क्रमविनिमेय वलय: Difference between revisions

Latest revision as of 16:57, 25 August 2023

गणित में, क्रम विनिमेय वलय में गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय होती है। क्रमविनिमेय वलयों के अध्ययन को क्रमविनिमेय बीजगणित कहा जाता है। पूरक रूप से, गैर विनिमेय बीजगणित वलय गुणों का अध्ययन है जो क्रमविनिमेय वलय के लिए विशिष्ट नहीं हैं। यह अंतर क्रमविनिमेय वलय के मूलभूत गुणों की उच्च संख्या से उत्पन्न होता है जो गैर विनिमेय वलय तक विस्तारित नहीं होते हैं।

परिभाषा और पहले उदाहरण

वलय एक समुच्चय $R$ है(गणित) जो दो द्विआधारी संक्रिया से सुसज्जित है, यानी वलय के किसी भी दो तत्व को एक तिहाई से जोड़ता है। उन्हें जोड़ और गुणा कहा जाता है और सामान्यतः $+$ तथा " $\cdot$ ", उदाहरण $a+b$ तथा $a\cdot b$ हैI वलय बनाने के लिए इन दो परिचालनों को कई गुणों को पूरा करना पड़ता है: वलय को एबेलियन समूह के साथ-साथ गुणन के तहत एकाभ होना चाहिए, जहां गुणा अतिरिक्त रूप से वितरित होता है, अर्थात।, $a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$ . जोड़ और गुणा के लिए तत्समक तत्व निरूपित किए गए हैं $0$ तथा $1$ , क्रमश।

यदि गुणन क्रमविनिमेय है, अर्थात

a\cdot b=b\cdot a,

फिर वलय

R

क्रमविनिमेय कहा जाता है। इस लेख के शेष भाग में, सभी वलय क्रमविनिमेय होंगी, जब तक कि स्पष्ट रूप से अन्यथा न कहा गया हो।

पहला उदाहरण

महत्वपूर्ण उदाहरण, और कुछ महत्वपूर्ण अर्थों में, पूर्णांकों का वलय $\mathbb {Z}$ जोड़ और गुणा के दो संक्रियाओं के साथ है। चूँकि पूर्णांकों का गुणन क्रमविनिमेय संक्रिया है, यह क्रमविनिमेय वलय है। इसे सामान्यतः $\mathbb {Z}$ जर्मन शब्द ज़ाहलेन(नंबर) के संक्षिप्त नाम के रूप में दर्शाया जाता है।

क्षेत्र(गणित) क्रमविनिमेय वलय है जहाँ $0\not =1$ और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व $a$ व्युत्क्रमणीय है, यानी, गुणक व्युत्क्रम है $b$ जैसे कि $a\cdot b=1$ इसलिए, परिभाषा के अनुसार, कोई भी क्षेत्र क्रमविनिमेय वलय है। परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या और जटिल संख्याएँ क्षेत्र बनाती हैं।

यदि $R$ दी गई क्रमविनिमेय वलय है, तो चर $X$ में सभी बहुपदों का समुच्चय है जिनके गुणांक $R$ में हैं बहुपद वलय बनाता है, $R\left[X\right]$ जिसे निरूपित किया जाता है। वही कई चरों के लिए सही है।

यदि $V$ कुछ सांस्थितिक समष्टि है, उदाहरण के लिए कुछ $\mathbb {R} ^{n}$ का उपसमुच्चय, वास्तविक- या जटिल-मान सतत फलन $V$ क्रमविनिमेय वलय बनाता है। अलग-अलग या पूर्णसममितिक फलन के लिए भी यही सच है, जब दो अवधारणाओं को परिभाषित किया जाता है, जैसे कि $V$ जटिल बहुसंखयक है।

विभाज्यता

क्षेत्रों के विपरीत, जहां प्रत्येक अशून्य तत्व गुणात्मक रूप से व्युत्क्रमणीय होता है, वलय के लिए विभाज्यता की अवधारणा अधिक समृद्ध होती है। तत्व $a$ वलय का $R$ को इकाई कहा जाता है यदि इसमें गुणक व्युत्क्रम होता है। अन्य विशेष प्रकार का तत्व शून्य विभाजक है, अर्थात एक तत्व $a$ ऐसा है कि वलय का गैर-शून्य तत्व $b$ विद्यमान है जैसे कि $ab=0$ अगर $R$ के पास कोई गैर-शून्य शून्य विभाजक नहीं है, तो इसे पूर्णांकीय प्रांत(या प्रक्षेत्र) कहा जाता है। एक तत्व $a$ संतोषजनक $a^{n}=0$ किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए शून्य तत्व कहा जाता है।

स्थानीयकरण

वलय का स्थानीयकरण ऐसी प्रक्रिया है जिसमें कुछ तत्वों को प्रतीप्य कर दिया जाता है, यानी गुणक व्युत्क्रम को वलय में जोड़ दिया जाता है। निश्चित रूप $S$ , $R$ का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है(अर्थात जब भी $s,t\in S$ तो $st$ ऐसा है ) तो $S$ पर $R$ का स्थानीयकरण, या $S$ हर के साथ भिन्नों का वलय, सामान्यतः $S^{-1}R$ प्रतीकों के होते हैं

{\frac {r}{s}}

के साथ

r\in R,s\in S

कुछ नियमों के अधीन जो परिमेय संख्याओं से परिचित निरस्तीकरण की निराकरण करते हैं। वास्तव में, इस भाषा में $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {Z}$ का सभी शून्येतर पूर्णांकों पर स्थानीयकरण है। यह निर्माण $\mathbb {Z}$ के बजाय किसी भी पूर्णांकीय प्रांत $R$ के लिए काम करता है। स्थानीयकरण $\left(R\backslash \left\{0\right\}\right)^{-1}R$ क्षेत्र है, जिसे $R$ का भागफल क्षेत्र कहा जाता है।

पूर्णता और मापदंड

अनिवार्य रूप से क्रमविनिमेय वलय के लिए निम्न में से कई धारणाएं विद्यमान हैं, लेकिन परिभाषाएं और गुण सामान्यतः अधिक जटिल होते हैं। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय वलय में सभी पूर्णता स्वतः ही दो-पक्षीय पूर्णता होते हैं| दो-पक्षीय, जो स्थिति को काफी सरल करता है।

मापदंड

वलय $R$ मापांक $M$ क्षेत्र के लिए सदिश समष्टि के समान है। अर्थात्, मापदंड में तत्वों को जोड़ा जा सकता है, उन्हें $R$ के तत्वों से गुणा किया जा सकता है, जो सदिश समष्टि के समान स्वयंसिद्धों के अधीन है।

सदिश समष्टि की तुलना में मापदंड का अध्ययन महत्वपूर्ण रूप से अधिक सम्मिलित है, क्योंकि ऐसे मापदंड हैं जिनका कोई आधार नहीं है, अर्थात, रैखिक स्पंदन को सम्मिलित नहीं करते हैं जिनके तत्व रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मापदंड जिसका आधार होता है, उसे मुक्त मापदंड कहा जाता है, और मुक्त मापदंड के सबमॉड्यूल को मुक्त होने की जरूरत नहीं है।

परिमित प्रकार का मापदंड जिसमें परिमित सीमा समुच्चय होता है। परिमित प्रकार के मापदंड रैखिक बीजगणित में परिमित-आयामी सदिश समष्टि की भूमिका के समान क्रमविनिमेय वलय के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, नोथेरियन वलय है(नीचे § नोथेरियन रिंग्सभी देखें) को वलय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि परिमित प्रकार के मापदंड का प्रत्येक सबमॉड्यूल भी परिमित प्रकार का होता है।

पूर्णता

वलय के पूर्णता $R$ के सबमॉड्यूल, यानी, $R$ इसमें निहित मापदंड हैं। अधिक विस्तार से, एक पूर्णता $I$ , $R$ का गैर-रिक्त उपसमुच्चय है, जैसे कि सभी $r$ में $R$ , $i$ और $j$ $I$ , हैं दोनों $ri$ तथा $i+j$ में $I$ हैं। विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए, वलय के पूर्णता को समझना विशेष महत्व का है, लेकिन अक्सर सामान्य रूप से मापदंड का अध्ययन करके आगे बढ़ता है।

किसी भी वलय की दो पूर्णता होते हैं, अर्थात् शून्य पूर्णता $\left\{0\right\}$ तथा पूरी वलय $R$ । यदि $R$ क्षेत्र है, तो ये दो पूर्णता ही ठीक हैं। किसी भी उपसमुच्चय को देखते हुए $F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}$ का $R$ (जहाँ $J$ कुछ सूची समुच्चय है), $F$ द्वारा उत्पन्न किया गया पूर्णता सबसे छोटा पूर्णता है जिसमें $F$ सम्मिलित है। समतुल्य रूप से, यह परिमित रैखिक संयोजन द्वारा दिया जाता है

r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.

प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र

यदि $F$ में एक ही तत्व $r$ होता है, तो $F$ द्वारा उत्पन्न पूर्णता में $r$ के गुणक होते हैं, अर्थात, यानी फॉर्म के तत्व $rs$ स्वच्छंद तत्वों के लिए $s$ है। ऐसे पूर्णता को अभाज्य पूर्णता कहा जाता है। यदि प्रत्येक गुणजगुण अभाज्य गुणजावली है, $R$ को अभाज्य पूर्णता वलय कहा जाता है, दो महत्वपूर्ण मामले हैं $\mathbb {Z}$ तथा $k\left[X\right]$ , क्षेत्र पर बहुपद वलय $k$ है। ये दोनों अतिरिक्त प्रक्षेत्र हैं, इसलिए इन्हें प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र कहा जाता है।

सामान्य वलय के विपरीत, प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र के लिए, व्यक्तिगत तत्वों के गुण पूरी तरह से वलय के गुणों से दृढ़ता से बंधे होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र $R$ एकमात्र गुणनखण्ड प्रक्षेत्र(यूएफडी) है, जिसका मतलब है कि कोई भी तत्व अलघुकरणीय तत्व का गुणन है, अनोखे तरीके से(गुणन खंड को क्रम बदल करने तक)। यहां, प्रक्षेत्र में तत्व को उत्पाद के रूप में व्यक्त करने का एकमात्र तरीका अलघुकरणीय कहा जाता है

a=bc,

या तो

b

या

c

इकाई है। उदाहरण, क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण, अलघुकरणीय बहुपद हैं, अर्थात्

k\left[X\right]

में अलघुकरणीय तत्व

k

है। यह तथ्य कि '

\mathbb {Z}

यूएफडी है, यह कहकर अधिक प्राथमिक रूप से कहा जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं की घात के उत्पाद के रूप में अद्वितीय रूप से विघटित किया जा सकता है। इसे अंकगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

तत्व $a$ प्रमुख तत्व है यदि जब भी $a$ किसी उत्पाद $bc$ को विभाजित करता है , $a$ विभाजित $b$ या $c$ को करता है। प्रक्षेत्र में, अभाज्य होने का अर्थ है अलघुकरणीय होना। विशिष्ट गुणनखंडन प्रक्षेत्र में विलोम सत्य है, लेकिन सामान्य रूप से असत्य है।

कारक वलय

पूर्णता की परिभाषा ऐसी है कि "विभाजक" $I$ out एक और वलय देता है, गुणनखंड वलय $R$ / $I$ : यह सहसमुच्चय का समुच्चय है $I$ संचालन के साथ

\left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I

तथा

\left(a+I\right)\left(b+I\right)=ab+I

, उदाहरण के लिए, वलय

\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}

(भी दर्शाया गया है

\mathbb {Z} _{n}

), जहाँ पे

n

एक पूर्णांक है, पूर्णांक मापांक

n

का वलय है। यह मापांक अंकगणित का आधार है।

पूर्णता उचित है अगर यह पूरी वलय से छोटा है। पूर्णता जो किसी भी उचित पूर्णता में निहित नहीं है, उसे अधिकतम कहा जाता है। पूर्णता $m$ अधिकतम होता है यदि और केवल यदि $R$ / $m$ क्षेत्र हो। शून्य वलय को छोड़कर, किसी भी वलय(पहचान के साथ) में कम से कम एक अधिकतम पूर्णता होता है, यह ज़ोर्न के लेम्मा से आता है।

नोथेरियन वलय

वलय को नोथेरियन कहा जाता है(एमी नोथेर के सम्मान में, जिन्होंने इस अवधारणा को विकसित किया था) यदि प्रत्येक आरोही श्रृंखला की स्थिति

0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots

स्थिर हो जाता है, अर्थात किसी सूचकांक

n

से परे स्थिर हो जाता है। समतुल्य रूप से, कोई भी पूर्णता सूक्ष्म रूप से कई तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, या समतुल्य, सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापदंड के सबमॉड्यूल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं।

नोथेरियन होना अत्यधिक महत्वपूर्ण परिमितता की स्थिति है, और स्थिति को ज्यामिति में अक्सर होने वाले कई कार्यों के तहत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $R$ नोथेरियन है, तो बहुपद वलय $R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]$ (हिल्बर्ट के आधार प्रमेय द्वारा), कोई स्थानीयकरण $S^{-1}R$ , और कोई भी कारक वलय $R$ / $I$ है।

कोई भी गैर-नोथेरियन वलय $R$ अपने नोथेरियन सबरिंग्स का संघ(समुच्चय सिद्धांत) है। यह तथ्य, जिसे नोथेरियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है, कुछ प्रमेयों को गैर-नोएथेरियन वलय तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।

आर्टिनियन वलय

पूर्णता की प्रत्येक अवरोही श्रृंखला होने पर वलय को आर्टिनियन वलय(एमिल आर्टिन के बाद) कहा जाता है

R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots

अंततः स्थिर हो जाता है। सममित दिखाई देने वाली दो स्थितियों के बावजूद, नोथेरियन वलय आर्टिनियन वलय की तुलना में बहुत अधिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, '

\mathbb {Z}

नोथेरियन है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णता तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, लेकिन श्रृंखला के रूप में आर्टिनियन नहीं है $\mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots$

दिखाता है। वास्तव में, हॉपकिंस-लेविट्ज़की प्रमेय द्वारा, प्रत्येक आर्टिनियन वलय नोथेरियन है। अधिक समुचित रूप से, आर्टिनियन वलय को नोथेरियन वलय के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसका क्रुल आयाम शून्य है।

क्रमविनिमेय वलय का वर्णक्रम

अभाज्य पूर्णता

जैसा कि ऊपर बताया गया था, $\mathbb {Z}$ अद्वितीय कारक करण प्रक्षेत्र है। यह अधिक सामान्य वलय के लिए सही नहीं है, जैसा कि बीजगणितियों ने 19वीं शताब्दी में अनुभव किया था। उदाहरण के लिए, में

\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]

गुणनफल के रूप में 6 लिखने के वास्तव में दो भिन्न तरीके हैं:

6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).

अभाज्य तत्वों के विपरीत अभाज्य पूर्णता, इस समस्या को दरकिनार करने का तरीका प्रदान करते हैं। एक प्रमुख पूर्णता उचित(यानी,

R

में सख्ती से निहित है) पूर्णता

p

होता है, जैसे कि, जब भी उत्पाद

ab

किसी भी दो वलय तत्वों

a

तथा

b

,

p,

में है, कम से कम दो तत्वों में से पहले से ही

p.

में है(विपरीत निष्कर्ष किसी भी पूर्णता के लिए लागू होता है) , परिभाषा के अनुसार।) इस प्रकार, यदि अभाज्य पूर्णता प्रमुख है, तो यह प्रमुख तत्व द्वारा समान रूप से उत्पन्न होता है। हालांकि,

\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],

जैसे वलय में दाएं],} प्रमुख पूर्णता को प्रमुख होने की जरूरत नहीं है। यह वलय थ्योरी में प्रमुख तत्वों के उपयोग को सीमित करता है। हालांकि, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की आधारशिला यह तथ्य है कि किसी भी डेडेकाइंड वलय में(जिसमें

\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]

और अधिक सामान्यतः संख्या क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांक की वलय) कोई पूर्णता(जैसे कि 6 द्वारा उत्पन्न एक) प्रमुख पूर्णता के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित होता है।

कोई भी अधिकतम पूर्णता प्रमुख पूर्णता है या अधिक संक्षेप में, प्रमुख है। इसके अलावा, पूर्णता $I$ अभाज्य है अगर और केवल अगर कारक वलय $R/I$ पूर्णांकीय प्रांत है। यह प्रमाणित करना कि पूर्णता अभाज्य है, या समतुल्य है कि वलय में कोई शून्य-भाजक नहीं है, यह बहुत कठिन हो सकता है। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है कि पूरक(समुच्चय सिद्धांत) $R\setminus p$ गुणात्मक रूप से बंद है। स्थानीयकरण $\left(R\setminus p\right)^{-1}R$ अपने स्वयं के अंकन के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण है : $R_{p}$ इस वलय की केवल अधिकतम गुणजावली है, जिसका नाम $pR_{p}$ है। ऐसे वलय को स्थानिक वलय कहा जाता है।

वर्णक्रम

युक्ति(Z) में शून्य पूर्णता के लिए एक बिंदु होता है। इस बिंदु का बंद होना संपूर्ण समष्टि है। शेष अंक पूर्णता(पी) के अनुरूप हैं, जहां पी एक अभाज्य संख्या है। ये प्वाइंट बंद हैं।

वलय का वर्णक्रम $R$ ,^{[nb 1]} द्वारा चिह्नित ${\text{Spec}}\ R$ , के सभी प्रमुख पूर्णता $R$ का समुच्चय है। यह सांस्थिति, जरिस्की सांस्थिति से सुसज्जित है, जो बीजगणितीय गुणों को दर्शाता है $R$ : खुले उपसमुच्चय का आधार किसके द्वारा दिया गया है

D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\}

, जहां

f

कोई वलय तत्व है।

$f$ की व्याख्या एक ऐसे फलन के रूप में करना जो मान f mod p लेता है(अर्थात्, अवशिष्ट क्षेत्र R/p में f की छवि), यह उपसमुच्चय वह स्थान है जहाँ f गैर-शून्य है। वर्णक्रम समुचित अंतर्ज्ञान भी बनाता है कि स्थानीयकरण और कारक केवलय पूरक हैं: प्राकृतिक प्रतिचित्र R → R_f और R → R / fR अनुरूप हैं, उनके ज़ारिस्की सांस्थिति के साथ वलय के स्पेक्ट्रा को समाप्त करने के बाद क्रमशः पूरक खुले और बंद विसर्जन के लिए। . यहां तक कि मूलभूत वलय के लिए, जैसे कि R = Z के लिए दाईं ओर सचित्र, ज़ारिस्की सांस्थिति वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक से काफी अलग है।

