लीनियर अलजेब्रा

त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में, ये तीन समतल रैखिक समीकरणों के हल का प्रतिनिधित्व करते हैं, और उनका प्रतिच्छेदन सामान्य समाधानों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है: इस स्थिति में, एक अद्वितीय बिंदु नीली रेखा इनमें से दो समीकरणों का सामान्य हल है।

रैखिक बीजगणित, रैखिक समीकरणों से संबंधित गणित की शाखा है जैसे:

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,$

रैखिक मानचित्र जैसे:

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$

और सदिश समष्टियों में और आव्यूह के माध्यम से उनका प्रतिनिधित्व है।

रैखिक बीजगणित गणित के लगभग सभी क्षेत्रों का केंद्र है। उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित ज्यामिति की आधुनिक प्रस्तुतियों में मौलिक है, जिसमें रेखाओं, समतलों और घूर्णन जैसी बुनियादी वस्तुओं को परिभाषित करना सम्मिलित है। साथ ही, कार्यात्मक विश्लेषण, गणितीय विश्लेषण की एक शाखा को फलनों के समष्टियों पर रैखिक बीजगणित के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है।

रैखिक बीजगणित का उपयोग अधिकांश विज्ञानों और अभियांत्रिकी के क्षेत्रों में भी किया जाता है, क्योंकि यह कई प्राकृतिक घटनाओं के मॉडलिंग और ऐसे प्रतिरूपों के साथ कुशलतापूर्वक अभिकलन की अनुमति देता है। गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए, जिन्हें रैखिक बीजगणित के साथ मॉडल नहीं किया जा सकता है, इसका उपयोग प्रायः प्रथम-क्रम सन्निकटन से व्यवहार के लिए किया जाता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक बिंदु पर एक बहुभिन्नरूपी फलन का अंतर रैखिक मानचित्र है जो उस बिंदु के निकट फलन का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।

इतिहास

See also: निर्धारक § इतिहास, and गाऊसी विलोपन § इतिहास

एक साथ रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए प्रक्रिया (गणना के प्रभुत्व का उपयोग करके) जिसे अब गाउसी उन्मूलन कहा जाता है, प्राचीन चीनी गणितीय पाठ अध्याय आठ: गणितीय कला पर नौ अध्यायों की आयताकार सारणी में दिखाई देती है। इसका उपयोग दो से पांच समीकरणों के साथ अठारह समस्याओं में दर्शाया गया है।

1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा ज्यामिति में निर्देशांक के प्रारम्भ के साथ यूरोप में रैखिक समीकरणों की प्रणाली उत्पन्न हुई। वास्तव में, इस नई ज्यामिति में, जिसे अब कार्तीय ज्यामिति कहा जाता है, रेखाओं और समतलों को रैखिक समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है और उनके प्रतिच्छेदन की गणना रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के बराबर होती है।

रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए पहली व्यवस्थित विधियों में निर्धारकों का उपयोग किया गया था और पहली बार 1693 में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा विचार किया गया था। 1750 में, गेब्रियल क्रैमर ने रैखिक प्रणालियों के स्पष्ट समाधान देने के लिए उनका उपयोग किया था, जिसे अब क्रैमर का नियम कहा जाता है। बाद में, गॉस ने उन्मूलन की विधि का और वर्णन किया, जिसे प्रारंभ में भूगणित में प्रगति के रूप में सूचीबद्ध किया गया था।

1844 में हरमन ग्रासमैन ने अपना "विस्तार का सिद्धांत" प्रकाशित किया जिसमें आज के रैखिक बीजगणित कहे जाने वाले मूलभूत नए विषय सम्मिलित थे। 1848 में, जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर ने आव्यूह पद प्रस्तुत किया, जो वॉम्ब के लिए लैटिन है।

सम्मिश्र समतल में विख्यात किए गए विचारों के साथ रैखिक बीजगणित का विकास हुआ। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C}$ में दो संख्याओं w तथा z में w – z का अंतर है और रेखा खंड wz तथा 0(w − z) समान लंबाई और दिशा के हैं। खंड समध्रुवक हैं। चतुर्भुजों की चार-आयामी प्रणाली $\mathbb {H}$ की खोज 1843 में डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन द्वारा की गई थी। सदिश पद को समष्टि में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करने वाले v = xi + yj + zk के रूप में प्रस्तुत किया गया था। चतुष्कोणीय अंतर p – q भी pq से समतुल्य एक खंड उत्पन्न करता है। अन्य अतिमिश्र संख्या प्रणालियों ने भी एक आधार के साथ एक रैखिक समष्टि के विचार का उपयोग किया।

आर्थर केली ने 1856 में आव्यूह गुणन और व्युत्क्रम आव्यूह का प्रारम्भ किया, जिससे सामान्य रैखिक समूह संभव हो गया। समूह प्रतिनिधित्व की क्रियाविधि सम्मिश्र और अति सम्मिश्र संख्याओं का वर्णन करने के लिए उपलब्ध हो गयी। महत्वपूर्ण रूप से, केली ने एक आव्यूह को निरूपित करने के लिए एक अक्षर का उपयोग किया, इस प्रकार एक आव्यूह को एक समग्र वस्तु के रूप में माना गया। उन्होंने आव्यूहों और निर्धारकों के मध्य के संबंध को भी अनुभव किया और लिखा, "आव्यूहों के इस सिद्धांत के विषय में कहने के लिए बहुत सी बातें होंगी, जो मुझे ऐसा लगता है, निर्धारकों के सिद्धांत से पहले होनी चाहिए"।

बेंजामिन पीयर्स ने अपना रैखिक साहचर्य बीजगणित (1872) प्रकाशित किया और उनके बेटे चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स ने बाद में इस कार्य को आगे बढ़ाया।

तारयंत्र को एक व्याख्यात्मक प्रणाली की आवश्यकता थी और 1873 में विद्युत और चुंबकत्व पर एक ग्रंथ के प्रकाशन ने बलों के क्षेत्र सिद्धांत की स्थापना की और अभिव्यक्ति के लिए विभेदक ज्यामिति की आवश्यकता थी। रैखिक बीजगणित समतल विभेदक ज्यामिति है और कई गुना तक स्पर्शरेखा समष्टियों में कार्य करता है। दिक्काल की विद्युत चुम्बकीय समरूपता लोरेंत्ज़ परिवर्तनों द्वारा व्यक्त की जाती हैं और रैखिक बीजगणित का अधिकांश इतिहास लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का इतिहास है।

