क्रमविनिमेय बीजगणित पर विभेदक कलन

गणित में क्रमविनिमेय बीजगणित पर विभेदक कलन क्रमविनिमेय बीजगणित का एक हिस्सा है जो इस अवलोकन पर आधारित है कि शास्त्रीय अंतर कलन से ज्ञात अधिकांश अवधारणाओं को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय शब्दों में तैयार किया जा सकता है। इसके उदाहरण हैं:

1. चिकनी कई गुना की संपूर्ण टोपोलॉजिकल जानकारी $M$ इसके बीजगणितीय गुणों में एन्कोड किया गया है $\mathbb {R}$-सुचारु कार्यों का बीजगणित (रिंग सिद्धांत)। $A=C^{\infty }(M),$ जैसा कि बानाच-स्टोन प्रमेय में है।
2. वेक्टर बंडल खत्म $M$ प्रोजेक्टिव अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल (गणित) के अनुरूप $A,$ ऑपरेटर के माध्यम से $\Gamma$ जो एक वेक्टर से उसके अनुभागों के मॉड्यूल को बंडल करता है।
3. वेक्टर फ़ील्ड चालू $M$ स्वाभाविक रूप से बीजगणित की व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) से पहचाने जाते हैं $A$.
4. अधिक आम तौर पर, ऑर्डर k का एक रैखिक अंतर ऑपरेटर, एक वेक्टर बंडल के अनुभाग भेजता है $E\rightarrow M$ दूसरे बंडल के अनुभागों के लिए $F\rightarrow M$ एक होना देखा जाता है $\mathbb {R}$-रेखीय मानचित्र $\Delta :\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ संबंधित मॉड्यूल के बीच, जैसे कि किसी के लिए $k+1$ तत्वों $f_{0},\ldots ,f_{k}\in A$:

$$\left[f_{k}\left[f_{k-1}\left[\cdots \left[f_{0},\Delta \right]\cdots \right]\right]\right]=0$$

जहां ब्रैकेट $[f,\Delta ]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ कम्यूटेटर के रूप में परिभाषित किया गया है

$$[f,\Delta ](s)=\Delta (f\cdot s)-f\cdot \Delta (s).$$

के समुच्चय को निरूपित करना $k$^वेंए से रैखिक अंतर ऑपरेटरों को ऑर्डर करें $A$-मापांक $P$ अगर $A$-मापांक $Q$ साथ $\mathrm {Diff} _{k}(P,Q)$ हम श्रेणी (गणित) में मानों के साथ एक द्वि-फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं $A$-मॉड्यूल. कैलकुलस की अन्य प्राकृतिक अवधारणाएँ जैसे कि जेट स्पेस, विभेदक रूप फिर फंक्शनलर्स के प्रतिनिधित्व योग्य फंक्शनलर्स के रूप में प्राप्त किए जाते हैं $\mathrm {Diff} _{k}$ और संबंधित फ़ैक्टर।

इस दृष्टिकोण से देखने पर कैलकुलस को वास्तव में इन फ़ैक्टरों और उनकी प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं के सिद्धांत के रूप में समझा जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं को प्रतिस्थापित करना $\mathbb {R}$ किसी भी क्रमविनिमेय वलय और बीजगणित के साथ $C^{\infty }(M)$ किसी भी क्रमविनिमेय बीजगणित के साथ उपर्युक्त अर्थपूर्ण रहता है, इसलिए मनमाने ढंग से क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए विभेदक कलन विकसित किया जा सकता है। इनमें से कई अवधारणाएँ बीजगणितीय ज्यामिति, विभेदक ज्यामिति और माध्यमिक कैलकुलस और कोहोमोलॉजिकल भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। इसके अलावा, सिद्धांत सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित की सेटिंग को स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत करता है, जिससे सुपरमैनिफोल्ड्स, वर्गीकृत अनेक गुना ्स और बेरेज़िन अभिन्न जैसी संबंधित अवधारणाओं पर कैलकुलस की प्राकृतिक नींव की अनुमति मिलती है।

यह भी देखें

• Secondary calculus and cohomological physics
• Differential algebra
• Spectrum of a ring

संदर्भ

• J. Nestruev, Smooth Manifolds and Observables, Graduate Texts in Mathematics 220, Springer, 2002.
• Nestruev, Jet (10 September 2020). Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718.
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