निर्देशांक पद्धति: Difference between revisions

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{{short description|System for determining the position of a point by a tuple of scalars}}
{{redirect|निर्देशांक|पृथ्वी पर निर्देशांक|स्थानिक संदर्भ प्रणाली|अन्य उपयोग|निर्देशांक (बहुविकल्पी)}}
{{redirect|Coordinate|coordinates on the Earth|Spatial reference system|other uses|Coordinate (disambiguation)}}
{{Self reference|विकिपीडिया पर भौगोलिक निर्देशांक के लिए,
{{Self reference|For geographical coordinates on Wikipedia, see [[Template:Coord]].}}
[[टेम्पलेट:निर्देशांक]] देखें।}}
[[File:3D Spherical.svg|thumb|300px|right|[[गोलाकार समन्वय प्रणाली]] का उपयोग आमतौर पर भौतिकी में किया जाता है। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में हर बिंदु पर तीन नंबर (निर्देशांक के रूप में जाना जाता है) प्रदान करता है: रेडियल दूरी आर, ध्रुवीय कोण θ ([[थीटा]]), और अज़ीमुथल कोण φ (फाई)। प्रतीक ρ ([[रो]]) अक्सर आर के बजाय प्रयोग किया जाता है।]][[ज्यामिति]] में, एक समन्वय प्रणाली एक प्रणाली है जो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] जैसे कई गुना पर [[बिंदु (ज्यामिति)|बिंदुओं]] या अन्य ज्यामितीय तत्वों की [[स्थिति (ज्यामिति)|स्थिति]] को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक [[संख्या|संख्याओं]] या निर्देशांक का उपयोग करती है।<ref>Woods p. 1</ref><ref>{{MathWorld|title=Coordinate System|urlname=CoordinateSystem}}</ref> निर्देशांक का क्रम महत्वपूर्ण है, और उन्हें कभी-कभी एक आदेशित [[टपल]] में उनकी स्थिति से और कभी-कभी एक पत्र द्वारा "x-निर्देशांक" के रूप में पहचाना जाता है। प्राथमिक गणित में निर्देशांकों को [[वास्तविक संख्या]] के रूप में लिया जाता है, लेकिन ये [[जटिल संख्या|जटिल संख्याएँ]] या अधिक अमूर्त प्रणाली के तत्व हो सकते हैं जैसे कि क्रमविनिमेय वलय। एक समन्वय प्रणाली के उपयोग से ज्यामिति की समस्याओं को संख्याओं के बारे में समस्याओं में अनुवाद करने की अनुमति मिलती है और इसके विपरीत; यह [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] का आधार है।<ref>{{MathWorld|title=Coordinates|urlname=Coordinates}}</ref>
[[File:3D Spherical.svg|thumb|300px|right|[[गोलाकार समन्वय प्रणाली|गोलाकार निर्देशांक प्रणाली]] का उपयोग सामान्यतः भौतिकी में किया जाता है। यह यूक्लिडीय अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर तीन संख्याएँ (जिन्हें निर्देशांक के रूप में जाना जाता है) प्रदान करता है: त्रिज्यीय दूरी ''r'', ध्रुवीय कोण ''θ'' ([[थीटा]]), और दिगंशीय कोण φ (फाई)। प्रायः ''r'' के स्थान पर प्रतीक ''ρ'' ([[रो]]) का प्रयोग किया जाता है।]][[ज्यामिति]] में, '''निर्देशांक पद्धति''', '''निर्देशांक प्रणाली''' या '''निर्देशांक निकाय''' एक ऐसी प्रणाली है जो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडीय अंतरिक्ष]] जैसे किसी मैनिफोल्ड पर [[बिंदु (ज्यामिति)|बिंदुओं]] या अन्य ज्यामितीय तत्वों की [[स्थिति (ज्यामिति)|स्थिति]] को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या एक से अधिक [[संख्या|संख्याओं]] या '''निर्देशांकों''' का उपयोग करती है।<ref>Woods p. 1</ref><ref>{{MathWorld|title=Coordinate System|urlname=CoordinateSystem}}</ref> निर्देशांकों का क्रम महत्वपूर्ण होता है, और इन्हें कभी-कभी एक क्रमित [[टपल|ट्यूपल]] में इनकी स्थिति द्वारा और कभी-कभी "x-निर्देशांक" के समान एक वर्ण के रूप में पहचाना जाता है। प्रारम्भिक गणित में निर्देशांकों को [[वास्तविक संख्या]] के रूप में लिया जाता है, लेकिन ये [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्याएँ]] या क्रमविनिमेय वलय जैसी अधिक अमूर्त प्रणाली के तत्व हो सकते हैं। एक निर्देशांक प्रणाली के उपयोग से ज्यामिति की समस्याओं को संख्या-सम्बन्धी समस्याओं में रूपांतरित करने की अनुमति मिलती है और इसके विपरीत भी; यह [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] का आधार है।<ref>{{MathWorld|title=Coordinates|urlname=Coordinates}}</ref>
== सामान्य समन्वय प्रणाली ==
== सामान्य निर्देशांक प्रणाली ==


=== संख्या रेखा ===
=== संख्या रेखा ===
{{Main|Number line}}
{{Main|संख्या रेखा}}
एक समन्वय प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण [[संख्या रेखा]] का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के साथ एक [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] पर बिंदुओं की पहचान है। इस प्रणाली में, एक दी गई रेखा पर एक मनमाना बिंदु O (मूल) चुना जाता है। एक बिंदु P के निर्देशांक को O से P तक की हस्ताक्षरित दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ चिन्हित दूरी सकारात्मक या नकारात्मक के रूप में ली गई दूरी है, जो रेखा P के किस तरफ निर्भर करती है। प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय निर्देशांक दिया जाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय बिंदु का निर्देशांक होती है।<ref>{{cite book |last1=Stewart |first1=James B. |last2= Redlin |first2= Lothar |last3=Watson |first3=Saleem |author-link=James Stewart (mathematician) |title=कॉलेज अल्जेबरा|publisher=[[Brooks Cole]] |year=2008 |edition= 5th |pages=13–19 |isbn=978-0-495-56521-5}}</ref>
 
[[संख्या रेखा|''संख्या रेखा'']] का उपयोग करके वास्तविक संख्या [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] पर बिंदुओं की पहचान करना, एक निर्देशांक प्रणाली का सरलतम उदाहरण  है। इस प्रणाली में, दी गई एक रेखा पर एक स्वेच्छ बिंदु ''O'' (मूलबिंदु) का चयन किया जाता है। एक बिंदु ''P'' के निर्देशांक को ''O'' से ''P'' तक की चिह्नित दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ चिह्नित दूरी धनात्मक या ऋणात्मक के रूप में ली गई दूरी है, जो बिंदु P की रेखा के सापेक्ष स्थिति निर्भर करती है। प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय निर्देशांक दिया जाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय बिंदु का निर्देशांक होती है।<ref>{{cite book |last1=Stewart |first1=James B. |last2= Redlin |first2= Lothar |last3=Watson |first3=Saleem |author-link=James Stewart (mathematician) |title=कॉलेज अल्जेबरा|publisher=[[Brooks Cole]] |year=2008 |edition= 5th |pages=13–19 |isbn=978-0-495-56521-5}}</ref>
[[File:Number-line.svg|center|संख्या रेखा]]
[[File:Number-line.svg|center|संख्या रेखा]]