सदिश समष्टि की पहली आधुनिक और अधिक सटीक परिभाषा 1888 में पियानो द्वारा प्रस्तुत की गई थी;1900 तक, परिमित-आयामी सदिश समष्टि के रैखिक परिवर्तनों का एक सिद्धांत सामने आया था। रैखिक बीजगणित ने अपना आधुनिक रूप बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में प्राप्त किया, जब पिछली शताब्दियों के कई विचारों और विधियों को अमूर्त बीजगणित के रूप में सामान्यीकृत किया गया था। अभिकलक के विकास ने गाऊसी उन्मूलन और आव्यूह अपघटन के लिए कुशल कलन विधियों में अनुसंधान में वृद्धि की और रैखिक बीजगणित मॉडलिंग और अनुकरण के लिए एक आवश्यक उपकरण बन गया।

सदिश समष्टि

Main article: सदिश समष्टि

19वीं सदी तक, रैखिक बीजगणित को रैखिक समीकरणों और आव्यूहों की प्रणालियों के माध्यम से प्रस्तुत किया गया था। आधुनिक गणित में, सदिश समष्टि के माध्यम से प्रस्तुति को सामान्यतः प्राथमिकता दी जाती है, क्योंकि यह अधिक संश्लिष्ट है, अधिक सामान्य (परिमित-आयामी स्थिति तक सीमित नहीं), और वैचारिक रूप से सरल है, हालांकि अधिक अमूर्त है।

क्षेत्र F (प्रायः वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र) एक पर एक सदिश समष्टि एक समुच्चय V है जो निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले दो द्विआधारी संक्रियाओं से सुसज्जित है। V के अवयवों को सदिश कहा जाता है और F के अवयवों को अदिश कहा जाता है। पहली संक्रिया, सदिश जोड़, किन्हीं दो सदिशों v तथा w को लेती है और तीसरा सदिश v + w उत्पादित करता है। दूसरी संक्रिया, अदिश गुणन, कोई भी अदिश a और कोई सदिश v को लेती है और एक नया सदिश av उत्पादित करती है। जोड़ और अदिश गुणन को संतुष्ट करने वाले सिद्धांत निम्नलिखित हैं (नीचे दी गई सूची में, u, v तथा w, V के यादृच्छिक अवयव हैं और a तथा b क्षेत्र F में यादृच्छिक अदिश है)।

स्‍वयंसिद्ध	अभिप्राय
जोड़ की संबद्धता	u + (v + w) = (u + v) + w
जोड़ की क्रमविनिमेयता	u + v = v + u
जोड़ का तत्समक अवयव	V में एक अवयव 0 उपस्थित है, जिसे शून्य वेक्टर (या बस शून्य) कहा जाता है, जैसे कि V में सभी v के लिए v + 0 = v है।
जोड़ के व्युत्क्रम अवयव	V में प्रत्येक v के लिए, V में एक अवयव −v उपस्थित है, जिसे v, का योज्य व्युत्क्रम कहा जाता है, जैसे कि v + (−v) = 0 है।
सदिश जोड़ के संबंध में अदिश गुणन की वितरणशीलता	a(u + v) = au + av
क्षेत्र जोड़ के संबंध में अदिश गुणन की वितरणशीलता	(a + b)v = av + bv
क्षेत्र गुणन के साथ अदिश गुणन की अनुकूलता	a(bv) = (ab)v
अदिश गुणन का तत्समक अवयव	1v = v, जहां 1, F की गुणात्मक तत्समक को दर्शाता है।

पहले चार स्वयंसिद्धों का अर्थ है कि V जोड़ के अंतर्गत एक अबेलियन समूह है।

एक विशिष्ट सदिश समष्टि के एक अवयव की प्रकृति भिन्न हो सकती है; उदाहरण के लिए, यह एक अनुक्रम, एक फलन, एक बहुपद या एक आव्यूह हो सकता है। रैखिक बीजगणित ऐसी वस्तुओं के उन गुणों से संबंधित है जो सभी सदिश समष्टियों के लिए सामान्य हैं।

रैखिक मानचित्र

Main article: रेखीय मानचित्र

रैखिक मानचित्र सदिश समष्टियों के मध्य मानचित्रण हैं जो सदिश-समष्टि संरचना को संरक्षित करते हैं। F पर दो सदिश समष्टि V तथा W दिए गए हैं, एक रैखिक मानचित्र (जिसे कुछ संदर्भों में, रैखिक परिवर्तन या रैखिक मानचित्रण भी कहा जाता है) एक मानचित्र है।

$T:V\to W$

जो जोड़ और अदिश गुणन के साथ संगत है, अर्थात

$T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )$

V में किसी भी सदिश u,v और F में अदिश a के लिए,

इसका तात्पर्य है कि V में किसी भी सदिश u, v और F में अदिश a, b के लिए, किसी के पास है।

$T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )$

जब V = W समान सदिश समष्टि हो, तो एक रैखिक मानचित्र T : V → V को V पर एक रैखिक प्रचालक के रूप में भी जाना जाता है।

दो सदिश समष्टियों के मध्य एक द्विभाजित रैखिक मानचित्र (अर्थात्, दूसरी समष्टि से प्रत्येक सदिश ठीक पहले में से एक के साथ जुड़ा हुआ है) एक समरूपता है, क्योंकि एक समरूपता रैखिक संरचना को संरक्षित करती है, दो समरूपी सदिश समष्टि रैखिक बीजगणित के दृष्टिकोण से "अनिवार्य रूप से समान" होते हैं, इस अर्थ में कि उन्हें सदिश समष्टि गुणों का उपयोग करके अलग नहीं किया जा सकता है। रैखिक बीजगणित में एक आवश्यक प्रश्न यह परीक्षण करना है कि क्या एक रैखिक मानचित्र एक समरूपता है या नहीं, और, यदि यह एक समरूपता नहीं है, इसकी सीमा (या छवि) और अवयवों के समुच्चय का पता लगाना, जो शून्य सदिश पर मैप किए जाते हैं, जिसे मानचित्र का कर्नेल (रैखिक प्रचालक) कहा जाता है। इन सभी प्रश्नों को गाऊसी उन्मूलन या इस कलन विधि के कुछ प्रकार का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

उप-समष्टि, विस्तार, और आधार

Main articles: रैखिक उप-समष्टि, रैखिक विस्तार, and आधार (रैखिक बीजगणित)

