रैखिक उपसमष्टि

परिमित क्षेत्र F5 पर द्विविमीय सदिश समष्टि में एक-विमीय उपसमष्टि। केंद्र (0, 0), हरे रंग के वृतो द्वारा दर्शाया गया हैं, कोई भी छः-1 उपसमष्टियो के अंतर्गत आता हैं, जबकि शेष 24 बिंदु यथार्थतः एक के अंतर्गत आते हैं; एक गुण जो किसी भी क्षेत्र पर तथा सभी विमाओं 1 उपसमष्टि रखता हैं। सभी F52 (i.e. a 5 × 5 वर्ग) अच्छे दृश्यकरण के लिए चार बार प्रदर्शित किया गया हैं।

गणित में, और विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, रैखिक उपसमष्टि या सदिश उपसमष्टि एक सदिश समष्टि है जो किसी बड़े सदिश समष्टि का उपसमुच्चय है। रैखिक उपसमष्टि को साधारण तौर पर केवल उपसमष्टि कहा जाता है जब संदर्भ इसे अन्य प्रकार के उपसमष्टि से अलग करने का कार्य करता है।

परिभाषा

यदि V क्षेत्र (गणित) K पर सदिश समष्टि है और यदि W, V का उपसमुच्चय है, तो W, V का 'रैखिक उपसमष्टि' है यदि V के संचालन के अनुसार, W, K पर सदिश समष्टि है। समान रूप से, एक रिक्त उपसमुच्चय, V का उपसमष्टि है यदि, जब w₁, w₂W और के अवयव हैं α, β K के अवयव हैं, तो यह αw₁ + βw₂ का W में अनुसरण करता है।

परिणाम के रूप में, सभी सदिश समष्टि कम से कम दो (संभवतः भिन्न) रैखिक उपसमष्टियो से सुसज्जित होते हैं: शून्य सदिश समष्टि जिसमें अकेले शून्य सदिश और संपूर्ण सदिश समष्टि सम्मलित होता है। इन्हें सदिश समष्टि की विषम उपसमष्टि कहा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण I

सदिश समष्टि में V = 'R'³ (वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र R पर वास्तविक समन्वय समष्टि), W को V में सभी सदिशों के समुच्चयों के रूप में लें जिसका अंतिम घटक 0 है। तो W, V का उपसमष्टि है।

सिद्ध:

1. W में u और v दिया गया है तो इन्हें इस प्रकार u = (u₁, u₂, 0) और v = (v₁, v₂, 0) से व्यक्त किया जा सकता है। तब u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0+0) = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0)। इस प्रकार, u + v, W का भी अवयव है।
2. आपको W में और R में अदिश c दिया गया है, यदि पुनः u = (u₁, u₂, 0),तो cu = (cu₁, cu₂, c0) = (cu₁, cu₂,0) होता हैं। इस प्रकार, c'u', W का भी एक अवयव है।

उदाहरण II

मान लीजिए कि क्षेत्र पुनः R है, लेकिन अब माना की सदिश समष्टि V कार्तीय तल R² हैं। W को 'R'² के बिंदुओं (x, y) का समुच्चय मानें जैसे कि x = yहो। तब W 'R'² का उपसमष्टि हैं।

उदाहरण II सचित्र

सिद्ध:

1. माना p = (p₁, p₂) और q = (q₁, q₂) W के अवयव हों, अर्थात् समतल में बिंदु p₁ = p₂ और q₁ = q₂ हो। तब p + q = (p₁+q₁, p₂+q₂); चूंकि p₁ = p₂ और q₁ = q₂, फिर p₁ + q₁ = p₂ + q₂, इसलिए p + q, W का अवयव है।
2. मान लीजिए p = (p₁, p₂) W का अवयव हो, अर्थात, समतल में बिंदु p₁ = p₂ हो और मान लीजिए कि c 'R' में अदिश राशि है। तब cp = (cp₁, cp₂); चूंकि p₁ = p₂, फिर c.p₁ = c.p₂, इसलिए c'p', W का अवयव है।

सामान्यतया, वास्तविक समन्वय समष्टि 'R' का कोई भी उपसमुच्चयⁿ जिसे सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है, उससे उप-समष्टि प्राप्त होता हैं। (उदाहरण I में समीकरण z = 0 था, और उदाहरण II में समीकरण x = y था।)

उदाहरण III

पुनः क्षेत्र को R मानें, लेकिन अब सदिश समष्टि V को समुच्चय R मानें R से R तक के फलन होते हैं। मान लीजिए C(R) सतत फलन से युक्त उपसमुच्चय है। तब C(R), R की उपसमष्टि है^आर.