वर्णक्रम में अधिकतम पूर्णता का समुच्चय होता है, जिसे कभी-कभी mSpec(R) के रूप में दर्शाया जाता है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए mSpec(k[T₁, ..., T_n] /(f₁, ..., f_m)) समुच्चय के साथ विरोध में है

{x =(x₁, ..., x_n) ∊ kⁿ

इस प्रकार, अधिकतम पूर्णता बहुपदों के समाधान समुच्चय के ज्यामितीय गुणों को दर्शाते हैं, जो क्रमविनिमेय वलय के अध्ययन के लिए प्रारंभिक प्रेरणा है। हालांकि, वलय के ज्यामितीय गुणों के हिस्से के रूप में गैर-अधिकतम पूर्णता का विचार कई कारणों से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम अभाज्य पूर्णता(अर्थात्, जो सख्ती से छोटे वाले नहीं होते हैं) Spec R के अलघुकरणीय घटक के अनुरूप होते हैं। यह प्राथमिक अपघटन का ज्यामितीय पुनर्कथन है, जिसके अनुसार किसी भी पूर्णता को सूक्ष्म रूप से कई प्राथमिक पूर्णता के उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है। यह तथ्य डेडेकिंड के वलय में प्रमुख पूर्णता में अपघटन का अंतिम सामान्यीकरण है।

अफिन योजनाएं

वर्णक्रम की धारणा क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति का सामान्य आधार है। बीजगणितीय ज्यामिति युक्ति R को शीफ(गणित) ${\mathcal {O}}$ (एक इकाई जो स्थानिक रूप से परिभाषित कार्यों को एकत्र करती है, यानी अलग-अलग खुले उपसमुच्चय पर) के साथ समाप्त करके आगे बढ़ती है। स्पेस और शीफ के तथ्य को एफाइन स्कीम कहा जाता है। अफिन योजना दी गई है, अंतर्निहित वलय R को ${\mathcal {O}}$ वैश्विक वर्गों के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, वलय और एफ़िन योजनाओं के बीच यह एक-से-एक पत्राचार भी वलय समरूपता के साथ संगत है: कोई भी f : R → S विपरीत दिशा में सतत प्रतिचित्र को जन्म देता है

Spec S → Spec R, q ↦ f⁻¹(q),यानी Sके किसी भी प्रमुख आदर्श को f,के तहत अपनी प्रीइमेज में प्रतिचित्र किया जाता है, जो कि R का प्रमुख आदर्श है।

दो उक्त श्रेणियों की श्रेणियों की परिणामी समानता ज्यामितीय तरीके से वलय के बीजगणितीय गुणों को उपयुक्त रूप से दर्शाती है।

इस तथ्य के समान कि बहुसंखयक(गणित) स्थानिक रूप से Rⁿ के खुले उपसमुच्चय द्वारा दिए गए हैं, अफिन योजना(गणित) के लिए स्थानिक प्रतिरूप हैं, जो बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की वस्तु हैं। इसलिए, क्रमविनिमेय वलय से संबंधित कई धारणाएं ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से उत्पन्न होती हैं।

आयाम

वलय R का क्रुल आयाम(या आयाम) dim R, R में स्वतंत्र तत्वों की गिनती करके, मोटे तौर पर बोलकर, वलय के आकार को मापता है। क्षेत्र k पर बीजगणित के आयाम को चार गुणों द्वारा स्वयंसिद्ध किया जा सकता है:

आयाम एक स्थानिक गुण है: dim R = sup_{p ∊ Spec R} dim R_p.
आयाम निलपोटेंट तत्वों से स्वतंत्र है: यदि I ⊆ R निलपोटेंट है तो dim R = dim R / I
परिमित विस्तार के तहत आयाम स्थिर रहता है: यदि S एक R-बीजगणित है जो R-मापदंड के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, तो dim S = dim R।
आयाम को dim k[X₁, ..., X_n] = n द्वारा जांच किया जाता है। यह अभिगृहीत n चरों में बहुपद वलय को अफिन n-आयामी समष्टि के बीजगणितीय अनुरूप के रूप में प्रेरित करता है।

आयाम परिभाषित किया गया है, किसी भी वलय R के लिए, प्रमुख पूर्णता की श्रृंखलाओं की लंबाई n के उच्चतम के रूप में

p₀ ⊊ p₁ ⊊ ... ⊊ p_n.

उदाहरण के लिए, क्षेत्र शून्य-आयामी है, क्योंकि एकमात्र प्रमुख पूर्णता शून्य पूर्णता है। पूर्णांक एक-विमीय होते हैं, क्योंकि शृंखलाएँ(0) ⊊(p) के रूप की होती हैं, जहाँ p अभाज्य संख्या है। गैर-नोथेरियन वलय और गैर-स्थानिक वलय के लिए, आयाम अनंत हो सकता है, लेकिन नोथेरियन स्थानिक वलय का परिमित आयाम होता है। उपरोक्त चार स्वयंसिद्धों में से, पहले दो परिभाषा के प्रारंभिक परिणाम हैं, जबकि शेष दो क्रमविनिमेय बीजगणित में महत्वपूर्ण तथ्यों ऊपर जाने वाला प्रमेय और क्रुल का प्रमुख पूर्णता प्रमेय पर टिका है।

वलय समरूपता

वलय समरूपता या, अधिक बोलचाल की भाषा में, केवल प्रतिचित्र, एक प्रतिचित्र f : R → S ऐसा है कि

f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) and f(1) = 1.

ये स्थितियाँ f(0) = 0 सुनिश्चित करती हैं। इसी तरह अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, वलय समरूपता इस प्रकार प्रतिचित्र है जो प्रश्न में बीजगणितीय वस्तुओं की संरचना के अनुकूल है। ऐसी स्थिति में S को R-बीजगणित भी कहा जाता है, यह समझकर कि S में s को R के कुछ r से गुणा किया जा सकता है, समुच्चय करके

r · s := f(r) · s.

कर्नेल और f की छवि ker(f) = {r ∈ R, f(r) = 0} और im(f) = f(R) = {f(r), r ∈ R} द्वारा परिभाषित की गई है। कर्नेल R का पूर्णता है, और छवि S का उप-वलय है।

वलय समरूपता को समरूपता कहा जाता है यदि यह द्विभाजित है। वलय समरूपता का एक उदाहरण, जिसे चीनी शेष प्रमेय के रूप में जाना जाता है, है

\mathbf {Z} /n=\bigoplus _{i=0}^{k}\mathbf {Z} /p_{i}

जहाँ n = p1p2...pk जोड़ीदार भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।

क्रमविनिमेय वलय, वलय समरूपता के साथ मिलकर श्रेणी बनाते हैं। वलय Z इस श्रेणी की प्रारंभिक वस्तु है, जिसका अर्थ है कि किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, अद्वितीय वलय समरूपता Z → R है। इस प्रतिचित्र के माध्यम से, पूर्णांक n को R का तत्व माना जा सकता है। उदाहरण के लिए , द्विपद सूत्र

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}

जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय R में किन्हीं दो तत्वों a और b के लिए मान्य है, इस प्रतिचित्र का उपयोग करके द्विपद गुणांकों को R के तत्वों के रूप में व्याख्या करके इस अर्थ में समझा जाता है।

एस ⊗ की सार्वभौमिक संपत्ति_R टी बताता है कि किन्हीं दो मानचित्रों S → W और T → W के लिए जो बाहरी चतुर्भुज आवागमन करते हैं, एक अद्वितीय प्रतिचित्र S ⊗ है_R टी → डब्ल्यू जो पूरे आरेख को कम्यूट करता है।

दो R-बीजगणित S और T उनके टेन्सर गुणनफल दिए गए हैं

S ⊗_R T

पुनः क्रमविनिमेय R-बीजगणित है। कुछ मामलों में, टेंसर उत्पाद T-बीजगणित खोजने के लिए काम कर सकता है जो Z से संबंधित है क्योंकि S R से संबंधित है। उदाहरण के लिए,

R[X] ⊗_R T = T[X].

परिमित उत्पत्ति

R-बीजगणित S को परिमित रूप से उत्पन्न(बीजगणित के रूप में) कहा जाता है यदि बहुत से तत्व s₁, ..., s_n हैं जैसे कि s के किसी भी तत्व को सी में बहुपद के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। समतुल्य रूप से, S तुल्याकारी है

R[T₁, ..., T_n] / I.

बहुत मजबूत स्थिति यह है कि S को R-मापदंड के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न किया जाता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी S को कुछ सीमित समुच्चय s₁, ..., s_n के R-रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

स्थानीयवलय

वलय को स्थानिक कहा जाता है यदि इसमें केवल अधिकतम पूर्णता होता है, जिसे m द्वारा निरूपित किया जाता है। किसी भी(जरूरी नहीं कि स्थानिक) वलय R के लिए, स्थानीयकरण

R_p

एक प्रमुख पूर्णता पर p स्थानिक है। यह स्थानीयकरण Spec R "p के आसपास" के ज्यामितीय गुणों को दर्शाता है। क्रमविनिमेय बीजगणित में कई धारणाओं और समस्याओं को उस मामले में कम किया जा सकता है जब आर स्थानिक होता है, जिससे स्थानीयवलय विशेष रूप से गहनता से अध्ययन किए जाने वाले वलय बनते हैं। R के अवशेष क्षेत्र को रूप में परिभाषित किया गया है

k = R / m.

कोई भी R-मापदंड M, M / mM द्वारा दिए गए k-सदिश समष्टि को उत्पन्न करता है। नाकायमा की लेम्मा से पता चलता है कि यह मार्ग महत्वपूर्ण जानकारी को संरक्षित कर रहा है: अंतिम रूप से उत्पन्न मापदंड M शून्य है अगर और केवल अगर M / mM शून्य है।

नियमित स्थानीयवलय

घन समतल वक्र(लाल) समीकरण y द्वारा परिभाषित^{2</सुप> = एक्स²(x + 1) मूल बिंदु पर विलक्षणता(गणित) है, यानी, वलय k[x, y] / y² − x²(x + 1), एक नियमित वलय नहीं है। स्पर्शरेखा शंकु(नीला) दो रेखाओं का मिलन है, जो विलक्षणता को भी दर्शाता है।}

k-सदिश समष्टि m/m² स्पर्शरेखा स्थान का बीजगणितीय अवतरण है। अनौपचारिक रूप से, m के तत्वों को उन कार्यों के रूप में माना जा सकता है जो बिंदु p पर गायब हो जाते हैं, जबकि m²में वे सम्मिलित होते हैं जो कम से कम 2 क्रम के साथ गायब हो जाते हैं। किसी भी नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, असमानता

dim_k m/m² ≥ dim R

सत्य धारण करता है, इस विचार को दर्शाता है कि कोटिस्पर्शज्या(या समतुल्य रूप से स्पर्शरेखा) समष्टि में कम से कम समष्टि विनिर्देश R का आयाम है। यदि समानता इस अनुमान में सही है, तो R को नियमित स्थानिक वलय कहा जाता है। नोथेरियन स्थानिक वलय नियमित है यदि और केवल यदि वलय(जो स्पर्शरेखा शंकु पर कार्यों की वलय है)

\bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}

k पर बहुपद वलय के लिए समरूप है। मोटे तौर पर, नियमित स्थानिक वलय कुछ हद तक बहुपद वलय के समान होते हैं। [1] नियमित स्थानिक वलय यूएफडी हैं।^[1]

असतत मूल्यांकन वलय फलन से सुसज्जित हैं जो किसी भी तत्व r को पूर्णांक प्रदान करता है। r के मूल्यांकन नामक इस संख्या को अनौपचारिक रूप से r के शून्य या ध्रुव क्रम के रूप में माना जा सकता है। असतत मूल्यांकन के वलय ठीक आयामी नियमित स्थानीय वलय हैं। उदाहरण के लिए, रीमैन सतह पर पूर्णसममितिक कार्यों के रोगाणु का वलय असतत मूल्यांकन वलय है।

पूर्ण प्रतिच्छेदन

मुड़ घन(हरा) एक समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन है, लेकिन एक पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं है।

क्रुल के प्रमुख पूर्णता प्रमेय द्वारा, वलय के आयाम सिद्धांत (बीजगणित)में मूलभूत परिणाम, का आयाम

R = k[T₁, ..., T_r] / (f₁, ..., f_n)

कम से कम r - n है। वलय R को पूर्ण प्रतिच्छेदन वलय कहा जाता है यदि इसे इस तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है जो इस न्यूनतम सीमा को प्राप्त करता है। यह धारणा ज्यादातर स्थानिक वलय के लिए भी अध्ययन की जाती है। कोई भी नियमित स्थानिक वलय एक पूर्ण प्रतिच्छेदन की वलय है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

वलय R समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन है यदि R से संबंधित घटा हुआ वलय, अर्थात, सभी निलपोटेंट तत्वों को विभाजित करके प्राप्त किया गया पूर्ण प्रतिच्छेदन है। 2017 तक, यह सामान्य रूप से अज्ञात है, कि क्या त्रि-आयामी समष्टि में वक्र समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन हैं।^[2]

कोहेन-मैकाले के वलय

स्थानिक वलय R की गहनता कुछ में तत्वों की संख्या है(या, जैसा कि दिखाया जा सकता है, कोई भी) अधिकतम नियमित अनुक्रम, यानी, अनुक्रम a₁, ..., a_n ∈ m जैसे कि सभी a_i गैर-शून्य विभाजक हैं में

R / (a₁, ..., a_i−1).

किसी भी स्थानिक नोथेरियन वलय के लिए, असमानता

depth (R) ≤ dim (R)

रखती है। स्थानिक वलय जिसमें समानता होती है, कोहेन-मैकाले वलय कहलाता है। स्थानिक पूर्ण प्रतिच्छेदन के वलय, और फोर्टियोरी, नियमित स्थानीय वलय कोहेन-मैकाले हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। कोहेन-मैकाले नियमित वलय के वांछनीय गुणों को जोड़ते हैं(जैसे कि सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी वलय होने का गुण, जिसका अर्थ है कि प्राइम्स का(सह) आयाम अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है), लेकिन नियमित स्थानिक वलय की तुलना में अधिक मजबूत होते हैं।^[3]

विनिमेय वलयों का निर्माण

दिए गए वलय में से नए वलय बनाने के कई तरीके हैं। इस तरह के निर्माण का उद्देश्य अक्सर वलय के कुछ गुणों में सुधार करना होता है ताकि इसे और अधिक आसानी से समझा जा सके। उदाहरण के लिए, पूर्णांकीय प्रांत जो अपने अंशों के क्षेत्र में अभिन्न रूप से बंद है, सामान्य कहलाता है। यह वांछनीय गुण है, उदाहरण के लिए कोई भी सामान्य एक-आयामी वलय आवश्यक रूप से नियमित है। रेंडरिंग^{[clarification needed]} वलय सामान्य सामान्यीकरण के रूप में जाना जाता है।

प्राप्तियां

यदि I क्रमविनिमेय वलय R में पूर्णता है, तो I की घात 0 के सांस्थितिक प्रतिवेश(सांस्थिति)बनाती हैं जो R को सांस्थितिक वलय के रूप में देखने की अनुमति देती हैं। इस सांस्थिति को I-एडिक सांस्थिति कहा जाता है। आर तो इस सांस्थिति के संबंध में पूरा किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, I-एडिक पूर्णता वलय R/In की व्युत्क्रम सीमा है। उदाहरण के लिए, यदि k क्षेत्र है, kX, k से अधिक चर में औपचारिक घात श्रृंखला वलय, k[X] का I-एडिक पूर्णता है जहाँ I , X द्वारा उत्पन्न प्रमुख पूर्णता है। यह वलय डिस्क के बीजगणितीय रेखीय के रूप में कार्य करता है। अनुरूप रूप से, p-एडिक पूर्णांकों का वलय मुख्य पूर्णता(p) के संबंध में Z की पूर्णता है। कोई भी वलय जो अपनी पूर्णता के लिए समरूपी है, पूर्ण कहलाता है।

पूर्ण स्थानिक वलय हेंसल के लेम्मा को संतुष्ट करते हैं, जो मोटे तौर पर बोलकर अवशेष क्षेत्र k से R तक समाधान(विभिन्न समस्याओं के) को विस्तारित करने की अनुमति देता है।

सजातीय धारणाएँ

क्रमविनिमेय वलयों के कई गहरे पहलुओं का समजातीय बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया गया है। होचस्टर (2007) सक्रिय अनुसंधान के इस क्षेत्र में कुछ खुले प्रश्नों को सूचीबद्ध करता है।

प्रक्षेपीय मापदंड और एक्सट्रीम फंक्शनल

प्रक्षेपीय मापदंड को मुक्त मापदंड के प्रत्यक्ष योगरूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि R स्थानिक है, तो कोई भी अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेपीय मापदंड वास्तव में मुक्त है, जो प्रक्षेपीय मापदंड औ सदिश बंडलों के बीच सादृश्य को सामग्री देता है।^[4] क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय का दावा है कि k[T₁, ..., T_n](k क्षेत्र) पर कोई भी अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेपीय मापदंड मुक्त है, लेकिन सामान्य तौर पर ये दो अवधारणाएँ भिन्न हैं। स्थानिक नोथेरियन वलय नियमित है यदि और केवल यदि इसका वैश्विक आयाम परिमित है, तो n कहें, जिसका अर्थ है कि किसी भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-मापदंड में अधिकतम लंबाई के प्रक्षेपी मापदंड द्वारा संकल्प होता है।

इस और अन्य संबंधित कथनों का प्रमाण अनुरूपता तरीकों के उपयोग पर निर्भर करता है, जैसे कि एक्सट ऑपरेटर । यह कारक का व्युत्पन्न कारक है

Hom_R(M, −).