सदिश समष्टियों के उन उपसमुच्चयों का अध्ययन जो प्रेरित संक्रियाओं के अंतर्गत स्वयं सदिश समष्टियाँ हैं, मौलिक है, इसी प्रकार कई गणितीय संरचनाओं के लिए है। इन उपसमुच्चयों को रैखिक उपसमष्टि कहा जाता है। अधिक सटीकता से, क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V की एक रैखिक उप-समष्टि, V का एक उपसमुच्चय W है, जैसे कि u + v और au में W हैं, प्रत्येक u के लिए, W में v, F में प्रत्येक a है ये स्थितियाँ पर्याप्त हैं) यह बताने के लिए कि W एक सदिश समष्टि है)।

उदाहरण के लिए, एक रैखिक मानचित्र T : V → W दिया गया है, V की छवि T(V) और 0 की व्युत्क्रम छवि T⁻¹(0) (कर्नेल या शून्य समष्टि कहा जाता है), W और V , क्रमशः रैखिक उप-समष्टि हैं।

एक उप-समष्टिबनाने का एक अन्य महत्वपूर्ण तरीका सदिशों के समुच्चय S के रैखिक संयोजनों पर विचार करना है: सभी योगों का समुच्चय

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},$

जहाँ v₁, v₂, ..., v_k, S में हैं और a₁, a₂, ..., a_k, F में एक रैखिक उपसमष्टि बनाते हैं जिसे S का विस्तार कहा जाता है। S का विस्तार S युक्त सभी रैखिक उप-समष्टियों का प्रतिच्छेदन भी है। दूसरे शब्दों में, यह S युक्त सबसे छोटी (समावेशन संबंध के लिए) रैखिक उपसमष्टि है।

सदिशों का एक समुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि उनमें से कोई भी दूसरे के विस्तार में नहीं है। समान रूप से, सदिश का एक समुच्चय S रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है यदि शून्य सदिश S के अवयवों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने का एकमात्र तरीका प्रत्येक गुणांक a_i के लिए शून्य लेना है।

सदिशों का एक समुच्चय जो एक सदिश समष्टि को विस्तरित करता है, उसे विस्तरित समुच्चय या जनक समुच्चय कहा जाता है। यदि एक विस्तरित समुच्चय S रैखिक रूप से निर्भर है (जो रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है), तो S के कुछ अवयव w, S के अन्य अवयवों के विस्तार में है और यदि कोई S से w हटा देता है, तो विस्तार वही रहेगा। एक रैखिक रूप से स्वतंत्र विस्तरित समुच्चय प्राप्त होने तक कोई S के अवयवों को हटाना जारी रख सकता है। ऐसा रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय जो एक सदिश समष्टि V को विस्तरित करता है, V का आधार कहलाता है। आधारों का महत्व इस तथ्य में निहित है कि वे एक साथ न्यूनतम जनक समुच्चय और अधिकतम स्वतंत्र समुच्चय हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि S एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय है और T एक विस्तरित समुच्चय है जैसे कि S ⊆ T, तो एक आधार B है जैसे कि S ⊆ B ⊆ T है।

सदिश समष्टि V के किन्हीं दो आधारों की प्रमुखता समान होती है, जिसे V का आयाम कहा जाता है; यह सदिश समष्टि के लिए आयाम प्रमेय है। इसके अतिरिक्त, एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश समष्टि समरूपी हैं यदि और केवल तभी जब उनका आयाम समान हो।

यदि V के किसी भी आधार (और इसलिए प्रत्येक आधार) में अवयवों की एक सीमित संख्या है, तो V एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि है। यदि U, V की एक उपसमष्टि है, तो dim U ≤ dim V है। ऐसी स्थिति में, जहां V परिमित-आयामी है, आयामों की समानता का तात्पर्य U = V है।

यदि U₁ और U₂, V की उप-समष्टियाँ हैं, तो

$\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),$

जहाँ U₁ + U₂, U₁ ∪ U₂ के विस्तार को दर्शाता है।

आव्यूह

Main article: आव्यूह (गणित)

आव्यूह परिमित-आयामी सदिश समष्टि और रैखिक मानचित्रों के स्पष्ट प्रकलन की अनुमति देते हैं। इस प्रकार उनका सिद्धांत रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण भाग है।

मान लीजिए कि V एक क्षेत्र F पर एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि है और (v₁, v₂, ..., v_m), V का आधार है (इस प्रकार m, V का आयाम है)। आधार की परिभाषा के अनुसार, मानचित्र

${\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}$

F^m से एक आक्षेप है, F के m के अवयवों के अनुक्रमों का समुच्चय V पर है। यह सदिश समष्टि की एक समरूपता है, यदि F^m सदिश समष्टि की अपनी मानक संरचना से सुसज्जित है, जहाँ सदिश योग और अदिश गुणन घटक दर घटक किया जाता है।

यह समरूपता इस समरूपता के अंतर्गत एक सदिश को उसकी व्युत्क्रम छवि द्वारा प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, अर्थात समन्वय सदिश (a₁, ..., a_m) या स्तम्भ आव्यूह द्वारा;

${\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.$

यदि W एक अन्य परिमित आयामी सदिश समष्टि (संभवतः समान) है, जिसका आधार (w₁, ..., w_n) है, तो W से V तक एक रैखिक मानचित्र f को आधार अवयवों पर इसके मानों द्वारा अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, अर्थात (f(w₁), ..., f(w_n)) है। इस प्रकार, f को संबंधित स्तम्भ मैट्रिसेस की सूची द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया गया है। अर्थात, यदि

$f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m},$

j = 1, ..., n के लिए, फिर f को m पंक्तियों और n स्तंभों वाले आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है।

${\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},$

आव्यूह गुणन को इस तरह से परिभाषित किया गया है कि दो आव्यूहों का गुणनफल संबंधित रैखिक मानचित्रों की संरचना का आव्यूह है और एक आव्यूह और एक स्तम्भ आव्यूह का गुणनफल स्तम्भ आव्यूह है जो प्रतिनिधित्व किए गए रैखिक मानचित्र को अनुप्रयुक्त करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यह इस प्रकार है कि परिमित-आयामी सदिश समष्टि का सिद्धांत और मैट्रिसेस का सिद्धांत बिल्कुल समान अवधारणाओं को व्यक्त करने के लिए दो अलग-अलग भाषाएं हैं।