सिद्ध:

1. अवकलन से हमें पता चलता है की 0 ∈ C(R) ⊂ R^R होता हैं।
2. अवकलन से हम जानते हैं कि सतत फलनों का योग सतत होता है।
3. पुनः, हम अवकलन से जानते हैं कि सतत फलन और एक संख्या का गुणनफल सतत होता है।

उदाहरण IV

क्षेत्र और सदिश समष्टि को पहले जैसा ही रखें, लेकिन अब सभी अवकलनीय फलनो के समुच्चय Diff (R) पर विचार किया जाता हैं। पहले जैसे ही तर्क से पता चलता है कि यह भी उपसमष्टि है।

इन विषयों का विस्तार करने वाले उदाहरण फलनात्मक विश्लेषण में साधारण हैं।

उपसमष्टियों के गुण

सदिश रिक्त समष्टि की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है कि उप-समष्टियों अरिक्त हैं, और योग के अंतर्गत और अदिश गुणकों के अंतर्गत बंद (गणित) हैं। समान रूप से, उपसमष्टियो को रैखिक संयोजनों के अंतर्गत बंद होने की गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है। अर्थात्, अरिक्त समुच्चय W उपसमष्टि है यदि और केवल यदि W के परिमित समुच्चय के कई अवयवों का प्रत्येक रैखिक संयोजन भी W से संबंधित होते हैं। समतुल्य परिभाषा बताती है कि यह एक समय में दो अवयवों के रैखिक संयोजनों पर विचार करने के भी समतुल्य है।

संश्थितिक सदिश समष्टि उप समष्ट्यि W के सश्थितिक रूप से सिमित होने की कोई आवस्यकता नहीं होती हैं, परन्तु परिमित विमा उपसम्मुचय सदैव सिमित होता हैं। यही बात परिमित सह विमा के उप-समष्टियों के लिए भी सत्य (अर्थात, निरंतर रैखिक फलनों की एक सीमित संख्या द्वारा निर्धारित उप-समष्टि) होता हैं।

विवरण

उप-समष्टियों के विवरण में रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली के लिए समुच्चय समाधान, सजातीय रैखिक प्रचलिक समीकरण की प्रणाली द्वारा वर्णित यूक्लिडियन समष्टि का उपसमुच्चय, सदिश के संग्रह की रैखिक अवधि, और शून्य समष्टि, स्तंभ समष्टि और पंक्ति समष्टि सम्मलित हैं। आव्यूह (गणित) का ज्यामितीय रूप से (विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं और उसके उप-क्षेत्रों के क्षेत्र में), एक उप-समष्टि n-समष्टि में एक समतल (ज्यामिति) है जो मूल से होकर जाता है।

1-उपसमष्टि का प्राकृतिक वर्णन सभी संभावित अदिश मानों के लिए अयोज्य पहचान सदिश 'v' का अदिश गुणन है। 1-दो सदिशो द्वारा निर्दिष्ट उप-समष्टि बराबर होते हैं यदि और केवल तभी जब एक वेक्टर को अदिश गुणन के साथ दूसरे से प्राप्त किया जा सके:

$\exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}$

इस विचार को रैखिक विस्तार के साथ उच्च विमाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, लेकिन k सदिश के समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट k-समष्टि की समानता (गणित) के मानदंड इतने सरल नहीं हैं।

एक द्वैध (गणित) विवरण रैखिक फलनात्मकताओं (साधारण तौर पर रैखिक समीकरणों के रूप में क्रियान्वित) के साथ प्रदान किया जाता है। एक अयोज्य पहचान रैखिक फलनात्मक 'F' अपने कर्नेल (रैखिक बीजगणित) सह विमा 1 के उप-समष्टि F = 0 को निर्दिष्ट करता है। दो रैखिक फलात्मकताओं द्वारा निर्दिष्ट सह विमा 1 के उप-समष्टि बराबर होते हैं, यदि और केवल तभी जब एक फलनात्मक अदिश गुणन के साथ (द्वैध समष्टि में) दूसरे से प्राप्त किया जा सकता हैं:

