कनेक्शन (गणित)

ज्यामिति में, समास की धारणा स्थानीय ज्यामितीय वस्तुओं के अभिगमन के विचार को सटीक बनाती है, जैसे स्पर्शरेखा स्थान में स्पर्शरेखा सदिश या प्रदिश, वक्र या वक्र के परिवार के साथ 'समानांतर' और सुसंगत तरीके से। आधुनिक ज्यामिति में विभिन्न प्रकार के समास हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई किस प्रकार के आंकड़ों को अभिगमन करना चाहता है। उदाहरण के लिए, सजातीय समास, सबसे प्राथमिक प्रकार का समास, वक्र के साथ एक बिंदु से दूसरे तक विविध स्पर्शरेखा स्थान के समानांतर अभिगमन के लिए एक साधन देता है। एक सजातीय संबंध सामान्यतः एक सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में दिया जाता है, जो सदिश क्षेत्रों के दिशात्मक यौगिक लेने के लिए एक साधन देता है, सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी दिए गए दिशा में समानांतर होने से मापता है।

बड़े हिस्से में आधुनिक ज्यामिति में समास केंद्रीय महत्व के हैं क्योंकि वे एक बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति और दूसरे बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति के बीच तुलना की अनुमति देते हैं। विभेदक ज्यामिति समास विषयवस्तु पर कई भिन्नताओं को स्वीकारती है, जो दो प्रमुख समूहों में आती हैं: अति सूक्ष्म और स्थानीय सिद्धांत। स्थानीय सिद्धांत मुख्य रूप से समानांतर अभिगमन और पवित्रता की धारणाओं से संबंधित है। अतिसूक्ष्म सिद्धांत स्वयं को ज्यामितीय आंकड़ों के विभेदीकरण से संबंधित करता है। इस प्रकार एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक सदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को एक अन्य सदिश क्षेत्र के साथ कई गुना निर्दिष्ट करने का एक तरीका है। एक कार्टन समास अंतर रूपों और लाइ समूहों का उपयोग करके समास सिद्धांत के कुछ पहलुओं को उद्यत करने का एक तरीका है। क्षेत्र की गति की अनुमत दिशाओं को निर्दिष्ट करके एक एह्रेसमैन समास एक तंतु पूल या एक सिद्धांत समूह में एक समास है। कोज़ुल समास एक समास है जो स्पर्शरेखा समूह की तुलना में अधिक सामान्य सदिश समूह के वर्गों के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।

समास भी 'ज्यामितीय आक्रमणकारियों' के सुविधाजनक योगों की ओर ले जाते हैं, जैसे कि वक्रता (रीमैन वक्रता प्रदिश और वक्रता रूप भी देखें), और आघूर्ण बल प्रदिश।

प्रेरणा: निर्देशांक की अनुपयुक्तता

एक वृत्त पर समानांतर अभिगमन (काले तीर का)। नीले और लाल तीर अलग-अलग दिशाओं में समानांतर अभिगमन का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन एक ही निचले दाएं बिंदु पर समाप्त होते हैं। तथ्य यह है कि वे अंत में अलग-अलग दिशाओं में इंगित करते हैं, वृत्त की वक्रता का परिणाम है।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। मान लीजिए कि वृत्त S के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश उत्तरी ध्रुव पर दिया गया है, और हमें इस सदिश को वृत्त के अन्य बिंदुओं पर सुसंगततः ले जाने के तरीके को परिभाषित करना है। स्वाभाविक रूप से, यह एक विशेष समन्वय प्रणाली का उपयोग करके किया जा सकता है। हालांकि, जब तक उचित देखभाल लागू नहीं की जाती है, समन्वय की एक प्रणाली में परिभाषित समांतर अभिगमन किसी अन्य समन्वय प्रणाली से सहमत नहीं होगा। एक अधिक उपयुक्त समानांतर अभिगमन प्रणाली क्रमावर्तन के तहत वृत्त की समरूपता का लाभ उठाती है। समानांतर अभिगमन का यह अनुवर्ती साधन क्षेत्र पर लेवी-सिविता समास है। यदि एक ही प्रारंभिक और अंतिम बिंदु के साथ दो अलग-अलग वक्र दिए गए हैं, और एक सदिश v को एक घुमाव द्वारा पहले वक्र के साथ अनुशासनपूर्वक स्थानांतरित किया जाता है, तो अंतिम बिंदु पर परिणामी सदिश सदिश से भिन्न होगा, जिसके परिणामस्वरूप v दूसरे के साथ कठोरतापूर्वक चलता है। यह घटना वृत्त की वक्रता को दर्शाती है। एक साधारण यांत्रिक उपकरण जिसका उपयोग समानांतर अभिगमन की कल्पना करने के लिए किया जा सकता है, दक्षिण-इंगित रथ है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि S त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिए गए निर्देशांकों वाला एक गोला है। S के संबंध में R^{3 में ईकाई सदिश सम्मिलित हैं। तब S उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव के अनुमानों के अनुरूप समन्वय पट्टी की एक जोड़ी को वहन करता है। मानचित्र}

