विश्लेषणात्मक ज्यामिति

This article is about निर्देशांक ज्यामिति. For विश्लेषणात्मक किस्मों का अध्ययन, see बीजीय ज्यामिति $ विश्लेषणात्मक ज्यामिति.

शास्त्रीय गणित, विश्लेषणात्मक ज्यामिति, को निर्देशांक ज्यामिति या कार्टेशियन ज्यामिति के रूप में भी जाना जाता है, एक समन्वय प्रणाली का उपयोग कर ज्यामिति का अध्ययन क्या है।यह सिंथेटिक ज्यामिति के साथ विरोधाभासी है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग भौतिकी और अभियांत्रिकी के साथ-साथ विमानन, रॉकेटरी, अंतरिक्ष विज्ञान और अंतरिक्ष उड़ान में भी किया जाता है। यह बीजगणितीय ज्यामिति , विभेदक ज्यामिति , असतत ज्यामिति और कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के अधिकांश आधुनिक क्षेत्रों का आधार है।

सामान्यतया कर्णनलिका निर्देशांक प्रणाली का प्रयोग विमानों, सीधी रेखाओं और वृत्तों के समीकरणों में बहुधा दो या कभी-कभी तीन आयामों में हेरफेर करने के लिए किया जाता है। ज्यामितीय दृष्टि से, एक यूक्लिडियन विमान (दो आयाम) और यूक्लिडियन अंतरिक्ष का अध्ययन करता है। जैसा कि स्कूल की पुस्तकों में पढ़ाया जाता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति को अधिक आसानी से समझाया जा सकता है: यह ज्यामितीय आकृतियों को संख्यात्मक रूप से परिभाषित करने और उनका प्रतिनिधित्व करने और आकृतियों के संख्यात्मक परिभाषाओं और निरूपण से संख्यात्मक जानकारी निकालने से संबंधित है। कि ज्यामिति की रैखिक सातत्य के परिणाम उत्पन्न करने के लिए वास्तविक संख्या के बीजगणित का प्रयोग किया जा सकता है यह कैंटर-डेडेकिंड स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।

इतिहास

प्राचीन ग्रीस

ग्रीक गणितज्ञ मेनेकामस ने समस्याओं को हल किया और प्रमेय को साबित करने के लिए एक ऐसी विधि का प्रयोग किया जिसमें निर्देशांक के उपयोग में काफी समानता थी और कभी-कभी यह भी कहा गया है कि उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत की थी।

पर्गा के अपोलोनियस को निर्धारित अनुभाग में समस्याओं से ऐसे तरीके से निपटाया गया है जिसे एक आयाम का विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहा जा सकता है।एक पंक्ति पर अंक पाने के सवाल के साथ जो एक दूसरे के अनुपात में थे। कॉनिक्स में अपोलोनियस ने आगे एक ऐसा तरीका विकसित किया, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के समान है और कभी-कभी, ऐसा माना जाता है कि उनके काम से प्रायः 1800 वर्ष पहले डेसकार्टेस के काम का पूर्वानुमान लग गया था। उनके निर्देश रेखाओं, एक व्यास, और स्पर्शरेखा का अनुप्रयोग, निश्चित रूप से किसी समन्वय तंत्र के हमारे आधुनिक प्रयोग से भिन्न नहीं है, जहां संपन्नता के बिंदु से व्यास के साथ मापा जाने वाली दूरियां घर्षण हैं और खंड स्पर्शरेखा के समांतर हैं और अक्ष और वक्र के बीच में अंतर है निर्देशांक। आगे चलकर उन्होंने अलंकारों तथा तदनुकूल अध्यादेशों के बीच संबंध विकसित किये, जो अलंकारों (शब्दों में अभिव्यक्त) समीकरणों के समतुल्य होते हैं, यद्यपि अपोलोनियस विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास के निकट आ गये थे, पर उन्होने नकारात्मक परिमाणों को ध्यान में नहीं रखा और हर स्थिति में समन्वय प्रणाली पर प्राथमिकता के स्थान पर एक पौष्टिकता पर अध्यारोपित कर दी गई। अर्थात, समीकरण वक्रों द्वारा निर्धारित किए गए थे, लेकिन वक्रों का निर्धारण समीकरणों द्वारा नहीं किया गया था। एक विशिष्ट ज्यामितीय स्थिति पर लागू एक गौण धारणा निर्देशांक, चर और समीकरण थे।