=== कार्तीय समन्वय प्रणाली ===
=== कार्तीय निर्देशांक प्रणाली ===
{{Main|Cartesian coordinate system}}
{{Main|कार्तीय निर्देशांक प्रणाली}}
[[File:Cartesian-coordinate-system.svg|right|thumb|250px|विमान में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली।]]एक समन्वय प्रणाली का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है। समतल में, दो लंब रेखाओं को चुना जाता है और एक बिंदु के निर्देशांकों को रेखाओं की हस्ताक्षरित दूरी के रूप में लिया जाता है।
[[File:Cartesian-coordinate-system.svg|right|thumb|250px|समतल में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली।]]कार्तीय निर्देशांक प्रणाली, निर्देशांक प्रणाली का एक प्रोटोटिपिकल उदाहरण है। समतल में, दो लंब रेखाओं का चयन किया जाता है और एक बिंदु के निर्देशांकों को रेखाओं की चिह्नित दूरी के रूप में लिया जाता है।
[[File:Rectangular coordinates.svg|left|thumb|250px]]तीन आयामों में, तीन परस्पर [[ओर्थोगोनालिटी|ओर्थोगोनल]] तलों को चुना जाता है और एक बिंदु के तीन निर्देशांक प्रत्येक तल के लिए चिन्हित दूरी हैं।<ref>{{cite book |vauthors=Moon P, Spencer DE |year=1988 |chapter=Rectangular Coordinates (x, y, z) |title=फील्ड थ्योरी हैंडबुक, जिसमें कोऑर्डिनेट सिस्टम, डिफरेंशियल इक्वेशन और उनके समाधान शामिल हैं|edition=corrected 2nd, 3rd print |publisher=Springer-Verlag |location=New York |pages=9–11 (Table 1.01) |isbn=978-0-387-18430-2}}</ref> इसे n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए n निर्देशांक बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
[[File:Rectangular coordinates.svg|left|thumb|250px]]त्रि-विमीय प्रणाली में, तीन परस्पर [[ओर्थोगोनालिटी|लम्बकोणीय]] तलों का चयन किया जाता है और प्रत्येक तल से चिन्हित दूरी, एक बिंदु के तीन निर्देशांक हैं।<ref>{{cite book |vauthors=Moon P, Spencer DE |year=1988 |chapter=Rectangular Coordinates (x, y, z) |title=फील्ड थ्योरी हैंडबुक, जिसमें कोऑर्डिनेट सिस्टम, डिफरेंशियल इक्वेशन और उनके समाधान शामिल हैं|edition=corrected 2nd, 3rd print |publisher=Springer-Verlag |location=New York |pages=9–11 (Table 1.01) |isbn=978-0-387-18430-2}}</ref> इसे ''n''-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए ''n'' निर्देशांक बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।


समन्वय अक्षों की दिशा और क्रम के आधार पर, त्रि-आयामी प्रणाली दाएं हाथ या बाएं हाथ वाली प्रणाली हो सकती है। यह कई समन्वय प्रणालियों में से एक है।
निर्देशांक अक्षों की दिशा और क्रम के आधार पर, त्रि-विमीय प्रणाली दक्षिण या वाम हस्त प्रणाली हो सकती है। यह कई निर्देशांक प्रणालियों में से एक है।
=== ध्रुवीय समन्वय प्रणाली ===
=== ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली ===
{{Main|Polar coordinate system}}
{{Main|ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली}}
विमान के लिए एक अन्य सामान्य समन्वय प्रणाली ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है। [6] एक बिंदु को ध्रुव के रूप में चुना जाता है और इस बिंदु से एक किरण को ध्रुवीय अक्ष के रूप में लिया जाता है। किसी दिए गए कोण θ के लिए, ध्रुव के माध्यम से एक एकल रेखा होती है जिसका कोण ध्रुवीय अक्ष के साथ θ होता है (अक्ष से रेखा तक वामावर्त मापा जाता है)। फिर इस रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु है जिसकी मूल से हस्ताक्षरित दूरी दी गई संख्या r के लिए r है। दिए गए निर्देशांकों के युग्म (r, θ) के लिए एक बिंदु होता है, लेकिन किसी भी बिंदु को निर्देशांकों के अनेक युग्मों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, (r, θ), (r, θ+2π) और (−r, θ+π) एक ही बिंदु के लिए सभी ध्रुवीय निर्देशांक हैं। θ के किसी भी मान के लिए ध्रुव को (0, θ) द्वारा दर्शाया जाता है।
===बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणाली ===
{{Main|Cylindrical coordinate system|Spherical coordinate system}}
[[File:Cylindrical Coordinates.svg|thumb|250px|बेलनाकार समन्वय प्रणाली]]ध्रुवीय समन्वय प्रणाली को तीन आयामों तक विस्तारित करने की दो सामान्य विधियाँ हैं। बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में, कार्टेशियन निर्देशांक के समान अर्थ के साथ एक z-निर्देशांक ''r'' और ''θ'' ध्रुवीय निर्देशांक में जोड़ा जाता है जिससे ट्रिपल ''(r, θ, z)'' मिलता है।''<ref>{{cite book |last1=Margenau |first1=Henry |author-link1=Henry Margenau |last2=Murphy |first2=George M. |year=1956 |title=भौतिकी और रसायन विज्ञान का गणित|url=https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg |url-access=registration |publisher=D. van Nostrand |location=New York City |page=[https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg/page/178 178] |lccn=55010911 |isbn=978-0-88275-423-9 |oclc=3017486}}</ref>'' गोलाकार निर्देशांक इसे एक कदम आगे ले जाते हैं, बेलनाकार निर्देशांक ''(r, z)'' की जोड़ी को ध्रुवीय निर्देशांक ''(ρ, φ)'' में परिवर्तित करके एक ट्रिपल ''(ρ, θ, φ)'' देते हैं।''<ref>{{cite book |author= [[Philip M. Morse|Morse PM]], [[Herman Feshbach|Feshbach H]] |year= 1953 |title= सैद्धांतिक भौतिकी के तरीके, भाग I|publisher= McGraw-Hill |location= New York |isbn= 0-07-043316-X |page= 658 |lccn= 52011515}}</ref>''


''ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली'', समतल के लिए एक अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणाली है।[[:en:Coordinate_system#cite_note-6|<sup>[6]</sup>]] इसमें एक बिंदु का चयन ''ध्रुव'' के रूप में किया जाता है और इस बिंदु से प्राप्त एक किरण को ''ध्रुवीय अक्ष'' के रूप में लिया जाता है। किसी दिए गए कोण ''θ (अक्ष से रेखा तक वामावर्त मापा गया)'' के लिए, ध्रुव से होकर जाने वाली एक एकल रेखा होती है जिसका ध्रुवीय अक्ष के साथ कोण ''θ'' होता है। फिर इस रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु होता है जिसकी मूलबिंदु से चिह्नित दूरी किसी दी गई संख्या ''r'' के लिए ''r'' होती है। दिए गए निर्देशांकों के युग्म (''r, θ'') के लिए एक एकल बिंदु होता है, लेकिन किसी भी बिंदु को निर्देशांकों के अनेक युग्मों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। उदाहरण के लिए, (''r, θ''), (''r, θ+2π'') और (''−r, θ+π'') एक ही बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं। ''θ'' के किसी भी मान के लिए ध्रुव को (''0, θ'') द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
===बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक प्रणाली ===
{{Main|बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली|गोलाकार निर्देशांक प्रणाली}}
[[File:Cylindrical Coordinates.svg|thumb|250px|बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली]]ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली को तीन विमाओं तक विस्तारित करने की दो सामान्य विधियाँ हैं। '''बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली''' में, कार्तीय निर्देशांक के समान अर्थ के साथ एक ''z''-निर्देशांक को ''r'' और ''θ'' ध्रुवीय निर्देशांकों में जोड़ा जाता है, जिससे त्रिक (''r, θ, z'') प्राप्त होता है।''<ref>{{cite book |last1=Margenau |first1=Henry |author-link1=Henry Margenau |last2=Murphy |first2=George M. |year=1956 |title=भौतिकी और रसायन विज्ञान का गणित|url=https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg |url-access=registration |publisher=D. van Nostrand |location=New York City |page=[https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg/page/178 178] |lccn=55010911 |isbn=978-0-88275-423-9 |oclc=3017486}}</ref>'' गोलाकार निर्देशांक, बेलनाकार निर्देशांक (''r, z'') के युग्म को ध्रुवीय निर्देशांक (''ρ, φ'') में परिवर्तित करके इसे एक चरण आगे ले जाते हैं, जिससे एक त्रिक (''ρ, θ, φ'') प्राप्त होता है।''<ref>{{cite book |author= [[Philip M. Morse|Morse PM]], [[Herman Feshbach|Feshbach H]] |year= 1953 |title= सैद्धांतिक भौतिकी के तरीके, भाग I|publisher= McGraw-Hill |location= New York |isbn= 0-07-043316-X |page= 658 |lccn= 52011515}}</ref>''
=== सजातीय निर्देशांक प्रणाली ===
{{Main|सजातीय निर्देशांक}}


