लिए सत्य है, किसी भी बीजगणितीय रूप से भी सत्य है विशेषता का बंद क्षेत्र (बीजगणित)।

इतिहास

स्थानांतरण सिद्धांत का एक प्रारंभिक रूप गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ द्वारा निरंतरता के नियम के नाम से वर्णित किया गया था। यहां बहुत छोता से प्रशंसनीय संख्याओं के समान गुण होने की उम्मीद की जाती है। स्थानांतरण सिद्धांत को स्थायित्व के सिद्धांत की कठोर औपचारिकता के रूप में भी देखा जा सकता है। इसी तरह की प्रवृत्तियाँ ऑगस्टिन-लुई कॉची में पाई जाती हैं, जिन्होंने निरंतर फ़ंक्शन (कोर्स डी'एनालिसिस में) और डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के एक रूप दोनों को परिभाषित करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग किया था।

1955 में, जेरज़ी लोस ने किसी भी अतिवास्तविक संख्या प्रणाली के लिए स्थानांतरण सिद्धांत को सिद्ध किया। इसका सबसे आम उपयोग अब्राहम रॉबिन्सन के हाइपररियल संख्याओं के गैरमानक विश्लेषण में होता है, जहां स्थानांतरण सिद्धांत बताता है कि एक निश्चित औपचारिक भाषा में व्यक्त कोई भी वाक्य जो वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है, हाइपररियल संख्याओं के लिए भी सत्य है।

हाइपररियल्स के लिए स्थानांतरण सिद्धांत

See also: Hyperreal number § The transfer principle

स्थानांतरण सिद्धांत वास्तविक संख्या आर के गुणों और *आर द्वारा दर्शाए गए एक बड़े क्षेत्र के गुणों के बीच तार्किक संबंध की चिंता करता है जिसे हाइपररियल नंबर कहा जाता है। फ़ील्ड *आर में, विशेष रूप से, असीम रूप से छोटी संख्याएं शामिल हैं, जो लीबनिज़ द्वारा शुरू की गई एक परियोजना का कठोर गणितीय एहसास प्रदान करती हैं।

विचार यह है कि R पर विश्लेषण को गणितीय तर्क की उपयुक्त भाषा में व्यक्त किया जाए, और फिर बताया जाए कि यह भाषा *R पर भी समान रूप से लागू होती है। यह संभव हो जाता है क्योंकि सेट-सैद्धांतिक स्तर पर, ऐसी भाषा में प्रस्तावों की व्याख्या सभी सेटों के बजाय केवल आंतरिक सेटों पर लागू करने के लिए की जाती है। जैसा कि अब्राहम रॉबिन्सन ने कहा, [सिद्धांत] के वाक्यों की व्याख्या *आर में एह रिफंड पर के अर्थ में की गई है। इस आशय का प्रमेय कि प्रत्येक प्रस्ताव R पर मान्य है, *R पर भी मान्य है, स्थानांतरण सिद्धांत कहलाता है।

स्थानांतरण सिद्धांत के कई अलग-अलग संस्करण हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि गैर-मानक गणित के किस मॉडल का उपयोग किया जा रहा है। मॉडल सिद्धांत के संदर्भ में, स्थानांतरण सिद्धांत बताता है कि एक मानक मॉडल से एक गैरमानक मॉडल तक का नक्शा एक प्राथमिक तुल्यता (किसी भाषा में सभी कथनों के सत्य मूल्यों को संरक्षित करने वाला एक एम्बेडिंग) या कभी-कभी एक सीमाबद्ध प्रारंभिक एम्बेडिंग होता है। (समान, लेकिन केवल परिबद्ध परिमाणक वाले कथनों के लिए)।