फारस

11 वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ उमर खय्याम ने ज्यामिति और बीजगणित के मध्य गहन संबंध देखे और उस समय उन्होंने संख्यात्मक और ज्यामितीय बीजगणित के मध्य का अंतर समाप्त करने में सहायता की। सामान्य घन समीकरणों के अपने ज्यामितीय समाधान के साथ, लेकिन निर्णायक कदम बाद में डेस्कार्टेस के साथ आया। उमर खय्याम को बीजीय ज्यामिति की नींव की पहचान करने का श्रेय दिया जाता है, और उनकी पुस्तक ग्रंथ बीजगणित की समस्याओं के प्रदर्शन के लिए (1070), जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांतों को निर्धारित किया, क्या फ़ारसी गणित के शरीर का एक हिस्सा है जो अंत में यूरोप में प्रेषित हुआ था बीजीय समीकरणों के लिए उनके अलौकिक दृष्टिकोण की वजह से, खयाम को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आविष्कार में डेस्कार्टेस का अग्रदूत माना जा सकता था।

पश्चिमी यूरोप

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आविष्कार स्वतंत्र रूप से रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फ़र्माटा द्वारा किया गया था, हालांकि डेसकार्टेस को कभी-कभी एकमात्र श्रेय दिया जाता है। कार्तीय ज्यामिति, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए प्रयुक्त वैकल्पिक शब्द, का नाम डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है।

डेस्कार्टेस ने ला जियोमेट्रिई (ज्यामिति) नामक एक निबंध में विधियों के साथ महत्वपूर्ण प्रगति की, 1637 में प्रकाशित तीन निबंधों (परिशिष्ट) में से एक, जिसमें उन्होंने अपने तर्क को उचित ढंग से निर्देशित करने और विज्ञान में सत्य की खोज करने की विधि पर अपने प्रवचन सहित, जिसे सामान्यतया विधि पर परिचर्चा कहा जाता है, प्रकाशित किया था। ला जियोमेट्रिय ने अपनी मातृभाषा में फ्रांसीसी भाषा तथा इसके दार्शनिक सिद्धांतों में लिखे हैं और उन्हें यूरोप में कैल्कुलस की नींव प्रदान की है। कुछ अंशों में तर्क तथा जटिल समीकरणों के अनेक अंतरालों में आरम्भ में इस ग्रंथ का अच्छा स्वागत नहीं हुआ। लैटिन में अनुवाद के बाद और 1649 में फ्रैंस वैन शूटेन द्वारा टिप्पणी के अतिरिक्त (और उसके बाद आगे का काम) डेसकार्टेस की उत्कृष्ट कृति को उचित पहचान मिली।

पियरे डी फ़र्मैट ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास का भी बीड़ा उठाया। हालांकि अपने जीवनकाल में प्रकाशित नहीं हुआ, विज्ञापन अवलोककों और सॉलिडोस आईगोगे का एक पाण्डुलिपि रूप (विमान और ठोस स्थान की शुरूआत) 1637 में पेरिस में घूम रहा था। डेस्कार्टेस के प्रवचन के प्रकाशन से ठीक पहले स्पष्ट रूप से लिखा और अच्छी तरह से प्राप्त, परिचय ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए नींव रखी। फ़र्मैट और डिस्कार्टेस उपचार के बीच मुख्य अंतर दृष्टिकोण का विषय है: फ़र्मेट हमेशा एक बीजीय समीकरण के साथ शुरू किया और फिर ज्यामितीय वक्र है कि यह संतुष्ट वर्णित, जबकि डिस्कार्टस ने ज्यामितीय वक्रों के साथ शुरुआत की और उनके समीकरणों को वक्रों के कई गुणों में से एक के रूप में उत्पन्न किया। इस दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप डेसकार्टेस को और अधिक जटिल समीकरणों से निपटना पड़ा और उन्हें बहुपद समीकरणों के साथ काम करने की विधि विकसित करनी पड़ी। लियोनहार्ड यूलर ने पहले अंतरिक्ष घटता और सतहों के व्यवस्थित अध्ययन में समन्वय विधि को लागू किया था।

निर्देशांक

Main article: निर्देशांक प्रणाली

कार्तीय निर्देशांक तल का चित्रण। चार बिंदुओं को उनके निर्देशांक के साथ चिह्नित और लेबल किया गया है: (2,3) हरे रंग में, (−3,1) लाल रंग में, (−1.5,−2.5) नीले रंग में, और मूल (0,0) बैंगनी रंग में।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, समतल को एक निर्देशांक प्रणाली दिया गया है, जिसके द्वारा प्रत्येक बिंदु (ज्यामिति) में वास्तविक संख्या निर्देशांक की एक जोड़ी होती है। इसी प्रकार, यूक्लिडियन अंतरिक्ष को निर्देशांक दिया जाता है जहां प्रत्येक बिंदु तीन निर्देशांक होते हैं। निर्देशांक का मान मूल के प्रारंभिक बिन्दु के चयन पर निर्भर करता है। कई समन्वय प्रणालियां प्रयुक्त की जाती हैं, लेकिन सबसे आम निम्न है:

कार्तीय निर्देशांक (एक विमान या अंतरिक्ष में)

Main article: कर्णनलिका निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक सिस्टम के उपयोग की जाने वाली सबसे सामान्य निर्देशांक प्रणाली है, जहां प्रत्येक बिंदु पर एक्स-निर्देशांक अपनी क्षैतिज स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, और एक वाई-निर्देशांक अपनी ऊर्ध्वाधर स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। ये आम तौर पर एक आदेश दिया जोड़ी (x, y) के रूप में लिखा जाता है। इस प्रणाली का उपयोग त्रि-आयामी ज्यामिति के लिए भी किया जा सकता है, जहां यूक्लिडियन समष्टि में प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक (x, y, z) के आदेश से तीन बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक (एक विमान में)

Main article: धुवीय निर्देशांक

ध्रुवीय निर्देशांक में, समतल के प्रत्येक बिंदु को मूल बिंदु से इसकी दूरी r और इसके कोण θ द्वारा दर्शाया जाता है, θ के साथ सामान्य रूप से धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। इस अंकन का उपयोग करते हुए, अंक आमतौर पर एक आदेशित जोड़ी (आर, θ) के रूप में लिखे जाते हैं। इन फ़ार्मुलों का उपयोग करके द्वि-आयामी कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच आगे और पीछे रूपांतरित किया जा सकता है:

ध्रुवीय निर्देशांक में, समतल का प्रत्येक बिंदु मूल से दूरी r द्वारा और अपने कोण Θ, Θ के साथ सामान्यतः सकारात्मक x-अक्ष से विपरीत दिशा में मापा जाता है। इस अंकन का उपयोग कर, अंक आम तौर पर एक आदेश दिया जोड़ी (आर, Θ) के रूप में लिखा जाता हैं। इन सूत्रों का इस्तेमाल करके आप दो आयामी कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांकों के बीच आगे-पीछे रूपांतरण कर सकते हैं:

$$x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).$$

इस प्रणाली को बेलनाकार या गोलाका र निर्देशांक प्रणाली के प्रयोग से त्रि-आयामी स्थान में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बेलनाकार निर्देशांक (एक अंतरिक्ष में)

Main article: Cylindrical coordinates

बेलनाकार निर्देशांक में, अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु को इसकी ऊँचाई z, z-अक्ष से इसकी त्रिज्या r और क्षैतिज अक्ष के संबंध में xy-समतल पर इसके प्रक्षेपण कोण θ द्वारा दर्शाया जाता है।

बेलन निर्देशांक में, स्थान के प्रत्येक बिंदु को इसकी ऊंचाई Z द्वारा प्रदर्शित किया जाता है,इसकी त्रिज्या आर जेड अक्ष से और कोण Θ अपने प्रक्षेपण से एक्स विमान में प्रक्षेपण क्षैतिज अक्ष के संबंध में बनाता है।

गोलाकार निर्देशांक (एक अंतरिक्ष में)

Main article: Spherical coordinate system

गोलाकार निर्देशांक में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को मूल बिंदु से इसकी दूरी ρ द्वारा दर्शाया जाता है, xy-समतल पर इसका प्रक्षेपण कोण θ क्षैतिज अक्ष के संबंध में बनाता है, और कोण φ जो यह z-अक्ष के संबंध में बनाता है . भौतिकी में अक्सर कोणों के नाम उलट दिए जाते हैं।

गोलाकार निर्देशांक में अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु को इसके मूल से ρ द्वारा दर्शाया जाता है, कोण Θ अपने प्रक्षेपण xy-समतल पर क्षैतिज अक्ष के संबंध में करता है, और यह कोण φ के लिए सम्मान के साथ काम करता है।अक्सर भौतिकी में कोणों के नाम उलटे कर दिए जाते हैं।

समीकरण और वक्र

Main articles: Solution set and Locus (mathematics)