=== सजातीय समन्वय प्रणाली ===
समतल में किसी बिंदु को सजातीय निर्देशांकों में एक त्रिक (''x, y, z'') द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जहाँ ''x/z'' और ''y/z'' उस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक हैं।<ref>{{cite book |title=बीजगणितीय ज्यामिति का एक परिचय|first=Alfred Clement|last=Jones
{{Main|Homogeneous coordinates}}
|publisher=Clarendon|year=1912}}</ref> यह एक "अतिरिक्त" निर्देशांक का परिचय देता है क्योंकि समतल पर एक बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए केवल दो निर्देशांकों की आवश्यकता होती है, लेकिन यह प्रणाली उपयोगी है क्योंकि यह [[प्रक्षेपी विमान|प्रक्षेपी तल]] पर किसी भी बिंदु का निरूपण अनन्तता के उपयोग के बिना करती है। सामान्य रूप से, एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली वह प्रणाली होती है जिसमें केवल निर्देशांकों के अनुपात महत्वपूर्ण होते हैं न कि इनके वास्तविक मान।
समतल में एक बिंदु को सजातीय निर्देशांक में एक ट्रिपल (x, y, z) द्वारा दर्शाया जा सकता है जहां x/z और y/z बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं।<ref>{{cite book |title=बीजगणितीय ज्यामिति का एक परिचय|first=Alfred Clement|last=Jones
|publisher=Clarendon|year=1912}}</ref> यह एक अतिरिक्त समन्वय का परिचय देता है क्योंकि विमान पर एक बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए केवल दो की आवश्यकता होती है, लेकिन यह प्रणाली इस मायने में उपयोगी है कि यह अनंतता के उपयोग के बिना [[प्रक्षेपी विमान]] पर किसी भी बिंदु का प्रतिनिधित्व करती है। सामान्य तौर पर, एक सजातीय समन्वय प्रणाली वह होती है जहां केवल निर्देशांक के अनुपात महत्वपूर्ण होते हैं न कि वास्तविक मान।


=== अन्य आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली प्रणालियाँ ===
=== सामान्यतः उपयोग की जाने वाली अन्य प्रणालियाँ ===
कुछ अन्य सामान्य समन्वय प्रणालियाँ निम्नलिखित हैं:
कुछ अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणालियाँ निम्नलिखित हैं:
* [[वक्रीय निर्देशांक]] आम तौर पर समन्वय प्रणालियों का एक सामान्यीकरण है; प्रणाली वक्रों के प्रतिच्छेदन पर आधारित है।
*[[वक्रीय निर्देशांक|वक्ररेखीय निर्देशांक]], सामान्यतः निर्देशांक प्रणालियों का एक सामान्यीकरण है; यह प्रणाली वक्रों के प्रतिच्छेदन पर आधारित है।
** [[ऑर्थोगोनल निर्देशांक]]: समन्वयित सतहें समकोण पर मिलती हैं
**[[ऑर्थोगोनल निर्देशांक|लंबकोणीय निर्देशांक]]: इसमें निर्देशांक सतहें समकोण पर मिलती हैं
** [[तिरछा निर्देशांक]]: समन्वयित सतहें ओर्थोगोनल नहीं हैं
**[[तिरछा निर्देशांक|तिर्यक निर्देशांक]]: इसमें निर्देशांक सतहें लम्बकोणीय नहीं होती हैं
* लॉग-पोलर [[समन्वय सतह]]| [[लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक]] सिस्टम मूल से दूरी के लघुगणक और मूल को प्रतिच्छेद करने वाली संदर्भ रेखा से मापा गया कोण द्वारा विमान में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
*[[लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक|लघुगणक-ध्रुवीय निर्देशांक]], यह प्रणाली समतल में एक बिंदु का निरूपण, मूलबिंदु से इसकी दूरी के लघुगणक और मूलबिंदु को प्रतिच्छेद करने वाली संदर्भ रेखा से मापे गए कोण द्वारा करती है।
* प्लकर निर्देशांक 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में रेखाओं का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है, जो [[सजातीय निर्देशांक]] के रूप में छह-टपल संख्याओं का उपयोग करता है।
*प्लकर निर्देशांक, त्रिविमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखाओं का निरूपण करने की एक विधि है, जो [[सजातीय निर्देशांक|सजातीय निर्देशांकों]] के समान संख्याओं के छह-ट्यूपल का उपयोग करते हैं।
* यांत्रिकी के [[Lagrangian यांत्रिकी]] उपचार में [[सामान्यीकृत निर्देशांक]] का उपयोग किया जाता है।
*[[सामान्यीकृत निर्देशांक|सामान्यीकृत निर्देशांकों]] का उपयोग यांत्रिकी के [[Lagrangian यांत्रिकी|लैग्रान्जियन]] निरूपण में किया जाता है।
* कैनोनिकल निर्देशांक यांत्रिकी के हेमिल्टनियन यांत्रिकी उपचार में उपयोग किए जाते हैं।
* विहित निर्देशांकों का उपयोग यांत्रिकी के हैमिल्टनी निरूपण में किया जाता है।
* [[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली]] का उपयोग त्रिगुट भूखंडों के लिए और आमतौर पर [[त्रिकोण]]ों के विश्लेषण में किया जाता है।
*[[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली|बैरीसेंट्रिक निर्देशांक प्रणाली]] का उपयोग त्रिआधारी आलेखों के लिए और अधिक सामान्यतः [[त्रिकोण|त्रिभुजों]] के विश्लेषण में किया जाता है।
* त्रिरेखीय निर्देशांक का उपयोग त्रिभुजों के संदर्भ में किया जाता है।
* त्रिरैखिक निर्देशांकों का उपयोग त्रिभुज के संदर्भ में किया जाता है।


निर्देशांक के बिना घटता का वर्णन करने के तरीके हैं, [[आंतरिक समीकरण]]ों का उपयोग करते हुए जो [[वक्रता]] और चाप की लंबाई जैसी अपरिवर्तनीय मात्रा का उपयोग करते हैं। इसमे शामिल है:
निर्देशांकों के बिना [[आंतरिक समीकरण|आंतरिक समीकरणों]] का उपयोग करते हुए वक्रों का वर्णन करने की कई विधियाँ हैं, जो [[वक्रता]] और चाप की लंबाई जैसी अपरिवर्तनीय राशियों का उपयोग करती हैं। इसमें निम्न विधियाँ सम्मिलित हैं:
* [[व्हीवेल समीकरण]] चाप की लंबाई और [[स्पर्शरेखा कोण]] से संबंधित है।
*[[व्हीवेल समीकरण]] चाप की लंबाई और [[स्पर्शरेखा कोण|स्पर्शरेखीय कोण]] से संबंधित है।
* सिसैरो समीकरण चाप की लंबाई और वक्रता से संबंधित है।
*सिसैरो समीकरण चाप की लंबाई और वक्रता से संबंधित है।


== ज्यामितीय वस्तुओं के निर्देशांक ==
== ज्यामितीय वस्तुओं के निर्देशांक ==
निर्देशांक प्रणाली का उपयोग अक्सर एक बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल आकृतियों जैसे रेखाओं, विमानों, [[वृत्त]]ों या क्षेत्रों की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में एक रेखा की स्थिति निर्धारित करने के लिए प्लकर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book
निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग प्रायः एक बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन इनका उपयोग रेखाओं, समतलों, [[वृत्त|वृत्तों]] या क्षेत्रों जैसी अधिक जटिल आकृतियों की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में एक रेखा की स्थिति को निर्धारित करने के लिए प्लकर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book
| last= Hodge
| last= Hodge
| first= W.V.D.
| first= W.V.D.
Line 54: Line 55:
| year= 1994
| year= 1994
| isbn= 978-0-521-46900-5
| isbn= 978-0-521-46900-5
| orig-year= 1947}}</ref> जब आवश्यकता होती है, तो वर्णित आकृति के प्रकार का उपयोग समन्वय प्रणाली के प्रकार को अलग करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए शब्द [[रेखा निर्देशांक]] किसी भी समन्वय प्रणाली के लिए उपयोग किया जाता है जो रेखा की स्थिति निर्दिष्ट करता है।
| orig-year= 1947}}</ref> वर्णित आकृति के प्रकार का उपयोग आवश्यकता होने पर निर्देशांक प्रणाली के प्रकार को अलग करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए [[रेखा निर्देशांक|''रेखा निर्देशांक'']] शब्द का उपयोग रेखा की स्थिति को निर्दिष्ट करने वाली किसी भी निर्देशांक प्रणाली के लिए किया जाता है।
 
