आभासी-यूक्लिडियन स्पेस

आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष एक परिमित- आयाम (गणित) वास्तविक $n$ -अंतरिक्ष समन्वय स्थान है। जो गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में एक गैर- पतित द्विघात रूप $q$ के साथ है. [[आधार (रैखिक बीजगणित) |आधार (रैखिक बीजगणित) $(e 1, \dots, e n)$ ,]] का उपयुक्त विकल्प दिए जाने पर ऐसा द्विघात रूप $x = x 1 e 1 + \dots + x n e n$ को सदिश पर लागू किया जा सकता है

q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)

जिसे सदिश

x

.^[1]^: 3 का अदिश वर्ग कहते हैं यूक्लिडियन स्पेस स्थान

k = n

के लिए, जिसका अर्थ है कि द्विघात रूप धनात्मक-निश्चित है।^[2] जब

0 < k < n

,

q

एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप है, अन्यथा यह अनिसोट्रोपिक है। ध्यान दें कि यदि

1 \leq i \leq k < j \leq n

, फिर

q (e i + e j) = 0

, चूकी

e i + e j

एक अशक्त सदिश है। आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में

k < n

, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत, नकारात्मक संख्या वाले अदिश वर्ग वाले सदिश सम्मालित हैं।

लेखक के आधार पर यूक्लिडियन स्पेस शब्द के साथ, आभासी-यूक्लिडियन स्पेस शब्द का उपयोग करके एक एफ़िन अंतरिक्ष या सदिश स्थल को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है, जिसे बाद में वैकल्पिक रूप से 'आभासी-यूक्लिडियन सदिश स्पेस' के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।^[3] (बिंदु-सदिश भेद देखें)।

ज्यामिति

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के कुछ गुण लागू नहीं होने के बावजूद एक आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष की ज्यामिति सुसंगत है, सबसे विशेष रूप से यह एक मीट्रिक स्थान नहीं है जैसा कि नीचे बताया गया है। एफ़िन ज्यामिति अपरिवर्तित है, और इस प्रकार अवधारणाओं रेखा (ज्यामिति) , समतल (ज्यामिति) और, सामान्यतः, एक एफ़िन उप-स्थान (फ्लैट (ज्यामिति)) के साथ-साथ रेखा खंड भी है ।

धनात्मक, शून्य और ऋणात्मक अदिश वर्ग

n = 3

,

k

के चिन्ह (गणित) की पसंद के आधार पर या तो 1 या 2 है

q

एक अशक्त सदिश एक सदिश है जिसके लिए द्विघात रूप शून्य है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत, ऐसा सदिश गैर-शून्य हो सकता है, जिस स्थिति में यह स्व-रूढ़िवादिता है।

यदि द्विघात रूप अनिश्चित है, तो आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ${x : q (x) = 0 }$ . अशक्त सदिश का एक रैखिक शंकु होता है जब आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष-समय के लिए एक नमूना प्रदान करता है अशक्त शंकु को मूल बिन्दु का प्रकाश शंकु कहा जाता है। (उदाहरण देखें),

अशक्त शंकु दो खुले समूहों को अलग करता है,^[4] क्रमशः जिसके लिए $q (x) > 0$ तथा $q (x) < 0$ . यदि $k \geq 2$ , तो सदिशों का समुच्चय जिसके लिए $q (x) > 0$ जुड़ा हुआ स्थान है। यदि $k = 1$ , तो इसमें दो असंबद्ध भाग होते हैं, एक के साथ $x 1 > 0$ और दूसरा साथ $x 1 < 0$ . जिसके लिए $q (x) < 0$ यदि $k$ को $n - k$ से प्रतिस्थापित किया जाये. सदिश के लिए इसी समान कथन दिए जा सकते हैं