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निर्देशांक से जुड़े किसी भी समीकरण में विमान का एक सबसेट निर्दिष्ट होता है, अर्थात् समीकरण के लिए समाधान सेट , या लोकस (गणित)। उदाहरण के लिए, समीकरण y = x समतल पर उन सभी बिंदुओं के समुच्चय से मेल खाता है जिनके x-निर्देशांक और y-निर्देशांक बराबर हैं। ये बिंदु एक रेखा (ज्यामिति) बनाते हैं, और y = x इस रेखा के लिए समीकरण कहा जाता है। सामान्य तौर पर, x और y वाले रैखिक समीकरण रेखाओं को निर्दिष्ट करते हैं, द्विघात समीकरण शंकु वर्गों को निर्दिष्ट करते हैं, और अधिक जटिल समीकरण अधिक जटिल आंकड़ों का वर्णन करते हैं। आम तौर पर, एक समीकरण समतल पर एक वक्र के अनुरूप होता है। यह हमेशा मामला नहीं होता है: तुच्छ समीकरण x = x पूरे विमान और समीकरण x को निर्दिष्ट करता है² + और² = 0 केवल एक बिंदु (0, 0) निर्दिष्ट करता है। तीन आयामों में, एक एकल समीकरण आमतौर पर एक सतह (गणित) देता है, और एक वक्र को दो सतहों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (नीचे देखें), या पैरामीट्रिक समीकरण ों की एक प्रणाली के रूप में। समीकरण एक्स² + और² = आर² r की त्रिज्या के साथ मूल (0, 0) पर केंद्रित किसी भी वृत्त का समीकरण है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निर्देशांकों को अंतर्ग्रस्त करने वाला कोई भी समीकरण विमान का उपसमुच्चय विनिर्दिष्ट करता है, अर्थात् समीकरण के लिए निर्धारित समाधान, या स्थान। उदाहरण के लिए, समीकरण y = x विमान में सभी बिंदुओं के सेट से मेल खाती है जिसका x-निर्देशांक और yनिर्देशांक बराबर हैं। ये बिंदु एक रेखा बनाते हैं, और y = x को इस रेखा का समीकरण कहा जाता है। सामान्य में, रैखिक समीकरण जिसमें एक्स और वाई निर्दिष्ट रेखाएं शामिल हैं, द्विघात समीकरण शंकु वर्गों को निर्दिष्ट करते हैं, और अधिक जटिल समीकरण और अधिक जटिल आंकड़े बताते हैं।

रेखाएं और विमान

Main articles: Line (geometry) and Plane (geometry)

एक कार्टेशियन विमान में रेखाएं, या अधिक सामान्यतः, एफ़िन निर्देशांक में, रैखिक समीकरणों द्वारा बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। दो आयामों में, गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए समीकरण अक्सर ढलान-अवरोधन रूप में दिया जाता है:

कार्टेसियान यान या सामान्य रूप से एफ़िन निर्देशांक की पंक्तियों को, रेखीय समीकरणों द्वारा बीजगणितीय विधि द्वारा व्याख्यायित किया जा सकता है। दो आयामों में, गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए समीकरण अक्सर ढलान-अवरोधन रूप में दिया जाता है:

$$y=mx+b$$

कहाँ पे:

• मी रेखा का ढाल या ढाल है।
• m मीटर रेखा का ढलान या ढाल है
• b रेखा का y-अवरोधन है।
• बी रेखा के y अवरोधन है।
• x फलन y = f(x) का स्वतंत्र चर है।

जिस तरह से द्वि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं को उनके समीकरणों के लिए एक बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, तीन आयामी अंतरिक्ष में विमानों का विमान में एक बिंदु का उपयोग करके एक प्राकृतिक विवरण होता है और इसके लिए एक वेक्टर ऑर्थोगोनल होता है। सामान्य वेक्टर ) अपने झुकाव को इंगित करने के लिए।

विशेष रूप से, चलो $\mathbf {r} _{0}$ किसी बिंदु की स्थिति वेक्टर बनें $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, और जाने $\mathbf {n} =(a,b,c)$ एक अशून्य वेक्टर बनें। इस बिंदु और वेक्टर द्वारा निर्धारित विमान में वे बिंदु होते हैं $P$, स्थिति वेक्टर के साथ $\mathbf {r}$, जैसे कि वेक्टर से खींचा गया $P_{0}$ प्रति $P$ के लंबवत है $\mathbf {n}$. यह याद करते हुए कि दो वैक्टर लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है, तो यह इस प्रकार है कि वांछित विमान को सभी बिंदुओं के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $\mathbf {r}$ ऐसा है कि