ऐसा प्रतीत होता है कि यदि स्थानांतरण सिद्धांत को सही ढंग से नहीं संभाला गया तो इससे विरोधाभास पैदा हो सकता है। उदाहरण के लिए, चूँकि हाइपररियल संख्याएँ एक गैर-आर्किमिडीयन गुण आदेशित फ़ील्ड बनाती हैं और वास्तविक एक आर्किमिडीयन आदेशित फ़ील्ड बनाते हैं, आर्किमिडीयन होने का गुण (प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक इससे बड़ा होता है) $1/n$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$) प्रथम दृष्टया स्थानांतरण सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करता प्रतीत होता है। प्रत्येक सकारात्मक अतियथार्थवादी कथन से बड़ा है $1/n$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$गलत है; हालाँकि सही व्याख्या यह है कि प्रत्येक सकारात्मक हाइपररियल उससे बड़ा होता है $1/n$ कुछ सकारात्मक हाइपरइंटेगर के लिए $n$. दूसरे शब्दों में, गैरमानक ब्रह्मांड में रहने वाले एक आंतरिक पर्यवेक्षक के लिए हाइपररियल्स आर्किमिडीयन प्रतीत होते हैं, लेकिन दिखाई देते हैं ब्रह्मांड के बाहर किसी बाहरी पर्यवेक्षक के लिए गैर-आर्किमिडीयन होना।

स्थानांतरण सिद्धांत का एक नए स्तर का सुलभ सूत्रीकरण हावर्ड जेरोम केसलर|कीस्लर की पुस्तक एलीमेंट्री कैलकुलस: एन इनफिनिटेसिमल अप्रोच है।

उदाहरण

हर वास्तविक $x$ असमानता को संतुष्ट करता है

$$x\geq \lfloor x\rfloor ,$$

कहाँ $\lfloor \,\cdot \,\rfloor$ फर्श और छत का कार्य कार्य है। स्थानांतरण सिद्धांत के एक विशिष्ट अनुप्रयोग द्वारा, प्रत्येक अतियथार्थवादी $x$ असमानता को संतुष्ट करता है

$$x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,$$

कहाँ ${}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor$ पूर्णांक भाग फ़ंक्शन का प्राकृतिक विस्तार है। अगर $x$ अनंत है, फिर अतिपूर्णांक ${}^{*}\!\lfloor x\rfloor$ अनंत भी है.

संख्या की अवधारणा का सामान्यीकरण

ऐतिहासिक रूप से, संख्या की अवधारणा को बार-बार सामान्यीकृत किया गया है। प्राकृत संख्याओं में 0 (संख्या) का योग $\mathbb {N}$ अपने समय में एक प्रमुख बौद्धिक उपलब्धि थी। बनाने में ऋणात्मक पूर्णांकों का योग $\mathbb {Z}$ यह पहले से ही तत्काल अनुभव के दायरे से गणितीय मॉडल के दायरे में प्रस्थान का गठन कर चुका है। आगे का विस्तार, तर्कसंगत संख्याएँ $\mathbb {Q}$, एक सामान्य व्यक्ति के लिए उनकी पूर्णता से अधिक परिचित है $\mathbb {R}$, आंशिक रूप से क्योंकि वास्तविकताएं किसी भी भौतिक वास्तविकता (माप और गणना के अर्थ में) से मेल नहीं खाती हैं जो कि प्रस्तुत की गई हैं $\mathbb {Q}$. इस प्रकार, एक अपरिमेय संख्या की धारणा सबसे शक्तिशाली फ्लोटिंग-पॉइंट कंप्यूटर के लिए भी अर्थहीन है। इस तरह के विस्तार की आवश्यकता भौतिक अवलोकन से नहीं बल्कि गणितीय सुसंगतता की आंतरिक आवश्यकताओं से उत्पन्न होती है। इनफ़ाइन्टिसिमल्स ने गणितीय प्रवचन में उस समय प्रवेश किया जब उस समय गणितीय विकास के लिए ऐसी धारणा की आवश्यकता थी, अर्थात् उस चीज़ का उद्भव जिसे गणना के रूप में जाना जाने लगा। जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, इस नवीनतम विस्तार के गणितीय औचित्य में तीन शताब्दियों की देरी हुई। हावर्ड जेरोम केसलर ने लिखा:

वास्तविक रेखा पर चर्चा करते समय हमने टिप्पणी की कि हमारे पास यह जानने का कोई तरीका नहीं है कि भौतिक स्थान में एक रेखा वास्तव में कैसी होती है। यह अतिवास्तविक रेखा, वास्तविक रेखा, या दोनों में से किसी की तरह नहीं हो सकता है। हालाँकि, कैलकुलस के अनुप्रयोगों में, भौतिक स्थान में एक रेखा को हाइपररियल रेखा के रूप में कल्पना करना सहायक होता है।