अंतराल

द्विघात रूप $q$ यूक्लिडियन मामले में स्पर्शरेखा सदिश के वर्ग के अनुरूप है। सदिश मानदंड (और दूरी) को एक अपरिवर्तनीय (गणित) के से परिभाषित करने के लिए, किसी को अदिश वर्गों के वर्गमूल प्राप्त करने होंगे, जो संभवतः काल्पनिक संख्या दूरी की ओर जाता है; ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल देखें। लेकिन तीनों भुजाओं के धनात्मक अदिश वर्गों वाले त्रिभुज के लिए भी (जिनके वर्गमूल वास्तविक और धनात्मक हैं), त्रिभुज असमानता सामान्य रूप से लागू नहीं होती है।

इसलिए आभासी-यूक्लिडियन ज्यामिति में मानदंड और दूरी से बचा जाता है, जिसे क्रमशः अदिश वर्ग और अंतराल से बदला जा सकता है।

एक ऐसे वक्र के लिए जिसके सभी स्पर्शरेखा सदिशों में एक ही चिह्न के अदिश वर्ग हों, लेकिन चाप की लंबाई परिभाषित होती है। इसके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं: उदाहरण के लिएउचित समय देखें।

घूर्णन और गोले

ऐसे स्थान का घूर्णन (गणित) समूह (गणित) अनिश्चितकालीन रूढ़िवादि समूह $O(q)$ के रूप में भी दर्शाया गया है, विशेष द्विघात रूप के संदर्भ के बिना इस $O(k, n - k)$ रूप में भी निरूपित किया जाता है।।^[5] इस तरह के "घूर्णन" $q$ रूप को संरक्षित करते हैं इसलिए, प्रत्येक सदिश का अदिश वर्ग, चाहे वह धनात्मक हो, शून्य हो, या ऋणात्मक हो।

जबकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एकइकाई क्षेत्र होता है, आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ऊनविम पृष्ठ ${x : q (x) = 1 }$ तथा ${x : q (x) = -1 }$ होते हैं इस तरह की अतिसतह, जिसे अर्ध-गोला कहा जाता है, उपयुक्त अनिश्चितकालीन रूढ़िवादि समूह द्वारा संरक्षित है।

सममित द्विरेखीय रूप

द्विघात रूप $q$ एक सममित द्विरेखीय रूप को जन्म देता है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).

द्विघात रूप को द्विरेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$

जब $⟨ x, y ⟩ = 0$ , फिर $x$ तथा $y$ आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रूढ़िवादिता सदिश हैं।

इस यह द्विरेखीय रूप को अक्सर अदिस उत्पाद के रूप में जाना जाता है, और कभी-कभी आंतरिक उत्पाद या बिन्दु उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है, लेकिन यह एक आंतरिक उत्पाद स्थान को परिभाषित नहीं करता है और इसमें यूक्लिडियन सदिश के बिन्दु उत्पाद के गुण नहीं होते हैं।

यदि $x$ तथा $y$ ओर्थोगोनल हैं और $q (x) q (y) < 0$ , तो $x$ $y$ के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण-रूढ़िवादि है.

वास्तविक $n$ -स्पेस का मानक आधार रूढ़िवादि आधार है। आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कोई ऑर्थोनॉर्मल आधार नहीं है जिसके लिए द्विरेखीय रूप अनिश्चित है, क्योंकि इसका उपयोग सदिश मानदंड को परिभाषित करने के लिए नहीं किया जा सकता है।

उप-स्थान और रूढ़िवादिता

एक (सकारात्मक-आयामी) उप-स्थान के लिए^[6] एक आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष का $U$ , जब द्विघात रूप $q$ $U$ तक सीमित है, निम्नलिखित तीन मामले संभव हैं:

$q | U$ या तो निश्चित द्विघात रूप है। या फिर, $U$ अनिवार्य रूप से यूक्लिडियन स्थान है ( $q$ के संकेत तक).
$q | U$ अनिश्चित है, लेकिन अपरिवर्तनीय है। तब, $U$ स्वयं आभासी-यूक्लिडियन है। यह तभी संभव है जब $dim U \geq 2$ ; यदि $dim U = 2$ हो, जिसका अर्थ है $U$ एक समतल (ज्यामिति) है, तो इसे अतिपरवलयिक तल (द्विघात रूप) कहते हैं।
$q | U$ पतित है।