ऐसा हो सकता है कि ज्यामितीय आकृतियों के दो अलग-अलग सेटों के लिए निर्देशांक की प्रणालियाँ उनके विश्लेषण के संदर्भ में समान हों। इसका एक उदाहरण प्रक्षेपी तल में बिंदुओं और रेखाओं के लिए सजातीय निर्देशांक की प्रणाली है। इस तरह के मामले में दो प्रणालियों को द्वैतवादी कहा जाता है। द्वैतवादी प्रणालियों में यह गुण होता है कि एक प्रणाली से परिणाम दूसरे में ले जाया जा सकता है क्योंकि ये परिणाम एक ही विश्लेषणात्मक परिणाम की केवल अलग-अलग व्याख्याएं हैं; इसे द्वैत (गणित) के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।<ref>Woods p. 2</ref>
 


== परिवर्तन ==
ऐसा हो सकता है कि ज्यामितीय आकृतियों के दो अलग-अलग समूहों के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ, इनके विश्लेषण के संदर्भ में समान हों। प्रक्षेपी तल में बिंदुओं और रेखाओं के लिए सजातीय निर्देशांक प्रणाली इसका एक उदाहरण है। इस प्रकार की स्थिति में दो प्रणालियों को <u>''द्वैतवादी''</u> कहा जाता है। द्वैतवादी प्रणालियों में यह गुण होता है कि एक प्रणाली से प्राप्त परिणामों को दूसरी प्रणाली में ले जाया जा सकता है क्योंकि ये परिणाम एक ही विश्लेषणात्मक परिणाम की केवल अलग-अलग व्याख्याएँ होती हैं; इसे ''द्वैतता सिद्धांत'' के रूप में जाना जाता है।<ref>Woods p. 2</ref>
{{See also|Active and passive transformation}}
== रूपान्तरण ==
{{Main|List of common coordinate transformations}}
{{See also|सक्रिय और निष्क्रिय रूपान्तरण}}
ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करने के लिए अक्सर कई अलग-अलग संभव समन्वय प्रणालियाँ होती हैं। विभिन्न प्रणालियों के बीच संबंध को समन्वय परिवर्तनों द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक प्रणाली में निर्देशांक के लिए दूसरे सिस्टम में निर्देशांक के संदर्भ में सूत्र देते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में, यदि कार्तीय निर्देशांक (x, y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) का उद्गम एक ही है, और ध्रुवीय अक्ष धनात्मक x अक्ष है, तो ध्रुवीय से कार्तीय निर्देशांक में निर्देशांक परिवर्तन द्वारा दिया जाता है x = r cosθ और y = r sinθ।
{{Main|सामान्य निर्देशांक रूपान्तरणों की सूची}}


अंतरिक्ष से लेकर स्वयं तक की प्रत्येक आपत्ति के साथ दो समन्वय परिवर्तन जुड़े हो सकते हैं:
ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करने के लिए प्रायः कई अलग-अलग संभव निर्देशांक प्रणालियाँ होती हैं। निर्देशांक रूपान्तरणों द्वारा विभिन्न प्रणालियों के बीच के संबंध को वर्णित किया जाता है, जो एक प्रणाली के निर्देशांकों के लिए दूसरी प्रणाली के निर्देशांकों के संदर्भ में सूत्र प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में, यदि कार्तीय निर्देशांक (''x, y'') और ध्रुवीय निर्देशांक (''r, θ'') का मूलबिंदु समान है, और धनात्मक x-अक्ष, ध्रुवीय अक्ष है, तो ध्रुवीय से कार्तीय निर्देशांकों में निर्देशांक परिवर्तन x = r cosθ और y = r sinθ द्वारा दिया जाता है।
* ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु की छवि के नए निर्देशांक मूल बिंदु के पुराने निर्देशांक के समान हैं (मानचित्रण के सूत्र समन्वय परिवर्तन के लिए उलटे हैं)
* ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु की छवि के पुराने निर्देशांक मूल बिंदु के नए निर्देशांक के समान हैं (मानचित्रण के सूत्र वही हैं जो समन्वय परिवर्तन के लिए हैं)


उदाहरण के लिए, [[आयाम]] में, यदि मानचित्रण 3 का दाईं ओर अनुवाद है, तो पहला मूल को 0 से 3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 कम हो जाता है, जबकि दूसरा मूल को 0 से -3 तक ले जाता है। , ताकि प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 और हो जाए।
अंतरिक्ष से स्वयं अंतरिक्ष पर प्रत्येक एकैकी आच्छादन के साथ दो निर्देशांक परिवर्तन निम्न प्रकार से सम्बद्ध हो सकते हैं:
* इस प्रकार कि प्रत्येक बिंदु के प्रतिबिम्ब के नए निर्देशांक, वास्तविक बिंदु के पुराने निर्देशांकों के समान हैं (प्रतिचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के सूत्रों के व्युत्क्रम हैं)
* इस प्रकार कि प्रत्येक बिंदु के प्रतिबिम्ब के पुराने निर्देशांक, वास्तविक बिंदु के नए निर्देशांकों के समान हैं (प्रतिचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के सूत्रों के समान हैं)


=={{Anchor|Coordinate line|Coordinate curve|Coordinate plane|Coordinate surface}}समन्वय रेखाएं/वक्र और विमान/सतह ==
उदाहरण के लिए, [[आयाम|1-विमीय]] में, यदि प्रतिचित्रण, 3 का दाईं ओर रूपान्तरण है, तो पहला मूलबिंदु को 0 से 3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 कम हो जाता है, जबकि दूसरा मूलबिंदु को 0 से -3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 अधिक हो जाता है।
{{Redirect-distinguish|Coordinate line|Line coordinates}}
{{Redirect-distinguish|Coordinate plane|Plane coordinates}}
दो आयामों में, यदि एक बिंदु समन्वय प्रणाली में एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और दूसरे निर्देशांक को बदलने की अनुमति दी जाती है, तो परिणामी वक्र को एक समन्वय वक्र कहा जाता है। यदि निर्देशांक वक्र वास्तव में [[सीधी रेखा]]एँ हैं, तो उन्हें निर्देशांक रेखाएँ कहा जा सकता है। कार्तीय समन्वय प्रणालियों में, निर्देशांक रेखाएं पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होती हैं, और इन्हें ''निर्देशांक अक्ष'' के रूप में जाना जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों के लिए निर्देशांक वक्र सामान्य वक्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ''r'' स्थिरांक धारण करके प्राप्त ध्रुवीय निर्देशांक में निर्देशांक वक्र मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त होते हैं। एक समन्वय प्रणाली जिसके लिए कुछ समन्वय वक्र रेखाएं नहीं हैं, को 'वक्रीय निर्देशांक' कहा जाता है।<ref>{{cite book |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणितीय तरीके|volume=2|first=K. T.|last=Tang|publisher=Springer|year=2006|isbn=3-540-30268-9|page=13}}</ref> यह प्रक्रिया हमेशा समझ में नहीं आती है, उदाहरण के लिए एक [[सजातीय समन्वय प्रणाली]] में कोई समन्वय वक्र नहीं होते हैं।