निरंतरता|हाइपररियल्स का आत्मनिर्भर विकास संभव हो गया यदि प्रत्येक सच्चे प्रथम-क्रम तर्क कथन जो बुनियादी अंकगणित (प्राकृतिक संख्या, प्लस, समय, तुलना) का उपयोग करता है और केवल वास्तविक संख्याओं पर मात्रा निर्धारित करता है, को सच माना जाता है पुनर्व्याख्याित रूप में यदि हम यह मान लें कि यह अतिवास्तविक संख्याओं पर मात्रा निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, हम बता सकते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए उससे बड़ी एक अन्य संख्या होती है:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.$

फिर हाइपररियल्स के लिए भी यही बात लागू होगी:

$\forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.$

एक अन्य उदाहरण यह कथन है कि यदि आप किसी संख्या में 1 जोड़ते हैं तो आपको एक बड़ी संख्या प्राप्त होती है:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1$

जो हाइपररियल्स के लिए भी लागू होगा:

$\forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.$

इन तुल्यताओं को तैयार करने वाले सही सामान्य कथन को स्थानांतरण सिद्धांत कहा जाता है। ध्यान दें कि, विश्लेषण में कई सूत्रों में, परिमाणीकरण उच्च-क्रम वाली वस्तुओं जैसे फ़ंक्शंस और सेट पर होता है, जो स्थानांतरण सिद्धांत को उपरोक्त उदाहरणों की तुलना में कुछ अधिक सूक्ष्म बनाता है।

आर और के बीच अंतर ^*आर

हालाँकि स्थानांतरण सिद्धांत का मतलब यह नहीं है कि R और *R का व्यवहार समान है। उदाहरण के लिए, *R में एक तत्व ω मौजूद है

$1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots$

लेकिन R में ऐसी कोई संख्या नहीं है। यह संभव है क्योंकि इस संख्या की गैर-अस्तित्व को उपरोक्त प्रकार के प्रथम क्रम कथन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ω जैसी अतिवास्तविक संख्या को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है; अपरिमित बड़ी संख्याओं के व्युत्क्रम अतिसूक्ष्म होते हैं।

हाइपररियल्स *आर एक क्रमबद्ध फ़ील्ड बनाता है जिसमें रियल्स आर एक उपक्षेत्र के रूप में होता है। वास्तविक के विपरीत, हाइपररियल एक मानक मीट्रिक स्थान नहीं बनाते हैं, लेकिन उनके क्रम के आधार पर वे एक ऑर्डर टोपोलॉजी रखते हैं।

हाइपररियल्स की रचनाएँ

हाइपररियल्स को स्वयंसिद्ध रूप से या अधिक रचनात्मक उन्मुख तरीकों से विकसित किया जा सकता है। स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण का सार यह दावा करना है (1) कम से कम एक अतिसूक्ष्म संख्या का अस्तित्व, और (2) स्थानांतरण सिद्धांत की वैधता। निम्नलिखित उपधारा में हम अधिक रचनात्मक दृष्टिकोण की विस्तृत रूपरेखा देते हैं। यह विधि किसी को अल्ट्राफ़िल्टर नामक सेट-सैद्धांतिक ऑब्जेक्ट दिए जाने पर हाइपररियल्स का निर्माण करने की अनुमति देती है, लेकिन अल्ट्राफिल्टर का स्पष्ट रूप से निर्माण नहीं किया जा सकता है। व्लादिमीर कनोवी और शेलाह संरचना के एक निश्चित, गणनीय रूप से संतृप्त प्राथमिक विस्तार का निर्माण करें जिसमें वास्तविक और उस पर सभी अंतिम संबंध शामिल हों।

अपने सबसे सामान्य रूप में, स्थानांतरण संरचनाओं के बीच एक सीमित प्राथमिक तुल्यता है।