दो आव्यूह जो अलग-अलग आधारों में एक ही रैखिक परिवर्तन को कूटबद्ध करते हैं, उन्हें समान (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो आव्यूह समान हैं यदि और केवल तभी जब कोई प्राथमिक पंक्ति और स्तंभ संचालन द्वारा एक को दूसरे में बदल सके। W से V तक एक रैखिक मानचित्र का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूह के लिए, पंक्ति संचालन V में आधारों के परिवर्तन के अनुरूप होते हैं और स्तम्भ संचालन W में आधारों के परिवर्तन के अनुरूप होते हैं। प्रत्येक आव्यूह एक तत्समक आव्यूह के समान होता है जो संभवतः शून्य पंक्तियों और शून्य स्तंभों से घिरा होता है। सदिश समष्टि के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि, W से V तक किसी भी रैखिक मानचित्र के लिए, ऐसे आधार हैं कि W के आधार का एक भाग V के आधार के एक भाग पर विशेष रूप से मैप किया गया है और शेष आधार अवयव W, यदि कोई हो, शून्य पर मैप किया जाता है। गाऊसी उन्मूलन इन प्राथमिक परिचालनों को खोजने और इन परिणामों को सिद्ध करने के लिए मूलभूत कलन विधि है।

रैखिक प्रणाली

Main article: रैखिक समीकरणों की प्रणाली

चरों के एक परिमित समुच्चय में रैखिक समीकरणों का परिमित समुच्चय, उदाहरण के लिए, x₁, x₂, ..., x_n, या x, y, ..., z को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली या एक रैखिक प्रणाली कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ रैखिक बीजगणित का एक मूलभूत भाग बनती हैं। ऐतिहासिक रूप से, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित और आव्यूह सिद्धांत विकसित किया गया है। सदिश समष्टियों और आव्यूहों के माध्यम से रैखिक बीजगणित की आधुनिक प्रस्तुति में, कई समस्याओं की व्याख्या रैखिक प्रणालियों के संदर्भ में की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}$

(S)

एक रैखिक प्रणाली है।

ऐसी प्रणाली के साथ, कोई इसके आव्यूह को जोड़ सकता है।

$M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].$

और इसका दायां घटक सदिश

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.$

मान लीजिए कि T आव्यूह M से संबद्ध रैखिक परिवर्तन है। प्रणाली (S) का एक समाधान एक सदिश है।

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

जैसे कि

$T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,$

यह T द्वारा v की पूर्वछवि का एक अवयव है।

मान लीजिए कि (S′) संबद्ध समरूप प्रणाली है, जहां समीकरणों के दाहिने पक्ष को शून्य पर रखा गया है:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}$

(S′)

(S′) के समाधान बिल्कुल T या, समकक्ष, M के कर्नेल के अवयव हैं।

गाऊसी-उन्मूलन में संवर्धित आव्यूह पर प्राथमिक पंक्ति संचालन करना सम्मिलित है।

$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

इसे निचली पंक्ति के सोपानक रूप में रखने के लिए है। ये पंक्ति संक्रियाएँ समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के समुच्चय को नहीं बदलती हैं। उदाहरण में, न्यूनीकृत सोपानक रूप है

$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],$

यह दर्शाता है कि प्रणाली (S) के पास अद्वितीय हल है।

${\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}$

रैखिक प्रणालियों की इस आव्यूह व्याख्या से यह पता चलता है कि रैखिक प्रणालियों को हल करने, आव्यूह और रैखिक परिवर्तनों पर कई परिचालनों के लिए समान विधियों को अनुप्रयुक्त किया जा सकता है, जिसमें श्रेणी, कर्नेल (रैखिक बीजगणित), आव्यूह व्युत्क्रम की गणना सम्मिलित है।

अंतःरूपता और वर्ग मैट्रिसेस

Main article: वर्ग आव्यूह

एक रैखिक अंतःरूपता एक रैखिक मानचित्र है जो एक सदिश समष्टि V को स्वयं में मैप करता है। यदि V में n अवयवों का आधार है, तो ऐसे अंतःरूपता को n आकार के एक वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है।

सामान्य रैखिक मानचित्रों के संबंध में, रैखिक अंतःरूपता और वर्ग मैट्रिसेस में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो उनके अध्ययन को रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण भाग बनाते हैं, जिसका उपयोग गणित के कई भागों में किया जाता है, जिसमें ज्यामितीय परिवर्तन, समन्वय परिवर्तन, द्विघात रूप और कई अन्य भाग सम्मिलित हैं।

निर्धारक

Main article: निर्धारक

एक वर्ग आव्यूह A के निर्धारक को परिभाषित किया गया है।

$\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},$

जहाँ S_n,n अवयवों के सभी क्रमचयों का समूह है, σ एक क्रमचय है और (−1)^σ क्रमचय की समता है। एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि और केवल यदि निर्धारक व्युत्क्रमणीय है (अर्थात्, यदि अदिश किसी क्षेत्र से संबंधित है तो शून्येतर)।

क्रैमर का नियम, निर्धारकों के संदर्भ में, n अज्ञात में n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान की एक संवृत्त -रूप अभिव्यक्ति है। क्रैमर का नियम समाधान के विषय में तर्क करने के लिए उपयोगी है, परन्तु n = 2 या 3 को छोड़कर, किसी समाधान की गणना के लिए इसका उपयोग सम्भवतः ही कभी किया जाता है, क्योंकि गाऊसी उन्मूलन एक तीव्र कलन विधि है।

अंतःरूपता का निर्धारक कुछ क्रमबद्ध आधार के संदर्भ में अंतःरूपता का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूह का निर्धारक है। यह परिभाषा समझ में आती है, क्योंकि यह निर्धारक आधार के चयन से स्वतंत्र है।

आइगेन-मान एवं आइगेन-सदिश

Main article: आइगेन-मान एवं आइगेन-सदिश

यदि f एक क्षेत्र F पर एक सदिश समष्टि V की एक रैखिक अंतःरूपता है, तो f का एक आइगेन-सदिश, V का एक अशून्य सदिश v है, जैसे कि कुछ अदिश a के लिए f(v) = av है। यह अदिश a, f का एक आइगेन-मान है।

यदि V का आयाम परिमित है, और एक आधार चुना गया है, तो f और v को क्रमशः एक वर्ग आव्यूह M और एक स्तम्भ आव्यूह z द्वारा दर्शाया जा सकता है; आइगेन-सदिशों और आइगेन-मानों को परिभाषित करने वाला समीकरण बन जाता है।