बाद वाला कारक समुचित है यदि M प्रक्षेपी है, लेकिन अन्यथा नहीं: द्विभाजित map E → F, R-मापदंड के लिए, एक map M → F को एक map M → E तक विस्तारित करने की आवश्यकता नहीं है। उच्च एक्सटी कारक गैर-सटीकता होम-कारक को मापते हैं। समरूप बीजगणित प्रतिबंध में इस मानक निर्माण के महत्व को इस तथ्य से देखा जा सकता है कि अवशेष क्षेत्र k के साथ स्थानिक नोथेरियन वलय R नियमित है यदि और केवल यदि

Extⁿ(k, k)

काफी बड़े n के लिए गायब हो जाता है। इसके अलावा, इन एक्सट-ग्रुप्स के आयाम, जिन्हें बेट्टी संख्या के रूप में जाना जाता है, n में बहुपद रूप से बढ़ते हैं यदि और केवल यदि R एकस्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन वलय है।^[5]इस तरह के विचारों में एक महत्वपूर्ण तर्क कोज़ुल कॉम्प्लेक्स है, जो एक नियमित अनुक्रम के संदर्भ में एक स्थानिक वलय R के अवशेष क्षेत्र k का स्पष्ट मुक्त रिज़ॉल्यूशन प्रदान करता है।

समतलता

टेन्सर उत्पाद अन्य गैर-समुचित कारक है जो क्रमविनिमेय वलय के संदर्भ में प्रासंगिक है: सामान्य R-मापदंड M के लिए, कारक

M ⊗_R −

केवल समुचित है। यदि यह समुचित है, तो M को समतल कहा जाता है। यदि R स्थानिक है, तो कोई भी अंतिम रूप से प्रस्तुत समतल मापदंड परिमित क्रम से मुक्त है, इस प्रकार प्रक्षेपीय है। अनुरूपता बीजगणित के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, समतलता का गहरा ज्यामितीय प्रभाव है। उदाहरण के लिए, यदि R-बीजगणित S समतल है, तंतुओं के आयाम

S / pS = S ⊗_R R / p

(R में प्रमुख पूर्णता p के लिए) अपेक्षित आयाम हैं, अर्थात् dim S − dim R + dim(R / p).

गुण

वेडरबर्न की छोटी प्रमेय के अनुसार वेडरबर्न की प्रमेय, प्रत्येक परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय है, और इसलिए परिमित क्षेत्र है। नाथन जैकबसन के कारण वलय की क्रमविनिमेयता सुनिश्चित करने वाली अन्य शर्त निम्नलिखित है: R के प्रत्येक तत्व r के लिए पूर्णांक विद्यमान है n > 1 ऐसा है कि rⁿ = r.^[6] अगर, r² = r प्रत्येक r के लिए, वलय को बूलियन वलय कहा जाता है। अधिक सामान्य स्थितियाँ जो वलय की क्रमविनिमेयता की गारंटी देती हैं, भी जानी जाती हैं।^[7]

सामान्यीकरण

श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय

पैंट की एक जोड़ी(गणित) एक वृत्त और दो विसंधित वृत्तों के बीच सह-बंधन है। गुणन के रूप में कार्तीय गुणनफल के साथ सह-बोर्डवाद वर्ग और योग के रूप में असंयुक्त संघ, कोबोर्डवाद वलय बनाते हैं।

वर्गीकृत वलय R = ⨁_i∊Z R_i श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय कहा जाता है| श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय अगर, सभी सजातीय तत्वों a और b के लिए,

ab = (−1)^{deg a ⋅ deg b} ba.

यदि R_i अंतर ∂ द्वारा जुड़े हुए हैं जैसे कि उत्पाद नियम का अमूर्त रूप धारण करता है, अर्थात,

∂(ab) = ∂(a)b + (−1)^{deg a}∂(b),

R को अंतर वर्गीकृत बीजगणित(सीडीजीए ) कहा जाता है। उदाहरण बहुसंखयक(गणित) पर अंतर रूपों का परिसर है, बाहरी उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ, सीडीजीए है। सीडीजीए का सह समरूपता श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय है, जिसे कभी-कभी सह समरूपता वलय के रूप में संदर्भित किया जाता है। श्रेणीकृत वलय की विस्तृत श्रृंखला के उदाहरण इस तरह से सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, लाज़ार्ड की सार्वभौमिक वलय जटिल बहुसंखयक के सह-बोर्डवाद वर्गों की वलय है।

Z/2(Z के विपरीत) द्वारा श्रेणीकृत के संबंध में श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय को सुपरएलजेब्रा कहा जाता है।

संबंधित धारणा क्रमविनिमेय वलय है, जिसका अर्थ है कि R इस तरह से निस्यंदन(गणित) है कि संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय

gr R := ⨁ F_iR / ⨁ F_i−1R

क्रमविनिमेय है। उदाहरण वेइल बीजगणित और विभेदक संचालक के अधिक सामान्य वलय हैं।

प्रसमुच्चयी क्रमविनिमेय वलय

प्रसमुच्चयी क्रमविनिमेय वलय क्रमविनिमेय वलय की श्रेणी में प्रसमुच्चयी वस्तु है। वे(संयोजी) व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति के लिए ब्लॉक बना रहे हैं। निकट से संबंधित लेकिन अधिक सामान्य धारणा E_∞-वलय की है।

क्रमविनिमेय वलयों के अनुप्रयोग

पूर्णसममितिक कार्य
बीजगणितीय K-सिद्धांत
सांस्थितिक K-थ्योरी
विभाजित घात संरचनाएं
विट सदिश
हेके बीजगणित(फर्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में प्रयुक्त)
फॉनटेन पीरियड वलय
क्लस्टर बीजगणित
कनवल्शन बीजगणित(एक कम्यूटिव समूह का)
फ्रेचेट बीजगणित

यह भी देखें

लगभग वलय, क्रमविनिमेय वलय का एक निश्चित सामान्यीकरण
विभाज्यता(वलय थ्योरी): निलपोटेंट तत्व,(उदाहरण दोहरी संख्या)
पूर्णता और मापदंड: एक पूर्णता, मोरिटा तुल्यता के कट्टरपंथी
वलय समरूपता: अभिन्न तत्व: केली-हैमिल्टन प्रमेय, एकीकृत रूप से बंद प्रक्षेत्र, क्रुल वलय, क्रुल-अकिज़ुकी प्रमेय, मोरी-नागाटा प्रमेय
प्राइम्स: अभाज्य परिहार लेम्मा, जैकबसन कट्टरपंथी, नील रेडिकल ऑफ़ ए वलय, वर्णक्रम: कॉम्पैक्ट जगह, कनेक्टेड वलय, क्रमविनिमेय अल्जेब्रा पर डिफरेंशियल कैलकुलस, बनच-स्टोन प्रमेय
स्थानिक वलय: गोरेंस्टीन स्थानिक वलय(फर्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में भी प्रयुक्त): द्वैत(गणित), एबेन मैटलिस, दोहरीकरण मापदंड, पोपेस्कु प्रमेय, आर्टिन सन्निकटन प्रमेय।

संदर्भ

Christensen, Lars Winther; Striuli, Janet; Veliche, Oana (2010), "Growth in the minimal injective resolution of a local ring", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 81 (1): 24–44, arXiv:0812.4672, doi:10.1112/jlms/jdp058, S2CID 14764965
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Hochster, Melvin (2007), "Homological conjectures, old and new", Illinois J. Math., 51 (1): 151–169, doi:10.1215/ijm/1258735330
Jacobson, Nathan (1945), "Structure theory of algebraic algebras of bounded degree", Annals of Mathematics, 46 (4): 695–707, doi:10.2307/1969205, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205
Lyubeznik, Gennady (1989), "A survey of problems and results on the number of defining equations", Representations, resolutions and intertwining numbers, pp. 375–390, Zbl 0753.14001
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
Pinter-Lucke, James (2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001, ISSN 0723-0869

अग्रिम पठन

Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co.
Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press, MR 0345945
Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, Interscience Publishers, pp. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc. (Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)

[1] This notion can be related to the spectrum of a linear operator, see Spectrum of a C*-algebra and Gelfand representation.

[2] Matsumura (1989, §19, Theorem 48)

[3] Lyubeznik (1989)

[4] Eisenbud (1995, Corollary 18.10, Proposition 18.13)

[5] See also Serre–Swan theorem.

[6] Christensen, Striuli & Veliche (2010)