कथन

आदेशित फ़ील्ड ^*गैरमानक वास्तविक संख्याओं के R में वास्तविक संख्या फ़ील्ड R उचित रूप से शामिल है। R को उचित रूप से शामिल करने वाले सभी ऑर्डर किए गए फ़ील्ड की तरह, यह फ़ील्ड Archimedean_property|non-Archimedean है। इसका मतलब है कि कुछ सदस्य x ≠ 0 ^*R अतिसूक्ष्म हैं, अर्थात,

$\underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.$

R में एकमात्र अतिसूक्ष्म 0 है। के कुछ अन्य सदस्य ^*R, अशून्य अनंतिमलों के व्युत्क्रम y, अनंत हैं, अर्थात,

$\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.$

फ़ील्ड का अंतर्निहित सेट ^*R मैपिंग ए के अंतर्गत आर की छवि है↦ ^*ए 'आर' के उपसमुच्चय ए से उपसमुच्चय तक ^*आर. प्रत्येक स्थिति में

$A\subseteq {^{*}\!A},$

समानता के साथ यदि और केवल यदि A परिमित है। प्रपत्र के सेट ^*कुछ के लिए ए $\scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R}$ के मानक उपसमुच्चय कहलाते हैं ^*आर. मानक सेट उपसमुच्चय के एक बहुत बड़े वर्ग से संबंधित हैं ^*R को आंतरिक सेट कहा जाता है। इसी प्रकार प्रत्येक कार्य

$f:A\rightarrow \mathbb {R}$

एक फ़ंक्शन तक विस्तारित होता है

${^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };$

इन्हें मानक फ़ंक्शंस कहा जाता है, और ये आंतरिक फ़ंक्शंस के बहुत बड़े वर्ग से संबंधित हैं। जो सेट और फ़ंक्शन आंतरिक नहीं हैं वे बाहरी हैं।

इन अवधारणाओं का महत्व निम्नलिखित प्रस्ताव में उनकी भूमिका से उत्पन्न होता है और इसका अनुसरण करने वाले उदाहरणों से स्पष्ट होता है।

स्थानांतरण सिद्धांत:

• मान लीजिए कि कोई प्रस्ताव सत्य है ^*R को सीमित रूप से कई चरों के कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है (उदाहरण के लिए (x, y)↦ x + y), अनेक परिमित चरों के बीच संबंध (उदा. x ≤ y), परिमित तार्किक संयोजक जैसे 'और', 'या', 'नहीं', 'यदि...तब...', और परिमाणक

$\forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .$

उदाहरण के लिए, ऐसा ही एक प्रस्ताव है

$\forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.$

ऐसा प्रस्ताव R में सत्य है यदि और केवल यदि यह सत्य है ^*R जब परिमाणक

$\forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }$

प्रतिस्थापित करता है

$\forall x\in \mathbb {R} ,$

और इसी तरह के लिए $\exists$.

• मान लीजिए कि एक प्रस्ताव अन्यथा उतनी ही सरलता से व्यक्त किया जा सकता है जितना ऊपर माना गया है और इसमें कुछ विशेष सेटों का उल्लेख है $\scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R}$. ऐसा प्रस्ताव R में सत्य है यदि और केवल यदि यह सत्य है ^*R ऐसे प्रत्येक A के साथ संगत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ^*ए. यहाँ दो उदाहरण हैं:

• सेट

$[0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }$

होना चाहिए

$\{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},$

इसमें न केवल 0 और 1 के बीच के आर के सदस्य शामिल हैं, बल्कि इसके सदस्य भी शामिल हैं ^*आर 0 और 1 के बीच जो कि इनफिनिटिमल्स से भिन्न है। इसे देखने के लिए उस वाक्य पर गौर करें

$\forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)$

आर में सत्य है, और स्थानांतरण सिद्धांत लागू करें।

• सेट ^*एन में कोई ऊपरी सीमा नहीं होनी चाहिए ^*आर (चूंकि आर में एन की ऊपरी सीमा की गैर-मौजूदगी को व्यक्त करने वाला वाक्य उस पर लागू होने वाले स्थानांतरण सिद्धांत के लिए काफी सरल है) और इसमें एन + 1 होना चाहिए यदि इसमें शामिल है n, लेकिन n और n + 1 के बीच कुछ भी नहीं होना चाहिए। के सदस्य

