ग्रेडियेंट प्रमेय

ग्रेडिएंट प्रमेय, जिसे लाइन इंटीग्रल्स के लिए कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कहता है कि रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र के माध्यम से एक लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन वक्र के अंतिम बिंदुओं पर मूल स्केलर फ़ील्ड का मूल्यांकन करके किया जा सकता है। प्रमेय केवल वास्तविक रेखा के बजाय किसी समतल या स्थान (आम तौर पर एन-आयामी) में किसी भी वक्र के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का सामान्यीकरण है।

के लिए φ : U ⊆ Rⁿ → R एक अवकलनीय फलन के रूप में और γ किसी भी सतत वक्र के रूप में U जो एक बिंदु से शुरू होता है p और एक बिंदु पर समाप्त होता है q, तब

$$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$$

कहाँ ∇φ के ग्रेडिएंट वेक्टर क्षेत्र को दर्शाता है φ.

ग्रेडिएंट प्रमेय का तात्पर्य है कि ग्रेडिएंट फ़ील्ड के माध्यम से लाइन इंटीग्रल कंजर्वेटिव वेक्टर फ़ील्ड#पथ स्वतंत्रता|पथ-स्वतंत्र हैं। भौतिकी में यह प्रमेय एक रूढ़िवादी बल को परिभाषित करने के तरीकों में से एक है। रखकर φसंभावना के रूप में, ∇φ एक रूढ़िवादी क्षेत्र है. रूढ़िवादी बलों द्वारा किया गया कार्य (भौतिकी) वस्तु द्वारा अनुसरण किए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, जैसा कि उपरोक्त समीकरण से पता चलता है।

ग्रेडिएंट प्रमेय का एक दिलचस्प उलटा भी है: किसी भी पथ-स्वतंत्र वेक्टर फ़ील्ड को अदिश क्षेत्र के ग्रेडिएंट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ग्रेडिएंट प्रमेय की तरह ही, इस वार्तालाप के शुद्ध और व्यावहारिक गणित दोनों में कई आश्चर्यजनक परिणाम और अनुप्रयोग हैं।

प्रमाण

अगर φ कुछ खुला सेट से भिन्न फ़ंक्शन है U ⊆ Rⁿ को R और r कुछ बंद अंतराल (गणित) से एक भिन्न कार्य है [a, b] को U (ध्यान दें कि r अंतराल समापन बिंदु पर अवकलनीय है a और b. यह करने के लिए, r को एक ऐसे अंतराल पर परिभाषित किया गया है जो इससे बड़ा है और इसमें शामिल है [a, b].), फिर श्रृंखला नियम #उच्च आयाम, फ़ंक्शन संरचना द्वारा φ ∘ r पर अवकलनीय है [a, b]:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$$

सभी के लिए t में [a, b]. यहां ही ⋅ डॉट उत्पाद को दर्शाता है।

अब मान लीजिए डोमेन U का φ में अवकलनीय वक्र शामिल है γ समापन बिंदुओं के साथ p और q. (यह से दिशा में अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) है p को q). अगर r पैरामीट्रिज़ेशन (ज्यामिति) γ के लिए t में [a, b] (अर्थात।, r प्रतिनिधित्व करता है γ के एक कार्य के रूप में t), तब

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}$$

जहां पहली समानता में एक सदिश क्षेत्र की लाइन इंटीग्रल#लाइन इंटीग्रल का उपयोग किया जाता है, दूसरी समानता में उपरोक्त समीकरण का उपयोग किया जाता है, और कैलकुलस के मौलिक प्रमेय#दूसरे भाग का उपयोग तीसरी समानता में किया जाता है। भले ही ग्रेडिएंट प्रमेय (जिसे लाइन इंटीग्रल्स के लिए कैलकुलस का मौलिक प्रमेय भी कहा जाता है) को अब तक एक विभेदक (इसलिए चिकना दिखता है) वक्र के लिए सिद्ध किया गया है, प्रमेय एक टुकड़े-टुकड़े-चिकने वक्र के लिए भी सिद्ध किया गया है क्योंकि यह वक्र जुड़कर बना है एकाधिक अवकलनीय वक्र इसलिए इस वक्र का प्रमाण प्रति अवकलनीय वक्र घटक के प्रमाण द्वारा बनाया जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