[7] Jacobson 1945

[8] Pinter-Lucke 2007

[nb 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Algebraic structure}}
-गणित में, क्रम[[विनिमेय]] वलय में गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय होती है। क्रमविनिमेय वलयों के अध्ययन को [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] कहा जाता है। पूरक रूप से, गैर विनिमेय बीजगणित वलय गुणों का अध्ययन है जो क्रमविनिमेय वलय के लिए विशिष्ट नहीं हैं। यह अंतर क्रमविनिमेय वलय के मूलभूत गुणों की उच्च संख्या से उत्पन्न होता है जो गैर विनिमेय वलय तक विस्तारित नहीं होते हैं।
+गणित में, '''क्रम [[विनिमेय]] वलय''' में गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय होती है। क्रमविनिमेय वलयों के अध्ययन को [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] कहा जाता है। पूरक रूप से, गैर विनिमेय बीजगणित वलय गुणों का अध्ययन है जो क्रमविनिमेय वलय के लिए विशिष्ट नहीं हैं। यह अंतर क्रमविनिमेय वलय के मूलभूत गुणों की उच्च संख्या से उत्पन्न होता है जो गैर विनिमेय वलय तक विस्तारित नहीं होते हैं।
 {{Ring theory sidebar}}
 {{Algebraic structures |Ring}}
 == परिभाषा और पहले उदाहरण ==
-वलय एक समुच्चय <math> R </math> है (गणित) जो दो [[बाइनरी ऑपरेशन]] से लैस है, यानी वलय के किसी भी दो एलिमेंट्स को एक तिहाई से जोड़ता है। उन्हें जोड़ और गुणा कहा जाता है और आमतौर पर<math>+</math>तथा; उदा. <math>a+b</math> तथा <math>a \cdot b</math>.बनाने के लिए इन दो परिचालनों को कई गुणों को पूरा करना पड़ता है: अंगूठी को एक एबेलियन समूह के साथ-साथ गुणन के तहत एक मोनोइड होना चाहिए, जहां गुणा अतिरिक्त रूप से वितरित होता है; अर्थात।, <math>a \cdot \left(b + c\right) = \left(a \cdot b\right) + \left(a \cdot c\right)</math>. जोड़ और गुणा के लिए तत्समक तत्व निरूपित किए गए हैं <math> 0 </math> तथा <math> 1 </math>, क्रमश।
+वलय एक समुच्चय <math> R </math> है(गणित) जो दो [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी संक्रिया]] से सुसज्जित है, यानी वलय के किसी भी दो तत्व को एक तिहाई से जोड़ता है। उन्हें जोड़ और गुणा कहा जाता है और सामान्यतः <math>+</math> तथा  " <math>\cdot</math>", उदाहरण <math>a+b</math> तथा <math>a \cdot b</math>  हैI वलय बनाने के लिए इन दो परिचालनों को कई गुणों को पूरा करना पड़ता है: वलय को एबेलियन समूह के साथ-साथ गुणन के तहत एकाभ होना चाहिए, जहां गुणा अतिरिक्त रूप से वितरित होता है, अर्थात।, <math>a \cdot \left(b + c\right) = \left(a \cdot b\right) + \left(a \cdot c\right)</math>. जोड़ और गुणा के लिए तत्समक तत्व निरूपित किए गए हैं <math> 0 </math> तथा <math> 1 </math>, क्रमश।
 यदि गुणन क्रमविनिमेय है, अर्थात
 <math display="block">a \cdot b = b \cdot a,</math>
-फिर वलय<math> R </math> क्रमविनिमेय कहा जाता है। इस लेख के शेष भाग में, सभी अंगूठियां क्रमविनिमेय होंगी, जब तक कि स्पष्ट रूप से अन्यथा न कहा गया हो।
+फिर वलय <math> R </math> क्रमविनिमेय कहा जाता है। इस लेख के शेष भाग में, सभी वलय क्रमविनिमेय होंगी, जब तक कि स्पष्ट रूप से अन्यथा न कहा गया हो।
 === पहला उदाहरण ===
-एक महत्वपूर्ण उदाहरण, और कुछ अर्थों में महत्वपूर्ण, [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का वलय है <math> \mathbb{Z} </math> जोड़ और गुणा के दो संक्रियाओं के साथ। चूँकि पूर्णांकों का गुणन क्रमविनिमेय संक्रिया है, यह क्रमविनिमेय वलय है। इसे आमतौर पर <math> \mathbb{Z} </math>[[जर्मन भाषा|जर्मन शब्द]]ज़ाहलेन (नंबर) के संक्षिप्त नाम के रूप में दर्शाया जाता है।
+महत्वपूर्ण उदाहरण, और कुछ महत्वपूर्ण अर्थों में, [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का वलय <math> \mathbb{Z} </math> जोड़ और गुणा के दो संक्रियाओं के साथ है। चूँकि पूर्णांकों का गुणन क्रमविनिमेय संक्रिया है, यह क्रमविनिमेय वलय है। इसे सामान्यतः <math> \mathbb{Z} </math> [[जर्मन भाषा|जर्मन शब्द]] ज़ाहलेन(नंबर) के संक्षिप्त नाम के रूप में दर्शाया जाता है।
-एक [[क्षेत्र (गणित)]] एक क्रमविनिमेय वलय है जहाँ <math> 0 \not = 1 </math> और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व<math> a </math> व्युत्क्रमणीय है; यानी, एक गुणक व्युत्क्रम है <math> b </math> जैसे कि <math> a \cdot b = 1 </math>इसलिए, परिभाषा के अनुसार, कोई भी क्षेत्र क्रमविनिमेय वलय है। [[परिमेय संख्या]], [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]]एँ फ़ील्ड बनाती हैं।
+[[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र(गणित)]] क्रमविनिमेय वलय है जहाँ <math> 0 \not = 1 </math> और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व <math> a </math> व्युत्क्रमणीय है, यानी, गुणक व्युत्क्रम है <math> b </math> जैसे कि <math> a \cdot b = 1 </math> इसलिए, परिभाषा के अनुसार, कोई भी क्षेत्र क्रमविनिमेय वलय है। [[परिमेय संख्या]], [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]]एँ क्षेत्र बनाती हैं।
-यदि<math> R </math>एक दी गई क्रमविनिमेय वलय है, तो चर <math> X </math> में सभी [[बहुपद|बहुपदों]] का समुच्चय है  जिनके गुणांक <math> R </math> में हैंबहुपद वलय बनाता है, <math> R \left[ X \right] </math>जिसे निरूपित किया जाता है । वही कई चरों के लिए सही है।
+यदि <math> R </math> दी गई क्रमविनिमेय वलय है, तो चर <math> X </math> में सभी [[बहुपद|बहुपदों]] का समुच्चय है  जिनके गुणांक <math> R </math> में हैं बहुपद वलय बनाता है, <math> R \left[ X \right] </math> जिसे निरूपित किया जाता है। वही कई चरों के लिए सही है।
-यदि<math> V </math>कुछ [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, उदाहरण के लिए कुछ <math> \mathbb{R}^n </math>का एक उपसमुच्चय, वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन <math> V </math>क्रमविनिमेय वलय बनाता है। अलग-अलग या[[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के लिए भी यही सच है, जब दो अवधारणाओं को परिभाषित किया जाता है, जैसे कि<math> V </math>एक जटिल कई गुना।
+यदि <math> V </math> कुछ [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] है, उदाहरण के लिए कुछ <math> \mathbb{R}^n </math> का उपसमुच्चय, वास्तविक- या जटिल-मान सतत  फलन <math> V </math> क्रमविनिमेय वलय बनाता है। अलग-अलग या [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|पूर्णसममितिक फलन]] के लिए भी यही सच है, जब दो अवधारणाओं को परिभाषित किया जाता है, जैसे कि <math> V </math>जटिल बहुसंखयक है।
 == विभाज्यता ==
-क्षेत्रों के विपरीत, जहां प्रत्येक अशून्य तत्व गुणात्मक रूप से व्युत्क्रमणीय होता है, छल्ले के लिए विभाज्यता की अवधारणा अधिक समृद्ध होती है। एक तत्व <math> a </math> वलय का<math> R </math>को एक इकाई कहा जाता है यदि इसमें गुणक व्युत्क्रम होता है। एक अन्य विशेष प्रकार का तत्व शून्य विभाजक है, अर्थात एक तत्व <math> a </math>ऐसा है कि रिंग का एक गैर-शून्य तत्व <math> b </math> मौजूद है जैसे कि <math> ab = 0 </math>अगर<math> R </math>के पास कोई गैर-शून्य शून्य विभाजक नहीं है, तो इसे एक अभिन्न डोमेन (या डोमेन) कहा जाता है। एक तत्व <math> a </math> संतोषजनक <math> a^n = 0  </math>किसी धनात्मक पूर्णांक <math> n </math> के लिए [[शून्य तत्व]] कहा जाता है।
+क्षेत्रों के विपरीत, जहां प्रत्येक अशून्य तत्व गुणात्मक रूप से व्युत्क्रमणीय होता है, वलय के लिए विभाज्यता की अवधारणा अधिक समृद्ध होती है। तत्व <math> a </math> वलय का <math> R </math> को इकाई कहा जाता है यदि इसमें गुणक व्युत्क्रम होता है। अन्य विशेष प्रकार का तत्व शून्य विभाजक है, अर्थात एक तत्व  <math> a </math> ऐसा है कि वलय का गैर-शून्य तत्व <math> b </math> विद्यमान  है जैसे कि <math> ab = 0 </math> अगर <math> R </math> के पास कोई गैर-शून्य शून्य विभाजक नहीं है, तो इसे पूर्णांकीय प्रांत(या प्रक्षेत्र) कहा जाता है। एक तत्व  <math> a </math> संतोषजनक  <math> a^n = 0  </math> किसी धनात्मक पूर्णांक <math> n </math> के लिए [[शून्य तत्व]] कहा जाता है।
 === स्थानीयकरण ===
-{{Main|Localization of a ring}}
+{{Main|वलय का स्थानीयकरण}}
-एक वलय का स्थानीयकरण एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें कुछ तत्वों को उल्टा कर दिया जाता है, यानी गुणक व्युत्क्रम को अंगूठी में जोड़ दिया जाता है। निश्चित रूप <math> S </math>, <math> R </math>का [[गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय]] है((अर्थात जब भी <math> s,t \in S </math> तो <math> st </math>ऐसा है ) तो <math> S </math> पर<math> R </math>  का स्थानीयकरण, या <math> S </math> हर के साथ भिन्नों का छल्ला, आमतौर पर <math> S^{-1}R </math> प्रतीकों के होते हैं
+वलय का स्थानीयकरण ऐसी प्रक्रिया है जिसमें कुछ तत्वों को प्रतीप्य कर दिया जाता है, यानी गुणक व्युत्क्रम को वलय में जोड़ दिया जाता है। निश्चित रूप <math> S </math>, <math> R </math> का [[गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय]] है(अर्थात जब भी <math> s,t \in S </math> तो <math> st </math> ऐसा है ) तो <math> S </math> पर <math> R </math> का स्थानीयकरण, या <math> S </math> हर के साथ भिन्नों का वलय, सामान्यतः <math> S^{-1}R </math>  प्रतीकों के होते हैं
-{{block indent|1= <math>\frac{r}{s}</math> with <math> r \in R, s \in S </math> }}
+{{block indent|1= <math>\frac{r}{s}</math> के साथ <math> r \in R, s \in S </math> }}
-कुछ नियमों के अधीन जो परिमेय संख्याओं से परिचित निरस्तीकरण की नकल करते हैं। वास्तव में, इस भाषा में ''<math> \mathbb{Q} </math>'' '' <math> \mathbb{Z} </math> का सभी शून्येतर पूर्णांकों पर स्थानीयकरण है। यह निर्माण <math> \mathbb{Z} </math>''के बजाय किसी भी अभिन्न डोमेन ''<math> R </math>''के लिए काम करता है। स्थानीयकरण <math> \left(R\backslash \left\{0\right\}\right)^{-1}R </math> एक क्षेत्र है, जिसे <math> R </math> का [[भागफल क्षेत्र]] कहा जाता है।
+कुछ नियमों के अधीन जो परिमेय संख्याओं से परिचित निरस्तीकरण की निराकरण करते हैं। वास्तव में, इस भाषा में ''<math> \mathbb{Q} </math>'', '' <math> \mathbb{Z} </math> ''का सभी शून्येतर पूर्णांकों पर स्थानीयकरण है। यह निर्माण <math> \mathbb{Z} </math> के बजाय किसी भी पूर्णांकीय प्रांत ''<math> R </math>'' के लिए काम करता है। स्थानीयकरण <math> \left(R\backslash \left\{0\right\}\right)^{-1}R </math> क्षेत्र है, जिसे <math> R </math> का [[भागफल क्षेत्र]] कहा जाता है।
+== पूर्णता और मापदंड ==
+{{hatnote|निम्नलिखित में, R क्रमविनिमेय वलय को दर्शाता है।}}
+अनिवार्य रूप से क्रमविनिमेय वलय के लिए निम्न में से कई धारणाएं विद्यमान  हैं, लेकिन परिभाषाएं और गुण सामान्यतः अधिक जटिल होते हैं। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय वलय में सभी पूर्णता स्वतः ही दो-पक्षीय पूर्णता होते हैं| दो-पक्षीय, जो स्थिति को काफी सरल करता है।
-== आदर्श और मॉड्यूल ==
+=== मापदंड ===
-{{hatnote|In the following, R denotes a commutative ring.}}
+{{Main|मापदंड (mathematics)|l1=मापदंड}}
-अनिवार्य रूप से क्रमविनिमेय वलय के लिए निम्न में से कई धारणाएं मौजूद हैं, लेकिन परिभाषाएं और गुण आमतौर पर अधिक जटिल होते हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रमविनिमेय वलय में सभी आदर्श स्वतः ही दो-पक्षीय आदर्श होते हैं|दो-पक्षीय, जो स्थिति को काफी सरल करता है।
-=== मॉड्यूल ===
+वलय <math> R </math> मापांक <math> M </math> क्षेत्र के लिए सदिश समष्टि के समान है। अर्थात्, मापदंड में तत्वों को जोड़ा जा सकता है, उन्हें <math> R </math> के तत्वों से गुणा किया जा सकता है, जो सदिश समष्टि के समान स्वयंसिद्धों के अधीन है।
-{{Main|Module (mathematics)|l1=Module}}
-एक वलय <math> R </math> मापांक<math> M </math>एक फ़ील्ड के लिए वेक्टर स्पेस के समान है। अर्थात्, मॉड्यूल में तत्वों को जोड़ा जा सकता है; उन्हें<math> R </math>के तत्वों से गुणा किया जा सकता है, जो सदिश स्थान के समान स्वयंसिद्धों के अधीन है।
-वेक्टर रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल का अध्ययन महत्वपूर्ण रूप से अधिक शामिल है, क्योंकि ऐसे मॉड्यूल हैं जिनका कोई आधार नहीं है, अर्थात, एक फैले हुए सेट को शामिल नहीं करते हैं जिनके तत्व [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] हैं। एक मॉड्यूल जिसका एक आधार होता है, उसे[[मुफ्त मॉड्यूल]] कहा जाता है, और एक फ्री मॉड्यूल के सबमॉड्यूल को फ्री होने की जरूरत नहीं है।
+सदिश समष्टि की तुलना में मापदंड का अध्ययन महत्वपूर्ण रूप से अधिक सम्मिलित है, क्योंकि ऐसे मापदंड हैं जिनका कोई आधार नहीं है, अर्थात, रैखिक स्पंदन को सम्मिलित नहीं करते हैं जिनके तत्व [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] हैं। मापदंड जिसका आधार होता है, उसे [[मुफ्त मॉड्यूल|मुक्त मापदंड]] कहा जाता है, और मुक्त मापदंड के सबमॉड्यूल को मुक्त होने की जरूरत नहीं है।
-परिमित प्रकार का एक मॉड्यूल एक मॉड्यूल है जिसमें परिमित फैलाव सेट होता है। परिमित प्रकार के मॉड्यूल रैखिक बीजगणित में परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान की भूमिका के समान क्रमविनिमेय छल्ले के सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, [[नूथेरियन बजता है|नोथेरियन रिंग्स है]] (नीचे {{slink|| नोथेरियन रिंग्स}}भी देखें) को रिंग्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि परिमित प्रकार के मॉड्यूल का प्रत्येक सबमॉड्यूल भी परिमित प्रकार का होता है।
+परिमित प्रकार का मापदंड जिसमें परिमित सीमा समुच्चय होता है। परिमित प्रकार के मापदंड रैखिक बीजगणित में परिमित-आयामी सदिश समष्टि की भूमिका के समान क्रमविनिमेय वलय के सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, [[नूथेरियन बजता है|नोथेरियन वलय है]](नीचे {{slink|| नोथेरियन रिंग्स}}भी देखें) को वलय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि परिमित प्रकार के मापदंड का प्रत्येक सबमॉड्यूल भी परिमित प्रकार का होता है।
-=== आदर्श ===
+=== पूर्णता ===
-{{Main|Ideal (ring theory)|l1=Ideal|Factor ring}}
+{{Main|पूर्णता (वलय लिखित)|l1=पूर्णता|कारक वलय}}
-एक वलय के आदर्श<math> R </math>के [[submodule|सबमॉड्यूल]] हैं, यानी, <math> R </math> इसमें निहित मॉड्यूल। अधिक विस्तार से, एक आदर्श <math> I </math><math> R </math>का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है, जैसे कि सभी <math> r </math><math> R </math>, <math> i </math>और<math> j </math>में<math> I </math>, दोनों<math> ri </math>तथा<math> i+j </math>में <math> I </math>हैं। विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए, एक अंगूठी के आदर्शों को समझना विशेष महत्व का है, लेकिन अक्सर सामान्य रूप से मॉड्यूल का अध्ययन करके आगे बढ़ता है।
+वलय के पूर्णता <math> R </math> के [[submodule|सबमॉड्यूल]], यानी, <math> R </math> इसमें निहित मापदंड हैं। अधिक विस्तार से, एक पूर्णता <math> I </math>, <math> R </math> का गैर-रिक्त उपसमुच्चय है, जैसे कि सभी <math> r </math> में <math> R </math>, <math> i </math> और <math> j </math> <math> I </math>, हैं दोनों <math> ri </math> तथा<math> i+j </math> में <math> I </math> हैं। विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए, वलय के पूर्णता को समझना विशेष महत्व का है, लेकिन अक्सर सामान्य रूप से मापदंड का अध्ययन करके आगे बढ़ता है।
-किसी भी वलय की दो आदर्शहोते हैं, अर्थात् शून्य आदर्श<math> \left\{0\right\} </math>तथा<math> R </math>, पूरी वलय।यदि <math> R </math>एक क्षेत्र है, तो ये दो आदर्श ही ठीक हैं। किसी भी उपसमुच्चय को देखते हुए <math> F=\left\{f_j\right\}_{j \in J} </math>का<math> R </math> (जहाँ<math> J </math>कुछ इंडेक्स समुच्चय है), <math> F </math>द्वारा जनरेट किया गया आदर्श सबसे छोटा आदर्श है जिसमें <math> F </math>.शामिल है। समतुल्य रूप से, यह परिमित [[रैखिक संयोजन]] द्वारा दिया जाता है<math display="block"> r_1 f_1 + r_2 f_2 + \dots + r_n f_n .</math>
+किसी भी वलय की दो पूर्णता होते हैं, अर्थात् शून्य पूर्णता <math> \left\{0\right\} </math> तथा पूरी वलय <math> R </math>। यदि <math> R </math> क्षेत्र है, तो ये दो पूर्णता ही ठीक हैं। किसी भी उपसमुच्चय को देखते हुए <math> F=\left\{f_j\right\}_{j \in J} </math> का<math> R </math>(जहाँ <math> J </math> कुछ सूची समुच्चय है), <math> F </math> द्वारा उत्पन्न किया गया पूर्णता सबसे छोटा पूर्णता है जिसमें <math> F </math> सम्मिलित है। समतुल्य रूप से, यह परिमित [[रैखिक संयोजन]] द्वारा दिया जाता है<math display="block"> r_1 f_1 + r_2 f_2 + \dots + r_n f_n .</math>