$\exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}$

इसे समीकरणों की एक प्रणाली के साथ उच्च विमाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है। निम्नलिखित दो उपखंड इस बाद के विवरण को विस्तार से प्रस्तुत करते हैं, और शेष चार उपखंड आगे रैखिक विस्तार के विचार का वर्णन करते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली

n चर वाले रैखिक समीकरणों की किसी भी सजातीय प्रणाली के लिए समुच्चय समाधान निर्देशांक समष्टि Kⁿ में उप-समष्टि हैं :

$$\left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.$$

उदाहरण के लिए, सभी सदिशों का समुच्चय (x, y, z) (वास्तविक या परिमेय संख्याओ पर) समीकरणों को संतुष्ट करना

$$x+3y+2z=0\quad {\text{and}}\quad 2x-4y+5z=0$$

एक विमीय उप समष्टि है। अधिक सामान्यतः, कहने का तात्पर्य यह है कि n स्वतंत्र फलनों का एक समुच्चय दिया गया है, K^k में उप-स्थान का विमा n फलन के समग्र आव्यूह, A के शून्य समुच्चय का विमा होता हैं।

आव्यूह का शून्य समष्टि

Main article: शून्य समष्टि

एक परिमित-विमीय समष्टि में, रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली को एकल आव्यूह समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

$A\mathbf {x} =\mathbf {0} .$

इस समीकरण के समाधान के समुच्चय को आव्यूह के शून्य स्थान के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित उपसमष्टि आव्यूह का शून्य स्थान है

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.$

Kⁿ का प्रत्येक उपसमष्टि को कुछ आव्यूह के शून्य स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। ( § एल्गोरिथ्म अधिक सुचना के लिए नीचे देखें)।

रैखिक प्राचलिक समीकरण

K का उपसमुच्चयⁿसजातीय रैखिक प्राचलिक समीकरण की प्रणाली द्वारा वर्णित उप-उपसमष्टि है:

$\left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.$

उदाहरण के लिए, समीकरणों द्वारा प्राचलयुक्त सभी सदिशों (x,y,z) का समुच्चय

$x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}$

K³ का द्वि-विमीय उपसमष्टि है, यदि K एक संख्या क्षेत्र है (जैसे वास्तविक या परिमेय संख्याएँ)।

सदिशों का विस्तार

Main article: सदिश विस्तार

रैखिक बीजगणित में, प्राचलिक समीकरणों की प्रणाली को एकल सदिश समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.$

दाईं तरफ की अभिव्यक्ति को सदिशों (2, 5, −1) और (3, −4, 2) का रैखिक संयोजन कहा जाता है। बताया जाता है कि ये दोनों सदिशों परिणामी उपसमष्टि विस्तारित करते हैं।

सामान्य तौर पर, सदिशों का एक रैखिक संयोजन v₁, v₂, ... , v_k रूप का कोई सदिश है।

$t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.$

सभी संभावित रैखिक संयोजनों के समुच्चय का विस्तार कहा जाता है:

${\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.$

यदि सदिश v₁, ... , v_k n घटक हैं, तो उनका विस्तार Kⁿ का उपसमष्टि है। ज्यामितीय रूप से, विस्तार मूल बिंदु के माध्यम से n-विमीय समष्टि में समतल है जो बिंदु 'v'₁, ... , v_k द्वारा निर्धारित होता है।

उदाहरण

'R'³ में xz-समतल को समीकरणों द्वारा मानकीकृत किया जा सकता है

$x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.$

एक उप-समष्टि के रूप में, xz-समतल सदिश (1,0,0) और (0,0,1) द्वारा विस्तारित हुआ है। xz-तल में प्रत्येक सदिश को इन दोनों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

$(t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}$

ज्यामितीय रूप से, यह इस तथ्य से मिलता है कि xz-तल पर प्रत्येक बिंदु तक पहले (1,0,0) की दिशा में कुछ दूरी तय करके और फिर (0,0, 1 की दिशा में कुछ दूरी तय करके) मूल बिंदु से पहुंचा जा सकता है।

स्तंभ समष्टि और पंक्ति समष्टि

Main article: पंक्ति तथा स्तम्भ समष्टि

परिमित-विमीय समष्टि में रैखिक प्राचलिक समीकरणों की प्रणाली को एकल आव्यूह समीकरण के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$\mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}$