${^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N}$

अनंत पूर्णांक हैं।)

• मान लीजिए कि किसी प्रस्ताव को अन्यथा उतनी ही सरलता से व्यक्त किया जा सकता है जितना कि ऊपर माना गया है जिसमें परिमाणक शामिल है

$\forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .$

ऐसा प्रस्ताव R में सत्य है यदि और केवल यदि यह सत्य है ^*आर ऊपर निर्दिष्ट परिवर्तनों और क्वांटिफायर के प्रतिस्थापन के बाद

$[\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]$

और

$[\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .$

तीन उदाहरण

हाइपररियल ट्रांसफर सिद्धांत के लिए उपयुक्त सेटिंग आंतरिक संस्थाओं की दुनिया है। इस प्रकार, स्थानांतरण द्वारा प्राकृतिक संख्याओं की सुव्यवस्थित संपत्ति इस तथ्य को जन्म देती है कि प्रत्येक आंतरिक उपसमुच्चय $\mathbb {N}$ सबसे कम तत्व है. इस अनुभाग में आंतरिक सेटों पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

• प्रत्येक गैर-रिक्त आंतरिक उपसमुच्चय ^*आर जिसमें ऊपरी सीमा होती है ^*R में न्यूनतम ऊपरी सीमा है ^*आर. परिणामस्वरूप सभी अतिसूक्ष्मों का समुच्चय बाह्य है।
  • सुव्यवस्थित सिद्धांत का तात्पर्य प्रत्येक गैर-रिक्त आंतरिक उपसमुच्चय से है ^*N के पास सबसे छोटा सदस्य है. फलस्वरूप सेट

${^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N}$

सभी अनंत पूर्णांकों में से बाह्य है।

• यदि n एक अनंत पूर्णांक है, तो सेट {1, ..., n} (जो मानक नहीं है) आंतरिक होना चाहिए। इसे सिद्ध करने के लिए, पहले देखें कि निम्नलिखित तुच्छ सत्य है:

$\forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].$

फलस्वरूप

$\forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].$

• जैसा कि आंतरिक सेट के साथ होता है, वैसे ही आंतरिक कार्यों के साथ: बदलें

$\forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots$

साथ

$\forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots$

स्थानांतरण सिद्धांत को लागू करते समय, और इसी तरह $\exists$ की जगह $\forall$.

उदाहरण के लिए: यदि n एक अनंत पूर्णांक है, तो किसी भी आंतरिक एक-से-एक फ़ंक्शन की छवि का पूरक अनंत सेट {1, ..., n} से {1, ..., n, n + 1, n + 2, n + 3} में स्थानांतरण सिद्धांत के अनुसार बिल्कुल तीन सदस्य हैं। डोमेन की अनंतता के कारण, पहले सेट से दूसरे सेट तक एक-से-एक फ़ंक्शंस की छवियों के पूरक कई आकारों में आते हैं, लेकिन इनमें से अधिकांश फ़ंक्शंस बाहरी होते हैं।

यह अंतिम उदाहरण एक महत्वपूर्ण परिभाषा को प्रेरित करता है: एक '*-परिमित' (उच्चारण 'स्टार-परिमित') उपसमुच्चय ^*R वह है जिसे कुछ n के लिए आंतरिक एक-से-एक पत्राचार में {1,...,n} के साथ रखा जा सकता है।^*एन.

यह भी देखें

• प्राथमिक कैलकुलस: एक अनंतिमल दृष्टिकोण
• स्थायित्व का सिद्धांत
• बीजगणित की व्यापकता

संदर्भ

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Hardy, Michael: "Scaled Boolean algebras". Adv. in Appl. Math. 29 (2002), no. 2, 243–292.
• Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals", Journal of Symbolic Logic, 69: 159–164, arXiv:math/0311165, doi:10.2178/jsl/1080938834
• Keisler, H. Jerome (2000). "Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach".
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "स्थानांतरण सिद्धांत", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Łoś, Jerzy (1955) Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. Mathematical interpretation of formal systems, pp. 98–113. North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, MR 0205854