$$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$$

(यहां बिंदु का अर्थ है एक बिंदु उत्पाद, अदिश गुणन नहीं।) विस्तारित यह हो जाता है

$$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$$

which is the point-normal form of the equation of a plane. यह सिर्फ एक रैखिक समीकरण है:

$$ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).$$

इसके विपरीत, यह आसानी से दिखाया गया है कि यदि a, b, c और d स्थिरांक हैं और a, b, और c सभी शून्य नहीं हैं, तो समीकरण का आलेख

$$ax+by+cz+d=0,$$

is a plane having the vector $\mathbf {n} =(a,b,c)$ as a normal. एक तल के लिए इस परिचित समीकरण को तल के समीकरण का सामान्य रूप कहा जाता है। तीन आयामों में, रेखाओं को एक रेखीय समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, इसलिए उन्हें अक्सर पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है:

$$x=x_{0}+at$$

$$y=y_{0}+bt$$

$$z=z_{0}+ct$$

कहाँ पे:

• x, y, और z स्वतंत्र चर t के सभी फलन हैं जो वास्तविक संख्याओं पर परास रखते हैं।
• (एक्स₀, यू₀, साथ₀) रेखा पर कोई बिंदु है।
• ए, बी, और सी रेखा के ढलान से संबंधित हैं, जैसे कि वेक्टर (ज्यामितीय) (ए, बी, सी) रेखा के समानांतर है।

शंकु वर्ग

Main article: Conic section

कार्तीय समन्वय प्रणाली में, दो चरों में द्विघात समीकरण के एक फलन का ग्राफ हमेशा एक शंकु खंड होता है - हालांकि यह पतित हो सकता है, और सभी शंकु खंड इस तरह से उत्पन्न होते हैं। समीकरण फॉर्म का होगा

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}$$

जैसा कि सभी छह स्थिरांकों को स्केल करने से शून्य का एक ही स्थान प्राप्त होता है, कोई शंकुओं को पांच आयामी प्रक्षेप्य अंतरिक्ष में बिंदुओं के रूप में मान सकता है $\mathbf {P} ^{5}.$ इस समीकरण द्वारा वर्णित शंकु वर्गों को विवेचक का उपयोग करके वर्गीकृत किया जा सकता है

$$B^{2}-4AC.$$

यदि शंकु गैर-पतित है, तो:

• यदि $B^{2}-4AC<0$, समीकरण एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है;
  • यदि $A=C$ तथा $B=0$, समीकरण एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है;
• यदि $B^{2}-4AC=0$, समीकरण एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है;
• यदि $B^{2}-4AC>0$, समीकरण एक अतिपरवलय को निरूपित करता है;
  • अगर हमारे पास भी है $A+C=0$, समीकरण एक अतिपरवलय का प्रतिनिधित्व करता है।

द्विघात सतहें

Main article: Quadric surface

एक क्वाड्रिक, या क्वाड्रिक सतह, 3-आयामी अंतरिक्ष में एक 2-आयामी सतह (गणित) है जिसे द्विघात बहुपद के कार्य के मूल के लोकस (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है। निर्देशांक में x₁, x₂,x₃, सामान्य चतुर्भुज को बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.$$

चतुर्भुज सतहों में दीर्घवृत्त (गोले सहित), ठोस अनुवृत्त , hyperboloid , सिलेंडर (ज्यामिति) एस, शंकु और विमान (ज्यामिति) शामिल हैं।

दूरी और कोण

Main articles: Distance and Angle

समतल पर दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, ज्यामितीय धारणाएं जैसे दूरी और कोण माप को सूत्र ों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। इन परिभाषाओं को अंतर्निहित यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुरूप बनाया गया है। उदाहरण के लिए, समतल पर कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए, दो बिंदुओं के बीच की दूरी (x .)₁, यू₁) और (एक्स₂, यू₂) सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$$

जिसे पाइथागोरस प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है। इसी तरह, एक रेखा क्षैतिज से जो कोण बनाती है, उसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$$\theta =\arctan(m),$$

जहाँ m रेखा का ढाल है।

तीन आयामों में, पायथागॉरियन प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा दूरी दी गई है:

$$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$$

जबकि दो वैक्टर के बीच का कोण डॉट उत्पाद द्वारा दिया जाता है। दो यूक्लिडियन वैक्टर ए और बी के डॉट उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,$$

जहाँ 'A' और 'B' के बीच का कोण है।

परिवर्तन

a) y = f(x) = |x|       बी) वाई = एफ (एक्स + 3)       सी) वाई = एफ (एक्स) -3       डी) वाई = 1/2 एफ (एक्स)

