भौतिक समष्टि का बीजगणित

भौतिकी में, भौतिक स्थान का बीजगणित (एपीएस) क्लिफोर्ड बीजगणित या ज्यामितीय बीजगणित सीएल का उपयोग है_3,0(3+1)-आयामी अंतरिक्ष समय के लिए एक मॉडल के रूप में त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान का (आर), एक पैरावेक्टर (3-आयामी वेक्टर प्लस 1-आयामी स्केलर) के माध्यम से स्पेसटाइम में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।

क्लिफ़ोर्ड बीजगणित सीएल_3,0(आर) का एक वफादार प्रतिनिधित्व है, जो स्पिन प्रतिनिधित्व सी पर पॉल के मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न होता है²; आगे, सीएल_3,0(आर) सम उपबीजगणित सीएल के समरूपी है{{su|p=[0]|b=3,1|lh=1em}क्लिफोर्ड बीजगणित सीएल के }(आर)।_3,1(आर)।

एपीएस का उपयोग शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों के लिए एक कॉम्पैक्ट, एकीकृत और ज्यामितीय औपचारिकता के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

एपीएस को स्पेसटाइम बीजगणित (एसटीए) के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो क्लिफोर्ड बीजगणित सीएल से संबंधित है_1,3(आर) चार-आयामी मिन्कोवस्की स्पेसटाइम का।

विशेष सापेक्षता

स्पेसटाइम स्थिति पैरावेक्टर

एपीएस में, स्पेसटाइम स्थिति को पैरावेक्टर के रूप में दर्शाया जाता है

$$x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$$

जहाँ समय अदिश भाग द्वारा दिया जाता है x⁰ = t, और ई₁, यह है₂, यह है₃ स्थिति स्थान के लिए मानक आधार हैं। कुल मिलाकर, इकाइयाँ ऐसी हैं c = 1 का प्रयोग किया जाता है, जिसे प्राकृतिक इकाई कहा जाता है। पाउली मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, इकाई आधार वैक्टर को पाउली मैट्रिक्स द्वारा और अदिश भाग को पहचान मैट्रिक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसका मतलब यह है कि पाउली मैट्रिक्स अंतरिक्ष-समय की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है

$$x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$$

लोरेंत्ज़ परिवर्तन और रोटर्स

Main articles: Lorentz transformation and Rotor (mathematics)

प्रतिबंधित लोरेंत्ज़ परिवर्तन जो समय की दिशा को संरक्षित करते हैं और इसमें रोटेशन और बूस्ट शामिल होते हैं, उन्हें स्पेसटाइम रोटेशन पैरावेक्टर के घातांक द्वारा निष्पादित किया जा सकता है #Biparavectors W

$$L=e^{{\frac {1}{2}}W}.$$

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, लोरेंत्ज़ रोटर को एसएल (2,सी) समूह (जटिल संख्याओं पर डिग्री 2 का विशेष रैखिक समूह) का एक उदाहरण बनाते देखा जाता है, जो लोरेंत्ज़ समूह का दोहरा आवरण है। लोरेंत्ज़ रोटर की एकरूपता को इसके क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन के साथ लोरेंत्ज़ रोटर के उत्पाद के संदर्भ में निम्नलिखित स्थिति में अनुवादित किया गया है

$$L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$$

इस लोरेंत्ज़ रोटर को हमेशा दो कारकों में विघटित किया जा सकता है, एक हर्मिटियन ऑपरेटर B = B^†, और दूसरा एकात्मक संचालिका R^† = R⁻¹, ऐसा है कि

$$L=BR.$$

एकात्मक तत्व आर को रोटर (गणित) कहा जाता है क्योंकि यह घूर्णन को एन्कोड करता है, और हर्मिटियन तत्व बी बूस्ट को एन्कोड करता है।

चार-वेग पैरावेक्टर

चार-वेग, जिसे उचित वेग भी कहा जाता है, को उचित समय τ के संबंध में स्पेसटाइम स्थिति पैरावेक्टर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$$

साधारण वेग को इस प्रकार परिभाषित करके इस अभिव्यक्ति को अधिक संक्षिप्त रूप में लाया जा सकता है

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$$

और लोरेंत्ज़ कारक की परिभाषा को याद करते हुए:

$$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$$

ताकि उचित वेग अधिक सघन हो:

$$u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$$

उचित वेग एक सकारात्मक यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स पैरावेक्टर है, जो पैरावेक्टर#क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन के संदर्भ में निम्नलिखित स्थिति को दर्शाता है

$$u{\bar {u}}=1.$$

लोरेंत्ज़ रोटर एल की क्रिया के तहत उचित वेग बदल जाता है

$$u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$$

चार-संवेग पैरावेक्टर

एपीएस में चार-संवेग को द्रव्यमान के साथ उचित वेग को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है