आभासी- यूक्लिडियन सदिश और समतलो के सबसे झकझोरने वाले गुणों में से एक (एक यूक्लिडियन अंतर्ज्ञान के लिए) उनकी रूढ़िवादिता है। जब दो गैर-शून्य यूक्लिडियन सदिश रूढ़िवादि होते हैं, तो वे संरेख नहीं होते हैं। किसी भी यूक्लिडियन रैखिक उप-अंतरिक्ष का इसके रूढ़िवादि पूरक के साथ प्रतिच्छेदन ${0}$ सदिश स्थान है लेकिन पिछले उपखंड की परिभाषा का तात्पर्य तुरंत है कि शून्य अदिश वर्ग का कोई भी सदिश $ν$ स्वयं के लिए ओर्थोगोनल है। इसलिए, समदैशिक रेखा $N = ⟨ ν ⟩$ शून्य सदिश ν- द्वारा उत्पन्न इसके ओर्थोगोनल पूरक $N ⊥$ का एक उपसमुच्चय है .

आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सदिश उप-स्थान के रूढ़िवादि पूरक की औपचारिक परिभाषा पूरी तरह से परिभाषित परिणाम देती है, जो समानता को संतुष्ट करती है $dim U + dim U ⊥ = n$ द्विघात रूप के गैर-अपघटन के कारण। यह सिर्फ शर्त है

U \cap U ⊥ = {0}

या, समकक्ष,

U + U ⊥ =

सारा अंतरिक्ष,

यदि सबस्पेस $U$ एक शून्य दिशा सम्मालित है।^[7] जिसे तोड़ा जा सकता है जबकि उप-स्थान एक की जाली बनाते है, जैसा कि किसी भी सदिश स्थान में होता है, यह $⊥$ ऑपरेशन आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के विपरीत, एक ऑर्थोपूरक नहीं है।

एक उप-स्थान $N$ के लिए पूरी तरह से अशक्त सदिश से बना है (जिसका अर्थ है कि अदिश वर्ग $q$ , के लिए प्रतिबंधित $N$ , बराबर है $0$ ), हमेशा धारण करता है:

N \subset N ⊥

या, समकक्ष,

N \cap N ⊥ = N

.

इस तरह के एक उप-स्थान में अधिकतम $min(k, n - k)$ आयाम (सदिश स्थान) हो सकता है ।^[8]

एक (सकारात्मक) यूक्लिडियन के लिए $k$ -उप अंतरिक्ष इसका रूढ़िवादि पूरक है a $(n - k)$ -आयामी नकारात्मक यूक्लिडियन उप-स्थान है, और

सामान्यतः a $(d + + d - + d 0)$ -आयामी उपक्षेत्र $U$ के लिए जिसमे $d +$ धनात्मक और $d -$ नकारात्मक आयाम होते है (स्पष्टीकरण के लिए सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम देखें), इसका रूढ़िवादि पूरक $U ⊥$ में $(k - d + - d 0)$ धनात्मक और $(n - k - d - - d 0)$ नकारात्मक आयाम है, जबकि बाकी $d 0$ विकृत हैं और $U \cap U ⊥$ चौराहा बनाते हैं।

समांतर चतुर्भुज कानून और पाइथागोरस प्रमेय

समांतर चतुर्भुज नियम रूप लेता है

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).

उदाहरण योग पहचान के वर्ग का प्रयोग करते हुए, एक स्वेच्छ त्रिभुज के लिए कोई भी दो भुजाओं के अदिश वर्गों और उनके द्विपद रूप उत्पाद से तीसरी भुजा के अदिश वर्ग को व्यक्त कर सकता है:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

यह दर्शाता है कि, रूढ़िवादि सदिश के लिए, पायथागॉरियन प्रमेय का आभासी-यूक्लिडियन एनालॉग धारण करता है:

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

कोण

सामान्यतः निरपेक्ष मान $| ⟨ x, y ⟩ |$ दो सदिशों पर द्विरेखीय रूप का मान $\sqrt | q (x) q (y) |$ से अधिक हो सकता है या इसके बराबर, या कम। यह कोण की परिभाषा (देखें बिन्दु गुणन § ज्यामितीय परिभाषा) जैसा की दूरियों के लिए उपर दिखाया गया है के साथ समान समस्याओं का कारण बनता है

यदि $k = 1$ ( $q$ में केवल एक धनात्मकपद ), तो धनात्मक अदिश वर्ग के सदिशों के लिए:

|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,

जो अतिपरवलयिक कोण की परिभाषा की अनुमति देता है, प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन के माध्यम से इन सदिशों के बीच कोण का एक एनालॉग:^[9]

\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.

यह एक

(n - 1)

-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पर दूरी से मेल खाती है । नीचे चर्चित सापेक्षता के सिद्धांत के संदर्भ में इसे तीव्रता के रूप में जाना जाता है। यूक्लिडियन कोण के विपरीत, यह [0, +∞) मान लेता है

[0, +\infty)

और प्रतिसमांतर(गणित) सदिश के लिए 0 के बराबर होता है।

शून्य सदिश और अन्य सदिश (या तो शून्य या गैर-शून्य) के बीच कोण की कोई उचित परिभाषा नहीं है।

बीजगणित और टेंसर कलन

यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान की तरह, प्रत्येक आभासी-यूक्लिडियन सदिश स्थान एक क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करता है। उपरोक्त गुणों के विपरीत, जहां $q$ को $- q$ में प्रतिस्थापन करने से संख्याएँ परिवर्तितहो जाती है लेकिन ज्यामिति नहीं, द्विघात रूप के उल्टा संकेत के परिणामस्वरूप एक अलग क्लिफोर्ड बीजगणित होता है, इसलिए उदाहरण के लिए $Cl 1,2 (R)$ तथा $Cl 2,1 (R)$ समरूप नहीं हैं।

किसी भी सदिश स्थान की तरह, आभासी-यूक्लिडियन टेंसर होते हैं। एक यूक्लिडियन संरचना की तरह, वहाँ ऊपर और नीचे सूचकांक संचालक होते हैं लेकिन, यूक्लिडियन टेन्सर के मामले के विपरीत, ऐसा कोई आधार नही है जहां ये ऑपरेशन घटकों के मानो को नहीं बदलते हैं यदि कोई सदिश v^β है $v β$ , संगत सहसंयोजक सदिश है:

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

और मानक रूप के साथ

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

$v α$ के पहले $k$ घटक संख्यात्मक रूप से v^β के समान हैं $v β$ , लेकिन बाकी $n - k$ योज्य प्रतिलोम है।

प्रतिपरिवर्ती और सहपरिवर्ती टेन्सर के बीच पत्राचार कई गुना आभासी रीमैनियन पर एक टेंसर गणना बनाता है जो कई गुना रीमैनियन पर एक का सामान्यीकरण करता है।

उदाहरण

एक बहुत ही महत्वपूर्ण आभासी-यूक्लिडियन स्थान मिंकोव्स्की अंतरिक्ष है, जो गणितीय सेटिंग है जिसमें अल्बर्ट आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत को तैयार किया गया है। मिंकोवस्की अंतरिक्ष के लिए, $n = 4$ तथा $k = 3$ ^[10] इसलिए

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

इस आभासी-मीट्रिक से जुड़ी ज्यामिति की जांच हेनरी पोंकारे ने की थी।^[11]^[12] इसका घूर्णन समूह लोरेंत्ज़ समूह है। पोंकारे समूह में अनुवाद (ज्यामिति) भी सम्मालित है और सामान्य यूक्लिडियनअन्तरिक्ष स्थान के यूक्लिडियन समूहो के समान भूमिका निभाता है।

एक अन्य आभासी-यूक्लिडियन स्थान द्वि-आयामी स्थान $z = x + yj$ है द्विघात रूप से सुसज्जित विभाजित-जटिल संख्याओं से मिलकर बना है ,