[[File:Parabolic coordinates 3D.png|thumb|left|190px|त्रि-आयामी परवलयिक निर्देशांक की समन्वय सतहें।]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, यदि एक समन्वय को स्थिर रखा जाता है और अन्य दो को बदलने की अनुमति दी जाती है, तो परिणामी सतह को एक समन्वय सतह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गोलीय निर्देशांक प्रणाली में ''ρ'' स्थिरांक धारण करके प्राप्त समन्वय सतहें वे गोले हैं जिनका केंद्र मूल बिंदु पर है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो समन्वय सतहों का प्रतिच्छेदन एक समन्वय वक्र है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में हम समन्वय तलों की बात कर सकते हैं।
==निर्देशांक रेखाएँ/वक्र और समतल/सतह ==
{{Redirect-distinguish|निर्देशांक रेखा|रेखा निर्देशांक}}
{{Redirect-distinguish|निर्देशांक तल|समतल निर्देशांक}}


इसी तरह, समन्वित हाइपरसर्फ्स हैं {{nowrap|(''n'' − 1)}}एक एन-डायमेंशनल कोऑर्डिनेट सिस्टम के सिंगल कोऑर्डिनेट को फिक्स करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न डायमेंशनल स्पेस।<ref> {{cite book |title=A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation |first=Vladimir D.|last=Liseikin|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-34235-9|page=38}}</ref>
द्विविमीय में, यदि एक बिंदु निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और दूसरे निर्देशांक को परिवर्तित करने की अनुमति प्रदान की जाती है, तो परिणामी वक्र को एक '''निर्देशांक वक्र''' कहा जाता है। यदि निर्देशांक वक्र वास्तव में [[सीधी रेखा|सरल रेखाएँ]] हैं, तो इन्हें '''निर्देशांक रेखाएँ''' कहा जा सकता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणालियों में, निर्देशांक रेखाएँ परस्पर लम्बकोणीय होती हैं, और निर्देशांक अक्षों के रूप में जानी जाती हैं। अन्य निर्देशांक प्रणालियों के लिए निर्देशांक वक्र सामान्य वक्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ''r'' नियतांक धारण करते हुए प्राप्त ध्रुवीय निर्देशांकों में निर्देशांक वक्र, ऐसे वृत्त होते हैं, जिनका केंद्र मूलबिंदु पर स्थित होता है। एक निर्देशांक प्रणाली, एक वक्रीय निर्देशांक प्रणाली कहलाती है, जिसके लिए कुछ निर्देशांक वक्र रेखाएँ नहीं होते हैं।<ref>{{cite book |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणितीय तरीके|volume=2|first=K. T.|last=Tang|publisher=Springer|year=2006|isbn=3-540-30268-9|page=13}}</ref> यह प्रक्रिया सदैव अर्थपूर्ण नहीं होती है, उदाहरण के लिए एक [[सजातीय समन्वय प्रणाली|सजातीय निर्देशांक प्रणाली]] में कोई निर्देशांक वक्र नहीं होते हैं।


[[File:Parabolic coordinates 3D.png|thumb|left|190px|त्रि-विमीय परवलयिक निर्देशांकों की निर्देशांक सतहें।]]त्रि-विमीय अंतरिक्ष में, यदि एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और अन्य दो को परिवर्तित करने की अनुमति प्रदान जाती है, तो परिणामी सतह को एक '''निर्देशांक सतह''' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में ''ρ'' नियतांक धारण करते हुए प्राप्त निर्देशांक सतह, ऐसे गोले होते हैं, जिनका केंद्र मूलबिंदु पर स्थित होता है। त्रि-विमीय अंतरिक्ष में दो निर्देशांक सतहों का प्रतिच्छेदन एक निर्देशांक वक्र होता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में हम इन्हें '''निर्देशांक तल''' भी कह सकते हैं।


== समन्वय मानचित्र ==
इसी प्रकार, '''निर्देशांक हाइपरसतहें''' {{nowrap|(''n'' − 1)}}-विमीय अंतरिक्ष हैं जो एक ''n''-विमीय निर्देशांक प्रणाली के एक निर्देशांक को स्थिर करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं।<ref> {{cite book |title=A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation |first=Vladimir D.|last=Liseikin|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-34235-9|page=38}}</ref>
{{Main|Coordinate map}}
== निर्देशांक प्रतिचित्र ==
{{Main|निर्देशांक प्रतिचित्र}}
{{Further|Manifold}}
{{Further|Manifold}}
एक समन्वय मानचित्र, या समन्वय चार्ट की अवधारणा कई गुना के सिद्धांत के केंद्र में है। एक समन्वय मानचित्र अनिवार्य रूप से संपत्ति के साथ किसी दिए गए स्थान के सबसेट के लिए एक समन्वय प्रणाली है जिसमें प्रत्येक बिंदु में निर्देशांक का एक सेट होता है। अधिक सटीक रूप से, एक समन्वय मानचित्र अंतरिक्ष X के खुले उपसमुच्चय से 'R' के खुले उपसमुच्चय तक एक [[होमियोमोर्फिज्म]] है।<sup>एन</sup>.<ref>Munkres, James R. (2000) ''Topology''. Prentice Hall. {{ISBN|0-13-181629-2}}.</ref> संपूर्ण स्थान के लिए एक सुसंगत समन्वय प्रणाली प्रदान करना अक्सर संभव नहीं होता है। इस मामले में, अंतरिक्ष को कवर करने वाले [[एटलस (टोपोलॉजी)]] बनाने के लिए निर्देशांक मानचित्रों का एक संग्रह एक साथ रखा जाता है। इस तरह के एटलस से लैस एक स्थान को कई गुना कहा जाता है और अतिरिक्त संरचना को कई गुना परिभाषित किया जा सकता है यदि संरचना सुसंगत है जहां समन्वयित नक्शे ओवरलैप होते हैं। उदाहरण के लिए, एक [[अलग करने योग्य कई गुना]] एक कई गुना होता है जहां एक समन्वय मानचित्र से दूसरे समन्वय में निर्देशांक का परिवर्तन हमेशा एक अलग कार्य होता है।
एक निर्देशांक प्रतिचित्र, या निर्देशांक चार्ट की अवधारणा, मैनिफोल्डों के सिद्धांत का केंद्र है। एक निर्देशांक प्रतिचित्र, किसी दिए गए स्थान के उपसमुच्चय के लिए अनिवार्य रूप से इस गुण वाली एक निर्देशांक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक बिंदु में निर्देशांक का एक समुच्चय होता है। अधिक यथार्थ रूप से, एक निर्देशांक प्रतिचित्र अंतरिक्ष ''X'' के खुले उपसमुच्चय से ''R<sup>n</sup>'' के खुले उपसमुच्चय में एक [[होमियोमोर्फिज्म]] है।<ref>Munkres, James R. (2000) ''Topology''. Prentice Hall. {{ISBN|0-13-181629-2}}.</ref> संपूर्ण अंतरिक्ष के लिए एक सुसंगत निर्देशांक प्रणाली प्रदान करना प्रायः संभव नहीं होता है। इस स्थिति में, अंतरिक्ष को आच्छादित करने वाले [[एटलस (टोपोलॉजी)|एटलस (सांस्थिति)]] का निर्माण करने के लिए निर्देशांक प्रतिचित्रों के संग्रह को एक साथ रखा जाता है। इस प्रकार के एटलस से सुसज्जित एक अंतरिक्ष को ''मैनिफोल्ड'' कहा जाता है और अतिरिक्त संरचना को मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है,, यदि संरचना वहाँ सुसंगत है जहाँ निर्देशांक प्रतिचित्र अधिव्यापित होते हैं। उदाहरण के लिए, [[अलग करने योग्य कई गुना|अवकलनीय मैनिफोल्ड]] एक ऐसा मैनिफोल्ड होता है जहाँ एक निर्देशांक प्रतिचित्र से दूसरे निर्देशांक प्रतिचित्र में निर्देशांकों का परिवर्तन सदैव एक अवकलनीय फलन होता है।