-==== प्रमुख आदर्श डोमेन ====
+==== प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र ====
-यदि<math> F </math> में एक ही तत्व <math> r </math> होता है, तो <math> F </math> द्वारा उत्पन्न आदर्श में <math> r </math> के गुणक होते हैं, अर्थात, यानी फॉर्म के तत्व<math> rs </math>मनमाने तत्वों के लिए<math> s </math>.ऐसे आदर्श को प्रधान आदर्श कहा जाता है। यदि प्रत्येक गुणजगुण एक प्रधान गुणजावली है, <math> R </math>को प्रधान आदर्श वलय कहा जाता है; दो महत्वपूर्ण मामले हैं <math> \mathbb{Z} </math>'' तथा ''<math> k \left[X\right] </math>, एक क्षेत्र पर बहुपद वलय<math> k </math>. ये दोनों अतिरिक्त डोमेन हैं, इसलिए इन्हें [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] कहा जाता है।
+यदि <math> F </math> में एक ही तत्व <math> r </math> होता है, तो <math> F </math> द्वारा उत्पन्न पूर्णता में <math> r </math> के गुणक होते हैं, अर्थात, यानी फॉर्म के तत्व <math> rs </math> स्वच्छंद तत्वों के लिए <math> s </math> है। ऐसे पूर्णता को अभाज्य पूर्णता कहा जाता है। यदि प्रत्येक गुणजगुण अभाज्य गुणजावली है, <math> R </math> को अभाज्य पूर्णता वलय कहा जाता है, दो महत्वपूर्ण मामले हैं <math> \mathbb{Z} </math>'' तथा ''<math> k \left[X\right] </math>, क्षेत्र पर बहुपद वलय <math> k </math> है। ये दोनों अतिरिक्त प्रक्षेत्र हैं, इसलिए इन्हें [[प्रमुख आदर्श डोमेन|प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र]] कहा जाता है।
-सामान्य छल्लों के विपरीत, एक प्रमुख आदर्श डोमेन के लिए, व्यक्तिगत तत्वों के गुण पूरी तरह से अंगूठी के गुणों से दृढ़ता से बंधे होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी प्रिंसिपल आइडियल डोमेन <math> R </math>एक यूनीक फैक्टराइज़ेशन डोमेन (UFD) है, जिसका मतलब है कि कोई भी एलीमेंट इर्रिड्यूसिबल एलिमेंट्स का प्रोडक्ट है, एक अनोखे तरीके से (फैक्टर्स को रीऑर्डर करने तक)। यहां, एक डोमेन में एक तत्व को एक उत्पाद के रूप में व्यक्त करने का एकमात्र तरीका इर्रेड्यूबल कहा जाता है<math display="block"> a=bc ,</math>या तो <math> b </math> या <math> c </math> एक इकाई है। एक उदाहरण, क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण, [[अलघुकरणीय बहुपद]] हैं, अर्थात्, <math> k \left[X\right] </math>में एकअलघुकरणीय तत्व <math> k </math>. यह तथ्य कि '<math> \mathbb{Z} </math>'' एक UFD'' है, यह कहकर अधिक प्राथमिक रूप से कहा जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं की शक्तियों के उत्पाद के रूप में अद्वितीय रूप से विघटित किया जा सकता है। इसे अंकगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।
+सामान्य वलय के विपरीत, प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र के लिए, व्यक्तिगत तत्वों के गुण पूरी तरह से वलय के गुणों से दृढ़ता से बंधे होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी प्रमुख पूर्णता प्रक्षेत्र <math> R </math>   एकमात्र गुणनखण्ड प्रक्षेत्र(यूएफडी) है, जिसका मतलब है कि कोई भी तत्व अलघुकरणीय तत्व का गुणन है, अनोखे तरीके से(गुणन खंड को क्रम बदल करने तक)। यहां, प्रक्षेत्र में तत्व को उत्पाद के रूप में व्यक्त करने का एकमात्र तरीका अलघुकरणीय कहा जाता है<math display="block"> a=bc ,</math>या तो <math> b </math> या <math> c </math> इकाई है। उदाहरण, क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण, [[अलघुकरणीय बहुपद]] हैं, अर्थात् <math> k \left[X\right] </math> में अलघुकरणीय तत्व <math> k </math> है। यह तथ्य कि '<math> \mathbb{Z} </math> <u>यूएफडी</u> है, यह कहकर अधिक प्राथमिक रूप से कहा जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं की घात के उत्पाद के रूप में अद्वितीय रूप से विघटित किया जा सकता है। इसे अंकगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।
-एक तत्व <math> a </math>एक प्रमुख तत्व है यदि जब भी <math> a </math> किसी उत्पाद को विभाजित करता है<math> bc </math>,<math> a </math>विभाजित<math> b </math>या<math> c </math>। एक डोमेन में, प्रधान होने का अर्थ है अलघुकरणीय होना। एक विशिष्ट गुणनखंडन डोमेन में विलोम सत्य है, लेकिन सामान्य रूप से असत्य है।
+तत्व  <math> a </math>  प्रमुख तत्व है यदि जब भी <math> a </math> किसी उत्पाद <math> bc </math> को विभाजित करता है , <math> a </math> विभाजित <math> b </math>या <math> c </math> को करता है। प्रक्षेत्र में, अभाज्य होने का अर्थ है अलघुकरणीय होना। विशिष्ट गुणनखंडन प्रक्षेत्र में विलोम सत्य है, लेकिन सामान्य रूप से असत्य है।
-==== कारक अँगूठी ====
+==== कारक वलय ====
-आदर्शों की परिभाषा ऐसी है जो बांटती है<math> I </math>out एक और वलय देता है, फैक्टर वलय<math> R </math>/<math> I </math>: यह सहसमुच्चय का समुच्चय है<math> I </math>एक साथ संचालन के साथ<math display="block"> \left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I </math>तथा<math> \left(a+I\right) \left(b+I\right)=ab+I </math>. उदाहरण के लिए, वलय <math> \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} </math> (भी दर्शाया गया है <math> \mathbb{Z}_n </math>), कहाँ पे<math> n </math>एक पूर्णांक है, पूर्णांक मॉड्यूलो का वलय है<math> n </math>. यह [[मॉड्यूलर अंकगणित]] का आधार है।
+पूर्णता की परिभाषा ऐसी है कि "विभाजक" <math> I </math> out एक और वलय देता है, गुणनखंड वलय <math> R </math>/<math> I </math>: यह सहसमुच्चय का समुच्चय है <math> I </math> संचालन के साथ<math display="block"> \left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I </math>तथा <math> \left(a+I\right) \left(b+I\right)=ab+I </math>, उदाहरण के लिए, वलय <math> \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} </math>(भी दर्शाया गया है <math> \mathbb{Z}_n </math>), जहाँ पे <math> n </math> एक पूर्णांक है, पूर्णांक मापांक <math> n </math> का वलय है। यह [[मॉड्यूलर अंकगणित|मापांक अंकगणित]] का आधार है।
-एक आदर्श उचित है अगर यह पूरी अंगूठी से सख्ती से छोटा है। एक आदर्श जो किसी भी उचित आदर्श में कड़ाई से निहित नहीं है, उसे [[अधिकतम आदर्श|अधिकतम]] कहा जाता है। एक आदर्श<math> m </math>अधिकतम होता है यदि और केवल यदि <math> R </math>/<math> m </math>एक फ़ील्ड हो। शून्य वलय को छोड़कर, किसी भी वलय (पहचान के साथ) में कम से कम एक अधिकतम आदर्श होता है; यह ज़ोर्न के लेम्मा से आता है।
+पूर्णता उचित है अगर यह पूरी वलय से छोटा है। पूर्णता जो किसी भी उचित पूर्णता में निहित नहीं है, उसे [[अधिकतम आदर्श|अधिकतम]] कहा जाता है। पूर्णता <math> m </math> अधिकतम होता है यदि और केवल यदि <math> R </math>/<math> m </math> क्षेत्र हो। शून्य वलय को छोड़कर, किसी भी वलय(पहचान के साथ) में कम से कम एक अधिकतम पूर्णता होता है, यह ज़ोर्न के लेम्मा से आता है।
-=== नोथेरियन रिंग्स ===
+=== नोथेरियन वलय ===
-{{Main|Noetherian ring}}
+{{Main|नोथेरियन वलय}}
-एक वलय को नोथेरियन कहा जाता है ([[एमी नोथेर]] के सम्मान में, जिन्होंने इस अवधारणा को विकसित किया था) यदि प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]]<math display="block"> 0 \subseteq I_0 \subseteq I_1 \subseteq \dots \subseteq I_n \subseteq I_{n+1} \dots </math>स्थिर हो जाता है, अर्थात किसी सूचकांक <math> n </math> से परे स्थिर हो जाता है। समतुल्य रूप से, कोई भी आदर्श सूक्ष्म रूप से कई तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, या समतुल्य, सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के सबमॉड्यूल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं।
+वलय को नोथेरियन कहा जाता है([[एमी नोथेर]] के सम्मान में, जिन्होंने इस अवधारणा को विकसित किया था) यदि प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]]<math display="block"> 0 \subseteq I_0 \subseteq I_1 \subseteq \dots \subseteq I_n \subseteq I_{n+1} \dots </math>स्थिर हो जाता है, अर्थात किसी सूचकांक <math> n </math> से परे स्थिर हो जाता है। समतुल्य रूप से, कोई भी पूर्णता सूक्ष्म रूप से कई तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, या समतुल्य, सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मापदंड के सबमॉड्यूल सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं।
-नोथेरियन होना एक अत्यधिक महत्वपूर्ण परिमितता की स्थिति है, और स्थिति को ज्यामिति में अक्सर होने वाले कई कार्यों के तहत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math> R </math>नोथेरियन है, तो बहुपद वलय <math> R \left[X_1,X_2,\dots,X_n\right] </math>(हिल्बर्ट के आधार प्रमेय द्वारा), कोई स्थानीयकरण <math> S^{-1}R </math>, और कोई भी कारक रिंग <math> R </math>/<math> I </math>.
+नोथेरियन होना अत्यधिक महत्वपूर्ण परिमितता की स्थिति है, और स्थिति को ज्यामिति में अक्सर होने वाले कई कार्यों के तहत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math> R </math>नोथेरियन है, तो बहुपद वलय <math> R \left[X_1,X_2,\dots,X_n\right] </math>(हिल्बर्ट के आधार प्रमेय द्वारा), कोई स्थानीयकरण <math> S^{-1}R </math>, और कोई भी कारक वलय <math> R </math>/<math> I </math> है।
-कोई भी गैर-नोथेरियन वलय<math> R </math>अपने नोथेरियन सबरिंग्स का [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] है। यह तथ्य, जिसे [[नोथेरियन सन्निकटन]]के रूप में जाना जाता है, कुछ प्रमेयों को गैर-नोएथेरियन रिंगों तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।
+कोई भी गैर-नोथेरियन वलय <math> R </math> अपने नोथेरियन सबरिंग्स का [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ(समुच्चय सिद्धांत)]] है। यह तथ्य, जिसे [[नोथेरियन सन्निकटन]] के रूप में जाना जाता है, कुछ प्रमेयों को गैर-नोएथेरियन वलय तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।
-=== [[आर्टिनियन रिंग]]्स ===
+=== [[आर्टिनियन रिंग|आर्टिनियन]] वलय ===
-आदर्शों की प्रत्येक अवरोही श्रृंखला होने पर एक वलय को आर्टिनियन वलय ([[एमिल आर्टिन]] के बाद) कहा जाता है<math display="block"> R \supseteq I_0 \supseteq I_1 \supseteq \dots \supseteq I_n \supseteq I_{n+1} \dots </math>अंततः स्थिर हो जाता है। सममित दिखाई देने वाली दो स्थितियों के बावजूद, नोथेरियन रिंग्स आर्टिनियन रिंग्स की तुलना में बहुत अधिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, '<math> \mathbb{Z} </math>'' नोथेरियन है, क्योंकि प्रत्येक आदर्श एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, लेकिन श्रृंखला के रूप में आर्टिनियन नहीं है
+पूर्णता की प्रत्येक अवरोही श्रृंखला होने पर वलय को आर्टिनियन वलय([[एमिल आर्टिन]] के बाद) कहा जाता है<math display="block"> R \supseteq I_0 \supseteq I_1 \supseteq \dots \supseteq I_n \supseteq I_{n+1} \dots </math>अंततः स्थिर हो जाता है। सममित दिखाई देने वाली दो स्थितियों के बावजूद, नोथेरियन वलय आर्टिनियन वलय की तुलना में बहुत अधिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, '<math> \mathbb{Z} </math> नोथेरियन है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णता तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, लेकिन श्रृंखला के रूप में आर्टिनियन नहीं है
 ''<math display="block"> \mathbb{Z} \supsetneq 2\mathbb{Z} \supsetneq 4\mathbb{Z} \supsetneq 8\mathbb{Z} \dots </math>''
-दिखाता है। वास्तव में, हॉपकिंस-लेविट्ज़की प्रमेय द्वारा, प्रत्येक आर्टिनियन रिंग नोथेरियन है। अधिक सटीक रूप से, आर्टिनियन रिंग्स को नोथेरियन रिंग्स के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसका क्रुल आयाम शून्य है।
+दिखाता है। वास्तव में, हॉपकिंस-लेविट्ज़की प्रमेय द्वारा, प्रत्येक आर्टिनियन वलय नोथेरियन है। अधिक समुचित रूप से, आर्टिनियन वलय को नोथेरियन वलय के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसका क्रुल आयाम शून्य है।
-== क्रमविनिमेय वलय का स्पेक्ट्रम ==
+== क्रमविनिमेय वलय का वर्णक्रम ==
-=== प्रधान आदर्श ===
+=== अभाज्य पूर्णता ===
-{{Main|Prime ideal}}
+{{Main|अभाज्य पूर्णता}}
-जैसा कि ऊपर बताया गया था, <math> \mathbb{Z} </math> एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है। यह अधिक सामान्य छल्लों के लिए सही नहीं है, जैसा कि बीजगणितियों ने 19वीं शताब्दी में महसूस किया था। उदाहरण के लिए, में
+जैसा कि ऊपर बताया गया था, <math> \mathbb{Z} </math> अद्वितीय कारक करण प्रक्षेत्र है। यह अधिक सामान्य वलय के लिए सही नहीं है, जैसा कि बीजगणितियों ने 19वीं शताब्दी में अनुभव किया था। उदाहरण के लिए, में
 <math display="block">\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]</math>
-एक गुणनफल के रूप में 6 लिखने के वास्तव में दो भिन्न तरीके हैं:
+गुणनफल के रूप में 6 लिखने के वास्तव में दो भिन्न तरीके हैं:
 <math display="block">6 = 2 \cdot 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right).</math>
-प्रधान तत्वों के विपरीत प्रधान आदर्श, इस समस्या को दरकिनार करने का एक तरीका प्रदान करते हैं। एक प्रमुख आदर्श एक उचित (यानी, सख्ती से<math> R </math>) आदर्श <math> p </math> होता है, जैसे कि, जब भी उत्पाद <math> ab </math>किसी भी दो रिंग तत्वों <math> a </math> तथा <math> b </math> , <math> p, </math>में है, कम से कम दो तत्वों में से एक पहले से ही <math> p .</math> में है (विपरीत निष्कर्ष किसी भी आदर्श के लिए लागू होता है) , परिभाषा के अनुसार।) इस प्रकार, यदि एक प्रधान आदर्श प्रमुख है, तो यह एक प्रमुख तत्व द्वारा समान रूप से उत्पन्न होता है। हालांकि, <math>\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right],</math>जैसे रिंग्स में दाएं],} प्रमुख आदर्शों को प्रिंसिपल होने की जरूरत नहीं है। यह रिंग थ्योरी में प्रमुख तत्वों के उपयोग को सीमित करता है। हालांकि, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की आधारशिला यह तथ्य है कि किसी भी [[डेडेकाइंड रिंग|डेडेकाइंड वलय]]में (जिसमें  <math>\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]</math>और अधिक आम तौर पर एक संख्या क्षेत्र में [[बीजगणितीय पूर्णांक]]की अंगूठी) कोई आदर्श (जैसे कि 6 द्वारा उत्पन्न एक) प्रमुख आदर्शों के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित होता है।
+अभाज्य तत्वों के विपरीत अभाज्य पूर्णता, इस समस्या को दरकिनार करने का तरीका प्रदान करते हैं। एक प्रमुख पूर्णता उचित(यानी, <math> R </math> में सख्ती से निहित है) पूर्णता  <math> p </math> होता है, जैसे कि, जब भी उत्पाद <math> ab </math> किसी भी दो वलय तत्वों <math> a </math> तथा <math> b </math> , <math> p, </math>में है, कम से कम दो तत्वों में से पहले से ही <math> p .</math> में है(विपरीत निष्कर्ष किसी भी पूर्णता के लिए लागू होता है) , परिभाषा के अनुसार।) इस प्रकार, यदि अभाज्य पूर्णता प्रमुख है, तो यह प्रमुख तत्व द्वारा समान रूप से उत्पन्न होता है। हालांकि, <math>\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right],</math>जैसे वलय में दाएं],} प्रमुख पूर्णता को प्रमुख होने की जरूरत नहीं है। यह वलय थ्योरी में प्रमुख तत्वों के उपयोग को सीमित करता है। हालांकि, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की आधारशिला यह तथ्य है कि किसी भी [[डेडेकाइंड रिंग|डेडेकाइंड वलय]] में(जिसमें  <math>\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]</math>और अधिक सामान्यतः संख्या क्षेत्र में [[बीजगणितीय पूर्णांक]] की वलय) कोई पूर्णता(जैसे कि 6 द्वारा उत्पन्न एक) प्रमुख पूर्णता के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित होता है।
-कोई भी अधिकतम आदर्श एक प्रमुख आदर्श है या अधिक संक्षेप में, प्रमुख है। इसके अलावा, एक आदर्श <math>I</math>प्राइम है अगर और केवल अगर कारक रिंग<math>R/I</math> एक अभिन्न डोमेन है। यह साबित करना कि एक आदर्श प्रधान है, या समतुल्य है कि एक अंगूठी में कोई शून्य-भाजक नहीं है, यह बहुत कठिन हो सकता है। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है कि [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] <math>R \setminus p</math> गुणात्मक रूप से बंद है। स्थानीयकरण<math>\left(R \setminus p\right)^{-1}R</math> अपने स्वयं के अंकन के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण है : <math>R_p</math>इस वलय की केवल एक अधिकतम गुणजावली है, जिसका नाम <math>pR_p</math>. ऐसे छल्लों को स्थानीय वलय कहा जाता है।