इस स्थिति में, उप-समष्टि में सदिश x के सभी संभावित मान सम्मलित हैं। रैखिक बीजगणित में, इस उप-समष्टि को आव्यूह A के स्तंभ समष्टि (या चित्र (गणित)) के रूप में जाना जाता है। यह यथार्थतः Kⁿ का उपस्थान हैं जो A के स्तम्भ सदिश द्वारा विस्तारित किया गया हैं।

एक आव्यूह का पंक्ति समष्टि उसके पंक्ति सदिश द्वारा विस्तारित किया गया उपसमष्टि है। पंक्ति समष्टि रोचक है क्योंकि यह शून्य समष्टि का लंबकोणीय पूरक है (नीचे देखें)।

स्वतंत्रता, आधार और विमा

Main articles: रैखिक स्वतंत्रता, आधार (रैखिक बीजगणित), and आयाम (सदिश स्थान)

वेक्टर यू और वी आर के इस द्वि-आयामी उप-स्थान के लिए आधार हैं³.

सामान्य तौर पर, Kⁿ का एक उप-स्थान k मापदंडों द्वारा निर्धारित (या k सदिश द्वारा विस्तारित किया गया) का विमा k है। यद्यपि की, इस नियम के अपवाद भी हैं। उदाहरण के लिए, K³ का उपस्थान तीन सदिशों (1,0,0), (0,0,1), और (2,0,3) द्वारा विस्तारित हुआ केवल xz-तल है, जिसमें समतल पर प्रत्येक बिंदु के कई अलग-अलग मान t₁, t₂, t₃ का वर्णन अपरिमित रूप से किया गया है।

सामान्य तौर पर, सदिश v₁, ... , v_k यदि रैखिकतः स्वतंत्र कहलाते हैं

$t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}$

के लिए (t₁, t₂, ... , t_k) ≠ (v₁, v₂, ... , v_k). अगर v₁, ..., v_k रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, फिर निर्देशांक t₁, ..., t_k विस्तार में एक सदिश के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

उप-समष्टि S का आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश का समुच्चय है जिसका विस्तार S है। किसी आधार में अवयवों की संख्या हमेशा उप-समष्टि के ज्यामितीय विमा के बराबर होती है। किसी उप-समष्टि के लिए किसी भी विस्तारित समुच्चय को अनावश्यक सदिश को हटाकर आधार में बदला जा सकता है (अधिक जानकारी के लिए नीचे एल्गोरिदम देखें)।

उदाहरण

मान लीजिए S, R⁴ का उपसमष्टि है समीकरणों द्वारा परिभाषित

$x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.$

फिर समष्टि (2,1,0,0) और (0,0,5,1) S के लिए आधार हैं। विशेष रूप से, उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक सदिश को दोनों आधार सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

$(2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).$

समष्टि S द्वि-आयामी है। ज्यामितीय रूप से, यह 'R'⁴ में समतल है बिंदुओं (0,0,0,0), (2,1,0,0), और (0,0,5,1) से जाता हैं।

समष्टियों पर संचालन और संबंध

समावेशन

समुच्चय समावेशन संबंध बाइनरी संबंध सभी उप-समष्टियों (किसी भी विमा के) के समुच्चय पर एक आंशिक क्रम निर्दिष्ट करता है।

उप-समष्टि कम विमा के किसी भी उप-समष्टि में स्थित नहीं हो सकता। यदि dim U = k, परिमित संख्या है, और U ⊂ W, तो dim W = k यदि U = W है।

प्रतिच्छेद

R³ में, दो अलग-अलग द्वि-विमीय उप समष्टि का प्रतिच्छेदन एक-विमीय है

सदिश समष्टि V के उप-समष्टि U और W दिए गए हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) U ∩ W := {'v' ∈ V : 'v' U और W दोनों का अवयव है} भी V का एक उपसमष्टि है।

सिद्ध:

1. माना कि 'v' और 'w' U ∩ W के अवयव हैं। फिर 'v' और 'w' U और W दोनों से संबंधित हैं। क्योंकि U उपसमष्टि है, तो 'v' + 'w' U से संबंधित है। इसी प्रकार , चूँकि W एक उपसमष्टि है, तो 'v' + 'w' W से संबंधित है। इस प्रकार, 'v' + 'w' U ∩W से संबंधित है।
2. माना कि 'v' U ∩ W से संबंधित है, और माना कि c एक अदिश राशि है। फिर 'v' U और W दोनों से संबंधित है। चूँकि U और W उप-समष्टि हैं, c'v' U और W दोनों से संबंधित है।
3. क्योकि U और W सदिश समष्टि हैं, तो '0' दोनों समुच्चयों से संबंधित है। इस प्रकार, '0' U ∩ W से संबंधित है।

प्रत्येक सदिश समष्टि V के लिए, शून्य सदिश समष्टि| समुच्चय {'0'} और V स्वयं V की उपसमष्टि हैं।

योग

यदि U और W उपसमष्टि हैं, तो उनका 'योग' उपसमष्टि है

$$U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.$$

उदाहरण के लिए, दो रेखाओं का योग वह तल है जिसमें वे दोनों समाहित हैं। योग का विमा असमानता को संतुष्ट करता है

$$\max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).$$

यहां, न्यूनतम केवल तब होता है जब एक उपसमष्टि दूसरे में समाहित होता है, जबकि अधिकतम सबसे सामान्य स्थिति में होता है। प्रतिच्छेदन का विमा और योग निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं:

$$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$$

उप-समष्टियों का समुच्चय स्वतंत्र होता है जब उप-समष्टियों के किसी भी जोड़े के बीच एकमात्र प्रतिच्छेदन विषम उप समष्टि होता है। प्रत्यक्ष योग स्वतंत्र उप-समष्टियों का योग है, जिसे $U\oplus W$ प्रकार से लिखा जाता है। एक समतुल्य पुनर्कथन यह है कि प्रत्यक्ष योग, उप-समष्टि योग है, इस स्थिति के अंतर्गत कि प्रत्येक उप-समष्टि योग की अवधि में योगदान देता है। प्रत्यक्ष योग का विमा $U\oplus W$ उप-समष्टियों के योग के समान है, लेकिन इसे छोटा किया जा सकता है क्योंकि विषम उप समष्टि की विमा शून्य है।

$$\dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)$$

उपसमष्टियों का नियम   

कार्य विधि प्रतिच्छेद तथा योग सभी उप-समष्टियों के समुच्चय को सीमित प्रतिरूपक नियम बनाते हैं, जहां {0} उप-समष्टि, सबसे छोटा अवयव, योग कार्य का समरूप अवयव है, और समान उप-समष्टि V, सबसे बड़ा अवयव है, प्रतिच्छेदन कार्य विधि का समरूप अवयव है।

लाम्बिक पूरक

यदि $V$ आंतरिक गुणन समष्टि है और $N$ का $V$ उपसमुच्चय है, फिर $N$ का लाम्बिक पूरक, निरूपित $N^{\perp }$, फिर से समष्टि है। यदि $V$ परिमित-विमीय है और $N$ उपसमष्टि है, फिर के विमा $N$ और $N^{\perp }$ पूरक संबंध $\dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)$ को संतुष्ट करता हैं। इसके अतिरिक्त, कोई भी सदिश स्वयं में लाम्बिक नहीं है इसलिए $N\cap N^{\perp }=\{0\}$ और $V$ $N$ और $N^{\perp }$का सीधा योग है। लाम्बिक पूरकों को दो बार क्रियान्वित करने से मूल उपसमष्टि वापस आ जाता है: $(N^{\perp })^{\perp }=N$ प्रत्येक उपसमष्टि $N$ के लिए। इस क्रियाविधि को निषेध के रूप में समझा जाता है ($\neg$), उप-समष्टियों की नियम को एक (संभवतः अनंत सेट) ऑर्थोपूरक नियम बनाता है (यद्यपि की वितरणात्मक नियम नहीं बना पाता है।)।

अन्य द्विरेखीय रूप वाले समष्टि में, इनमें से कुछ नहीं अपितु सभी परिणाम अभी भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए, छद्म-यूक्लिडियन रिक्त समष्टि और सिम्प्लेक्टिक सदिश समष्टि में, ऑर्थोगोनल पूरक उपस्थित हैं। यद्यापि की, इन समष्टियों में शून्य सदिश हो सकते हैं जो स्वयं के लिए लाम्बिक हैं, और परिणामस्वरूप उप-समष्टि $N$ उपस्थित हैं जैसे कि $N\cap N^{\perp }\neq \{0\}$होता हैं। परिणामस्वरूप, यह क्रियाविधि उप-समष्टियों के नियम को बूलियन बीजगणित (न ही हेटिंग बीजगणित) में नहीं बदलता है।