== अभिविन्यास-आधारित निर्देशांक ==
== दिक्विन्यास-आधारित निर्देशांक ==
ज्यामिति और [[गतिकी]] में, समन्वय प्रणालियों का उपयोग बिंदुओं की (रैखिक) स्थिति और अक्षों, विमानों और कठोर शरीर के [[अभिविन्यास (ज्यामिति)]] का वर्णन करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book |title=अंतरिक्ष प्रणालियों के विश्लेषणात्मक यांत्रिकी|author1=Hanspeter Schaub |author2=John L. Junkins |chapter=Rigid body kinematics |page=71 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=qXvESNWrfpUC&pg=PA71 |isbn=1-56347-563-4 |year=2003 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}}</ref> बाद के मामले में, एक दूसरे (आमतौर पर स्थानीय के रूप में संदर्भित) समन्वय प्रणाली, नोड के लिए तय की जाती है, पहले के आधार पर परिभाषित की जाती है (आमतौर पर वैश्विक या विश्व समन्वय प्रणाली के रूप में संदर्भित)। उदाहरण के लिए, एक कठोर शरीर के अभिविन्यास को अभिविन्यास [[मैट्रिक्स (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें इसके तीन स्तंभों में तीन बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक शामिल हैं। इन बिंदुओं का उपयोग स्थानीय प्रणाली के अक्षों के उन्मुखीकरण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; वे उन अक्षों के साथ संरेखित तीन इकाई सदिशों की युक्तियाँ हैं।
ज्यामिति और [[गतिकी|शुद्धगतिकी]] में, निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग बिंदुओं की (रैखिक) स्थिति और अक्षों, समतलों और दृढ़ निकायों की [[अभिविन्यास (ज्यामिति)|कोणीय]] स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।<ref>{{cite book |title=अंतरिक्ष प्रणालियों के विश्लेषणात्मक यांत्रिकी|author1=Hanspeter Schaub |author2=John L. Junkins |chapter=Rigid body kinematics |page=71 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=qXvESNWrfpUC&pg=PA71 |isbn=1-56347-563-4 |year=2003 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}}</ref> बाद वाली स्थिति में, नोड पर स्थिर एक दूसरी (सामान्यतः "स्थानीय" के रूप में संदर्भित) निर्देशांक प्रणाली की कोणीय स्थिति को पहली स्थिति (सामान्यतः "वैश्विक" या "विश्व" निर्देशांक प्रणाली के रूप में संदर्भित) के आधार पर परिभाषित किया जाता है । उदाहरण के लिए, एक दृढ़ निकाय के दिक्विन्यास को एक दिक्विन्यास [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसके तीन स्तंभों में तीन बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक सम्मिलित होते हैं। इन बिंदुओं का उपयोग स्थानीय प्रणाली के अक्षों की कोणीय स्थिति को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; ये इन अक्षों के साथ संरेखित तीन इकाई सदिशों के शीर्ष होते हैं।


== भौगोलिक प्रणाली ==
== भौगोलिक प्रणाली ==
{{main | Spatial reference system}}
{{main |स्थानिक संदर्भ प्रणाली}}
समग्र रूप से पृथ्वी सबसे आम ज्यामितीय स्थानों में से एक है, जिसके लिए स्थान के सटीक माप की आवश्यकता होती है, और इस प्रकार समन्वय प्रणाली होती है। [[हेलेनिस्टिक काल]] के यूनानियों से शुरू होकर, उपरोक्त प्रकारों के आधार पर विभिन्न प्रकार की समन्वय प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, जिनमें शामिल हैं:
 
* [[भौगोलिक समन्वय प्रणाली]], [[अक्षांश]] और देशांतर की गोलाकार समन्वय प्रणाली
समग्र रूप से पृथ्वी सबसे सामान्य ज्यामितीय अंतरिक्षों में से एक है, जिसके लिए स्थान के यथार्थ मापन और इस प्रकार निर्देशांक प्रणालियों की आवश्यकता होती है। [[हेलेनिस्टिक काल|यूनानी काल]] के यूनानियों से प्रारंभ होकर, उपरोक्त प्रकारों के आधार पर विभिन्न प्रकार की निर्देशांक प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, जिनमें निम्न प्रणालियाँ सम्मिलित हैं:
* [[ग्रिड संदर्भ प्रणाली]], जिसमें हजारों कार्तीय समन्वय प्रणालियां शामिल हैं, प्रत्येक दुनिया या किसी क्षेत्र की समतलीय सतह बनाने के लिए मानचित्र प्रक्षेपण पर आधारित है।
*[[भौगोलिक समन्वय प्रणाली|भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली]], [[अक्षांश]] और देशांतर के गोलाकार निर्देशांक
* [[भूकेंद्रीय समन्वय प्रणाली]], एक त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली जो पृथ्वी को एक वस्तु के रूप में मॉडल करती है, और [[ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम]] और अन्य [[उपग्रह]] नेविगेशन सिस्टम सहित उपग्रहों की कक्षाओं के मॉडलिंग के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाती है।
*[[ग्रिड संदर्भ प्रणाली|प्रक्षेपित निर्देशांक प्रणाली]], जिसमें हजारों कार्तीय निर्देशांक प्रणालियाँ सम्मिलित हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रणाली विश्व या किसी क्षेत्र की एक तलीय सतह के निर्माण के लिए प्रतिचित्र प्रक्षेपण पर आधारित है।
*[[भूकेंद्रीय समन्वय प्रणाली|भूकेंद्रीय निर्देशांक प्रणाली]], एक त्रि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली है, जो पृथ्वी को एक वस्तु के रूप में प्रतिरूपित करती है, और [[ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम|ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम (जीपीएस)]] एवं अन्य [[उपग्रह]] नेविगेशन प्रणालियों सहित उपग्रहों की कक्षाओं के प्रतिरूपण के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाती है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
{{cols|colwidth=21em}}
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* [[पूर्ण कोणीय गति]]
* [[पूर्ण कोणीय गति]]
* [[अल्फ़ान्यूमेरिक ग्रिड]]
* [[अक्षरांकीय ग्रिड]]
* इंजीनियरिंग में [[अक्ष सम्मेलन]]
* अभियांत्रिकी में [[अक्ष परिपाटियाँ]]
* [[आकाशीय समन्वय प्रणाली]]
* [[आकाशीय समन्वय प्रणाली]]
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* [[आंशिक निर्देशांक]]
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* [[संरेखण तालिका]], विभिन्न समन्वय प्रणालियों का चित्रमय निरूपण
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* [[संदर्भ प्रणाली]]
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* [[अक्षों का घूर्णन]]
* [[कुल्हाड़ियों का अनुवाद]]
* [[अक्षों का रूपान्तरण]]{{colend}}
{{colend}}


 
=== सापेक्षतावादी निर्देशांक प्रणालियाँ ===
=== सापेक्षतावादी समन्वय प्रणाली ===
{{cols}}
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* एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक
* [[एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक]]
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* [[गाऊसी ध्रुवीय निर्देशांक]]
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* [[गुलस्ट्रैंड-पेनलेव निर्देशांक]]
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{{colend}}
 


==संदर्भ==
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Latest revision as of 17:07, 12 September 2023

"निर्देशांक" redirects here. For पृथ्वी पर निर्देशांक, see स्थानिक संदर्भ प्रणाली. For अन्य उपयोग, see निर्देशांक (बहुविकल्पी).
विकिपीडिया पर भौगोलिक निर्देशांक के लिए, टेम्पलेट:निर्देशांक देखें।
गोलाकार निर्देशांक प्रणाली का उपयोग सामान्यतः भौतिकी में किया जाता है। यह यूक्लिडीय अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर तीन संख्याएँ (जिन्हें निर्देशांक के रूप में जाना जाता है) प्रदान करता है: त्रिज्यीय दूरी r, ध्रुवीय कोण θ (थीटा), और दिगंशीय कोण φ (फाई)। प्रायः r के स्थान पर प्रतीक ρ (रो) का प्रयोग किया जाता है।

