निर्देशांक पद्धति
ज्यामिति में, निर्देशांक पद्धति, निर्देशांक प्रणाली या निर्देशांक निकाय एक ऐसी प्रणाली है जो यूक्लिडीय अंतरिक्ष जैसे किसी मैनिफोल्ड पर बिंदुओं या अन्य ज्यामितीय तत्वों की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या एक से अधिक संख्याओं या निर्देशांकों का उपयोग करती है।[1][2] निर्देशांकों का क्रम महत्वपूर्ण होता है, और इन्हें कभी-कभी एक क्रमित ट्यूपल में इनकी स्थिति द्वारा और कभी-कभी "x-निर्देशांक" के समान एक वर्ण के रूप में पहचाना जाता है। प्रारम्भिक गणित में निर्देशांकों को वास्तविक संख्या के रूप में लिया जाता है, लेकिन ये सम्मिश्र संख्याएँ या क्रमविनिमेय वलय जैसी अधिक अमूर्त प्रणाली के तत्व हो सकते हैं। एक निर्देशांक प्रणाली के उपयोग से ज्यामिति की समस्याओं को संख्या-सम्बन्धी समस्याओं में रूपांतरित करने की अनुमति मिलती है और इसके विपरीत भी; यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आधार है।[3]
सामान्य निर्देशांक प्रणाली
संख्या रेखा
संख्या रेखा का उपयोग करके वास्तविक संख्या रेखा पर बिंदुओं की पहचान करना, एक निर्देशांक प्रणाली का सरलतम उदाहरण है। इस प्रणाली में, दी गई एक रेखा पर एक स्वेच्छ बिंदु O (मूलबिंदु) का चयन किया जाता है। एक बिंदु P के निर्देशांक को O से P तक की चिह्नित दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ चिह्नित दूरी धनात्मक या ऋणात्मक के रूप में ली गई दूरी है, जो बिंदु P की रेखा के सापेक्ष स्थिति निर्भर करती है। प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय निर्देशांक दिया जाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय बिंदु का निर्देशांक होती है।[4]
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली, निर्देशांक प्रणाली का एक प्रोटोटिपिकल उदाहरण है। समतल में, दो लंब रेखाओं का चयन किया जाता है और एक बिंदु के निर्देशांकों को रेखाओं की चिह्नित दूरी के रूप में लिया जाता है।
त्रि-विमीय प्रणाली में, तीन परस्पर लम्बकोणीय तलों का चयन किया जाता है और प्रत्येक तल से चिन्हित दूरी, एक बिंदु के तीन निर्देशांक हैं।[5] इसे n-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए n निर्देशांक बनाने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों की दिशा और क्रम के आधार पर, त्रि-विमीय प्रणाली दक्षिण या वाम हस्त प्रणाली हो सकती है। यह कई निर्देशांक प्रणालियों में से एक है।
ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली
ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली, समतल के लिए एक अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणाली है।[6] इसमें एक बिंदु का चयन ध्रुव के रूप में किया जाता है और इस बिंदु से प्राप्त एक किरण को ध्रुवीय अक्ष के रूप में लिया जाता है। किसी दिए गए कोण θ (अक्ष से रेखा तक वामावर्त मापा गया) के लिए, ध्रुव से होकर जाने वाली एक एकल रेखा होती है जिसका ध्रुवीय अक्ष के साथ कोण θ होता है। फिर इस रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु होता है जिसकी मूलबिंदु से चिह्नित दूरी किसी दी गई संख्या r के लिए r होती है। दिए गए निर्देशांकों के युग्म (r, θ) के लिए एक एकल बिंदु होता है, लेकिन किसी भी बिंदु को निर्देशांकों के अनेक युग्मों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। उदाहरण के लिए, (r, θ), (r, θ+2π) और (−r, θ+π) एक ही बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं। θ के किसी भी मान के लिए ध्रुव को (0, θ) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक प्रणाली
ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली को तीन विमाओं तक विस्तारित करने की दो सामान्य विधियाँ हैं। बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में, कार्तीय निर्देशांक के समान अर्थ के साथ एक z-निर्देशांक को r और θ ध्रुवीय निर्देशांकों में जोड़ा जाता है, जिससे त्रिक (r, θ, z) प्राप्त होता है।[6] गोलाकार निर्देशांक, बेलनाकार निर्देशांक (r, z) के युग्म को ध्रुवीय निर्देशांक (ρ, φ) में परिवर्तित करके इसे एक चरण आगे ले जाते हैं, जिससे एक त्रिक (ρ, θ, φ) प्राप्त होता है।[7]