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

यह अनिश्चित आभासी-यूक्लिडियन अंतरिक्ष का ( $n = 2$ , $k = 1$ ) सबसे सरल स्थितिया है और केवल एक जहां अशक्त शंकु अंतरिक्ष को चार खुले सेटों में विभाजित करता है। समूह $SO + (1, 1)$ तथाकथित अतिपरवलयिक घुमावों से मिलकर बनता है।

यह भी देखें

आभासी-रिमेंनियन मैनिफोल्ड
अतिपरवलयिक समीकरण
हाइपरबोलाइड मॉडल
पैरासदिश

फुटनोट्स

↑ Élie Cartan (1981), The Theory of Spinors, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1
↑ Euclidean spaces are regarded as pseudo-Euclidean spaces – see for example Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32.
↑ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32 [1]
↑ The standard topology on $R n$ is assumed.
↑ What is the "rotations group" depends on exact definition of a rotation. "O" groups contain improper rotations. Transforms that preserve orientation form the group $SO(q)$ , or $SO(k, n - k)$ , but it also is not connected if both $k$ and $n - k$ are positive. The group $SO + (q)$ , which preserves orientation on positive and negative scalar square parts separately, is a (connected) analog of Euclidean rotations group $SO(n)$ . Indeed, all these groups are Lie groups of dimension $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2n(n − 1)$ .
↑ A linear subspace is assumed, but same conclusions are true for an affine flat with the only complication that the quadratic form is always defined on vectors, not points.
↑ Actually, $U \cap U ⊥$ is not zero only if the quadratic form $q$ restricted to $U$ is degenerate.
↑ Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
↑ Note that $cos (i arcosh s) = s$ , so for $s > 0$ these can be understood as imaginary angles.
↑ Another well-established representation uses $k = 1$ and coordinate indices starting from $0$ (thence $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), but they are equivalent up to sign of $q$ . See Sign convention § Metric signature.
↑ H. Poincaré (1906) On the Dynamics of the Electron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
↑ B. A. Rosenfeld (1988) A History of Non-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

संदर्भ

Cartan, Élie (1981) [1938], The Theory of Spinors, New York: Dover Publications, p. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850
Werner Greub (1963) Linear Algebra, 2nd edition, §12.4 Pseudo-Euclidean Spaces, pp. 237–49, Springer-Verlag.
Walter Noll (1964) "Euclidean geometry and Minkowskian chronometry", American Mathematical Monthly 71:129–44.
Novikov, S. P.; Fomenko, A.T.; [translated from the Russian by M. Tsaplina] (1990). Basic elements of differential geometry and topology. Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-82960-7.
Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

बाहरी संबंध

D.D. Sokolov (originator), Pseudo-Euclidean space, Encyclopedia of Mathematics

[1] Élie Cartan (1981), The Theory of Spinors, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1

[2] Euclidean spaces are regarded as pseudo-Euclidean spaces – see for example Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32.

[3] Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32 [1]

[4] The standard topology on $R n$ is assumed.

[5] What is the "rotations group" depends on exact definition of a rotation. "O" groups contain improper rotations. Transforms that preserve orientation form the group $SO(q)$ , or $SO(k, n - k)$ , but it also is not connected if both $k$ and $n - k$ are positive. The group $SO + (q)$ , which preserves orientation on positive and negative scalar square parts separately, is a (connected) analog of Euclidean rotations group $SO(n)$ . Indeed, all these groups are Lie groups of dimension $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2n(n − 1)$ .

[6] A linear subspace is assumed, but same conclusions are true for an affine flat with the only complication that the quadratic form is always defined on vectors, not points.

[7] Actually, $U \cap U ⊥$ is not zero only if the quadratic form $q$ restricted to $U$ is degenerate.

[8] Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

[9] Note that $cos (i arcosh s) = s$ , so for $s > 0$ these can be understood as imaginary angles.

[10] Another well-established representation uses $k = 1$ and coordinate indices starting from $0$ (thence $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), but they are equivalent up to sign of $q$ . See Sign convention § Metric signature.

[11] H. Poincaré (1906) On the Dynamics of the Electron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo

[12] B. A. Rosenfeld (1988) A History of Non-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

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