ज्यामिति में, निर्देशांक पद्धति, निर्देशांक प्रणाली या निर्देशांक निकाय एक ऐसी प्रणाली है जो यूक्लिडीय अंतरिक्ष जैसे किसी मैनिफोल्ड पर बिंदुओं या अन्य ज्यामितीय तत्वों की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या एक से अधिक संख्याओं या निर्देशांकों का उपयोग करती है।[1][2] निर्देशांकों का क्रम महत्वपूर्ण होता है, और इन्हें कभी-कभी एक क्रमित ट्यूपल में इनकी स्थिति द्वारा और कभी-कभी "x-निर्देशांक" के समान एक वर्ण के रूप में पहचाना जाता है। प्रारम्भिक गणित में निर्देशांकों को वास्तविक संख्या के रूप में लिया जाता है, लेकिन ये सम्मिश्र संख्याएँ या क्रमविनिमेय वलय जैसी अधिक अमूर्त प्रणाली के तत्व हो सकते हैं। एक निर्देशांक प्रणाली के उपयोग से ज्यामिति की समस्याओं को संख्या-सम्बन्धी समस्याओं में रूपांतरित करने की अनुमति मिलती है और इसके विपरीत भी; यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आधार है।[3]

सामान्य निर्देशांक प्रणाली

संख्या रेखा

Main article: संख्या रेखा

संख्या रेखा का उपयोग करके वास्तविक संख्या रेखा पर बिंदुओं की पहचान करना, एक निर्देशांक प्रणाली का सरलतम उदाहरण है। इस प्रणाली में, दी गई एक रेखा पर एक स्वेच्छ बिंदु O (मूलबिंदु) का चयन किया जाता है। एक बिंदु P के निर्देशांक को O से P तक की चिह्नित दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ चिह्नित दूरी धनात्मक या ऋणात्मक के रूप में ली गई दूरी है, जो बिंदु P की रेखा के सापेक्ष स्थिति निर्भर करती है। प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय निर्देशांक दिया जाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय बिंदु का निर्देशांक होती है।[4]

संख्या रेखा

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली

Main article: कार्तीय निर्देशांक प्रणाली
समतल में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली।

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली, निर्देशांक प्रणाली का एक प्रोटोटिपिकल उदाहरण है। समतल में, दो लंब रेखाओं का चयन किया जाता है और एक बिंदु के निर्देशांकों को रेखाओं की चिह्नित दूरी के रूप में लिया जाता है।

Rectangular coordinates.svg

त्रि-विमीय प्रणाली में, तीन परस्पर लम्बकोणीय तलों का चयन किया जाता है और प्रत्येक तल से चिन्हित दूरी, एक बिंदु के तीन निर्देशांक हैं।[5] इसे n-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए n निर्देशांक बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

निर्देशांक अक्षों की दिशा और क्रम के आधार पर, त्रि-विमीय प्रणाली दक्षिण या वाम हस्त प्रणाली हो सकती है। यह कई निर्देशांक प्रणालियों में से एक है।

ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली

Main article: ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली

ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली, समतल के लिए एक अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणाली है।[6] इसमें एक बिंदु का चयन ध्रुव के रूप में किया जाता है और इस बिंदु से प्राप्त एक किरण को ध्रुवीय अक्ष के रूप में लिया जाता है। किसी दिए गए कोण θ (अक्ष से रेखा तक वामावर्त मापा गया) के लिए, ध्रुव से होकर जाने वाली एक एकल रेखा होती है जिसका ध्रुवीय अक्ष के साथ कोण θ होता है। फिर इस रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु होता है जिसकी मूलबिंदु से चिह्नित दूरी किसी दी गई संख्या r के लिए r होती है। दिए गए निर्देशांकों के युग्म (r, θ) के लिए एक एकल बिंदु होता है, लेकिन किसी भी बिंदु को निर्देशांकों के अनेक युग्मों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। उदाहरण के लिए, (r, θ), (r, θ+2π) और (−r, θ+π) एक ही बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं। θ के किसी भी मान के लिए ध्रुव को (0, θ) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक प्रणाली

Main articles: बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली and गोलाकार निर्देशांक प्रणाली
बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली

ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली को तीन विमाओं तक विस्तारित करने की दो सामान्य विधियाँ हैं। बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में, कार्तीय निर्देशांक के समान अर्थ के साथ एक z-निर्देशांक को r और θ ध्रुवीय निर्देशांकों में जोड़ा जाता है, जिससे त्रिक (r, θ, z) प्राप्त होता है।[6] गोलाकार निर्देशांक, बेलनाकार निर्देशांक (r, z) के युग्म को ध्रुवीय निर्देशांक (ρ, φ) में परिवर्तित करके इसे एक चरण आगे ले जाते हैं, जिससे एक त्रिक (ρ, θ, φ) प्राप्त होता है।[7]

सजातीय निर्देशांक प्रणाली

Main article: सजातीय निर्देशांक

समतल में किसी बिंदु को सजातीय निर्देशांकों में एक त्रिक (x, y, z) द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जहाँ x/z और y/z उस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक हैं।[8] यह एक "अतिरिक्त" निर्देशांक का परिचय देता है क्योंकि समतल पर एक बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए केवल दो निर्देशांकों की आवश्यकता होती है, लेकिन यह प्रणाली उपयोगी है क्योंकि यह प्रक्षेपी तल पर किसी भी बिंदु का निरूपण अनन्तता के उपयोग के बिना करती है। सामान्य रूप से, एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली वह प्रणाली होती है जिसमें केवल निर्देशांकों के अनुपात महत्वपूर्ण होते हैं न कि इनके वास्तविक मान।

सामान्यतः उपयोग की जाने वाली अन्य प्रणालियाँ

कुछ अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणालियाँ निम्नलिखित हैं:

निर्देशांकों के बिना आंतरिक समीकरणों का उपयोग करते हुए वक्रों का वर्णन करने की कई विधियाँ हैं, जो वक्रता और चाप की लंबाई जैसी अपरिवर्तनीय राशियों का उपयोग करती हैं। इसमें निम्न विधियाँ सम्मिलित हैं:

ज्यामितीय वस्तुओं के निर्देशांक

निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग प्रायः एक बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन इनका उपयोग रेखाओं, समतलों, वृत्तों या क्षेत्रों जैसी अधिक जटिल आकृतियों की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में एक रेखा की स्थिति को निर्धारित करने के लिए प्लकर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।[9] वर्णित आकृति के प्रकार का उपयोग आवश्यकता होने पर निर्देशांक प्रणाली के प्रकार को अलग करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए रेखा निर्देशांक शब्द का उपयोग रेखा की स्थिति को निर्दिष्ट करने वाली किसी भी निर्देशांक प्रणाली के लिए किया जाता है।

ऐसा हो सकता है कि ज्यामितीय आकृतियों के दो अलग-अलग समूहों के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ, इनके विश्लेषण के संदर्भ में समान हों। प्रक्षेपी तल में बिंदुओं और रेखाओं के लिए सजातीय निर्देशांक प्रणाली इसका एक उदाहरण है। इस प्रकार की स्थिति में दो प्रणालियों को द्वैतवादी कहा जाता है। द्वैतवादी प्रणालियों में यह गुण होता है कि एक प्रणाली से प्राप्त परिणामों को दूसरी प्रणाली में ले जाया जा सकता है क्योंकि ये परिणाम एक ही विश्लेषणात्मक परिणाम की केवल अलग-अलग व्याख्याएँ होती हैं; इसे द्वैतता सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।[10]

रूपान्तरण

See also: सक्रिय और निष्क्रिय रूपान्तरण
Main article: सामान्य निर्देशांक रूपान्तरणों की सूची

ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करने के लिए प्रायः कई अलग-अलग संभव निर्देशांक प्रणालियाँ होती हैं। निर्देशांक रूपान्तरणों द्वारा विभिन्न प्रणालियों के बीच के संबंध को वर्णित किया जाता है, जो एक प्रणाली के निर्देशांकों के लिए दूसरी प्रणाली के निर्देशांकों के संदर्भ में सूत्र प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में, यदि कार्तीय निर्देशांक (x, y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) का मूलबिंदु समान है, और धनात्मक x-अक्ष, ध्रुवीय अक्ष है, तो ध्रुवीय से कार्तीय निर्देशांकों में निर्देशांक परिवर्तन x = r cosθ और y = r sinθ द्वारा दिया जाता है।

अंतरिक्ष से स्वयं अंतरिक्ष पर प्रत्येक एकैकी आच्छादन के साथ दो निर्देशांक परिवर्तन निम्न प्रकार से सम्बद्ध हो सकते हैं:

  • इस प्रकार कि प्रत्येक बिंदु के प्रतिबिम्ब के नए निर्देशांक, वास्तविक बिंदु के पुराने निर्देशांकों के समान हैं (प्रतिचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के सूत्रों के व्युत्क्रम हैं)
  • इस प्रकार कि प्रत्येक बिंदु के प्रतिबिम्ब के पुराने निर्देशांक, वास्तविक बिंदु के नए निर्देशांकों के समान हैं (प्रतिचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के सूत्रों के समान हैं)

उदाहरण के लिए, 1-विमीय में, यदि प्रतिचित्रण, 3 का दाईं ओर रूपान्तरण है, तो पहला मूलबिंदु को 0 से 3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 कम हो जाता है, जबकि दूसरा मूलबिंदु को 0 से -3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 अधिक हो जाता है।

निर्देशांक रेखाएँ/वक्र और समतल/सतह

"निर्देशांक रेखा" redirects here. Not to be confused with रेखा निर्देशांक.
"निर्देशांक तल" redirects here. Not to be confused with समतल निर्देशांक.

