आभासी-यूक्लिडियन स्पेस

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष एक परिमित-आयाम (गणित) वास्तविक समन्वय स्थान है। वास्तविक $n$ -अंतरिक्ष एक साथ एक गैर-पतित रूप द्विघात रूप $q$ . ऐसा द्विघात रूप, आधार (रैखिक बीजगणित) का उपयुक्त विकल्प दिया जा सकता है $(e 1, \dots, e n)$ , एक वेक्टर पर लागू किया जाए $x = x 1 e 1 + \dots + x n e n$ , देना

q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)

जिसे सदिश का अदिश वर्ग कहते हैं

x

.^[1]^: 3 यूक्लिडियन स्पेस स्थान के लिए,

k = n

, जिसका अर्थ है कि द्विघात रूप सकारात्मक-निश्चित है।^[2] कब

0 < k < n

,

q

एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप है, अन्यथा यह अनिसोट्रोपिक है। ध्यान दें कि अगर

1 \leq i \leq k < j \leq n

, फिर

q (e i + e j) = 0

, ताकि

e i + e j

एक अशक्त वेक्टर है। के साथ एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में

k < n

, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत, नकारात्मक संख्या वाले स्केलर वर्ग वाले वैक्टर मौजूद हैं।

यूक्लिडियन स्पेस शब्द के साथ, छद्म-यूक्लिडियन स्पेस शब्द का उपयोग लेखक के आधार पर एक affine अंतरिक्ष या सदिश स्थल को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है, जिसे बाद में वैकल्पिक रूप से 'छद्म-यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस' के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।^[3] (बिंदु-वेक्टर भेद देखें)।

ज्यामिति

एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष की ज्यामिति यूक्लिडियन अंतरिक्ष के कुछ गुणों को लागू नहीं करने के बावजूद सुसंगत है, विशेष रूप से यह एक मीट्रिक स्थान नहीं है जैसा कि नीचे बताया गया है। एफ़िन ज्यामिति अपरिवर्तित है, और इस प्रकार अवधारणाओं रेखा (ज्यामिति) , विमान (ज्यामिति) और, आम तौर पर, एक एफ़िन उप-स्थान (फ्लैट (ज्यामिति)) के साथ-साथ रेखा खंड भी।

धनात्मक, शून्य और ऋणात्मक अदिश वर्ग

n = 3

,

k

के चिन्ह (गणित) की पसंद के आधार पर या तो 1 या 2 है

q

एक अशक्त सदिश एक सदिश है जिसके लिए द्विघात रूप शून्य है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत, ऐसा वेक्टर गैर-शून्य हो सकता है, जिस स्थिति में यह स्व-#ऑर्थोगोनलिटी है।

यदि द्विघात रूप अनिश्चित है, तो छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अशक्त वैक्टर का एक रैखिक शंकु होता है ${x : q (x) = 0 }$ . जब छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष अंतरिक्ष-समय के लिए एक मॉडल प्रदान करता है (उदाहरण देखें), शून्य शंकु को उत्पत्ति का प्रकाश शंकु कहा जाता है।

अशक्त शंकु दो खुले सेटों को अलग करता है,^[4] जिसके लिए क्रमशः $q (x) > 0$ तथा $q (x) < 0$ . यदि $k \geq 2$ , तो सदिशों का समुच्चय जिसके लिए $q (x) > 0$ जुड़ा हुआ स्थान है। यदि $k = 1$ , तो इसमें दो असंबद्ध भाग होते हैं, एक के साथ $x 1 > 0$ और दूसरा साथ $x 1 < 0$ . वैक्टर के लिए इसी तरह के बयान दिए जा सकते हैं जिसके लिए $q (x) < 0$ यदि $k$ से प्रतिस्थापित किया जाता है $n - k$ .