एल्गोरिदम

उप-समष्टियों से कार्यान्वित होने के लिए अधिकांश एल्गोरिदम में पंक्ति में कमी सम्मलित है। यह आव्यूह में प्राथमिक पंक्ति संचालन को क्रियान्वित करने की प्रक्रिया है, जब तक कि यह या तो पंक्ति स्तर रूप या निम्न पंक्ति स्तर रूप तक नहीं पहुंच पाता हैं। पंक्ति कमी में निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं:

1. कम किए गए आव्यूह में मूल के समान ही शून्य समष्टि है।
2. पंक्ति कमी से पंक्ति सदिशों की अवधि नहीं बदलती है, अर्थात कम किए गए आव्यूह में मूल के समान पंक्ति समष्टि होता है।
3. पंक्ति में कमी स्तम्भ सदिश की रैखिक निर्भरता को प्रभावित नहीं करती है।

पंक्ति स्थान का आधार

एक m×n आव्यूह A को इनपुट करते हैं ।

A के पंक्ति समष्टि के लिए आउटपुट A आधार होता हैं।

1. A को पंक्ति स्तर रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करते हैं।
2. स्तर रूप की अशून्य पंक्तियाँ A की पंक्ति समष्टि के लिए आधार हैं।

पंक्ति और स्तंभ समष्टि के लिए पंक्तिसमष्टि पर आलेख देखें।

यदि हम इसके अतिरिक्त आव्यूह A को कम पंक्ति स्तर रूप में रखते हैं, तो पंक्ति समष्टि के लिए परिणामी आधार विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। यह जाँचने के लिए एक एल्गोरिदम प्रदान करता है कि क्या दो पंक्ति समष्टि समान हैं और, विस्तार से, क्या Kⁿ के दो उप-समष्टि समान हैं।

उपसमष्टि सदस्यता

इनपुट A आधार {b₁, b₂, ..., b_k} Kⁿ के उप-समष्टि S के लिए, और n घटकों के साथ सदिश 'v' होता हैं।

'आउटपुट' यह निर्धारित करता है कि 'v' S का अवयव है या नहीं हैं।

1. एक (k+1)×n आव्यूह A बनाएं जिसकी पंक्तियाँ सदिश 'b'₁, ... , b_k और v होंती है।  
2. A को पंक्ति स्तर रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करते हैं।
3. यदि स्तर रूप में शून्यों की पंक्ति है, तो सदिश {b₁, ..., b_k, v} और v ∈ S रैखिक रूप से निर्भर हैं।

स्तंभ स्थान का आधार

एक m × n आव्यूह A इनपुट होता हैं।

'A के स्तम्भ समष्टि के लिए आउटपुट Aआधार होता हैं।

1. A को पंक्ति स्तर रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग किया जाता हैं।
2. निर्धारित करें कि स्तर प्रपत्र के किन स्तंभों में पंक्ति स्तर रूप है। मूल आव्यूह के संबंधित स्तम्भ, स्तम्भ समष्टि के लिए आधार हैं।

स्तम्भ समष्टि आधार के लिए स्तम्भ समष्टि पर लेख देखें।

यह स्तम्भ समष्टि के लिए आधार निर्मित करता है जो मूल स्तम्भ सदिश का उपसमुच्चय है। यह काम करता है क्योंकि धुरी वाले स्तंभ स्तर रूप के स्तंभ स्थान के लिए आधार हैं, और पंक्ति में कमी स्तंभों के बीच रैखिक निर्भरता संबंधों को नहीं बदलती है।

एक सदिश के लिए निर्देशांक

एक आधार {b₁, b₂, ..., b_k} Kⁿ के उप-समष्टि S के लिए, और एक सदिश v ∈ S इनपुट होता हैं।