कल्पना करना γ ⊂ R² से वामावर्त उन्मुख गोलाकार चाप है (5, 0) को (−4, 3). किसी सदिश क्षेत्र की रेखा इंटीग्रल#लाइन इंटीग्रल का उपयोग करते हुए,

इस परिणाम को फ़ंक्शन पर ध्यान देकर और अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है $f(x,y)=xy$ ढाल है $\nabla f(x,y)=(y,x)$, तो ग्रेडियेंट प्रमेय द्वारा:

$$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$$

उदाहरण 2

अधिक सारगर्भित उदाहरण के लिए, मान लीजिए γ ⊂ Rⁿ के अंतिमबिंदु हैं p, q, से अभिविन्यास के साथ p को q. के लिए u में Rⁿ, होने देना |u| के यूक्लिडियन मानदंड को निरूपित करें u. अगर {{math|α ≥ 1}तो, } एक वास्तविक संख्या है

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$$

यहां अंतिम समानता फ़ंक्शन के बाद से ग्रेडिएंट प्रमेय द्वारा अनुसरण की जाती है f(x) = |x|^α+1 पर अवकलनीय है Rⁿ अगर α ≥ 1.

अगर α < 1 तो यह समानता अभी भी अधिकांश मामलों में बनी रहेगी, लेकिन सावधानी बरतनी चाहिए यदि γ मूल बिंदु से होकर गुजरता है या घेरता है, क्योंकि इंटीग्रैंड वेक्टर फ़ील्ड |x|^{α − 1}x वहां परिभाषित होने में विफल रहेगा। हालाँकि, मामला α = −1 कुछ अलग है; इस मामले में, इंटीग्रैंड बन जाता है |x|⁻²x = ∇(log |x|), ताकि अंतिम समानता बन जाए log |q| − log |p|.

ध्यान दें कि यदि n = 1, तो यह उदाहरण एकल-चर कैलकुलस से परिचित शक्ति नियम का एक छोटा सा संस्करण है।

उदाहरण 3

मान लीजिए कि वहाँ हैं nबिंदु कण#बिंदु आवेश त्रि-आयामी अंतरिक्ष में व्यवस्थित, और i-वें बिंदु आवेश में विद्युत आवेश होता है Q_i और स्थिति पर स्थित है p_i में R³. हम आवेश के एक कण पर किए गए कार्य (भौतिकी) की गणना करना चाहेंगे q क्योंकि यह एक बिंदु से यात्रा करता है a एक स्तर तक b में R³. कूलम्ब के नियम का उपयोग करके, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कण की स्थिति पर कितना बल है r होगा

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$$

यहाँ |u| वेक्टर के यूक्लिडियन मानदंड को दर्शाता है u में R³, और k = 1/(4πε₀), कहाँ ε₀ निर्वात पारगम्यता है।

होने देना γ ⊂ R³ − {p₁, ..., p_n} से एक मनमाना अवकलनीय वक्र बनें a को b. तब कण पर किया गया कार्य है

$$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$$

अब प्रत्येक के लिए i, प्रत्यक्ष गणना यह दर्शाती है

$${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$$

इस प्रकार, ऊपर से जारी रखते हुए और ग्रेडिएंट प्रमेय का उपयोग करते हुए,

$$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$$

हमारा काम तमाम हो गया है। निःसंदेह, हम विद्युत विभव या विद्युत विभव ऊर्जा की शक्तिशाली भाषा (परिचित सूत्रों के साथ) का उपयोग करके इस गणना को आसानी से पूरा कर सकते थे W = −ΔU = −qΔV). हालाँकि, हमने अभी तक संभावित या स्थितिज ऊर्जा को परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि ग्रेडिएंट प्रमेय के व्युत्क्रम को यह साबित करने की आवश्यकता है कि ये अच्छी तरह से परिभाषित, भिन्न कार्य हैं और ये सूत्र धारण करते हैं (ग्रेडिएंट प्रमेय#विपरीत सिद्धांत का उदाहरण)। इस प्रकार, हमने केवल कूलम्ब के नियम, कार्य की परिभाषा और ग्रेडिएंट प्रमेय का उपयोग करके इस समस्या को हल किया है।