$Mz=az.$

तत्समक आव्यूह I का उपयोग करते हुए, जिसकी सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, मुख्य विकर्ण को छोड़कर, जो एक के बराबर हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है।

$(M-aI)z=0.$

जैसा कि z अशून्य माना जाता है, इसका अर्थ है कि M – aI एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है और इस प्रकार इसका निर्धारक det (M − aI) शून्य के बराबर है। इस प्रकार आइगेन-मान बहुपद के मूल हैं।

$\det(xI-M).$

यदि V आयाम n का है, तो यह डिग्री n का एक मोनिक बहुपद है, जिसे आव्यूह (या अंतःरूपता) का विशेषता बहुपद कहा जाता है और अधिकतम, n आइगेन-मान हैं।

यदि कोई आधार उपस्थित है जिसमें केवल आइगेन-सदिश सम्मिलित हैं,तो इस आधार पर f के आव्यूह की एक बहुत ही सरल संरचना होती है: यह एक विकर्ण आव्यूह है, जैसे कि मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ आइगेन-मान हैं और अन्य प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इस स्थिति में, अंतःरूपता और आव्यूह को विकर्णीय आव्यूह कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, एक अंतःरूपता और एक आव्यूह को भी विकर्णीय कहा जाता है, यदि वे अदिश के क्षेत्र का विस्तार करने के बाद विकर्णीय हो जाते हैं। इस विस्तारित अर्थ में, यदि विशेषता बहुपद वर्ग-मुक्त है, तो आव्यूह विकर्णीय है।

एक सममित आव्यूह सदैव विकर्णीय होता है। गैर-विकर्ण आव्यूह हैं, जो सबसे सरल हैं

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

(यह विकर्णीय नहीं हो सकता क्योंकि इसका वर्ग शून्य आव्यूह है और अशून्य विकर्ण आव्यूह का वर्ग कभी शून्य नहीं होता है)।

जब एक अंतःरूपता विकर्णीय नहीं होती है, तो ऐसे आधार होते हैं जिन पर इसका एक सरल रूप होता है, हालांकि विकर्ण रूप जितना सरल नहीं होता है। फ्रोबेनियस सामान्य रूप को स्केलर के क्षेत्र को विस्तारित करने की आवश्यकता नहीं होती है और आव्यूह पर विशेषता बहुपद को तुरंत पढ़ने योग्य बनाता है। जॉर्डन सामान्य रूप में सभी आइगेन-मानों ​​​​को समाहित करने के लिए अदिश के क्षेत्र का विस्तार करने की आवश्यकता होती है, और विकर्ण रूप से केवल कुछ प्रविष्टियों द्वारा भिन्न होता है जो मुख्य विकर्ण के ठीक ऊपर होते हैं और 1 के बराबर होते हैं।

द्विविधता

Main article: द्वैत समष्‍टि

एक रैखिक रूप एक सदिश समष्टि V से क्षेत्र F के क्षेत्र F तक का एक रैखिक मानचित्र है, जिसे अपने ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में देखा जाता है। एक अदिश द्वारा बिंदुवार जोड़ और गुणन से सुसज्जित, रैखिक रूप एक सदिश समष्टि बनाते हैं, जिसे V की द्वैत समष्टि कहा जाता है और सामान्यतः V* या V′ को दर्शाया जाता है।

यदि v₁, ..., v_n, V का एक आधार है (इसका अर्थ है कि V परिमित-आयामी है), तो कोई i = 1, ..., n, के लिए एक रैखिक मानचित्र v_i* को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि v_i*(v_i) = 1 और v_i*(v_j) = 0 यदि j ≠ i हैं। ये रैखिक मानचित्र V* का आधार बनाते हैं, जिसे v₁, ..., v_n का द्वैत आधार कहा जाता है (यदि V परिमित-आयामी नहीं है, तो v_i* इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है; वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, लेकिन कोई आधार नहीं बनाते हैं)।

V में v के लिए, मानचित्र

$f\to f(\mathbf {v} )$

V* पर एक रैखिक रूप है। यह विहित रैखिक मानचित्र को V से (V*)* में परिभाषित करता है, V* का द्वैत, जिसे V का द्वि-द्वैत कहा जाता है। यह विहित मानचित्र एक समरूपता है यदि V परिमित-आयामी है और यह V को उसके द्वि-द्वैत के साथ पहचानने की अनुमति देता है (अनंत आयामी स्थिति में, विहित मानचित्र विशेषणात्मक है, लेकिन विशेषणात्मक नहीं है)।

इस प्रकार एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि और उसके द्वैत के मध्य एक पूर्ण समरूपता है। इस संदर्भ में, यह ब्रा-केट संकेतन के नियमित उपयोग को प्रेरित करता है।

$\langle f,\mathbf {x} \rangle$

f(x) को दर्शाने के लिए है।

द्वैत मानचित्र

Main article: एक रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण

मान लीजिए कि

$f:V\to W$

एक रैखिक मानचित्र है। W पर प्रत्येक रैखिक रूप h के लिए, समग्र फलन h ∘ f , V पर एक रैखिक रूप है। यह एक रैखिक मानचित्र को परिभाषित करता है।

$f^{*}:W^{*}\to V^{*}$

द्वैत समष्टियों के मध्य, जिसे f का द्वैत या स्थानान्तरण कहा जाता है।

यदि V और W परिमित आयामी हैं और M कुछ क्रमित आधारों के संदर्भ में f का आव्यूह है, तो द्वैत आधारों पर f* का आव्यूह M का स्थानांतर M^T है, जो पंक्तियों और स्तंभों के आदान-प्रदान से प्राप्त होता है।

यदि सदिश समष्टि के अवयवों और उनके द्वैत स्तंभ सदिश द्वारा दर्शाया जाता हैं, तो इस द्वंद्व को ब्रा-केट संकेतन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

$\langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .$

इस समरूपता को उजागर करने के लिए कभी-कभी इस समानता के दो घटकों को लिखा जाता है।

$\langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .$

आंतरिक-गुणनफल समष्टि

Main article: आंतरिक-उत्पाद समष्टि

इन बुनियादी अवधारणाओं के अतिरिक्त, रैखिक बीजगणित अतिरिक्त संरचना जैसे आंतरिक गुणनफल के साथ सदिश समष्टि का भी अध्ययन करता है। आंतरिक गुणनफल द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण है और यह लंबाई और कोणों की परिभाषा की अनुमति देकर सदिश समष्टि को एक ज्यामितीय संरचना देता है। औपचारिक रूप से, एक आंतरिक गुणनफल एक मानचित्र है।