संख्या t₁, t₂, ..., t_k ऐसा है कि v = t₁b₁ + ··· + t_kb_k आउटपुट किया जाता हैं।

1. एक संवर्धित आव्यूह A बनाएं जिसके स्तम्भ b₁,...,bk , अंतिम स्तम्भ v है।
2. A को कम पंक्ति स्तर रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करते हैं।
3. घटे हुए स्तर रूप के अंतिम स्तंभ को पहले k स्तंभों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं। प्रयुक्त गुणांक t₁, t₂, ..., t_k वांछित संख्याएँ हैं (ये कम किए गए इकोलोन फॉर्म के अंतिम कॉलम में बिल्कुल पहली k प्रविष्टियाँ होनी चाहिए।)

यदि कम पंक्ति स्तर प्रपत्र के अंतिम स्तम्भ में एक धुरी है, तो इनपुट वेक्टर 'v' S में नहीं है।

शून्य समष्टि का आधार

एक m × n आव्यूह A इनपुट करते हैं।

A के शून्य समष्टि के लिए एक आधार आउटपुट होता हैं।

1. A को छोटी पंक्ति के स्तर रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करते हैं।
2. कम पंक्ति स्तर प्रपत्र का उपयोग करके, निर्धारित करें कि x₁, x₂, ..., x_n कौन सा चर मुक्त हैं। आश्रित चर के लिए मुक्त चर के संदर्भ में समीकरण लिखा जाता हैं ।
3. प्रत्येक स्वतंत्र चर x_i के लिए, जिसके लिए शून्य समष्टि में एक सदिश चुना जाता हैं x_i = 1 और शेष मुक्त चर शून्य हैं। सदिशों का परिणामी संग्रह A के शून्य स्थान का आधार है।

कर्नेल (आव्यूह)#आधार के लिए शून्य स्थान पर लेख देखें।

दो उपसमष्टियों के योग और प्रतिच्छेदन का आधार

दो उपसमष्टि U और W का V दिए गए हैं, योग का एक आधार $U+W$ और प्रतिच्छेद $U\cap W$ ज़ैसेनहौस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

उपसमष्टि के लिए समीकरण

एक आधार {बी₁, बी₂, ..., बी_k} K के उप-समष्टि Sⁿ के लिए इनपुट किया जाता हैं।

एक (n − k) × n आव्यूह जिसका शून्य स्थान S 'आउटपुट' किया जाता है।

1. एक आव्यूह A बनाएं जिसकी पंक्तियाँ हैं b₁, b₂, ..., b_k होती हैं।
2. A को कम पंक्ति स्तर रूप में रखने के लिए प्रारंभिक पंक्ति संचालन का उपयोग करते हैं।
3. माना c₁, c₂, ..., c_n कम पंक्ति स्तर प्रपत्र के स्तंभ बनते हैं। धुरी के बिना प्रत्येक स्तंभ के लिए, स्तंभ को धुरी वाले स्तंभों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हुए समीकरण लिखते हैं।
4. इसका परिणाम n - k रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली में होता है जिसमें चर 'c' सम्मलित होते c₁,...,c_n होता हैं। (n − k) × n} इस प्रणाली के अनुरूप आव्यूह शून्य समष्टि S के साथ वांछित आव्यूह है।

उदाहरण

यदि A का लघु पंक्ति स्तर रूप है

$\left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]$

फिर स्तम्भ सदिश c₁, ..., c₆ समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि A के पंक्ति सदिश समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

${\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}$

विशेष रूप से, A के पंक्ति सदिश संबंधित आव्यूह के शून्य स्थान के लिए आधार हैं।

यह भी देखें

• चक्रीय उपस्थान
• अपरिवर्तनीय उपस्थान
• मल्टीलिनियर सबस्पेस लर्निंग
• भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)
• सिग्नल उपस्थान
• सबस्पेस टोपोलॉजी

स्रोत

पाठ्यपुस्तक

• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Axler, Sheldon Jay (2015). रैखिक बीजगणित सही ढंग से किया गया (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
• Hefferon, Jim (2020). लीनियर अलजेब्रा (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
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• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
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• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3

वेब

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• DuChateau, Paul (5 Sep 2002). "हिल्बर्ट स्पेस के बारे में बुनियादी तथ्य" (PDF). Colorado State University. Retrieved 17 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

बाहरी संबंध

• Strang, Gilbert (7 May 2009). "The four fundamental subspaces". Archived from the original on 2021-12-11. Retrieved 17 Feb 2021 – via YouTube.
• Strang, Gilbert (5 May 2020). "The big picture of linear algebra". Archived from the original on 2021-12-11. Retrieved 17 Feb 2021 – via YouTube.