ग्रेडिएंट प्रमेय का व्युत्क्रम

ग्रेडिएंट प्रमेय बताता है कि यदि वेक्टर फ़ील्ड F कुछ स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट है (यानी, यदि F कंजर्वेटिव वेक्टर फ़ील्ड है), तो F एक पथ-स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र है (यानी, का अभिन्न अंग)। F कुछ टुकड़े-टुकड़े-अलग-अलग वक्र केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर होते हैं)। इस प्रमेय का एक शक्तिशाली व्युत्क्रम है:

Theorem —  If F is a path-independent vector field, then F is the gradient of some scalar-valued function.

यह दिखाना सीधा है कि एक वेक्टर फ़ील्ड पथ-स्वतंत्र है यदि और केवल तभी जब उसके डोमेन में प्रत्येक बंद लूप पर वेक्टर फ़ील्ड का अभिन्न अंग शून्य हो। इस प्रकार व्युत्क्रम को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार कहा जा सकता है: यदि का अभिन्न अंग F के क्षेत्र में प्रत्येक बंद लूप पर F तो फिर शून्य है F कुछ अदिश-मूल्यवान फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट है।

व्युत्क्रम का प्रमाण

कल्पना करना U एक ओपन सेट है, कनेक्टेड स्पेस#पाथ कनेक्टिविटी|पाथ-कनेक्टेड सबसेट Rⁿ, और F : U → Rⁿ एक सतत फ़ंक्शन और पथ-स्वतंत्र वेक्टर फ़ील्ड है। कुछ तत्व ठीक करें a का U, और परिभाषित करें f : U → R द्वारा

$$f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$$

यहाँ γ[a, x] में कोई (विभेद्य) वक्र है U की उत्पत्ति a और पर समाप्त हो रहा है x. हम वह जानते हैं f अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि F पथ-स्वतंत्र है.

होने देना v कोई भी अशून्य सदिश हो Rⁿ. दिशात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$$

अंतिम सीमा के भीतर अभिन्न की गणना करने के लिए, हमें पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) करना होगा γ[x, x + tv]. तब से F पथ-स्वतंत्र है, U खुला है, और t शून्य के करीब पहुंच रहा है, हम मान सकते हैं कि यह पथ एक सीधी रेखा है, और इसे इस रूप में पैरामीट्रिज करें u(s) = x + sv के लिए 0 < s < t. अब, चूँकि u'(s) = v, सीमा बन जाती है

$$\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

जहां पहली समानता व्युत्पन्न#परिभाषा से है, इस तथ्य के साथ कि अभिन्न 0 के बराबर है t = 0, और दूसरी समानता कैलकुलस के मौलिक प्रमेय#पहले भाग से है। इस प्रकार हमारे पास इसके लिए एक सूत्र है ∂_vf, (दिशात्मक व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों में से एक) जहां v मनमाना है; के लिए $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ (ऊपर इसकी पूरी परिभाषा देखें), इसके संबंध में दिशात्मक व्युत्पन्न v है

$${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

जहां पहली दो समानताएं दिशात्मक व्युत्पन्न के अलग-अलग प्रतिनिधित्व दिखाती हैं। एक अदिश फलन की Gradient#Definition के अनुसार f, $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$, इस प्रकार हमें एक अदिश-मूल्यवान फलन मिला है f जिसका ग्रेडिएंट पथ-स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र है F (अर्थात।, F एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र है।), जैसा वांछित।

विपरीत सिद्धांत का उदाहरण

Main article: Electric potential energy

इस विपरीत सिद्धांत की शक्ति को स्पष्ट करने के लिए, हम एक उदाहरण देते हैं जिसके महत्वपूर्ण भौतिकी परिणाम हैं। शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में, विद्युत बल एक पथ-स्वतंत्र बल है; यानी, एक कण पर किया गया कार्य (भौतिकी) जो विद्युत क्षेत्र के भीतर अपनी मूल स्थिति में लौट आया है, शून्य है (यह मानते हुए कि कोई बदलता चुंबकीय क्षेत्र मौजूद नहीं है)।