अंतराल

द्विघात रूप $q$ यूक्लिडियन मामले स्पर्शरेखा वेक्टर के वर्ग के अनुरूप है। सदिश मानदंड (और दूरी) को एक अपरिवर्तनीय (गणित) तरीके से परिभाषित करने के लिए, किसी को अदिश वर्गों के वर्गमूल प्राप्त करने होंगे, जो संभवतः काल्पनिक संख्या दूरी की ओर जाता है; ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल देखें। लेकिन तीनों भुजाओं के धनात्मक अदिश वर्गों वाले त्रिभुज के लिए भी (जिनके वर्गमूल वास्तविक और धनात्मक हैं), त्रिभुज असमानता सामान्य रूप से लागू नहीं होती है।

इसलिए छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति में मानदंड और दूरी से बचा जाता है, जिसे क्रमशः स्केलर वर्ग और अंतराल से बदला जा सकता है।

हालांकि, एक ऐसे वक्र के लिए जिसके सभी स्पर्शरेखा सदिशों में एक ही चिह्न के अदिश वर्ग हों, चाप की लंबाई परिभाषित होती है। इसके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं: उदाहरण के लिए उचित समय देखें।

घूर्णन और गोले

ऐसे स्थान का घूर्णन (गणित) समूह (गणित) अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह है $O(q)$ , के रूप में भी दर्शाया गया है $O(k, n - k)$ विशेष द्विघात रूप के संदर्भ के बिना।^[5] इस तरह के घुमाव फॉर्म को संरक्षित करते हैं $q$ और, इसलिए, प्रत्येक वेक्टर का अदिश वर्ग, चाहे वह धनात्मक हो, शून्य हो, या ऋणात्मक हो।

जबकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक इकाई क्षेत्र होता है, छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ऊनविम पृष्ठ होते हैं ${x : q (x) = 1 }$ तथा ${x : q (x) = -1 }$ . इस तरह की हाइपरसफेस, जिसे अर्ध-गोला कहा जाता है, उपयुक्त अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह द्वारा संरक्षित है।

सममित द्विरेखीय रूप

द्विघात रूप $q$ निम्नानुसार परिभाषित एक सममित द्विरेखीय रूप को जन्म देता है:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).

द्विघात रूप को द्विरेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ .

कब $⟨ x, y ⟩ = 0$ , फिर $x$ तथा $y$ छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के ओर्थोगोनालिटी वैक्टर हैं।

इस बिलिनियर फॉर्म को अक्सर स्केलर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, और कभी-कभी आंतरिक उत्पाद या डॉट उत्पाद के रूप में, लेकिन यह एक आंतरिक उत्पाद स्थान को परिभाषित नहीं करता है और इसमें यूक्लिडियन वैक्टर के डॉट उत्पाद के गुण नहीं होते हैं।

यदि $x$ तथा $y$ ओर्थोगोनल हैं और $q (x) q (y) < 0$ , फिर $x$ के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण-ऑर्थोगोनल है $y$ .

वास्तविक का मानक आधार $n$ -स्पेस ऑर्थोगोनल आधार है। छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कोई ऑर्थोनॉर्मल आधार नहीं है जिसके लिए बिलिनियर रूप अनिश्चित है, क्योंकि इसका उपयोग वेक्टर मानदंड को परिभाषित करने के लिए नहीं किया जा सकता है।

उप-स्थान और ऑर्थोगोनलिटी

एक (सकारात्मक-आयामी) उप-स्थान के लिए^[6] $U$ एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष का, जब द्विघात रूप $q$ समारोह प्रतिबंध है $U$ , निम्नलिखित तीन मामले संभव हैं:

$q | U$ या तो निश्चित द्विघात रूप है। फिर, $U$ अनिवार्य रूप से यूक्लिडियन स्थान है ( . के चिह्न तक) $q$ ).
$q | U$ अनिश्चित है, लेकिन अपरिवर्तनीय है। फिर, $U$ स्वयं छद्म-यूक्लिडियन है। यह तभी संभव है जब $dim U \geq 2$ ; यदि $dim U = 2$ , जिसका अर्थ है $U$ एक समतल (ज्यामिति) है, तो इसे अतिपरवलयिक तल (द्विघात रूप) कहते हैं।
$q | U$ पतित है।