द्विविमीय में, यदि एक बिंदु निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और दूसरे निर्देशांक को परिवर्तित करने की अनुमति प्रदान की जाती है, तो परिणामी वक्र को एक निर्देशांक वक्र कहा जाता है। यदि निर्देशांक वक्र वास्तव में सरल रेखाएँ हैं, तो इन्हें निर्देशांक रेखाएँ कहा जा सकता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणालियों में, निर्देशांक रेखाएँ परस्पर लम्बकोणीय होती हैं, और निर्देशांक अक्षों के रूप में जानी जाती हैं। अन्य निर्देशांक प्रणालियों के लिए निर्देशांक वक्र सामान्य वक्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, r नियतांक धारण करते हुए प्राप्त ध्रुवीय निर्देशांकों में निर्देशांक वक्र, ऐसे वृत्त होते हैं, जिनका केंद्र मूलबिंदु पर स्थित होता है। एक निर्देशांक प्रणाली, एक वक्रीय निर्देशांक प्रणाली कहलाती है, जिसके लिए कुछ निर्देशांक वक्र रेखाएँ नहीं होते हैं।[11] यह प्रक्रिया सदैव अर्थपूर्ण नहीं होती है, उदाहरण के लिए एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली में कोई निर्देशांक वक्र नहीं होते हैं।

त्रि-विमीय परवलयिक निर्देशांकों की निर्देशांक सतहें।

त्रि-विमीय अंतरिक्ष में, यदि एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और अन्य दो को परिवर्तित करने की अनुमति प्रदान जाती है, तो परिणामी सतह को एक निर्देशांक सतह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में ρ नियतांक धारण करते हुए प्राप्त निर्देशांक सतह, ऐसे गोले होते हैं, जिनका केंद्र मूलबिंदु पर स्थित होता है। त्रि-विमीय अंतरिक्ष में दो निर्देशांक सतहों का प्रतिच्छेदन एक निर्देशांक वक्र होता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में हम इन्हें निर्देशांक तल भी कह सकते हैं।

इसी प्रकार, निर्देशांक हाइपरसतहें (n − 1)-विमीय अंतरिक्ष हैं जो एक n-विमीय निर्देशांक प्रणाली के एक निर्देशांक को स्थिर करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं।[12]

निर्देशांक प्रतिचित्र

Main article: निर्देशांक प्रतिचित्र
Further information: Manifold

एक निर्देशांक प्रतिचित्र, या निर्देशांक चार्ट की अवधारणा, मैनिफोल्डों के सिद्धांत का केंद्र है। एक निर्देशांक प्रतिचित्र, किसी दिए गए स्थान के उपसमुच्चय के लिए अनिवार्य रूप से इस गुण वाली एक निर्देशांक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक बिंदु में निर्देशांक का एक समुच्चय होता है। अधिक यथार्थ रूप से, एक निर्देशांक प्रतिचित्र अंतरिक्ष X के खुले उपसमुच्चय से Rn के खुले उपसमुच्चय में एक होमियोमोर्फिज्म है।[13] संपूर्ण अंतरिक्ष के लिए एक सुसंगत निर्देशांक प्रणाली प्रदान करना प्रायः संभव नहीं होता है। इस स्थिति में, अंतरिक्ष को आच्छादित करने वाले एटलस (सांस्थिति) का निर्माण करने के लिए निर्देशांक प्रतिचित्रों के संग्रह को एक साथ रखा जाता है। इस प्रकार के एटलस से सुसज्जित एक अंतरिक्ष को मैनिफोल्ड कहा जाता है और अतिरिक्त संरचना को मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है,, यदि संरचना वहाँ सुसंगत है जहाँ निर्देशांक प्रतिचित्र अधिव्यापित होते हैं। उदाहरण के लिए, अवकलनीय मैनिफोल्ड एक ऐसा मैनिफोल्ड होता है जहाँ एक निर्देशांक प्रतिचित्र से दूसरे निर्देशांक प्रतिचित्र में निर्देशांकों का परिवर्तन सदैव एक अवकलनीय फलन होता है।

दिक्विन्यास-आधारित निर्देशांक

ज्यामिति और शुद्धगतिकी में, निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग बिंदुओं की (रैखिक) स्थिति और अक्षों, समतलों और दृढ़ निकायों की कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।[14] बाद वाली स्थिति में, नोड पर स्थिर एक दूसरी (सामान्यतः "स्थानीय" के रूप में संदर्भित) निर्देशांक प्रणाली की कोणीय स्थिति को पहली स्थिति (सामान्यतः "वैश्विक" या "विश्व" निर्देशांक प्रणाली के रूप में संदर्भित) के आधार पर परिभाषित किया जाता है । उदाहरण के लिए, एक दृढ़ निकाय के दिक्विन्यास को एक दिक्विन्यास आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसके तीन स्तंभों में तीन बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक सम्मिलित होते हैं। इन बिंदुओं का उपयोग स्थानीय प्रणाली के अक्षों की कोणीय स्थिति को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; ये इन अक्षों के साथ संरेखित तीन इकाई सदिशों के शीर्ष होते हैं।

भौगोलिक प्रणाली

Main article: स्थानिक संदर्भ प्रणाली

समग्र रूप से पृथ्वी सबसे सामान्य ज्यामितीय अंतरिक्षों में से एक है, जिसके लिए स्थान के यथार्थ मापन और इस प्रकार निर्देशांक प्रणालियों की आवश्यकता होती है। यूनानी काल के यूनानियों से प्रारंभ होकर, उपरोक्त प्रकारों के आधार पर विभिन्न प्रकार की निर्देशांक प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, जिनमें निम्न प्रणालियाँ सम्मिलित हैं:

यह भी देखें

सापेक्षतावादी निर्देशांक प्रणालियाँ

संदर्भ

उद्धरण

  1. ↑ Woods p. 1
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Coordinate System". MathWorld.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Coordinates". MathWorld.
  4. ↑ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). कॉलेज अल्जेबरा (5th ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
  5. ↑ Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". फील्ड थ्योरी हैंडबुक, जिसमें कोऑर्डिनेट सिस्टम, डिफरेंशियल इक्वेशन और उनके समाधान शामिल हैं (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
  6. ↑ Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). भौतिकी और रसायन विज्ञान का गणित. New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
  7. ↑ Morse PM, Feshbach H (1953). सैद्धांतिक भौतिकी के तरीके, भाग I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
  8. ↑ Jones, Alfred Clement (1912). बीजगणितीय ज्यामिति का एक परिचय. Clarendon.
  9. ↑ Hodge, W.V.D.; D. Pedoe (1994) [1947]. बीजगणितीय ज्यामिति के तरीके, खंड I (पुस्तक II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5.
  10. ↑ Woods p. 2
  11. ↑ Tang, K. T. (2006). इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणितीय तरीके. Vol. 2. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9.
  12. ↑ Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. p. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.
  13. ↑ Munkres, James R. (2000) Topology. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  14. ↑ Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). "Rigid body kinematics". अंतरिक्ष प्रणालियों के विश्लेषणात्मक यांत्रिकी. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 71. ISBN 1-56347-563-4.


स्रोत

बाहरी कड़ियाँ

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