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F$

जो V में सभी सदिशों u, v, w और F में सभी अदिश a के लिए निम्नलिखित तीन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है:

• संयुग्म समरूपता:

  $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.$

$\mathbb {R}$ में, यह सममित है।

• पहले तर्क में रैखिकता:

  ${\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}$

• धनात्मक-निश्चितता:

  $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$

केवल v = 0 के लिए समानता के साथ है।

हम V में एक सदिश v की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं।

$\|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

और हम कॉची-श्वार्ज़ असमानता को सिद्ध कर सकते हैं:

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.$

विशेष रूप से, मात्रा

${\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,$

और इसलिए हम इस मात्रा को दो सदिशों के मध्य के कोण की कोज्या कह सकते हैं।

यदि ⟨u, v⟩ = 0 है तो दो सदिश लंबकोणीय हैं। एक ऑर्थोनॉर्मल आधार एक आधार है जहां सभी आधार सदिश की लंबाई 1 होती है और एक दूसरे के लिए लंबकोणीय होते हैं। किसी परिमित-आयामी सदिश समष्टि को देखते हुए, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पाया जा सकता है। ऑर्थोनॉर्मल आधारों से निपटना विशेष रूप से सरल है, क्योंकि यदि v = a₁ v₁ + ⋯ + a_n v_n, तो

$a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .$

आंतरिक गुणनफल कई उपयोगी अवधारणाओं के निर्माण की सुविधा प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, एक परिवर्तन T दिया गया है, हम हर्मिटियन संयुग्म T* को रैखिक परिवर्तन संतोषजनक के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।

$\langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .$

यदि T, TT* = T*T को संतुष्ट करता है, तो हम T अभिलम्ब कहते हैं। यह पता चला है कि सामान्य मैट्रिसेस वास्तव में वे मेट्रिसेस होते हैं जिनमें ईजेन-सदिशों की एक ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली होती है जो V तक फैलती है।

ज्यामिति के साथ संबंध

रैखिक बीजगणित और ज्यामिति के मध्य एक प्रबल संबंध है, जो 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा कार्तीय निर्देशांक के प्रारंभ के साथ प्रारंभ हुआ था। इस नई (उस समय) ज्यामिति में, जिसे अब कार्तीय ज्यामिति कहा जाता है, बिंदुओं को कार्तीय निर्देशांक द्वारा दर्शाया जाता है, जो तीन वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं (सामान्य त्रि-आयामी समष्टि की स्थिति में)। ज्यामिति की मूल वस्तुएँ, जो रेखाएँ और तल हैं, रैखिक समीकरणों द्वारा दर्शायी जाती हैं। इस प्रकार, रेखाओं और समतलों के प्रतिच्छेदन की गणना रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के समान है। यह रैखिक बीजगणित के विकास के लिए मुख्य प्रेरणाओं में से एक था।

अधिकांश ज्यामितीय परिवर्तन, जैसे कि अनुवाद, घूर्णन, प्रतिबिंब, दृढ़ गति, समदूरीकता और प्रक्षेपण रेखाओं को रेखाओं में बदल देते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उन्हें रैखिक मानचित्रों के संदर्भ में परिभाषित, निर्दिष्ट और अध्ययन किया जा सकता है। यह समलेख और मोबियस परिवर्तनों की भी स्थिति है, जब इसे प्रक्षेप्य समष्टियों के परिवर्तनों के रूप में माना जाता है।

19वीं शताब्दी के अंत तक, ज्यामितीय समष्टियों को बिंदुओं, रेखाओं और समतलों (संश्लिष्ट ज्यामिति) से संबंधित सिद्धांतों द्वारा परिभाषित किया गया था। इस तिथि के आसपास, ऐसा प्रतीत हुआ कि कोई सदिश समष्टि से जुड़े निर्माणों द्वारा ज्यामितीय समष्टि को भी परिभाषित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, प्रक्षेपीय समष्टि और अफाइन समष्टि देखें)। यह दिखाया गया है कि दो दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं। शास्त्रीय ज्यामिति में, सम्मिलित सदिश समष्टि वास्तविक से अधिक सदिश समष्टि होते हैं, लेकिन निर्माणों को किसी भी क्षेत्र में सदिश समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है, जिससे परिमित क्षेत्रों सहित यादृच्छिक क्षेत्रों पर ज्यामिति पर विचार करने की अनुमति मिलती है।

वर्तमान में, अधिकांश पाठ्यपुस्तकें, रैखिक बीजगणित से ज्यामितीय समष्टि का परिचय देती हैं और ज्यामिति को प्रायः प्राथमिक स्तर पर, रैखिक बीजगणित के एक उपक्षेत्र के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

उपयोग और अनुप्रयोग

रैखिक बीजगणित का उपयोग गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में किया जाता है, इस प्रकार यह गणित का उपयोग करने वाले लगभग सभी वैज्ञानिक क्षेत्रों में प्रासंगिक हो जाता है। इन अनुप्रयोगों को कई विस्तृत श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

परिवेशीय समष्टि की ज्यामिति

परिवेशीय समष्टि का मॉडलिंग ज्यामिति पर आधारित है। इस समष्टि से संबंधित विज्ञान ज्यामिति का व्यापक रूप से उपयोग करते हैं। दृढ़ पिंड गतिकी का वर्णन करने के लिए यांत्रिकी और यंत्रमानववत् की यही स्थिति है; पृथ्वी के आकार का वर्णन करने के लिए भूगणित; किसी दृश्य और उसके समतल प्रतिनिधित्व के मध्य संबंध का वर्णन करने के लिए परिप्रेक्ष्य, अभिकलित्र दृष्टि और अभिकलित्र आलेखिकी; और कई अन्य वैज्ञानिक कार्यक्षेत्र है।

इन सभी अनुप्रयोगों में, संश्लिष्ट ज्यामिति का उपयोग प्रायः सामान्य विवरण और गुणात्मक दृष्टिकोण के लिए किया जाता है, लेकिन स्पष्ट स्थितियों के अध्ययन के लिए, किसी को निर्देशांक के साथ गणना करनी चाहिए। इसके लिए रैखिक बीजगणित के अधिक उपयोग की आवश्यकता होती है।