छद्म-यूक्लिडियन वेक्टर और फ्लैटों के सबसे झकझोरने वाले गुणों में से एक (एक यूक्लिडियन अंतर्ज्ञान के लिए) उनकी ऑर्थोगोनलिटी है। जब दो गैर-शून्य यूक्लिडियन वैक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं, तो वे संरेख नहीं होते हैं। किसी भी यूक्लिडियन रैखिक उप-अंतरिक्ष का इसके ऑर्थोगोनल पूरक के साथ प्रतिच्छेदन शून्य वेक्टर स्थान है ${0}$ सबस्पेस। लेकिन पिछले उपखंड की परिभाषा का तुरंत अर्थ है कि कोई भी वेक्टर $ν$ शून्य अदिश वर्ग का स्वयं के लिए ओर्थोगोनल है। इसलिए, समदैशिक रेखा $N = ⟨ ν ⟩$ शून्य सदिश ν- द्वारा उत्पन्न इसके ओर्थोगोनल पूरक का एक उपसमुच्चय है $N ⊥$ .

छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वेक्टर उप-स्थान के ऑर्थोगोनल पूरक की औपचारिक परिभाषा पूरी तरह से परिभाषित परिणाम देती है, जो समानता को संतुष्ट करती है $dim U + dim U ⊥ = n$ द्विघात रूप के अध:पतन के कारण। यह सिर्फ शर्त है

U \cap U ⊥ = {0}

या, समकक्ष,

U + U ⊥ =

सारी जगह,

जिसे तोड़ा जा सकता है अगर सबस्पेस $U$ एक शून्य दिशा शामिल है।^[7] जबकि उप-स्थान रेखीय उप-स्थान # उप-स्थानों की जाली, जैसा कि किसी भी सदिश स्थान में होता है, यह $⊥$ ऑपरेशन आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के विपरीत, एक orthocomplementation नहीं है।

उपक्षेत्र के लिए $N$ पूरी तरह से अशक्त वैक्टर से बना है (जिसका अर्थ है कि अदिश वर्ग $q$ , के लिए प्रतिबंधित $N$ , बराबर है $0$ ), हमेशा धारण करता है:

N \subset N ⊥

या, समकक्ष,

N \cap N ⊥ = N

.

इस तरह के एक उप-स्थान में तक हो सकता है $min(k, n - k)$ आयाम (वेक्टर स्थान) ।^[8] एक (सकारात्मक) यूक्लिडियन के लिए $k$ -सबस्पेस इसका ऑर्थोगोनल पूरक है a $(n - k)$ -आयामी नकारात्मक यूक्लिडियन उप-स्थान, और इसके विपरीत। आम तौर पर, ए के लिए $(d + + d - + d 0)$ -आयामी उपक्षेत्र $U$ को मिलाकर $d +$ सकारात्मक और $d -$ नकारात्मक आयाम (स्पष्टीकरण के लिए सिल्वेस्टर की जड़ता का नियम देखें), इसका ऑर्थोगोनल पूरक $U ⊥$ है $(k - d + - d 0)$ सकारात्मक और $(n - k - d - - d 0)$ नकारात्मक आयाम, जबकि बाकी $d 0$ वाले पतित होते हैं और बनाते हैं $U \cap U ⊥$ चौराहा।

समांतर चतुर्भुज कानून और पाइथागोरस प्रमेय

समांतर चतुर्भुज कानून रूप लेता है

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).