समान विशेषताओं के साथ इसे एक नए फ़ंक्शन में बदलने के लिए पैरेंट फ़ंक्शन पर रूपांतरण लागू किए जाते हैं।

का ग्राफ $R(x,y)$ मानक परिवर्तनों द्वारा निम्नानुसार बदला जाता है:

• बदलना $x$ प्रति $x-h$ ग्राफ़ को दाईं ओर ले जाता है $h$ इकाइयां
• बदलना $y$ प्रति $y-k$ ग्राफ को ऊपर ले जाता है $k$ इकाइयां
• बदलना $x$ प्रति $x/b$ ग्राफ को क्षैतिज रूप से के एक कारक द्वारा फैलाता है $b$. (के बारे में सोचो $x$ फैलाव के रूप में)
• बदलना $y$ प्रति $y/a$ ग्राफ को लंबवत रूप से फैलाता है।
• बदलना $x$ प्रति $x\cos A+y\sin A$ और बदल रहा है $y$ प्रति $-x\sin A+y\cos A$ ग्राफ को एक कोण से घुमाता है $A$.

आम तौर पर प्राथमिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति में अन्य मानक परिवर्तन का अध्ययन नहीं किया जाता है क्योंकि परिवर्तन वस्तुओं के आकार को उन तरीकों से बदलते हैं जिन्हें आमतौर पर नहीं माना जाता है। तिरछा एक परिवर्तन का एक उदाहरण है जिसे आमतौर पर नहीं माना जाता है। अधिक जानकारी के लिए, एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन पर विकिपीडिया लेख देखें।

उदाहरण के लिए, मूल कार्य $y=1/x$ एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है, और पहले और तीसरे चतुर्थांश पर कब्जा कर लेता है, और इसके सभी रूपांतरित रूपों में एक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होता है, और यह पहले और तीसरे या दूसरे और चौथे चतुर्थांश पर कब्जा कर लेता है। सामान्य तौर पर, अगर $y=f(x)$, तब इसे रूपांतरित किया जा सकता है $y=af(b(x-k))+h$. नए रूपांतरित फ़ंक्शन में, $a$ वह कारक है जो फ़ंक्शन को लंबवत रूप से फैलाता है यदि यह 1 से अधिक है या फ़ंक्शन को लंबवत रूप से संपीड़ित करता है यदि यह 1 से कम है, और नकारात्मक के लिए $a$ मान, फ़ंक्शन में परिलक्षित होता है $x$-एक्सिस। $b$ h> मान 1 से अधिक होने पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को क्षैतिज रूप से संपीड़ित करता है और 1 से कम होने पर फ़ंक्शन को क्षैतिज रूप से फैलाता है, और पसंद करता है $a$, में समारोह को दर्शाता है $y$-अक्ष जब यह नकारात्मक है। $k$ एच> और $h$ मूल्य अनुवाद का परिचय देते हैं, $h$, लंबवत, और $k$ क्षैतिज। सकारात्मक $h$ तथा $k$ मूल्यों का मतलब है कि फ़ंक्शन का अपनी धुरी के सकारात्मक अंत में अनुवाद किया गया है और नकारात्मक अर्थ का नकारात्मक अंत की ओर अनुवाद किया गया है।

रूपांतरण किसी भी ज्यामितीय समीकरण पर लागू किया जा सकता है चाहे समीकरण किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता हो या नहीं। परिवर्तनों को व्यक्तिगत लेनदेन या संयोजनों में माना जा सकता है।

मान लो कि $R(x,y)$ में एक रिश्ता है $xy$ विमान। उदाहरण के लिए,

$$x^{2}+y^{2}-1=0$$

वह संबंध है जो इकाई वृत्त का वर्णन करता है।

ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिच्छेदन का पता लगाना

Main article: Intersection (geometry)

दो ज्यामितीय वस्तुओं के लिए P और Q संबंधों द्वारा दर्शाया गया है $P(x,y)$ तथा $Q(x,y)$ चौराहा सभी बिंदुओं का संग्रह है $(x,y)$ जो दोनों संबंधों में हैं। उदाहरण के लिए, $P$ त्रिज्या 1 और केंद्र वाला वृत्त हो सकता है $(0,0)$: $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ तथा $Q$ त्रिज्या 1 और केंद्र वाला वृत्त हो सकता है $(1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}$. इन दोनों वृत्तों का प्रतिच्छेदन उन बिंदुओं का संग्रह है जो दोनों समीकरणों को सत्य बनाते हैं। क्या बात $(0,0)$ दोनों समीकरणों को सत्य बनाओ? का उपयोग करते हुए $(0,0)$ के लिये $(x,y)$, के लिए समीकरण $Q$ हो जाता है $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ या $(-1)^{2}=1$ जो सच है, तो $(0,0)$ संबंध में है $Q$. दूसरी ओर, अभी भी उपयोग कर रहे हैं $(0,0)$ के लिये $(x,y)$ के लिए समीकरण $P$ हो जाता है $0^{2}+0^{2}=1$ या $0=1$ जो झूठा है। $(0,0)$ इसमें नहीं है $P$ तो यह चौराहे में नहीं है।