कार्यात्मक विश्लेषण

कार्यात्मक विश्लेषण फलन समष्टियों का अध्ययन करता है। ये अतिरिक्त संरचना वाले सदिश समष्टि हैं, जैसे हिल्बर्ट समष्टि हैं। इस प्रकार रैखिक बीजगणित कार्यात्मक विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों का एक मूलभूत हिस्सा है, जिसमें विशेष रूप से, परिमाण यांत्रिकी (तरंग फलन) सम्मिलित हैं।

सम्मिश्र प्रणालियों का अध्ययन

See also: सम्मिश्र प्रणाली

अधिकांश भौतिक घटनाएं आंशिक अंतर समीकरणों द्वारा प्रतिरूपित होती हैं। उन्हें हल करने के लिए, सामान्यतः उस समष्टि को विघटित कर दिया जाता है जिसमें समाधान, छोटी, परस्पर क्रिया करने वाली कोष्ठिकाओं में खोजे जाते हैं। रैखिक प्रणालियों के लिए इस अंतःक्रिया में रैखिक फलन सम्मिलित होते हैं। अरेखीय प्रणालियों के लिए, यह अंतःक्रिया को प्रायः रैखिक फलनों द्वारा अनुमानित किया जाता है।इसे एक रैखिक प्रतिरूप या प्रथम-क्रम सन्निकटन कहा जाता है। रैखिक प्रतिरूप प्रायः सम्मिश्र अरेखीय वास्तविक जगत् प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाते हैं क्योंकि यह प्राचलीकरण को अधिक प्रबंधनीय बनाता है। दोनों ही स्थितियों में, सामान्यतः बहुत बड़े आव्यूह सम्मिलित होते हैं। मौसम का पूर्वानुमान (या अधिक विशेष रूप से, प्राचलीकरण (वायुमंडलीय मॉडलिंग)) वास्तविक जगत् के अनुप्रयोग का एक विशिष्ट उदाहरण है, जहां सम्पूर्ण पृथ्वी के वातावरण को 100 किमी चौड़ाई और 100 किमी ऊंचाई की कोष्ठिकाओं में विभाजित किया गया है।

वैज्ञानिक संगणना

लगभग सभी वैज्ञानिक संगणनाओं में रैखिक बीजगणित सम्मिलित होता है। परिणामस्वरूप, रैखिक बीजगणित कलन विधियों को अत्यधिक अनुकूलित किया गया है। बीएलएएस और एलएपीएसीके सबसे प्रसिद्ध कार्यान्वयन हैं। दक्षता में सुधार के लिए, उनमें से कुछ कलन विधियों को अभिकलित्र की विशिष्टताओं (कैश आकार, उपलब्ध कोर की संख्या) के अनुसार अनुकूलित करने के लिए, कार्यावधि पर स्वचालित रूप से कॉन्फ़िगर करते हैं।

कुछ प्रोसेसर, सामान्यतः आलेखिकी प्रसंस्करण इकाइयाँ (GPU), रैखिक बीजगणित के संचालन को अनुकूलित करने के लिए आव्यूह संरचना के साथ रूपांकिंत किए गए हैं।

विस्तारण और सामान्यीकरण

यह खंड कई संबंधित विषयों को प्रस्तुत करता है जो सामान्यतः रैखिक बीजगणित पर प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में दिखाई नहीं देते हैं, लेकिन सामान्यतः उन्नत गणित में रैखिक बीजगणित के भागों के रूप में माने जाते हैं।

मापांक सिद्धांत

Main article: मापांक (गणित)

क्षेत्रों में गुणात्मक व्युत्क्रमों का अस्तित्व सदिश समष्टि को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों में सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार अदिशों के क्षेत्र को एक वलय R द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और यह R, या R-मापांक पर मापांक नामक एक संरचना देता है।

रैखिक स्वतंत्रता, विस्तार, आधार और रैखिक मानचित्रों (जिसे मापांक समरूपता भी कहा जाता है) की अवधारणाओं को मापांक के लिए आवश्यक अंतर के साथ बिल्कुल सदिश समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है, यदि R एक क्षेत्र नहीं है, तो ऐसे मापांक हैं जिनका कोई आधार नहीं है। जिन मापांको का आधार होता है वे मुक्त मापांक होते हैं और जो एक परिमित समुच्चय द्वारा विस्तरित हो जाते हैं वे परिमित रूप से उत्पन्न मापांक होते हैं। परिमित रूप से उत्पन्न मुक्त मापांको के मध्य मापांक समरूपता को मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है। वलय के ऊपर मैट्रिसेस का सिद्धांत एक क्षेत्र पर मैट्रिसेस के समान है, अतिरिक्त इसके कि निर्धारक केवल तभी उपस्थित होते हैं जब वलय क्रमविनिमेय होते है और एक क्रमविनिमेय वलयों पर एक वर्ग आव्यूह केवल तभी व्युत्क्रमणीय होता है जब इसके सारणिक में वलयों में गुणक व्युत्क्रम होता है।

सदिश समष्टि पूर्णतया से उनके आयाम (एक समरूपता तक) द्वारा चित्रित होते हैं। सामान्य तौर पर, मापांको के लिए ऐसा कोई पूर्ण वर्गीकरण नहीं है, भले ही कोई स्वयं को सीमित रूप से उत्पन्न मापांक तक ही सीमित रखे। हालाँकि, प्रत्येक मापांक मुक्त मापांक की समरूपता का एक सह-कर्नेल है।

पूर्णांकों पर मापांको को अबेलियन समूहों के साथ पहचाना जा सकता है, क्योंकि पूर्णांक द्वारा गुणा को बार-बार जोड़े जाने की पहचान की जा सकती है। अबेलियन समूहों के अधिकांश सिद्धांत को एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र पर मापांक तक बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र पर, एक मुक्त मापांक का प्रत्येक उप-मापांक मुक्त है और मुख्य रूप से उत्पन्न अबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय को एक प्रमुख वलय पर सीधे रूप से उत्पन्न मापांक तक बढ़ाया जा सकता है।

ऐसे कई वलय हैं जिनके लिए रैखिक समीकरणों और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कलन विधि हैं। हालाँकि, इन कलन विधियों में सामान्यतः एक अभिकलनात्मक जटिलता होती है जो किसी क्षेत्र में समान कलन विधियों की तुलना में बहुत अधिक होती है। अधिक विवरण के लिए, वलय पर रैखिक समीकरण देखें।