+कोई भी अधिकतम पूर्णता प्रमुख पूर्णता है या अधिक संक्षेप में, प्रमुख है। इसके अलावा, पूर्णता <math>I</math> अभाज्य है अगर और केवल अगर कारक वलय <math>R/I</math> पूर्णांकीय प्रांत है। यह प्रमाणित करना कि पूर्णता अभाज्य है, या समतुल्य है कि वलय में कोई शून्य-भाजक नहीं है, यह बहुत कठिन हो सकता है। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है कि [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक(समुच्चय सिद्धांत)]] <math>R \setminus p</math>  गुणात्मक रूप से बंद है। स्थानीयकरण<math>\left(R \setminus p\right)^{-1}R</math> अपने स्वयं के अंकन के लिए पर्याप्त महत्वपूर्ण है : <math>R_p</math> इस वलय की केवल अधिकतम गुणजावली है, जिसका नाम <math>pR_p</math>है। ऐसे वलय को स्थानिक वलय कहा जाता है।
-=== स्पेक्ट्रम ===
+=== वर्णक्रम ===
-{{Main|Spectrum of a ring}}
+{{Main|वर्णक्रम वलय}}
-[[Image:Spec Z.png|right|400px|thumb|युक्ति (Z) में शून्य आदर्श के लिए एक बिंदु होता है। इस बिंदु का बंद होना संपूर्ण स्थान है। शेष अंक आदर्शों (''पी'') के अनुरूप हैं, जहां ''पी'' एक अभाज्य संख्या है। ये प्वाइंट बंद हैं।]]एक वलय का स्पेक्ट्रम <math>R</math>,<ref group=nb>This notion can be related to the [[Spectrum of an operator|spectrum]] of a linear operator, see [[Spectrum of a C*-algebra]] and [[Gelfand representation]].</ref> द्वारा चिह्नित<math>\text{Spec}\ R</math>, के सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है<math>R</math>. यह एक टोपोलॉजी, [[जरिस्की टोपोलॉजी]] से सुसज्जित है, जो बीजगणितीय गुणों को दर्शाता है<math>R</math>: खुले उपसमुच्चय का आधार किसके द्वारा दिया गया है<math display="block">D\left(f\right) = \left\{p \in \text{Spec} \ R,f \not\in p\right\}</math>, जहां <math>f</math>कोई वलय एलिमेंट है।
+[[Image:Spec Z.png|right|400px|thumb|युक्ति(Z) में शून्य पूर्णता के लिए एक बिंदु होता है। इस बिंदु का बंद होना संपूर्ण समष्टि है। शेष अंक पूर्णता(''पी'') के अनुरूप हैं, जहां ''पी'' एक अभाज्य संख्या है। ये प्वाइंट बंद हैं।]]वलय का वर्णक्रम <math>R</math>,<ref group=nb>This notion can be related to the [[Spectrum of an operator|spectrum]] of a linear operator, see [[Spectrum of a C*-algebra]] and [[Gelfand representation]].</ref> द्वारा चिह्नित <math>\text{Spec}\ R</math>, के सभी प्रमुख पूर्णता <math>R</math> का समुच्चय है। यह सांस्थिति, [[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]] से सुसज्जित है, जो बीजगणितीय गुणों को दर्शाता है<math>R</math>: खुले उपसमुच्चय का आधार किसके द्वारा दिया गया है<math display="block">D\left(f\right) = \left\{p \in \text{Spec} \ R,f \not\in p\right\}</math>, जहां <math>f</math> कोई वलय तत्व है।
-व्याख्या<math>f</math>की व्याख्या एक ऐसे फंक्शन के रूप में करना जो मान f mod p लेता है (अर्थात्, अवशिष्ट क्षेत्र R/p में f की छवि), यह उपसमुच्चय वह लोकस है जहाँ f गैर-शून्य है। स्पेक्ट्रम सटीक अंतर्ज्ञान भी बनाता है कि स्थानीयकरण और कारक के छल्ले पूरक हैं: प्राकृतिक मानचित्र आर → आर<sub>''f''</sub> और आर → आर / एफआर अनुरूप हैं, उनके ज़ारिस्की टोपोलॉजी के साथ रिंगों के स्पेक्ट्रा को समाप्त करने के बाद क्रमशः पूरक खुले और बंद विसर्जन के लिए। . यहां तक कि बुनियादी छल्ले के लिए, जैसे कि आर = जेड के लिए दाईं ओर सचित्र, ज़ारिस्की टोपोलॉजी वास्तविक संख्याओं के सेट पर एक से काफी अलग है।
+<math>f</math> की व्याख्या एक ऐसे फलन के रूप में करना जो मान f mod p लेता है(अर्थात्, अवशिष्ट क्षेत्र R/p में f की छवि), यह उपसमुच्चय वह स्थान है जहाँ f गैर-शून्य है। वर्णक्रम समुचित अंतर्ज्ञान भी बनाता है कि स्थानीयकरण और कारक केवलय पूरक हैं: प्राकृतिक प्रतिचित्र  ''R'' → ''R<sub>f</sub>''  और ''R'' → ''R'' / ''fR'' अनुरूप हैं, उनके ज़ारिस्की सांस्थिति के साथ वलय के स्पेक्ट्रा को समाप्त करने के बाद क्रमशः पूरक खुले और बंद विसर्जन के लिए। . यहां तक कि मूलभूत वलय के लिए, जैसे कि  ''R'' = '''Z''' के लिए दाईं ओर सचित्र, ज़ारिस्की सांस्थिति वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर एक से काफी अलग है।
-स्पेक्ट्रम में अधिकतम आदर्शों का समुच्चय होता है, जिसे कभी-कभी mSpec (R) के रूप में दर्शाया जाता है। बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के लिए mSpec (k[T<sub>1</sub>, ..., टी<sub>''n''</sub>] / (एफ<sub>1</sub>, ..., एफ<sub>''m''</sub>)) समुच्चय के साथ विरोध में है
+वर्णक्रम में अधिकतम पूर्णता का समुच्चय होता है, जिसे कभी-कभी mSpec(R) के रूप में दर्शाया जाता है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए mSpec(k[''T''<sub>1</sub>, ..., ''T<sub>n</sub>''] /(''f''<sub>1</sub>, ..., ''f<sub>m</sub>'')) समुच्चय के साथ विरोध में है
 {{block indent|1= {''x'' =(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) ∊ ''k''<sup>''n''</sup> | ''f''<sub>1</sub>(''x'') = ... = ''f''<sub>''m''</sub>(''x'') = 0.} }}
-इस प्रकार, अधिकतम आदर्श बहुपदों के समाधान सेट के ज्यामितीय गुणों को दर्शाते हैं, जो क्रमविनिमेय छल्लों के अध्ययन के लिए एक प्रारंभिक प्रेरणा है। हालांकि, अंगूठी के ज्यामितीय गुणों के हिस्से के रूप में गैर-अधिकतम आदर्शों का विचार कई कारणों से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम प्रधान आदर्श (अर्थात्, जो सख्ती से छोटे वाले नहीं होते हैं) स्पेक आर के [[अलघुकरणीय घटक]]के अनुरूप होते हैं। यह [[प्राथमिक अपघटन]]का एक ज्यामितीय पुनर्कथन है, जिसके अनुसार किसी भी आदर्श को सूक्ष्म रूप से कई [[प्राथमिक आदर्श]]के उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है। यह तथ्य डेडेकिंड के छल्ले में प्रमुख आदर्शों में अपघटन का अंतिम सामान्यीकरण है।
+इस प्रकार, अधिकतम पूर्णता बहुपदों के समाधान समुच्चय के ज्यामितीय गुणों को दर्शाते हैं, जो क्रमविनिमेय वलय के अध्ययन के लिए प्रारंभिक प्रेरणा है। हालांकि, वलय के ज्यामितीय गुणों के हिस्से के रूप में गैर-अधिकतम पूर्णता का विचार कई कारणों से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम अभाज्य पूर्णता(अर्थात्, जो सख्ती से छोटे वाले नहीं होते हैं)  Spec ''R'' के [[अलघुकरणीय घटक]] के अनुरूप होते हैं। यह [[प्राथमिक अपघटन]] का ज्यामितीय पुनर्कथन है, जिसके अनुसार किसी भी पूर्णता को सूक्ष्म रूप से कई [[प्राथमिक आदर्श|प्राथमिक पूर्णता]] के उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है। यह तथ्य डेडेकिंड के वलय में प्रमुख पूर्णता में अपघटन का अंतिम सामान्यीकरण है।
-=== Affine योजनाएं ===
+=== अफिन योजनाएं ===
-एक स्पेक्ट्रम की धारणा क्रमविनिमेय बीजगणित और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का सामान्य आधार है। बीजगणितीय ज्यामिति युक्ति R को एक [[शीफ (गणित)]]<math>\mathcal O</math> (एक इकाई जो स्थानीय रूप से परिभाषित कार्यों को एकत्र करती है, यानी अलग-अलग खुले उपसमुच्चय पर) के साथ समाप्त करके आगे बढ़ती है। स्पेस और शीफ के डेटम को एफाइन स्कीम कहा जाता है। एक [[affine योजना]]दी गई है, अंतर्निहित रिंग R को <math>\mathcal O</math> वैके वैश्विक वर्गों के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, रिंग और एफ़िन योजनाओं के बीच यह एक-से-एक पत्राचार भी रिंग होमोमोर्फिज़्म के साथ संगत है: कोई भी f : R → S विपरीत दिशा में एक सतत मानचित्र को जन्म देता है
+वर्णक्रम की धारणा क्रमविनिमेय बीजगणित और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] का सामान्य आधार है। बीजगणितीय ज्यामिति युक्ति R को [[शीफ (गणित)|शीफ(गणित)]] <math>\mathcal O</math>(एक इकाई जो स्थानिक रूप से परिभाषित कार्यों को एकत्र करती है, यानी अलग-अलग खुले उपसमुच्चय पर) के साथ समाप्त करके आगे बढ़ती है। स्पेस और शीफ के तथ्य को एफाइन स्कीम कहा जाता है। [[affine योजना|अफिन योजना]] दी गई है, अंतर्निहित वलय R को <math>\mathcal O</math> वैश्विक वर्गों के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, वलय और एफ़िन योजनाओं के बीच यह एक-से-एक पत्राचार भी वलय समरूपता के साथ संगत है: कोई भी f : R → S विपरीत दिशा में सतत प्रतिचित्र को जन्म देता है
-{{block indent|1= Spec ''S'' → Spec ''R'', ''q'' ↦ ''f''<sup>−1</sup>(''q''), i.e. any prime ideal of ''S'' is mapped to its [[preimage]] under ''f'', which is a prime ideal of ''R''. }}
+{{block indent|1= Spec ''S'' → Spec ''R'', ''q'' ↦ ''f''<sup>−1</sup>(''q''),यानी ''S''के किसी भी प्रमुख आदर्श को ''f'',के तहत अपनी प्रीइमेज में प्रतिचित्र किया जाता है, जो कि ''R'' का प्रमुख आदर्श है। }}
-दो उक्त श्रेणियों की श्रेणियों की परिणामी समानता ज्यामितीय तरीके से छल्लों के बीजगणितीय गुणों को उपयुक्त रूप से दर्शाती है।
+दो उक्त श्रेणियों की श्रेणियों की परिणामी समानता ज्यामितीय तरीके से वलय के बीजगणितीय गुणों को उपयुक्त रूप से दर्शाती है।
-इस तथ्य के समान कि [[कई गुना (गणित)]] स्थानीय रूप से आर के खुले उपसमुच्चय द्वारा दिए गए हैं<sup>n</sup>, affineयोजनाएं [[योजना (गणित)]] के लिए स्थानीय मॉडल हैं, जो बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की वस्तु हैं। इसलिए, क्रमविनिमेय वलय से संबंधित कई धारणाएं ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से उत्पन्न होती हैं।
+इस तथ्य के समान कि [[कई गुना (गणित)|बहुसंखयक(गणित)]] स्थानिक रूप से '''R'''<sup>''n''</sup> के खुले उपसमुच्चय द्वारा दिए गए हैं, अफिन [[योजना (गणित)|योजना(गणित)]] के लिए स्थानिक प्रतिरूप हैं, जो बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की वस्तु हैं। इसलिए, क्रमविनिमेय वलय से संबंधित कई धारणाएं ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से उत्पन्न होती हैं।
 === आयाम ===
-{{Main|Krull dimension}}
+{{Main|क्रुल आयाम}}
-वलय R का क्रुल डायमेंशन (या डायमेंशन) डिम R, R में स्वतंत्र तत्वों की गिनती करके, मोटे तौर पर बोलकर, वलय के आकार को मापता है। एक क्षेत्र k पर बीजगणित के आयाम को चार गुणों द्वारा स्वयंसिद्ध किया जा सकता है:
+वलय R का क्रुल आयाम(या आयाम) dim ''R'', R में स्वतंत्र तत्वों की गिनती करके, मोटे तौर पर बोलकर, वलय के आकार को मापता है। क्षेत्र k पर बीजगणित के आयाम को चार गुणों द्वारा स्वयंसिद्ध किया जा सकता है:
-* आयाम एक स्थानीय संपत्ति है: मंद आर = सुपर<sub>p ∊ Spec ''R''</sub> मंद आर<sub>''p''</sub>.
+* आयाम एक स्थानिक गुण है:  dim ''R'' = sup<sub>p ∊ Spec ''R''</sub> dim ''R<sub>p</sub>''.
-* आयाम निलपोटेंट तत्वों से स्वतंत्र है: यदि I ⊆ R निलपोटेंट है तो डिम आर = डिम आर / आई।
+* आयाम निलपोटेंट तत्वों से स्वतंत्र है: यदि I ⊆ R निलपोटेंट है तो dim ''R'' = dim ''R'' / ''I''
-* परिमित विस्तार के तहत आयाम स्थिर रहता है: यदि एस एक आर-बीजगणित है जो आर-मॉड्यूल के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, तो मंद एस = मंद आर।
+* परिमित विस्तार के तहत आयाम स्थिर रहता है: यदि ''S'' एक ''R''-बीजगणित है जो ''R''-मापदंड के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, तो  dim ''S'' = dim ''R''।
-* आयाम को मंद k [X द्वारा कैलिब्रेट किया जाता है<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>] = एन। यह अभिगृहीत n चरों में बहुपद वलय को affine space|n-आयामी स्थान के बीजगणितीय अनुरूप के रूप में प्रेरित करता है।
+* आयाम को  dim ''k''[''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''] = ''n'' द्वारा जांच  किया जाता है। यह अभिगृहीत n चरों में बहुपद वलय को अफिन n-आयामी समष्टि के बीजगणितीय अनुरूप के रूप में प्रेरित करता है।
-आयाम परिभाषित किया गया है, किसी भी वलय आर के लिए, प्रमुख आदर्शों की श्रृंखलाओं की लंबाई n के उच्चतम के रूप में
+आयाम परिभाषित किया गया है, किसी भी वलय ''R'' के लिए, प्रमुख पूर्णता की श्रृंखलाओं की लंबाई n के उच्चतम के रूप में
 {{block indent|1= ''p''<sub>0</sub> ⊊ ''p''<sub>1</sub> ⊊ ... ⊊ ''p''<sub>''n''</sub>. }}
-उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र शून्य-आयामी है, क्योंकि एकमात्र प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श है। पूर्णांक एक-विमीय होते हैं, क्योंकि शृंखलाएँ (0) ⊊ (p) के रूप की होती हैं, जहाँ p एक[[अभाज्य संख्या]] है। गैर-नोथेरियन रिंगों और गैर-स्थानीय रिंगों के लिए, आयाम अनंत हो सकता है, लेकिन नोथेरियन स्थानीय रिंगों का परिमित आयाम होता है। उपरोक्त चार स्वयंसिद्धों में से, पहले दो परिभाषा के प्रारंभिक परिणाम हैं, जबकि शेष दो क्रमविनिमेय बीजगणित में महत्वपूर्ण तथ्यों पर टिका है, ऊपर जाने वाला प्रमेय और क्रुल का प्रमुख आदर्श प्रमेय।
+उदाहरण के लिए, क्षेत्र शून्य-आयामी है, क्योंकि एकमात्र प्रमुख पूर्णता शून्य पूर्णता है। पूर्णांक एक-विमीय होते हैं, क्योंकि शृंखलाएँ(0) ⊊(p) के रूप की होती हैं, जहाँ p [[अभाज्य संख्या]] है। गैर-नोथेरियन वलय और गैर-स्थानिक वलय के लिए, आयाम अनंत हो सकता है, लेकिन नोथेरियन स्थानिक वलय का परिमित आयाम होता है। उपरोक्त चार स्वयंसिद्धों में से, पहले दो परिभाषा के प्रारंभिक परिणाम हैं, जबकि शेष दो क्रमविनिमेय बीजगणित में महत्वपूर्ण तथ्यों  ऊपर जाने वाला प्रमेय और क्रुल का प्रमुख पूर्णता प्रमेय पर टिका है।
 == वलय समरूपता ==
-{{Main|Ring homomorphism}}
+{{Main|वलय समरूपता}}
-एक वलय समरूपता या, अधिक बोलचाल की भाषा में, केवल एक मानचित्र, एक मानचित्र f : R → S ऐसा है कि
+वलय समरूपता या, अधिक बोलचाल की भाषा में, केवल प्रतिचित्र, एक प्रतिचित्र f : R → S ऐसा है कि
 {{block indent|1= ''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b''), ''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'') and ''f''(1) = 1. }}
-ये स्थितियाँ f(0) = 0 सुनिश्चित करती हैं। इसी तरह अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, एक वलय समरूपता इस प्रकार एक नक्शा है जो प्रश्न में बीजगणितीय वस्तुओं की संरचना के अनुकूल है। ऐसी स्थिति में S को एक R-बीजगणित भी कहा जाता है, यह समझकर कि S में s को R के कुछ r से गुणा किया जा सकता है, सेट करके
+ये स्थितियाँ f(0) = 0 सुनिश्चित करती हैं। इसी तरह अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, वलय समरूपता इस प्रकार प्रतिचित्र है जो प्रश्न में बीजगणितीय वस्तुओं की संरचना के अनुकूल है। ऐसी स्थिति में S को R-बीजगणित भी कहा जाता है, यह समझकर कि S में s को R के कुछ r से गुणा किया जा सकता है, समुच्चय करके
 {{block indent|1= ''r'' · ''s'' := ''f''(''r'') · ''s''. }}
-कर्नेल और f की छवि ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} और im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R} द्वारा परिभाषित की गई है। कर्नेल आर का एक आदर्श है, और छवि एस का एक उप-वलय है।
+कर्नेल और f की छवि ker(f) = {r ∈ R, f(r) = 0} और im(f) = f(R) = {f(r), r ∈ R} द्वारा परिभाषित की गई है। कर्नेल ''R'' का पूर्णता है, और छवि ''S'' का उप-वलय है।
-एक वलय समरूपता को एक समरूपता कहा जाता है यदि यह विशेषण है। [[सबरिंग|रिंग]] आइसोमोर्फिज़्म का एक उदाहरण, जिसे [[चीनी शेष प्रमेय]] के रूप में जाना जाता है, है
+वलय समरूपता को समरूपता कहा जाता है यदि यह द्विभाजित है। [[सबरिंग|वलय]] समरूपता का एक उदाहरण, जिसे [[चीनी शेष प्रमेय]] के रूप में जाना जाता है, है
 <math display="block">\mathbf Z/n = \bigoplus_{i=0}^k \mathbf Z/p_i</math>
 जहाँ n = p1p2...pk जोड़ीदार भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।
-क्रमविनिमेय वलय, वलय समरूपता के साथ मिलकर एक श्रेणी बनाते हैं। वलय Z इस श्रेणी की [[प्रारंभिक वस्तु]]है, जिसका अर्थ है कि किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, एक अद्वितीय वलय समरूपता Z → R है। इस मानचित्र के माध्यम से, एक पूर्णांक n को R का एक तत्व माना जा सकता है। उदाहरण के लिए , [[द्विपद सूत्र]]
+क्रमविनिमेय वलय, वलय समरूपता के साथ मिलकर श्रेणी बनाते हैं। वलय Z इस श्रेणी की [[प्रारंभिक वस्तु]] है, जिसका अर्थ है कि किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, अद्वितीय वलय समरूपता Z → R है। इस प्रतिचित्र के माध्यम से, पूर्णांक n को R का तत्व माना जा सकता है। उदाहरण के लिए , [[द्विपद सूत्र]]
 <math display="block">(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k a^k b^{n-k}</math>
-जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय R में किन्हीं दो तत्वों a और b के लिए मान्य है, इस मानचित्र का उपयोग करके द्विपद गुणांकों को R के तत्वों के रूप में व्याख्या करके इस अर्थ में समझा जाता है।
+जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय R में किन्हीं दो तत्वों a और b के लिए मान्य है, इस प्रतिचित्र का उपयोग करके द्विपद गुणांकों को R के तत्वों के रूप में व्याख्या करके इस अर्थ में समझा जाता है।
 [[File:Tensor product of algebras.png|thumb|एस ⊗ की [[सार्वभौमिक संपत्ति]]<sub>''R''</sub> टी
- बताता है कि किन्हीं दो मानचित्रों S → W और T → W के लिए जो बाहरी चतुर्भुज आवागमन करते हैं, एक अद्वितीय मानचित्र S ⊗ है<sub>''R''</sub> टी → डब्ल्यू जो पूरे आरेख को कम्यूट करता है।]]दो R-बीजगणित S और T उनके टेन्सर गुणनफल दिए गए हैं{{block indent|1= ''S'' ⊗<sub>''R''</sub> ''T'' }}
+बताता है कि किन्हीं दो मानचित्रों S → W और T → W के लिए जो बाहरी चतुर्भुज आवागमन करते हैं, एक अद्वितीय प्रतिचित्र S ⊗ है<sub>''R''</sub> टी → डब्ल्यू जो पूरे आरेख को कम्यूट करता है।]]दो R-बीजगणित S और T उनके टेन्सर गुणनफल दिए गए हैं{{block indent|1= ''S'' ⊗<sub>''R''</sub> ''T'' }}
-पुनः क्रमविनिमेय R-बीजगणित है। कुछ मामलों में, टेंसर उत्पाद एक टी-बीजगणित खोजने के लिए काम कर सकता है जो जेड से संबंधित है क्योंकि एस आर से संबंधित है। उदाहरण के लिए,
+पुनः क्रमविनिमेय R-बीजगणित है। कुछ मामलों में, टेंसर उत्पाद ''T''-बीजगणित खोजने के लिए काम कर सकता है जो ''Z'' से संबंधित है क्योंकि ''S R'' से संबंधित है। उदाहरण के लिए,
 {{block indent|1= ''R''[''X''] ⊗<sub>''R''</sub> ''T'' = ''T''[''X'']. }}
+=== परिमित उत्पत्ति ===
+''R''-बीजगणित ''S'' को परिमित रूप से उत्पन्न(बीजगणित के रूप में) कहा जाता है यदि बहुत से तत्व ''s''<sub>1</sub>, ..., ''s<sub>n</sub>'' हैं जैसे कि ''s'' के किसी भी तत्व को सी में बहुपद के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। समतुल्य रूप से, S तुल्याकारी है
-=== परिमित पीढ़ी ===
-एक आर-बीजगणित एस को परिमित रूप से उत्पन्न (बीजगणित के रूप में) कहा जाता है यदि बहुत से तत्व एस 1, ..., एसएन हैं जैसे कि एस के किसी भी तत्व को सी में बहुपद के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। समतुल्य रूप से, S तुल्याकारी है
 {{block indent|1= ''R''[''T''<sub>1</sub>, ..., ''T''<sub>''n''</sub>] / ''I''. }}
-क बहुत मजबूत स्थिति यह है कि एस को आर-मॉड्यूल के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न किया जाता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी एस को कुछ सीमित सेट एस 1, ..., एसएन के आर-रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+बहुत मजबूत स्थिति यह है कि ''S'' को ''R''-मापदंड के रूप में परिमित रूप से उत्पन्न किया जाता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी ''S'' को कुछ सीमित समुच्चय ''s''<sub>1</sub>, ..., ''s<sub>n</sub>'' के ''R''-रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-== स्थानीय छल्ले ==
+== स्थानीयवलय ==
-एक वलय को स्थानीय कहा जाता है यदि इसमें केवल एक अधिकतम आदर्श होता है, जिसे m द्वारा निरूपित किया जाता है। किसी भी (जरूरी नहीं कि स्थानीय) रिंग आर के लिए, स्थानीयकरण
+वलय को स्थानिक कहा जाता है यदि इसमें केवल अधिकतम पूर्णता होता है, जिसे ''m'' द्वारा निरूपित किया जाता है। किसी भी(जरूरी नहीं कि स्थानिक) वलय ''R'' के लिए, स्थानीयकरण
 {{block indent|1= ''R''<sub>''p''</sub> }}
-एक प्रमुख आदर्श पर पी स्थानीय है। यह स्थानीयकरण स्पेक आर "पी के आसपास" के ज्यामितीय गुणों को दर्शाता है। क्रमविनिमेय बीजगणित में कई धारणाओं और समस्याओं को उस मामले में कम किया जा सकता है जब आर स्थानीय होता है, जिससे स्थानीय छल्ले विशेष रूप से गहराई से अध्ययन किए जाने वाले छल्ले बनते हैं। R के अवशेष क्षेत्र को रूप में परिभाषित किया गया है
+एक प्रमुख पूर्णता पर ''p'' स्थानिक है। यह स्थानीयकरण Spec ''R'' "''p'' के आसपास" के ज्यामितीय गुणों को दर्शाता है। क्रमविनिमेय बीजगणित में कई धारणाओं और समस्याओं को उस मामले में कम किया जा सकता है जब आर स्थानिक होता है, जिससे स्थानीयवलय विशेष रूप से गहनता से अध्ययन किए जाने वाले वलय बनते हैं। ''R'' के अवशेष क्षेत्र को रूप में परिभाषित किया गया है
 {{block indent|1= ''k'' = ''R'' / ''m''. }}
-कोई भी आर-मॉड्यूल एम एम/एमएम द्वारा दिए गए के-वेक्टर स्थान को उत्पन्न करता है। नाकायमा की लेम्मा से पता चलता है कि यह मार्ग महत्वपूर्ण जानकारी को संरक्षित कर रहा है: एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल एम शून्य है अगर और केवल अगर एम/एमएम शून्य है।
+कोई भी ''R''-मापदंड ''M,''  ''M'' / ''mM'' द्वारा दिए गए ''k''-सदिश समष्टि को उत्पन्न करता है। नाकायमा की लेम्मा से पता चलता है कि यह मार्ग महत्वपूर्ण जानकारी को संरक्षित कर रहा है:  अंतिम रूप से उत्पन्न मापदंड ''M'' शून्य है अगर और केवल अगर ''M'' / ''mM'' शून्य है।
-=== नियमित स्थानीय छल्ले ===
+=== नियमित स्थानीयवलय ===
-[[File:Node_(algebraic_geometry).png|thumb|left|[[घन समतल वक्र]] (लाल) समीकरण y द्वारा परिभाषित<sup>2</सुप> = एक्स<sup>2</sup>(x + 1) मूल बिंदु पर [[विलक्षणता (गणित)]] है, यानी, वलय k[x, y] / y<sup>2</sup> − x<sup>2</sup>(x + 1), एक नियमित वलय नहीं है। स्पर्शरेखा शंकु (नीला) दो रेखाओं का मिलन है, जो विलक्षणता को भी दर्शाता है।]]k-वेक्टर स्पेस m/m<sup>2</sup> [[स्पर्शरेखा स्थान]] का एक बीजगणितीय अवतार है। अनौपचारिक रूप से, m के तत्वों को उन कार्यों के रूप में माना जा सकता है जो बिंदु p पर गायब हो जाते हैं, जबकि एम<sup>2</sup>में वे शामिल होते हैं जो कम से कम 2 क्रम के साथ गायब हो जाते हैं। किसी भी नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, असमानता{{block indent|1= dim<sub>''k''</sub> ''m''/''m''<sup>2</sup> &ge; dim ''R'' }}
+[[File:Node_(algebraic_geometry).png|thumb|left|[[घन समतल वक्र]](लाल) समीकरण y द्वारा परिभाषित<sup>2</सुप> = एक्स<sup>2</sup>(x + 1) मूल बिंदु पर [[विलक्षणता (गणित)|विलक्षणता(गणित)]] है, यानी, वलय k[x, y] / y<sup>2</sup> − x<sup>2</sup>(x + 1), एक नियमित वलय नहीं है। स्पर्शरेखा शंकु(नीला) दो रेखाओं का मिलन है, जो विलक्षणता को भी दर्शाता है।]]k-सदिश समष्टि m/m<sup>2</sup> [[स्पर्शरेखा स्थान]] का बीजगणितीय अवतरण है। अनौपचारिक रूप से, m के तत्वों को उन कार्यों के रूप में माना जा सकता है जो बिंदु p पर गायब हो जाते हैं, जबकि m<sup>2</sup>में वे सम्मिलित होते हैं जो कम से कम 2 क्रम के साथ गायब हो जाते हैं। किसी भी नोथेरियन स्थानीय वलय R के लिए, असमानता{{block indent|1= dim<sub>''k''</sub> ''m''/''m''<sup>2</sup> &ge; dim ''R'' }}
-सत्य धारण करता है, इस विचार को दर्शाता है कि cotangent (या समतुल्य रूप से स्पर्शरेखा) अंतरिक्ष में कम से कम अंतरिक्ष विनिर्देश R का आयाम है। यदि समानता इस अनुमान में सही है, तो R को एक नियमित स्थानीय वलय कहा जाता है। एक नोथेरियन स्थानीय वलय नियमित है यदि और केवल यदि वलय (जो [[स्पर्शरेखा शंकु]] पर कार्यों की वलय है)
+सत्य धारण करता है, इस विचार को दर्शाता है कि कोटिस्पर्शज्या(या समतुल्य रूप से स्पर्शरेखा) समष्टि में कम से कम समष्टि विनिर्देश R का आयाम है। यदि समानता इस अनुमान में सही है, तो R को नियमित स्थानिक वलय कहा जाता है। नोथेरियन स्थानिक वलय नियमित है यदि और केवल यदि वलय(जो [[स्पर्शरेखा शंकु]] पर कार्यों की वलय है)
 <math display="block">\bigoplus_n m^n / m^{n+1}</math>
-k पर एक बहुपद वलय के लिए समरूप है। मोटे तौर पर, नियमित स्थानीय वलय कुछ हद तक बहुपद वलय के समान होते हैं। [1] नियमित स्थानीय रिंग UFD's हैं।<ref>{{harvtxt|Matsumura|1989|loc=§19, Theorem 48}}</ref>
+k पर बहुपद वलय के लिए समरूप है। मोटे तौर पर, नियमित स्थानिक वलय कुछ हद तक बहुपद वलय के समान होते हैं। [1] नियमित स्थानिक वलय यूएफडी हैं।<ref>{{harvtxt|Matsumura|1989|loc=§19, Theorem 48}}</ref>
-[[असतत मूल्यांकन अंगूठी|असतत मूल्यांकन वलय]] एक फ़ंक्शन से लैस हैं जो किसी भी तत्व r को एक पूर्णांक प्रदान करता है। आर के मूल्यांकन नामक इस संख्या को अनौपचारिक रूप से आर के शून्य या ध्रुव क्रम के रूप में माना जा सकता है। असतत मूल्यांकन के छल्ले ठीक एक आयामी नियमित स्थानीय छल्ले हैं। उदाहरण के लिए,[[रीमैन सतह]]पर होलोमोर्फिक कार्यों के कीटाणुओं का वलय एक असतत मूल्यांकन वलय है।
-=== पूर्ण चौराहे ===
-[[File:Twisted_cubic_curve.png|thumb|[[मुड़ घन]] (हरा) एक समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण चौराहा है, लेकिन एक पूर्ण चौराहा नहीं है।]]क्रुल के प्रमुख आदर्श प्रमेय द्वारा, अंगूठियों के [[आयाम सिद्धांत (बीजगणित)]]में एक मूलभूत परिणाम, का आयाम{{block indent|1= ''R'' = ''k''[''T''<sub>1</sub>, ..., ''T''<sub>''r''</sub>] / (''f''<sub>1</sub>, ..., ''f''<sub>''n''</sub>) }}
-कम से कम r - n है। एक वलय R को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन वलय कहा जाता है यदि इसे इस तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है जो इस न्यूनतम सीमा को प्राप्त करता है। यह धारणा ज्यादातर स्थानीय छल्लों के लिए भी अध्ययन की जाती है। कोई भी नियमित स्थानीय वलय एक [[पूर्ण चौराहे की अंगूठी|पूर्ण चौराहे की वलय]] है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।
-एक वलय R एक समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण चौराहा है यदि R से संबंधित घटा हुआ वलय, अर्थात, सभी निलपोटेंट तत्वों को विभाजित करके प्राप्त किया गया एक पूर्ण चौराहा है। 2017 तक, यह सामान्य रूप से अज्ञात है कि क्या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वक्र समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण चौराहे हैं।<ref>{{harvtxt|Lyubeznik|1989}}</ref>
+[[असतत मूल्यांकन अंगूठी|असतत मूल्यांकन वलय]] फलन से सुसज्जित हैं जो किसी भी तत्व r को पूर्णांक प्रदान करता है।  ''r'' के मूल्यांकन नामक इस संख्या को अनौपचारिक रूप से ''r'' के शून्य या ध्रुव क्रम के रूप में माना जा सकता है। असतत मूल्यांकन के वलय ठीक आयामी नियमित स्थानीय वलय हैं। उदाहरण के लिए, [[रीमैन सतह]] पर पूर्णसममितिक कार्यों के रोगाणु का वलय असतत मूल्यांकन वलय है।
+=== पूर्ण प्रतिच्छेदन ===
+[[File:Twisted_cubic_curve.png|thumb|[[मुड़ घन]](हरा) एक समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन है, लेकिन एक पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं है।]]क्रुल के प्रमुख पूर्णता प्रमेय द्वारा, वलय के [[आयाम सिद्धांत (बीजगणित)]]में मूलभूत परिणाम, का आयाम{{block indent|1= ''R'' = ''k''[''T''<sub>1</sub>, ..., ''T''<sub>''r''</sub>] / (''f''<sub>1</sub>, ..., ''f''<sub>''n''</sub>) }}
+कम से कम r - n है। वलय R को पूर्ण प्रतिच्छेदन वलय कहा जाता है यदि इसे इस तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है जो इस न्यूनतम सीमा को प्राप्त करता है। यह धारणा ज्यादातर स्थानिक वलय के लिए भी अध्ययन की जाती है। कोई भी नियमित स्थानिक वलय एक [[पूर्ण चौराहे की अंगूठी|पूर्ण प्रतिच्छेदन की वलय]] है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।
-=== कोहेन-मैकाले के छल्ले ===
+वलय R समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन है यदि R से संबंधित घटा हुआ वलय, अर्थात, सभी निलपोटेंट तत्वों को विभाजित करके प्राप्त किया गया पूर्ण प्रतिच्छेदन है। 2017 तक, यह सामान्य रूप से अज्ञात है, कि क्या त्रि-आयामी समष्टि में वक्र समुच्चय-सैद्धांतिक पूर्ण प्रतिच्छेदन हैं।<ref>{{harvtxt|Lyubeznik|1989}}</ref>
-एक स्थानीय वलय R की गहराई (वलय थ्योरी) कुछ (या, जैसा कि दिखाया जा सकता है, किसी भी) अधिकतम नियमित अनुक्रम में तत्वों की संख्या है, अर्थात, एक अनुक्रम a<sub>1</sub>, ...,
+=== कोहेन-मैकाले के वलय ===
-एक<sub>''n''</sub> ∈ मीटर ऐसा है कि सभी ए<sub>''i''</sub> में गैर-शून्य विभाजक हैं
+स्थानिक वलय R की गहनता कुछ में तत्वों की संख्या है(या, जैसा कि दिखाया जा सकता है, कोई भी) अधिकतम नियमित अनुक्रम, यानी, अनुक्रम ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>'' ∈ ''m''  जैसे कि सभी ''a<sub>i</sub>''  गैर-शून्य विभाजक हैं में
 {{block indent|1= ''R'' / (''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''i''&minus;1</sub>). }}
-किसी भी स्थानीय नोथेरियन वलय के लिए, असमानता
+किसी भी स्थानिक नोथेरियन वलय के लिए, असमानता
 {{block indent|1= depth (''R'') &le; dim (''R'') }}
-रखती है। एक स्थानीय वलय जिसमें समानता होती है, कोहेन-मैकाले वलय कहलाता है। स्थानीय पूर्ण चौराहे के छल्ले, और एक फोर्टियोरी, नियमित स्थानीय छल्ले कोहेन-मैकाले हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। कोहेन-मैकाले नियमित छल्ले के वांछनीय गुणों को जोड़ते हैं (जैसे कि [[सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी रिंग|सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी वलय]] होने का गुण, जिसका अर्थ है कि प्राइम्स का (सह) आयाम अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है), लेकिन नियमित स्थानीय वलय की तुलना में अधिक मजबूत होते हैं।<ref>{{harvtxt|Eisenbud|1995|loc=Corollary 18.10, Proposition 18.13}}</ref>
+रखती है। स्थानिक वलय जिसमें समानता होती है, कोहेन-मैकाले वलय कहलाता है। स्थानिक पूर्ण प्रतिच्छेदन के वलय, और फोर्टियोरी, नियमित स्थानीय वलय कोहेन-मैकाले हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं। कोहेन-मैकाले नियमित वलय के वांछनीय गुणों को जोड़ते हैं(जैसे कि [[सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी रिंग|सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी वलय]] होने का गुण, जिसका अर्थ है कि प्राइम्स का(सह) आयाम अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है), लेकिन नियमित स्थानिक वलय की तुलना में अधिक मजबूत होते हैं।<ref>{{harvtxt|Eisenbud|1995|loc=Corollary 18.10, Proposition 18.13}}</ref>
 ==विनिमेय वलयों का निर्माण==
-दिए गए छल्लों में से नए छल्ले बनाने के कई तरीके हैं। इस तरह के निर्माण का उद्देश्य अक्सर वलय के कुछ गुणों में सुधार करना होता है ताकि इसे और अधिक आसानी से समझा जा सके। उदाहरण के लिए, एक अभिन्न डोमेन जो अंशों के अपने क्षेत्र में अभिन्न तत्व # समतुल्य परिभाषा है, सामान्य वलय कहलाता है। यह एक वांछनीय संपत्ति है, उदाहरण के लिए कोई भी सामान्य एक आयामी वलय आवश्यक रूप से नियमित स्थानीय वलय है। प्रतिपादन{{clarify|date=March 2012}} एक वलय नॉर्मल को नॉर्मलाइजेशन के रूप में जाना जाता है।
+दिए गए वलय में से नए वलय बनाने के कई तरीके हैं। इस तरह के निर्माण का उद्देश्य अक्सर वलय के कुछ गुणों में सुधार करना होता है ताकि इसे और अधिक आसानी से समझा जा सके। उदाहरण के लिए, पूर्णांकीय प्रांत जो अपने अंशों के क्षेत्र में अभिन्न रूप से बंद है, सामान्य कहलाता है। यह वांछनीय गुण है, उदाहरण के लिए कोई भी सामान्य एक-आयामी वलय आवश्यक रूप से नियमित है। रेंडरिंग{{clarify|date=March 2012}} वलय सामान्य सामान्यीकरण के रूप में जाना जाता है।
-=== समापन ===
+=== प्राप्तियां ===
-यदि I एक क्रमविनिमेय वलय R में एक आदर्श है, तो I की शक्तियाँ 0 का [[पड़ोस (टोपोलॉजी)]] बनाती हैं जो R को एक सांस्थितिक वलय के रूप में देखने की अनुमति देती हैं। इस टोपोलॉजी को आई-एडिक टोपोलॉजी कहा जाता है|आई-एडिक टोपोलॉजी। आर तो इस टोपोलॉजी के संबंध में पूरा किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, I-adic पूर्णता वलय R/I की व्युत्क्रम सीमा है<sup>एन</sup>. उदाहरण के लिए, यदि k एक क्षेत्र है, kX, k पर एक चर में [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] वलय, k[X] का I-adic पूर्णता है जहाँ I एक्स द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श है। यह वलय डिस्क के बीजगणितीय एनालॉग के रूप में कार्य करता है। अनुरूप रूप से, p-adic number|p-adic पूर्णांकों का वलय मुख्य आदर्श (p) के संबंध में 'Z' की पूर्णता है। कोई भी वलय जो अपनी पूर्णता के लिए समरूपी है, पूर्ण वलय कहलाता है।
+यदि ''I'' क्रमविनिमेय वलय R में पूर्णता है, तो ''I'' की घात 0 के सांस्थितिक [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|प्रतिवेश(सांस्थिति)]]बनाती हैं जो R को सांस्थितिक वलय के रूप में देखने की अनुमति देती हैं। इस सांस्थिति को  ''I''-एडिक सांस्थिति कहा जाता है। आर तो इस सांस्थिति के संबंध में पूरा किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, ''I''-एडिक पूर्णता वलय R/In की व्युत्क्रम सीमा है। उदाहरण के लिए, यदि k क्षेत्र है, k[[X]], k से अधिक चर में [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक घात श्रृंखला]] वलय, k[X] का ''I''-एडिक पूर्णता है जहाँ ''I'' , X द्वारा उत्पन्न प्रमुख पूर्णता है। यह वलय डिस्क के बीजगणितीय रेखीय के रूप में कार्य करता है। अनुरूप रूप से, p-एडिक पूर्णांकों का वलय मुख्य पूर्णता(p) के संबंध में Z की पूर्णता है। कोई भी वलय जो अपनी पूर्णता के लिए समरूपी है, पूर्ण कहलाता है।