का चौराहा $P$ तथा $Q$ समकालिक समीकरणों को हल करके पाया जा सकता है:

$$x^{2}+y^{2}=1$$

$$(x-1)^{2}+y^{2}=1.$$

चौराहों को खोजने के पारंपरिक तरीकों में प्रतिस्थापन और उन्मूलन शामिल हैं।

प्रतिस्थापन: के लिए पहला समीकरण हल करें $y$ के अनुसार $x$ और फिर के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें $y$ दूसरे समीकरण में:

$$x^{2}+y^{2}=1$$

$$y^{2}=1-x^{2}.$$

फिर हम इस मान को के लिए प्रतिस्थापित करते हैं $y^{2}$ दूसरे समीकरण में और के लिए हल करने के लिए आगे बढ़ें $x$:

$$(x-1)^{2}+(1-x^{2})=1$$

$$x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1$$

$$-2x=-1$$

$$x=1/2.$$

इसके बाद, हम का यह मान रखते हैं $x$ मूल समीकरणों में से किसी एक में और के लिए हल करें $y$:

$$(1/2)^{2}+y^{2}=1$$

$$y^{2}=3/4$$

$$y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.$$

तो हमारे चौराहे के दो बिंदु हैं:

$$\left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).$$

उन्मूलन: एक समीकरण के गुणज को दूसरे समीकरण में जोड़ें (या घटाएं) ताकि एक चर समाप्त हो जाए। हमारे वर्तमान उदाहरण के लिए, यदि हम पहले समीकरण को दूसरे से घटाते हैं तो हमें प्राप्त होता है $(x-1)^{2}-x^{2}=0$. $y^{2}$ h> पहले समीकरण में से घटाया जाता है $y^{2}$ दूसरे समीकरण में no . छोड़कर $y$ शर्त। चर $y$ सफाया कर दिया गया है। फिर हम शेष समीकरण को के लिए हल करते हैं $x$, उसी तरह जैसे प्रतिस्थापन विधि में:

$$x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1$$

$$-2x=-1$$

$$x=1/2.$$

हम तब . का यह मान रखते हैं $x$ मूल समीकरणों में से किसी एक में और के लिए हल करें $y$:

$$(1/2)^{2}+y^{2}=1$$

$$y^{2}=3/4$$

$$y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.$$

तो हमारे चौराहे के दो बिंदु हैं:

$$\left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).$$

शंकु वर्गों के लिए प्रतिच्छेदन में अधिकतम 4 बिंदु हो सकते हैं।

इंटरसेप्ट्स ढूँढना

Main articles: x-intercept and y-intercept

एक प्रकार का प्रतिच्छेदन जो व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है, वह ज्यामितीय वस्तु का प्रतिच्छेदन $x$ तथा $y$ समायोजन ध्रुव।

एक ज्यामितीय वस्तु के प्रतिच्छेदन और $y$-अक्ष को कहा जाता है $y$-वस्तु का अवरोधन।

एक ज्यामितीय वस्तु के प्रतिच्छेदन और $x$-अक्ष को कहा जाता है $x$-वस्तु का अवरोधन।

लाइन के लिए , पैरामीटर $b$ उस बिंदु को निर्दिष्ट करता है जहां रेखा पार करती है $y$ एक्सिस। संदर्भ के आधार पर, या तो $b$ या बिंदु $(0,b)$ कहा जाता है $y$-अवरोध।

लाइन के लिए$y=mx+b$, पैरामीटर $b$ उस बिंदु को निर्दिष्ट करता है जहां रेखा पार करती है $y$ एक्सिस। संदर्भ के आधार पर, या तो $b$ या बिंदु $(0,b)$ कहा जाता है $y$-अवरोध।

ज्यामितीय अक्ष

Main article: Axis (mathematics)