बहुरेखीय बीजगणित और प्रदिश

बहुरेखीय बीजगणित में, एक व्यक्ति बहुभिन्नरूपी रैखिक परिवर्तनों पर विचार करता है, अर्थात् मानचित्रण जो विभिन्न चरों में से प्रत्येक में रैखिक होते हैं। जांच की यह रेखा स्वाभाविक रूप से द्वैत समष्टि के विचार की ओर ले जाती है, सदिश समष्टि V* जिसमें रैखिक मानचित्र f : V → F सम्मिलित हैं जहां F अदिशों का क्षेत्र है। बहुरेखीय मानचित्र T : Vⁿ → F को V* के अवयवों के प्रदिश गुणनफलों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है।

यदि, सदिश जोड़ और स्केलर गुणन के अतिरिक्त, एक द्विरेखीय सदिश गुणनफल V × V → V है, तो सदिश समष्टि को बीजगणित कहा जाता है; उदाहरण के लिए, सहयोगी बीजगणित एक सहयुक्‍त सदिश गुणनफल के साथ बीजगणित होते हैं (जैसे कि वर्ग आव्यूहों का बीजगणित, या बहुपदों का बीजगणित)।

सांस्थितिक सदिश समष्टि

Main articles: सांस्थितिक सदिश समष्टि, सामान्यीकृत सदिश समष्टि, and हिल्बर्ट समष्टि

सदिश समष्टि जो परिमित आयामी नहीं हैं, उन्हें सरल होने के लिए प्रायः अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता होती है। एक मानकीकृत सदिश समष्टि एक सदिश समष्टि के साथ-साथ एक फलन जिसे मानदंड कहा जाता है, जो अवयवों के "आकार" को मापता है। मानदंड एक मापीय को प्रेरित करता है, जो अवयवों के मध्य की दूरी को मापता है और एक सांस्थितिक को प्रेरित करता है, जो सतत मानचित्रों की परिभाषा की अनुमति देता है। मापीय सीमा और पूर्णता की परिभाषा की भी अनुमति देता है - एक मापीय समष्टि जो पूर्ण है उसे बानाख समष्टि के रूप में जाना जाता है। एक आंतरिक गुणनफल की अतिरिक्त संरचना (एक संयुग्मित सममित सेसक्विलिनियर रूप) के साथ एक पूर्ण मापीय समष्टि को हिल्बर्ट समष्टि के रूप में जाना जाता है, जो कुछ अर्थों में एक विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार की जाने वाली बानाख समष्टि है। कार्यात्मक विश्लेषण विभिन्न फलन समष्टियों का अध्ययन करने के लिए गणितीय विश्लेषण के साथ-साथ रैखिक बीजगणित के तरीकों को अनुप्रयुक्त करता है; कार्यात्मक विश्लेषण में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं L^p समष्टि हैं, जो बानाख समष्टि हैं और विशेष रूप से वर्ग पूर्णांक फलनों के L² समष्टि है, जो उनमें से एकमात्र हिल्बर्ट समष्टि है। परिमाण यांत्रिकी, आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत, अंकीय संकेत प्रक्रमण और विद्युत् अभियान्त्रिकी के लिए कार्यात्मक विश्लेषण का विशेष महत्व है। यह वह आधार और सैद्धांतिक रूपरेखा भी प्रदान करता है जो फूरियर रूपांतरण और संबंधित तरीकों को रेखांकित करता है।

समरूप बीजगणित

Main article: समरूप बीजगणित

यह भी देखें

• मौलिक आव्यूह (अभिकलक दृष्टि)
• ज्यामितीय बीजगणित
• रैखिक क्रमादेशन
• रैखिक समाश्रयण, एक सांख्यिकीय आकलन पद्धति
• रैखिक बीजगणित विषयों की सूची
• बहुरेखीय बीजगणित
• संख्यात्मक रैखिक बीजगणित
• रूपांतरण आव्यूह

सामान्य और उद्धृत स्रोत

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अग्रिम पठन

इतिहास

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परिचयात्मक पाठ्यपुस्तकें

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• Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
• Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
• McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
• Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0

बाहरी संबंध

ऑनलाइन संसाधन

• MIT रैखिक बीजगणित वीडियो लेक्चर, प्रोफेसर गिल्बर्ट स्ट्रांग द्वारा रिकॉर्ड किए गए 34 व्याख्यानों की एक श्रृंखला (वसंत 2010)
• इंटरनेशनल रैखिक अलजेब्रा सोसाइटी
• "Linear algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• रैखिक बीजगणित MathWorld पर
• Economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm आव्यूह और रैखिक बीजगणित शर्तें पर कुछ के शुरुआती ज्ञात उपयोग गणित के पद
• आव्यूह और सदिश के लिए प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग विभिन्न गणितीय प्रतीकों का सबसे पुराना उपयोग
• रैखिक बीजगणित का सार, ज्यामितीय, आव्यूह और अमूर्त बिंदुओं के मध्य संबंधों पर जोर देने के साथ रैखिक बीजगणित की मूल बातें 3Blue1Brown से एक वीडियो प्रस्तुति मानना ​​है कि

ऑनलाइन किताबें

• Beezer, Robert A. (2009) [2004]. रैखिक बीजगणित में पहला कोर्स (in English). Gainesville, Florida: University Press of Florida. ISBN 9781616100049.
• Connell, Edwin H. (2004) [1999]. सार और रेखीय बीजगणित के तत्व (in English). University of Miami, Coral Gables, Florida: Self-published.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (in English) (4th ed.). Ann Arbor, Michigan: Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC 1178900366. OL 30872051M.
• Margalit, Dan; Rabinoff, Joseph (2019). इंटरएक्टिव रैखिक बीजगणित (in English). Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia: Self-published.
• Matthews, Keith R. (2013) [1991]. प्राथमिक रैखिक बीजगणित (in English). University of Queensland, Brisbane, Australia: Self-published.
• Mikaelian, Vahagn H. (2020) [2017]. रैखिक बीजगणित: सिद्धांत और एल्गोरिदम (in English). Yerevan, Armenia: Self-published – via ResearchGate.
• शारिपोव, रुस्लान, रैखिक बीजगणित और बहुआयामी ज्यामिति का पाठ्यक्रम
• ट्रेल, सर्गेई, रैखिक बीजगणित गलत हो गया

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