-पूर्ण स्थानीय वलय हेंसल के लेम्मा को संतुष्ट करते हैं, जो मोटे तौर पर बोलकर अवशेष क्षेत्र k से R तक समाधान (विभिन्न समस्याओं के) को विस्तारित करने की अनुमति देता है।
+पूर्ण स्थानिक वलय हेंसल के लेम्मा को संतुष्ट करते हैं, जो मोटे तौर पर बोलकर अवशेष क्षेत्र k से R तक समाधान(विभिन्न समस्याओं के) को विस्तारित करने की अनुमति देता है।
 == सजातीय धारणाएँ ==
-क्रमविनिमेय वलयों के कई गहरे पहलुओं का समजातीय बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया गया है। {{harvtxt|Hochster|2007}} सक्रिय अनुसंधान के इस क्षेत्र में कुछ खुले प्रश्नों को सूचीबद्ध करता है।
+क्रमविनिमेय वलयों के कई गहरे पहलुओं का समजातीय बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया गया है। {{harvtxt|होचस्टर|2007}} सक्रिय अनुसंधान के इस क्षेत्र में कुछ खुले प्रश्नों को सूचीबद्ध करता है।
-=== प्रोजेक्टिव मॉड्यूल और एक्सट्रीम फंक्शनल ===
+=== प्रक्षेपीय मापदंड और एक्सट्रीम फंक्शनल ===
-प्रोजेक्टिव मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल के [[प्रत्यक्ष योग]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि आर स्थानीय है, तो कोई भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल वास्तव में मुफ़्त है, जो प्रोजेक्टिव मॉड्यूल और [[वेक्टर बंडल]]ों के बीच समानता को सामग्री देता है।<ref>See also [[Serre–Swan theorem]].</ref> क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय का दावा है कि के [टी] पर कोई भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मॉड्यूल<sub>1</sub>, ..., टी<sub>''n''</sub>] (k a फ़ील्ड) मुक्त है, लेकिन सामान्य तौर पर ये दोनों अवधारणाएँ भिन्न हैं।
+प्रक्षेपीय मापदंड को मुक्त मापदंड के [[प्रत्यक्ष योग]]रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ''R'' स्थानिक है, तो कोई भी अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेपीय मापदंड वास्तव में मुक्त है, जो प्रक्षेपीय मापदंड औ [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडलों]] के बीच सादृश्य को सामग्री देता है।<ref>See also [[Serre–Swan theorem]].</ref> क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय का दावा है कि ''k''[''T''<sub>1</sub>, ..., ''T<sub>n</sub>''](k क्षेत्र) पर कोई भी अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेपीय मापदंड मुक्त है, लेकिन सामान्य तौर पर ये दो अवधारणाएँ भिन्न हैं। स्थानिक नोथेरियन वलय नियमित है यदि और केवल यदि इसका [[वैश्विक आयाम]] परिमित है, तो n कहें, जिसका अर्थ है कि किसी भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न ''R''-मापदंड में अधिकतम लंबाई के प्रक्षेपी मापदंड द्वारा संकल्प होता है।
-एक स्थानीय नोथेरियन वलय नियमित है यदि और केवल यदि इसका [[वैश्विक आयाम]] परिमित है, तो n कहें, जिसका अर्थ है कि किसी भी परिमित रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल में लंबाई के प्रक्षेप्य मॉड्यूल द्वारा अधिकतम n पर एक रिज़ॉल्यूशन (होमोलॉजिकल बीजगणित) होता है।
-इस और अन्य संबंधित बयानों का प्रमाण होमोलॉजिकल तरीकों के उपयोग पर निर्भर करता है, जैसे कि
+इस और अन्य संबंधित कथनों का प्रमाण अनुरूपता  तरीकों के उपयोग पर निर्भर करता है, जैसे कि [[एक्सट ऑपरेटर]] । यह कारक का व्युत्पन्न कारक है
-[[एक्सट ऑपरेटर]] यह functor functor का व्युत्पन्न functor है
 {{block indent|1= Hom<sub>''R''</sub>(''M'', &minus;). }}
-बाद वाला फ़ंक्टर सटीक है यदि एम प्रक्षेपी है, लेकिन अन्यथा नहीं: विशेषण मानचित्र ई → आर-मॉड्यूल के एफ के लिए, एक मानचित्र एम → एफ को एक मानचित्र एम → ई तक विस्तारित करने की आवश्यकता नहीं है। उच्च एक्सटी फ़ंक्शंस गैर-सटीकता को मापते हैं होम-फ़ंक्टर का। समरूप बीजगणित तनों में इस मानक निर्माण के महत्व को इस तथ्य से देखा जा सकता है कि अवशेष क्षेत्र k के साथ एक स्थानीय नोथेरियन वलय R नियमित है यदि और केवल यदि
+बाद वाला कारक समुचित है यदि ''M'' प्रक्षेपी है, लेकिन अन्यथा नहीं: द्विभाजित map ''E'' → ''F,'' ''R''-मापदंड के लिए, एक map ''M'' → ''F'' को एक map ''M'' → ''E'' तक विस्तारित करने की आवश्यकता नहीं है। उच्च एक्सटी कारक गैर-सटीकता  होम-कारक को मापते हैं। समरूप बीजगणित प्रतिबंध में इस मानक निर्माण के महत्व को इस तथ्य से देखा जा सकता है कि अवशेष क्षेत्र k के साथ स्थानिक नोथेरियन वलय R नियमित है यदि और केवल यदि
 {{block indent|1= Ext<sup>''n''</sup>(''k'', ''k'') }}
-काफी बड़े n के लिए गायब हो जाता है। इसके अलावा, इन एक्सट-ग्रुप्स के आयाम, जिन्हें बेट्टी संख्या के रूप में जाना जाता है, n में बहुपद रूप से बढ़ते हैं यदि और केवल यदि R एक [[स्थानीय पूर्ण चौराहा]] वलय है।<ref>{{harvtxt|Christensen|Striuli|Veliche|2010}}</ref> इस तरह के विचारों में एक महत्वपूर्ण तर्क [[जटिल शर्ट]] है, जो एक नियमित अनुक्रम के संदर्भ में एक स्थानीय वलय R के अवशेष क्षेत्र k का स्पष्ट मुक्त रिज़ॉल्यूशन प्रदान करता है।
+काफी बड़े n के लिए गायब हो जाता है। इसके अलावा, इन एक्सट-ग्रुप्स के आयाम, जिन्हें बेट्टी संख्या के रूप में जाना जाता है, n में बहुपद रूप से बढ़ते हैं यदि और केवल यदि R एक[[स्थानीय पूर्ण चौराहा|स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन]] वलय है।<ref>{{harvtxt|Christensen|Striuli|Veliche|2010}}</ref>इस तरह के विचारों में एक महत्वपूर्ण तर्क [[जटिल शर्ट|कोज़ुल कॉम्प्लेक्स]] है, जो एक नियमित अनुक्रम के संदर्भ में एक स्थानिक वलय R के अवशेष क्षेत्र k का स्पष्ट मुक्त रिज़ॉल्यूशन प्रदान करता है।
 === समतलता ===
-टेन्सर उत्पाद एक अन्य गैर-सटीक फ़ंक्टर है जो क्रमविनिमेय वलय के संदर्भ में प्रासंगिक है: एक सामान्य आर-मॉड्यूल एम के लिए, फ़ैक्टर
+टेन्सर उत्पाद अन्य गैर-समुचित कारक है जो क्रमविनिमेय वलय के संदर्भ में प्रासंगिक है: सामान्य ''R''-मापदंड ''M'' के लिए, कारक
 {{block indent|1= ''M'' ⊗<sub>''R''</sub> &minus; }}
-केवल सटीक है। यदि यह सटीक है, तो एम को [[फ्लैट मॉड्यूल]] कहा जाता है। यदि आर स्थानीय है, तो कोई भी अंतिम रूप से प्रस्तुत फ्लैट मॉड्यूल परिमित रैंक से मुक्त है, इस प्रकार प्रोजेक्टिव है। होमोलॉजिकल बीजगणित के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, समतलता का गहरा ज्यामितीय प्रभाव है। उदाहरण के लिए, यदि एक आर-बीजगणित एस सपाट है, तंतुओं के आयाम
+केवल समुचित है। यदि यह समुचित है, तो ''M'' को [[फ्लैट मॉड्यूल|समतल]] कहा जाता है। यदि ''R'' स्थानिक है, तो कोई भी अंतिम रूप से प्रस्तुत समतल मापदंड परिमित क्रम से मुक्त है, इस प्रकार प्रक्षेपीय है। अनुरूपता बीजगणित के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, समतलता का गहरा ज्यामितीय प्रभाव है। उदाहरण के लिए, यदि ''R''-बीजगणित ''S'' समतल है, तंतुओं के आयाम
 {{block indent|1= ''S'' / ''pS'' = ''S'' ⊗<sub>''R''</sub> ''R'' / ''p'' }}
-(आर में प्रमुख आदर्श पी के लिए) अपेक्षित आयाम हैं, अर्थात् मंद एस - मंद आर + मंद (आर / पी)।
+(''R'' में प्रमुख पूर्णता ''p'' के लिए) अपेक्षित आयाम हैं, अर्थात् dim ''S'' − dim ''R'' + dim(''R'' / ''p'').
 == गुण ==
-वेडरबर्न की छोटी प्रमेय के अनुसार | वेडरबर्न की प्रमेय, प्रत्येक परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय है, और इसलिए एक [[परिमित क्षेत्र]] है। [[नाथन जैकबसन]] के कारण एक वलय की क्रमविनिमेयता सुनिश्चित करने वाली एक अन्य शर्त निम्नलिखित है: R के प्रत्येक तत्व r के लिए एक पूर्णांक मौजूद है {{nowrap|''n'' > 1}} ऐसा है कि {{nowrap|1=''r''<sup>''n''</sup> = ''r''}}.<ref>{{harvnb|Jacobson|1945}}</ref> अगर, आर<sup>2</sup> = r प्रत्येक r के लिए, वलय को [[बूलियन रिंग|बूलियन वलय]] कहा जाता है। अधिक सामान्य स्थितियाँ जो एक वलय की क्रमविनिमेयता की गारंटी देती हैं, भी जानी जाती हैं।<ref>{{harvnb|Pinter-Lucke|2007}}</ref>
+वेडरबर्न की छोटी प्रमेय के अनुसार वेडरबर्न की प्रमेय, प्रत्येक परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय है, और इसलिए [[परिमित क्षेत्र]] है। [[नाथन जैकबसन]] के कारण वलय की क्रमविनिमेयता सुनिश्चित करने वाली अन्य शर्त निम्नलिखित है: R के प्रत्येक तत्व r के लिए पूर्णांक विद्यमान है {{nowrap|''n'' > 1}} ऐसा है कि {{nowrap|1=''r''<sup>''n''</sup> = ''r''}}.<ref>{{harvnb|Jacobson|1945}}</ref> अगर,  ''r''<sup>2</sup> = ''r''  प्रत्येक ''r'' के लिए, वलय को [[बूलियन रिंग|बूलियन वलय]] कहा जाता है। अधिक सामान्य स्थितियाँ जो वलय की क्रमविनिमेयता की गारंटी देती हैं, भी जानी जाती हैं।<ref>{{harvnb|Pinter-Lucke|2007}}</ref>
 == सामान्यीकरण ==
-=== ग्रेडेड-क्रमविनिमेय वलय ===
+=== श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय ===
-[[File:Pair_of_pants.png|thumb|पैंट की एक जोड़ी (गणित) एक वृत्त और दो विसंधित वृत्तों के बीच सह-बंधन है। गुणन के रूप में [[कार्तीय गुणन]]फल के साथ सह-बोर्डवाद वर्ग और योग के रूप में असंयुक्त संघ, कोबोर्डवाद वलय बनाते हैं।]]एक [[वर्गीकृत अंगूठी]] R = ⨁<sub>''i''∊'''Z'''</sub> R<sub>''i''</sub> [[ग्रेडेड-कम्यूटेटिव रिंग]] कहा जाता है|ग्रेडेड-कम्यूटेटिव अगर, सभी सजातीय तत्वों ए और बी के लिए,
+[[File:Pair_of_pants.png|thumb|पैंट की एक जोड़ी(गणित) एक वृत्त और दो विसंधित वृत्तों के बीच सह-बंधन है। गुणन के रूप में [[कार्तीय गुणन]]फल के साथ सह-बोर्डवाद वर्ग और योग के रूप में असंयुक्त संघ, कोबोर्डवाद वलय बनाते हैं।]][[वर्गीकृत वलय]] R = ⨁<sub>''i''∊'''Z'''</sub> R<sub>''i''</sub> [[ श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय]] कहा जाता है|  श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय अगर, सभी सजातीय तत्वों a और b के लिए,
 {{block indent|1= ''ab'' = (&minus;1)<sup>deg ''a'' ⋅ deg ''b''</sup> ''ba''. }}
-यदि आर<sub>''i''</sub> अंतर ∂ द्वारा जुड़े हुए हैं जैसे कि उत्पाद नियम का एक अमूर्त रूप धारण करता है, अर्थात,
+यदि ''R<sub>i</sub>'' अंतर ∂ द्वारा जुड़े हुए हैं जैसे कि उत्पाद नियम का अमूर्त रूप धारण करता है, अर्थात,
 {{block indent|1= ∂(''ab'') = ∂(''a'')''b'' + (&minus;1)<sup>deg ''a''</sup>∂(''b''), }}
-R को [[अंतर वर्गीकृत बीजगणित]] (cdga) कहा जाता है। एक उदाहरण कई गुना (गणित) पर अंतर रूपों का परिसर है, [[बाहरी उत्पाद]] द्वारा दिए गए गुणन के साथ, एक सीडीजीए है। सीडीजीए का कोहोलॉजी एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव वलय है, जिसे कभी-कभी [[कोहोलॉजी रिंग|कोहोलॉजी वलय]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। ग्रेडेड रिंग्स की एक विस्तृत श्रृंखला के उदाहरण इस तरह से सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, लाज़ार्ड की सार्वभौमिक वलय जटिल मैनिफोल्ड्स के सह-बोर्डवाद वर्गों की वलय है।
+R को [[अंतर वर्गीकृत बीजगणित]](सीडीजीए ) कहा जाता है। उदाहरण बहुसंखयक(गणित) पर अंतर रूपों का परिसर है, [[बाहरी उत्पाद]] द्वारा दिए गए गुणन के साथ, सीडीजीए है। सीडीजीए का सह समरूपता श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय है, जिसे कभी-कभी [[कोहोलॉजी रिंग|सह समरूपता वलय]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। श्रेणीकृत वलय की विस्तृत श्रृंखला के उदाहरण इस तरह से सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, लाज़ार्ड की सार्वभौमिक वलय जटिल बहुसंखयक के सह-बोर्डवाद वर्गों की वलय है।
-'Z'/2 ('Z' के विपरीत) द्वारा ग्रेडिंग के संबंध में एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव वलय को [[algebra]] कहा जाता है।
+'''Z'''/2('''Z''' के विपरीत) द्वारा श्रेणीकृत के संबंध में श्रेणीकृत-क्रमविनिमेय वलय को [[algebra|सुपरएलजेब्रा]] कहा जाता है।
-एक संबंधित धारणा एक लगभग क्रमविनिमेय वलय है, जिसका अर्थ है कि R इस तरह से छानना (गणित) है कि संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय
+संबंधित धारणा क्रमविनिमेय वलय है, जिसका अर्थ है कि R इस तरह से निस्यंदन(गणित) है कि संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय
 {{block indent|1= gr ''R'' := ⨁ ''F''<sub>''i''</sub>''R'' / ⨁ ''F''<sub>''i''&minus;1</sub>''R'' }}
-क्रमविनिमेय है। एक उदाहरण [[वेइल बीजगणित]] और [[अंतर ऑपरेटर]]ों के अधिक सामान्य छल्ले हैं।
+क्रमविनिमेय है। उदाहरण [[वेइल बीजगणित]] और [[अंतर ऑपरेटर|विभेदक संचालक]] के अधिक सामान्य वलय हैं।
-=== सिंपल क्रमविनिमेय वलय ===
+=== प्रसमुच्चयी क्रमविनिमेय वलय ===
-एक [[साधारण क्रमविनिमेय अंगूठी|साधारण क्रमविनिमेय वलय]] क्रमविनिमेय छल्ले की श्रेणी में एक साधारण वस्तु है। वे (संयोजी) [[व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति]] के लिए ब्लॉक बना रहे हैं। एक करीबी से संबंधित लेकिन अधिक सामान्य धारणा ई-इन्फिनिटी वलय|ई की है<sub>∞</sub>-वलय।
+[[साधारण क्रमविनिमेय अंगूठी|प्रसमुच्चयी क्रमविनिमेय वलय]] क्रमविनिमेय वलय की श्रेणी में प्रसमुच्चयी वस्तु है। वे(संयोजी) [[व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति]] के लिए ब्लॉक बना रहे हैं। निकट से संबंधित लेकिन अधिक सामान्य धारणा E<sub>∞</sub>-वलय की है।
 == क्रमविनिमेय वलयों के अनुप्रयोग ==
-* होलोमॉर्फिक कार्य
+* पूर्णसममितिक कार्य
-* [[बीजगणितीय के-सिद्धांत]]
+* [[बीजगणितीय के-सिद्धांत|बीजगणितीय K-सिद्धांत]]
-* [[टोपोलॉजिकल के-थ्योरी]]
+* [[टोपोलॉजिकल के-थ्योरी|सांस्थितिक K-थ्योरी]]
-* विभाजित बिजली संरचनाएं
+* विभाजित घात संरचनाएं
-* [[विट वेक्टर]]
+* [[विट वेक्टर|विट सदिश]]
-* हेके बीजगणित (फर्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में प्रयुक्त)
+* हेके बीजगणित(फर्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में प्रयुक्त)
-* फॉनटेन का पीरियड बजता है
+* फॉनटेन पीरियड वलय
 * [[क्लस्टर बीजगणित]]
-* [[कनवल्शन बीजगणित]] (एक कम्यूटिव समूह का)
+* [[कनवल्शन बीजगणित]](एक कम्यूटिव समूह का)
 * फ्रेचेट बीजगणित
 == यह भी देखें ==
 * लगभग वलय, क्रमविनिमेय वलय का एक निश्चित सामान्यीकरण
-* विभाज्यता (वलय थ्योरी): निलपोटेंट एलिमेंट, (उदा. [[दोहरी संख्या]])
+* विभाज्यता(वलय थ्योरी): निलपोटेंट तत्व,(उदाहरण [[दोहरी संख्या]])
-* आदर्श और मॉड्यूल: एक आदर्श, [[मोरिटा तुल्यता]] के कट्टरपंथी
+* पूर्णता और मापदंड: एक पूर्णता, [[मोरिटा तुल्यता]] के कट्टरपंथी
-* [[रिंग समरूपता|वलय समरूपता]]: [[अभिन्न तत्व]]: केली-हैमिल्टन प्रमेय, [[एकीकृत रूप से बंद डोमेन]], [[क्रुल रिंग|क्रुल वलय]], क्रुल-अकिज़ुकी प्रमेय, मोरी-नागाटा प्रमेय
+* [[रिंग समरूपता|वलय समरूपता]]: [[अभिन्न तत्व]]: केली-हैमिल्टन प्रमेय, [[एकीकृत रूप से बंद डोमेन|एकीकृत रूप से बंद प्रक्षेत्र]], [[क्रुल रिंग|क्रुल वलय]], क्रुल-अकिज़ुकी प्रमेय, मोरी-नागाटा प्रमेय
-* प्राइम्स: [[प्रधान परिहार लेम्मा]], [[जैकबसन कट्टरपंथी]], नील रेडिकल ऑफ़ ए वलय, स्पेक्ट्रम: [[कॉम्पैक्ट जगह]], [[कनेक्टेड रिंग|कनेक्टेड वलय]], कम्यूटेटिव अल्जेब्रा पर डिफरेंशियल कैलकुलस, बनच-स्टोन प्रमेय
+* प्राइम्स: [[प्रधान परिहार लेम्मा|अभाज्य परिहार लेम्मा]], [[जैकबसन कट्टरपंथी]], नील रेडिकल ऑफ़ ए वलय, वर्णक्रम: [[कॉम्पैक्ट जगह]], [[कनेक्टेड रिंग|कनेक्टेड वलय]], क्रमविनिमेय अल्जेब्रा पर डिफरेंशियल कैलकुलस, बनच-स्टोन प्रमेय
-* स्थानीय वलय: गोरेंस्टीन स्थानीय वलय (फर्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में भी प्रयुक्त): [[द्वैत (गणित)]], [[एबेन मैटलिस]]; [[दोहरीकरण मॉड्यूल]], पोपेस्कु प्रमेय, [[आर्टिन सन्निकटन प्रमेय]]।
+* स्थानिक वलय: गोरेंस्टीन स्थानिक वलय(फर्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में भी प्रयुक्त): [[द्वैत (गणित)|द्वैत(गणित)]], [[एबेन मैटलिस]], [[दोहरीकरण मॉड्यूल|दोहरीकरण मापदंड]], पोपेस्कु प्रमेय, [[आर्टिन सन्निकटन प्रमेय]]।
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 277: / Line 267: @@
 {{Authority control}}
-[[Category: क्रमविनिमेय बीजगणित]]
-[[Category: वलय सिद्धांत]]
-[[Category:बीजगणितीय संरचनाएं]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:CS1]]
 [[Category:Created On 29/11/2022]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Templates Translated in Hindi]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia articles needing clarification from March 2012]]
+[[Category:क्रमविनिमेय बीजगणित]]
+[[Category:बीजगणितीय संरचनाएं]]
+[[Category:वलय सिद्धांत]]

Anonymous

Search