द्विपद प्रमेय#उदाहरण पहचान का प्रयोग करते हुए, एक स्वेच्छ त्रिभुज के लिए कोई भी दो भुजाओं के अदिश वर्गों और उनके बिलिनियर रूप उत्पाद से तीसरी भुजा के अदिश वर्ग को व्यक्त कर सकता है:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

यह दर्शाता है कि, ऑर्थोगोनल वैक्टर के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय का छद्म-यूक्लिडियन एनालॉग धारण करता है:

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

कोण

आम तौर पर, निरपेक्ष मूल्य $| ⟨ x, y ⟩ |$ दो सदिशों पर द्विरेखीय रूप से अधिक हो सकता है $\sqrt | q (x) q (y) |$ , इसके बराबर, या कम। यह कोण की परिभाषा के साथ समान समस्याओं का कारण बनता है (देखें Dot product § Geometric definition) #दूरियों के लिए दूरी के रूप में।

यदि $k = 1$ (केवल एक सकारात्मक शब्द $q$ ), फिर धनात्मक अदिश वर्ग के सदिशों के लिए:

|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,

जो अतिपरवलयिक कोण की परिभाषा की अनुमति देता है, प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन के माध्यम से इन सदिशों के बीच कोण का एक एनालॉग:^[9]

\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.

यह a . पर दूरी से मेल खाती है

(n - 1)

-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान । चर्चित #उदाहरणों में सापेक्षता के सिद्धांत के संदर्भ में इसे तीव्रता के रूप में जाना जाता है। यूक्लिडियन कोण के विपरीत, यह मान लेता है

[0, +\infty)

और एंटीपैरेलल (गणित) वैक्टर के लिए 0 के बराबर है।

शून्य वेक्टर और अन्य वेक्टर (या तो शून्य या गैर-शून्य) के बीच कोण की कोई उचित परिभाषा नहीं है।

बीजगणित और टेंसर कलन

यूक्लिडियन रिक्त स्थान की तरह, प्रत्येक छद्म-यूक्लिडियन वेक्टर स्थान एक क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करता है। उपरोक्त गुणों के विपरीत, जहां . का प्रतिस्थापन $q$ प्रति $- q$ परिवर्तित संख्याएँ लेकिन ज्यामिति नहीं, द्विघात रूप के साइन रिवर्सल के परिणामस्वरूप एक अलग क्लिफोर्ड बीजगणित होता है, इसलिए उदाहरण के लिए $Cl 1,2 (R)$ तथा $Cl 2,1 (R)$ आइसोमोर्फिक नहीं हैं।

किसी भी सदिश स्थान की तरह, छद्म-यूक्लिडियन टेंसर होते हैं। एक यूक्लिडियन संरचना की तरह, वहाँ ऊपर और नीचे सूचकांक संचालक होते हैं लेकिन, यूक्लिडियन टेन्सर के मामले के विपरीत, #आधार होता है। अगर कोई वेक्टर है $v β$ , संगत सहसंयोजक सदिश है:

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

और मानक रूप के साथ

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

सबसे पहला $k$ के घटक $v α$ संख्यात्मक रूप से के समान हैं $v β$ , लेकिन बाकी $n - k$ योज्य प्रतिलोम है।

प्रतिपरिवर्ती और सहपरिवर्ती टेन्सर के बीच पत्राचार छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक टेंसर कैलकुलेशन बनाता है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर एक का सामान्यीकरण करता है।

उदाहरण

एक बहुत ही महत्वपूर्ण छद्म-यूक्लिडियन स्थान मिंकोव्स्की अंतरिक्ष है, जो गणितीय सेटिंग है जिसमें अल्बर्ट आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत को तैयार किया गया है। मिंकोवस्की अंतरिक्ष के लिए, $n = 4$ तथा $k = 3$ ^[10] ताकि

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

इस छद्म-मीट्रिक से जुड़ी ज्यामिति की जांच हेनरी पोंकारे | पोंकारे ने की थी।^[11]^[12] इसका घूर्णन समूह लोरेंत्ज़ समूह है। पोंकारे समूह में अनुवाद (ज्यामिति) भी शामिल है और सामान्य यूक्लिडियन रिक्त स्थान के यूक्लिडियन समूह ों के समान भूमिका निभाता है।

एक अन्य छद्म-यूक्लिडियन स्थान द्वि-आयामी स्थान है $z = x + yj$ विभाजित-जटिल संख्या ओं से मिलकर, द्विघात रूप से सुसज्जित