$$p=mu,$$

द्रव्यमान शैल स्थिति के साथ अनुवादित

$${\bar {p}}p=m^{2}.$$

शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स

Main article: Classical electrodynamics

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, क्षमता, और धारा

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को द्वि-पैरावेक्टर एफ के रूप में दर्शाया गया है:

$$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$$

हर्मिटियन भाग विद्युत क्षेत्र ई का प्रतिनिधित्व करता है और एंटी-हर्मिटियन भाग चुंबकीय क्षेत्र बी का प्रतिनिधित्व करता है। मानक पाउली मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है:

$$F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$$

क्षेत्र F का स्रोत विद्युत चुम्बकीय चार-धारा है:

$$j=\rho +\mathbf {j} \,,$$

जहां अदिश भाग विद्युत आवेश घनत्व ρ के बराबर होता है, और सदिश भाग विद्युत धारा घनत्व 'जे' के बराबर होता है। विद्युत चुम्बकीय संभावित पैरावेक्टर का परिचय इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$A=\phi +\mathbf {A} \,,$$

जिसमें अदिश भाग विद्युत क्षमता ϕ के बराबर होता है, और वेक्टर भाग चुंबकीय वेक्टर क्षमता 'ए' के ​​बराबर होता है। तब विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र भी है:

$$F=\partial {\bar {A}}.$$

क्षेत्र को विद्युत में विभाजित किया जा सकता है

$$E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$$

और चुंबकीय

$$B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$$

अवयव। कहाँ

$$\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$$

और फॉर्म के गेज परिवर्तन के तहत एफ अपरिवर्तनीय है

$$A\rightarrow A+\partial \chi \,,$$

कहाँ $\chi$ एक अदिश क्षेत्र है.

कानून के अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र लोरेंत्ज़ सहप्रसरण है

$$F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$$

मैक्सवेल के समीकरण और लोरेंत्ज़ बल

मैक्सवेल समीकरणों को एक समीकरण में व्यक्त किया जा सकता है:

$${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$$

जहां ओवरबार पैरावेक्टर#क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन का प्रतिनिधित्व करता है।

लोरेंत्ज़ बल समीकरण का रूप लेता है

$${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$$

इलेक्ट्रोमैग्नेटिक लैग्रेंजियन

विद्युतचुंबकीय लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) है

$$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$$

जो एक वास्तविक अदिश अपरिवर्तनीय है।

सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी

Main article: Relativistic quantum mechanics

द्रव्यमान m और आवेश e के विद्युत आवेशित कण के लिए डिराक समीकरण इस प्रकार है:

$$i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$$

कहां ई₃ एक मनमाना एकात्मक वेक्टर है, और ए उपरोक्त के अनुसार विद्युत चुम्बकीय पैरावेक्टर क्षमता है। संभावित ए के संदर्भ में न्यूनतम युग्मन के माध्यम से विद्युत चुम्बकीय संपर्क को शामिल किया गया है।

शास्त्रीय स्पिनर

Main article: spinor

लोरेंत्ज़ रोटर का अंतर समीकरण जो लोरेंत्ज़ बल के अनुरूप है

$${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$$

जैसे कि उचित वेग की गणना विश्राम के समय उचित वेग के लोरेंत्ज़ परिवर्तन के रूप में की जाती है

$$u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$$

जिसे अंतरिक्ष-समय प्रक्षेप पथ को खोजने के लिए एकीकृत किया जा सकता है $x(\tau )$ के अतिरिक्त उपयोग के साथ

$${\frac {dx}{d\tau }}=u.$$

यह भी देखें

• पैरावेक्टर
• मल्टीवेक्टर
• विकिपुस्तकें: ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करते हुए भौतिकी
• भौतिक स्थान के बीजगणित में डायराक समीकरण
• बीजगणित

संदर्भ

पाठ्यपुस्तकें

• Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). ISBN 0-8176-4025-8.
• Baylis, William, ed. (1999) [1996]. Clifford (Geometric) Algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. ISBN 978-0-8176-3868-9.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007) [2003]. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64314-6.
• Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics (2nd ed.). Kluwer. ISBN 0-7923-5514-8.

लेख

• Baylis, W E (2004). "परिचयात्मक भौतिकी में सापेक्षता". Canadian Journal of Physics. 82 (11): 853–873. arXiv:physics/0406158. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. doi:10.1139/p04-058. S2CID 35027499.
• Baylis, W E; Jones, G (7 January 1989). "विशेष सापेक्षता के लिए पाउली बीजगणित दृष्टिकोण". Journal of Physics A: Mathematical and General. 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
• Baylis, W. E. (1 March 1992). "शास्त्रीय आइजेनस्पिनर्स और डिराक समीकरण". Physical Review A. 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. doi:10.1103/physreva.45.4293. PMID 9907503.
• Baylis, W. E.; Yao, Y. (1 July 1999). "विद्युतचुंबकीय क्षेत्रों में आवेशों की सापेक्षिक गतिशीलता: एक ईजेनस्पिनर दृष्टिकोण". Physical Review A. 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.

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