सजातीय निर्देशांक प्रणाली
समतल में किसी बिंदु को सजातीय निर्देशांकों में एक त्रिक (x, y, z) द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जहाँ x/z और y/z उस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक हैं।[8] यह एक "अतिरिक्त" निर्देशांक का परिचय देता है क्योंकि समतल पर एक बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए केवल दो निर्देशांकों की आवश्यकता होती है, लेकिन यह प्रणाली उपयोगी है क्योंकि यह प्रक्षेपी तल पर किसी भी बिंदु का निरूपण अनन्तता के उपयोग के बिना करती है। सामान्य रूप से, एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली वह प्रणाली होती है जिसमें केवल निर्देशांकों के अनुपात महत्वपूर्ण होते हैं न कि इनके वास्तविक मान।
सामान्यतः उपयोग की जाने वाली अन्य प्रणालियाँ
कुछ अन्य सामान्य निर्देशांक प्रणालियाँ निम्नलिखित हैं:
- वक्ररेखीय निर्देशांक, सामान्यतः निर्देशांक प्रणालियों का एक सामान्यीकरण है; यह प्रणाली वक्रों के प्रतिच्छेदन पर आधारित है।
- लंबकोणीय निर्देशांक: इसमें निर्देशांक सतहें समकोण पर मिलती हैं
- तिर्यक निर्देशांक: इसमें निर्देशांक सतहें लम्बकोणीय नहीं होती हैं
- लघुगणक-ध्रुवीय निर्देशांक, यह प्रणाली समतल में एक बिंदु का निरूपण, मूलबिंदु से इसकी दूरी के लघुगणक और मूलबिंदु को प्रतिच्छेद करने वाली संदर्भ रेखा से मापे गए कोण द्वारा करती है।
- प्लकर निर्देशांक, त्रिविमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखाओं का निरूपण करने की एक विधि है, जो सजातीय निर्देशांकों के समान संख्याओं के छह-ट्यूपल का उपयोग करते हैं।
- सामान्यीकृत निर्देशांकों का उपयोग यांत्रिकी के लैग्रान्जियन निरूपण में किया जाता है।
- विहित निर्देशांकों का उपयोग यांत्रिकी के हैमिल्टनी निरूपण में किया जाता है।
- बैरीसेंट्रिक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग त्रिआधारी आलेखों के लिए और अधिक सामान्यतः त्रिभुजों के विश्लेषण में किया जाता है।
- त्रिरैखिक निर्देशांकों का उपयोग त्रिभुज के संदर्भ में किया जाता है।
निर्देशांकों के बिना आंतरिक समीकरणों का उपयोग करते हुए वक्रों का वर्णन करने की कई विधियाँ हैं, जो वक्रता और चाप की लंबाई जैसी अपरिवर्तनीय राशियों का उपयोग करती हैं। इसमें निम्न विधियाँ सम्मिलित हैं:
- व्हीवेल समीकरण चाप की लंबाई और स्पर्शरेखीय कोण से संबंधित है।
- सिसैरो समीकरण चाप की लंबाई और वक्रता से संबंधित है।
ज्यामितीय वस्तुओं के निर्देशांक
निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग प्रायः एक बिंदु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन इनका उपयोग रेखाओं, समतलों, वृत्तों या क्षेत्रों जैसी अधिक जटिल आकृतियों की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में एक रेखा की स्थिति को निर्धारित करने के लिए प्लकर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।[9] वर्णित आकृति के प्रकार का उपयोग आवश्यकता होने पर निर्देशांक प्रणाली के प्रकार को अलग करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए रेखा निर्देशांक शब्द का उपयोग रेखा की स्थिति को निर्दिष्ट करने वाली किसी भी निर्देशांक प्रणाली के लिए किया जाता है।
ऐसा हो सकता है कि ज्यामितीय आकृतियों के दो अलग-अलग समूहों के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ, इनके विश्लेषण के संदर्भ में समान हों। प्रक्षेपी तल में बिंदुओं और रेखाओं के लिए सजातीय निर्देशांक प्रणाली इसका एक उदाहरण है। इस प्रकार की स्थिति में दो प्रणालियों को द्वैतवादी कहा जाता है। द्वैतवादी प्रणालियों में यह गुण होता है कि एक प्रणाली से प्राप्त परिणामों को दूसरी प्रणाली में ले जाया जा सकता है क्योंकि ये परिणाम एक ही विश्लेषणात्मक परिणाम की केवल अलग-अलग व्याख्याएँ होती हैं; इसे द्वैतता सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।[10]
रूपान्तरण
ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करने के लिए प्रायः कई अलग-अलग संभव निर्देशांक प्रणालियाँ होती हैं। निर्देशांक रूपान्तरणों द्वारा विभिन्न प्रणालियों के बीच के संबंध को वर्णित किया जाता है, जो एक प्रणाली के निर्देशांकों के लिए दूसरी प्रणाली के निर्देशांकों के संदर्भ में सूत्र प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, समतल में, यदि कार्तीय निर्देशांक (x, y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) का मूलबिंदु समान है, और धनात्मक x-अक्ष, ध्रुवीय अक्ष है, तो ध्रुवीय से कार्तीय निर्देशांकों में निर्देशांक परिवर्तन x = r cosθ और y = r sinθ द्वारा दिया जाता है।
अंतरिक्ष से स्वयं अंतरिक्ष पर प्रत्येक एकैकी आच्छादन के साथ दो निर्देशांक परिवर्तन निम्न प्रकार से सम्बद्ध हो सकते हैं:
- इस प्रकार कि प्रत्येक बिंदु के प्रतिबिम्ब के नए निर्देशांक, वास्तविक बिंदु के पुराने निर्देशांकों के समान हैं (प्रतिचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के सूत्रों के व्युत्क्रम हैं)
- इस प्रकार कि प्रत्येक बिंदु के प्रतिबिम्ब के पुराने निर्देशांक, वास्तविक बिंदु के नए निर्देशांकों के समान हैं (प्रतिचित्रण के सूत्र निर्देशांक परिवर्तन के सूत्रों के समान हैं)
उदाहरण के लिए, 1-विमीय में, यदि प्रतिचित्रण, 3 का दाईं ओर रूपान्तरण है, तो पहला मूलबिंदु को 0 से 3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 कम हो जाता है, जबकि दूसरा मूलबिंदु को 0 से -3 तक ले जाता है, जिससे प्रत्येक बिंदु का निर्देशांक 3 अधिक हो जाता है।
निर्देशांक रेखाएँ/वक्र और समतल/सतह
द्विविमीय में, यदि एक बिंदु निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और दूसरे निर्देशांक को परिवर्तित करने की अनुमति प्रदान की जाती है, तो परिणामी वक्र को एक निर्देशांक वक्र कहा जाता है। यदि निर्देशांक वक्र वास्तव में सरल रेखाएँ हैं, तो इन्हें निर्देशांक रेखाएँ कहा जा सकता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणालियों में, निर्देशांक रेखाएँ परस्पर लम्बकोणीय होती हैं, और निर्देशांक अक्षों के रूप में जानी जाती हैं। अन्य निर्देशांक प्रणालियों के लिए निर्देशांक वक्र सामान्य वक्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, r नियतांक धारण करते हुए प्राप्त ध्रुवीय निर्देशांकों में निर्देशांक वक्र, ऐसे वृत्त होते हैं, जिनका केंद्र मूलबिंदु पर स्थित होता है। एक निर्देशांक प्रणाली, एक वक्रीय निर्देशांक प्रणाली कहलाती है, जिसके लिए कुछ निर्देशांक वक्र रेखाएँ नहीं होते हैं।[11] यह प्रक्रिया सदैव अर्थपूर्ण नहीं होती है, उदाहरण के लिए एक सजातीय निर्देशांक प्रणाली में कोई निर्देशांक वक्र नहीं होते हैं।
त्रि-विमीय अंतरिक्ष में, यदि एक निर्देशांक को स्थिर रखा जाता है और अन्य दो को परिवर्तित करने की अनुमति प्रदान जाती है, तो परिणामी सतह को एक निर्देशांक सतह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में ρ नियतांक धारण करते हुए प्राप्त निर्देशांक सतह, ऐसे गोले होते हैं, जिनका केंद्र मूलबिंदु पर स्थित होता है। त्रि-विमीय अंतरिक्ष में दो निर्देशांक सतहों का प्रतिच्छेदन एक निर्देशांक वक्र होता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में हम इन्हें निर्देशांक तल भी कह सकते हैं।
इसी प्रकार, निर्देशांक हाइपरसतहें (n − 1)-विमीय अंतरिक्ष हैं जो एक n-विमीय निर्देशांक प्रणाली के एक निर्देशांक को स्थिर करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं।[12]
निर्देशांक प्रतिचित्र
एक निर्देशांक प्रतिचित्र, या निर्देशांक चार्ट की अवधारणा, मैनिफोल्डों के सिद्धांत का केंद्र है। एक निर्देशांक प्रतिचित्र, किसी दिए गए स्थान के उपसमुच्चय के लिए अनिवार्य रूप से इस गुण वाली एक निर्देशांक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक बिंदु में निर्देशांक का एक समुच्चय होता है। अधिक यथार्थ रूप से, एक निर्देशांक प्रतिचित्र अंतरिक्ष X के खुले उपसमुच्चय से Rn के खुले उपसमुच्चय में एक होमियोमोर्फिज्म है।[13] संपूर्ण अंतरिक्ष के लिए एक सुसंगत निर्देशांक प्रणाली प्रदान करना प्रायः संभव नहीं होता है। इस स्थिति में, अंतरिक्ष को आच्छादित करने वाले एटलस (सांस्थिति) का निर्माण करने के लिए निर्देशांक प्रतिचित्रों के संग्रह को एक साथ रखा जाता है। इस प्रकार के एटलस से सुसज्जित एक अंतरिक्ष को मैनिफोल्ड कहा जाता है और अतिरिक्त संरचना को मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है,, यदि संरचना वहाँ सुसंगत है जहाँ निर्देशांक प्रतिचित्र अधिव्यापित होते हैं। उदाहरण के लिए, अवकलनीय मैनिफोल्ड एक ऐसा मैनिफोल्ड होता है जहाँ एक निर्देशांक प्रतिचित्र से दूसरे निर्देशांक प्रतिचित्र में निर्देशांकों का परिवर्तन सदैव एक अवकलनीय फलन होता है।