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

यह अनिश्चित छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष का सबसे सरल मामला है ( $n = 2$ , $k = 1$ ) और केवल एक जहां अशक्त शंकु अंतरिक्ष को चार खुले सेटों में विभाजित करता है। समूह $SO + (1, 1)$ तथाकथित अतिपरवलयिक घुमावों से मिलकर बनता है।

यह भी देखें

छद्म-रिमेंनियन मैनिफोल्ड
अतिपरवलयिक समीकरण
हाइपरबोलाइड मॉडल
पैरावेक्टर

फुटनोट्स

↑ Élie Cartan (1981), The Theory of Spinors, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1
↑ Euclidean spaces are regarded as pseudo-Euclidean spaces – see for example Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32.
↑ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32 [1]
↑ The standard topology on $R n$ is assumed.
↑ What is the "rotations group" depends on exact definition of a rotation. "O" groups contain improper rotations. Transforms that preserve orientation form the group $SO(q)$ , or $SO(k, n - k)$ , but it also is not connected if both $k$ and $n - k$ are positive. The group $SO + (q)$ , which preserves orientation on positive and negative scalar square parts separately, is a (connected) analog of Euclidean rotations group $SO(n)$ . Indeed, all these groups are Lie groups of dimension $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2n(n − 1)$ .
↑ A linear subspace is assumed, but same conclusions are true for an affine flat with the only complication that the quadratic form is always defined on vectors, not points.
↑ Actually, $U \cap U ⊥$ is not zero only if the quadratic form $q$ restricted to $U$ is degenerate.
↑ Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
↑ Note that $cos (i arcosh s) = s$ , so for $s > 0$ these can be understood as imaginary angles.
↑ Another well-established representation uses $k = 1$ and coordinate indices starting from $0$ (thence $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), but they are equivalent up to sign of $q$ . See Sign convention § Metric signature.
↑ H. Poincaré (1906) On the Dynamics of the Electron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
↑ B. A. Rosenfeld (1988) A History of Non-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

संदर्भ

Cartan, Élie (1981) [1938], The Theory of Spinors, New York: Dover Publications, p. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850
Werner Greub (1963) Linear Algebra, 2nd edition, §12.4 Pseudo-Euclidean Spaces, pp. 237–49, Springer-Verlag.
Walter Noll (1964) "Euclidean geometry and Minkowskian chronometry", American Mathematical Monthly 71:129–44.
Novikov, S. P.; Fomenko, A.T.; [translated from the Russian by M. Tsaplina] (1990). Basic elements of differential geometry and topology. Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-82960-7.
Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

बाहरी संबंध

D.D. Sokolov (originator), Pseudo-Euclidean space, Encyclopedia of Mathematics

[1] Élie Cartan (1981), The Theory of Spinors, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1

[2] Euclidean spaces are regarded as pseudo-Euclidean spaces – see for example Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32.

[3] Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32 [1]

[4] The standard topology on $R n$ is assumed.

[5] What is the "rotations group" depends on exact definition of a rotation. "O" groups contain improper rotations. Transforms that preserve orientation form the group $SO(q)$ , or $SO(k, n - k)$ , but it also is not connected if both $k$ and $n - k$ are positive. The group $SO + (q)$ , which preserves orientation on positive and negative scalar square parts separately, is a (connected) analog of Euclidean rotations group $SO(n)$ . Indeed, all these groups are Lie groups of dimension $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2n(n − 1)$ .

[6] A linear subspace is assumed, but same conclusions are true for an affine flat with the only complication that the quadratic form is always defined on vectors, not points.

[7] Actually, $U \cap U ⊥$ is not zero only if the quadratic form $q$ restricted to $U$ is degenerate.

[8] Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

[9] Note that $cos (i arcosh s) = s$ , so for $s > 0$ these can be understood as imaginary angles.

[10] Another well-established representation uses $k = 1$ and coordinate indices starting from $0$ (thence $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), but they are equivalent up to sign of $q$ . See Sign convention § Metric signature.

[11] H. Poincaré (1906) On the Dynamics of the Electron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo

[12] B. A. Rosenfeld (1988) A History of Non-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

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