इसलिए, उपरोक्त प्रमेय का तात्पर्य है कि विद्युत बल क्षेत्र (भौतिकी) F_e : S → R³ रूढ़िवादी है (यहाँ)। S कुछ ओपन सेट है, कनेक्टेड स्पेस#पाथ कनेक्टिविटी|पाथ-कनेक्टेड सबसेट R³ जिसमें विद्युत आवेश वितरण शामिल है)। उपरोक्त प्रमाण के विचारों का अनुसरण करते हुए, हम कुछ संदर्भ बिंदु निर्धारित कर सकते हैं a में S, और एक फ़ंक्शन परिभाषित करें U_e: S → R द्वारा

$$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$$

उपरोक्त प्रमाण का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं U_e अच्छी तरह से परिभाषित और भिन्न है, और F_e = −∇U_e (इस सूत्र से हम रूढ़िवादी बलों द्वारा किए गए कार्य की गणना के लिए प्रसिद्ध सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए ग्रेडिएंट प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं: W = −ΔU). यह फ़ंक्शन U_e को अक्सर आवेशों की प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है S (संभाव्यता के शून्य के संदर्भ में a). कई मामलों में, डोमेन S को बंधा हुआ सेट और संदर्भ बिंदु माना जाता है a को अनंत माना जाता है, जिसे सीमित तकनीकों का उपयोग करके Rigour#Mathematical कठोरता बनाया जा सकता है। यह फ़ंक्शन U_e कई भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला एक अनिवार्य उपकरण है।

सामान्यीकरण

Main articles: Stokes' theorem and Closed and exact differential forms

वेक्टर कैलकुलस के कई महत्वपूर्ण प्रमेय डिफरेंशियल फॉर्म#इंटीग्रेशन ऑन विभेदक अनेक गुना के बारे में बयानों को सुरुचिपूर्ण ढंग से सामान्यीकृत करते हैं। विभेदक रूपों और बाह्य व्युत्पन्नों की भाषा में, ग्रेडिएंट प्रमेय यह बताता है

$$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$$

किसी भी विभेदक रूप के लिए|0-रूप, ϕ, कुछ भिन्न वक्र पर परिभाषित γ ⊂ Rⁿ (यहाँ का अभिन्न अंग है ϕ की सीमा के पार γ का मूल्यांकन समझा जाता है ϕ γ के अंतिम बिंदु पर)।

इस कथन और सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय के बीच हड़ताली समानता पर ध्यान दें। सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय, जो कहता है कि किसी भी कॉम्पैक्ट समर्थन अंतर रूप का अभिन्न अंग ω कुछ ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) की सीमा (टोपोलॉजी) पर कई गुना Ω इसके बाहरी व्युत्पन्न के अभिन्न अंग के बराबर है dω संपूर्ण के ऊपर Ω, अर्थात।,

$$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$$

यह शक्तिशाली कथन एक-आयामी मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित 1-रूपों से लेकर मनमाने आयामों के मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित विभेदक रूपों तक ग्रेडिएंट प्रमेय का सामान्यीकरण है।

ग्रेडिएंट प्रमेय के विपरीत कथन में कई गुना अंतर रूपों के संदर्भ में एक शक्तिशाली सामान्यीकरण भी है। विशेष रूप से, मान लीजिए ω एक संविदात्मक स्थान पर परिभाषित एक रूप है, और का अभिन्न अंग है ω किसी भी बंद मैनिफोल्ड पर शून्य है। फिर एक रूप मौजूद है ψ ऐसा है कि ω = dψ. इस प्रकार, एक अनुबंध योग्य डोमेन पर, प्रत्येक बंद और सटीक अंतर रूप फॉर्म बंद और सटीक अंतर रूप होता है। इस परिणाम को बंद और सटीक अंतर रूपों#पोंकारे लेम्मा|पोंकारे लेम्मा द्वारा संक्षेपित किया गया है।

यह भी देखें

• राज्य समारोह
• अदिश विभव
• जॉर्डन वक्र प्रमेय
• किसी फ़ंक्शन का विभेदक
• शास्त्रीय यांत्रिकी
• Line integral § Path independence
• Conservative vector field § Path independence

संदर्भ