दिक्विन्यास-आधारित निर्देशांक
ज्यामिति और शुद्धगतिकी में, निर्देशांक प्रणालियों का उपयोग बिंदुओं की (रैखिक) स्थिति और अक्षों, समतलों और दृढ़ निकायों की कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।[14] बाद वाली स्थिति में, नोड पर स्थिर एक दूसरी (सामान्यतः "स्थानीय" के रूप में संदर्भित) निर्देशांक प्रणाली की कोणीय स्थिति को पहली स्थिति (सामान्यतः "वैश्विक" या "विश्व" निर्देशांक प्रणाली के रूप में संदर्भित) के आधार पर परिभाषित किया जाता है । उदाहरण के लिए, एक दृढ़ निकाय के दिक्विन्यास को एक दिक्विन्यास आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसके तीन स्तंभों में तीन बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक सम्मिलित होते हैं। इन बिंदुओं का उपयोग स्थानीय प्रणाली के अक्षों की कोणीय स्थिति को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; ये इन अक्षों के साथ संरेखित तीन इकाई सदिशों के शीर्ष होते हैं।
भौगोलिक प्रणाली
समग्र रूप से पृथ्वी सबसे सामान्य ज्यामितीय अंतरिक्षों में से एक है, जिसके लिए स्थान के यथार्थ मापन और इस प्रकार निर्देशांक प्रणालियों की आवश्यकता होती है। यूनानी काल के यूनानियों से प्रारंभ होकर, उपरोक्त प्रकारों के आधार पर विभिन्न प्रकार की निर्देशांक प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, जिनमें निम्न प्रणालियाँ सम्मिलित हैं:
- भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली, अक्षांश और देशांतर के गोलाकार निर्देशांक
- प्रक्षेपित निर्देशांक प्रणाली, जिसमें हजारों कार्तीय निर्देशांक प्रणालियाँ सम्मिलित हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रणाली विश्व या किसी क्षेत्र की एक तलीय सतह के निर्माण के लिए प्रतिचित्र प्रक्षेपण पर आधारित है।
- भूकेंद्रीय निर्देशांक प्रणाली, एक त्रि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली है, जो पृथ्वी को एक वस्तु के रूप में प्रतिरूपित करती है, और ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम (जीपीएस) एवं अन्य उपग्रह नेविगेशन प्रणालियों सहित उपग्रहों की कक्षाओं के प्रतिरूपण के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाती है।
यह भी देखें
- पूर्ण कोणीय गति
- अक्षरांकीय ग्रिड
- अभियांत्रिकी में अक्ष परिपाटियाँ
- आकाशीय समन्वय प्रणाली
- निर्देशांक मुक्त
- आंशिक निर्देशांक
- सन्दर्भ विन्यास
- गैलिलियन रूपान्तरण
- ग्रिड संदर्भ
- संरेखण तालिका, विभिन्न समन्वय प्रणालियों का चित्रमय निरूपण
- संदर्भ प्रणाली
- अक्षों का घूर्णन
- अक्षों का रूपान्तरण
सापेक्षतावादी निर्देशांक प्रणालियाँ
संदर्भ
उद्धरण
- ↑ Woods p. 1
- ↑ Weisstein, Eric W. "Coordinate System". MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Coordinates". MathWorld.
- ↑ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). कॉलेज अल्जेबरा (5th ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
- ↑ Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". फील्ड थ्योरी हैंडबुक, जिसमें कोऑर्डिनेट सिस्टम, डिफरेंशियल इक्वेशन और उनके समाधान शामिल हैं (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
- ↑ Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). भौतिकी और रसायन विज्ञान का गणित. New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
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- ↑ Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). "Rigid body kinematics". अंतरिक्ष प्रणालियों के विश्लेषणात्मक यांत्रिकी. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 71. ISBN 1-56347-563-4.
स्रोत
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