ज्यामिति में अक्ष किसी भी रेखा, वस्तु या सतह की लंबवत रेखा है।

ज्यामिति में अक्ष किसी भी रेखा, वस्तु या सतह पर लंबवत रेखा होती है।

इसके अलावा इसके लिए सामान्य भाषा का उपयोग एक: सामान्य (सीधा ) लाइन के रूप में किया जा सकता है, अन्यथा इंजीनियरिंग में अक्षीय रेखा के रूप में।

ज्यामिति में, एक 'सामान्य' एक वस्तु है जैसे कि एक रेखा या वेक्टर जो किसी दिए गए ऑब्जेक्ट के लंबवत होता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी मामले में, किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के लिए 'सामान्य रेखा' बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत रेखा होती है।

त्रि-आयामी मामले में एक बिंदु पी पर एक सतह (गणित) के लिए 'सतह सामान्य', या बस 'सामान्य' एक वेक्टर (ज्यामिति) है जो पी पर उस सतह पर स्पर्शरेखा स्थान के लंबवत है। सामान्य शब्द एक विशेषण के रूप में भी प्रयोग किया जाता है: एक रेखा (ज्यामिति) एक विमान (ज्यामिति) के लिए सामान्य, एक बल का सामान्य घटक, 'सामान्य वेक्टर', आदि। 'सामान्यता' की अवधारणा ओर्थोगोनालिटी को सामान्यीकृत करती है।

गोलाकार और अरेखीय तल और उनकी स्पर्श रेखाएं

स्पर्शरेखा किसी फ़ंक्शन की गोलाकार या अन्य घुमावदार या मुड़ी हुई रेखा का रैखिक सन्निकटन है।

स्पर्श रेखाएं और तल

Main article: Tangent

ज्यामिति में, किसी दिए गए बिंदु (ज्यामिति) पर एक समतल वक्र की स्पर्श रेखा (या केवल स्पर्शरेखा) वह सीधी रेखा होती है जो उस बिंदु पर वक्र को स्पर्श करती है। अनौपचारिक रूप से, यह वक्र पर अतिसूक्ष्म बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से एक रेखा है। अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को वक्र की स्पर्श रेखा कहा जाता है y = f(x) एक बिंदु पर x = c वक्र पर यदि रेखा बिंदु से गुजरती है (c, f(c)) वक्र पर और ढलान है f'(c) जहां च' f का व्युत्पन्न है। इसी तरह की परिभाषा एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतरिक्ष घटता और घटता पर लागू होती है।

जैसे ही यह उस बिंदु से गुजरती है जहां स्पर्शरेखा रेखा और वक्र मिलते हैं, जिसे 'स्पर्शरेखा बिंदु' कहा जाता है, स्पर्शरेखा रेखा वक्र के समान दिशा में जा रही है, और इस प्रकार वक्र के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा सन्निकटन है। बिंदु।

इसी तरह, किसी दिए गए बिंदु पर एक सतह (गणित) के लिए 'स्पर्शरेखा विमान' विमान (गणित) है जो उस बिंदु पर सतह को छूता है। स्पर्शरेखा की अवधारणा विभेदक ज्यामिति में सबसे मौलिक धारणाओं में से एक है और इसे व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया गया है; स्पर्शरेखा स्थान देखें।

यह भी देखें

• अनुप्रयुक्त गणित#इंजीनियरिंग और तकनीकी इंजीनियरिंग
• पार उत्पाद
• कुल्हाड़ियों का घूमना
• कुल्हाड़ियों का अनुवाद
• सदिश स्थल

संदर्भ

पुस्तकें

• Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320
• Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022
• जॉन केसी (गणितज्ञ) (1885) पॉइंट, लाइन, सर्कल और कॉनिक सेक्शन की विश्लेषणात्मक ज्यामिति, इंटरनेट संग्रह से लिंक।
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Struik, D. J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

लेख

• Bissell, Christopher C. (1987), "Cartesian geometry: The Dutch contribution", The Mathematical Intelligencer, 9 (4): 38–44, doi:10.1007/BF03023730
• Boyer, Carl B. (1944), "Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes", Mathematics Teacher, 37 (3): 99–105, doi:10.5951/MT.37.3.0099
• Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde and space coordinates", Mathematics Teacher, 58 (1): 33–36, doi:10.5951/MT.58.1.0033
• Coolidge, J. L. (1948), "The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions", American Mathematical Monthly, 55 (2): 76–86, doi:10.2307/2305740, JSTOR 2305740
• Pecl, J., Newton and analytic geometry

बाहरी संबंध

• Coordinate Geometry topics with interactive animations

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