${\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}$

क्रमशः उत्तरी ध्रुव के पड़ोस U₀ और दक्षिणी ध्रुव के U₁ को आच्छादित करती है। X, Y, Z को R^{3 में परिवेश निर्देशांक होने दें। तब φ0 और φ1 के निम्न व्युत्क्रम होते हैं}

${\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}$

ताकि समन्वय परिवर्तन कार्य एक वृत्त में व्युत्क्रमण हो:

$\varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$

आइए अब एक सदिश क्षेत्र $v$ का प्रतिनिधित्व स्थानीय निर्देशांक S पर (S में प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश का समनुदेशन) करते हैं। यदि P, U₀ ⊂ S का एक बिंदु है, तो एक सदिश क्षेत्र को R² पर $\varphi _{0}$ द्वारा सदिश क्षेत्र v₀ के पुशफॉरवर्ड (अवकलन) द्वारा दर्शाया जा सकता है :

$v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)$

(1)

जहाँ $J_{\varphi _{0}}$ φ₀ ($d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$) के जैकबियन आव्यूह को दर्शाता है, और v₀= v₀(x, y) R² पर विशिष्ट रूप से v द्वारा निर्धारित किया गया एक सदिश क्षेत्र है (चूंकि किसी भी बिंदु पर एक स्थानीय भिन्नता का पुशफॉरवर्ड उलटा है)। इसके अलावा, समन्वय लेखाचित्र के बीच अतिव्यापन पर U₀ ∩ U₁, φ₁ निर्देशांक के संबंध में एक ही सदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना संभव है:

$v(P)=J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).$

(2)

घटकों को संबंधित करने के लिए v₀ और v₁, श्रृंखला नियम को सर्वसमिका φ₁ = φ₀ o φ₀₁ पर लागू करें: v₁(φ₁⁻¹(P))

$J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).$

इस आव्यूह समीकरण के दोनों पक्षों को घटक सदिश v1(φ1−1(P)) पर लागू करने और (1) और (2) का उपयोग करने पर प्राप्त होता है

अब हम यह परिभाषित करने के मुख्य प्रश्न पर आते हैं कि एक सदिश क्षेत्र को एक वक्र के समानांतर कैसे ले जाया जाए। मान लीजिए कि P(t) S में एक वक्र है। यदि सदिश क्षेत्र के निर्देशांक घटक वक्र के साथ स्थिर हैं तो कोई सदिश क्षेत्र को समानांतर मान सकता है। हालाँकि, एक तत्काल अस्पष्टता उत्पन्न होती है: किस समन्वय प्रणाली में इन घटकों को स्थिर होना चाहिए?

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि v(P(t)) के U₁ में निर्देश तंत्र स्थिर घटक हैं। अर्थात्, प्रकार्य v₁(φ₁⁻¹(P(t))) स्थिर हैं। हालांकि, (3) पर उत्पाद नियम को लागू करने के लिए और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि d'v'₁/dt = 0 निम्न देता है

${\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).$

लेकिन $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)$ हमेशा एक गैर-एकवचन आव्यूह होता है (परंतु वक्र P(t) स्थिर न हो), इसलिए 'v'₁ और v₀ वक्र के साथ कभी भी एक साथ स्थिर नहीं हो सकता।

संकल्प

ऊपर देखी गई समस्या यह है कि सदिश कलन का सामान्य दिशात्मक व्युत्पन्न सदिश क्षेत्रों के घटकों पर लागू होने पर समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत अच्छा व्यवहार नहीं करता है। इससे यह वर्णन करना काफी कठिन हो जाता है कि सदिश क्षेत्र को समानांतर तरीके से कैसे अनुवादित किया जाए। इस समस्या को हल करने के दो मूलभूत रूप से भिन्न तरीके हैं।

पहला दृष्टिकोण यह जांचना है कि समन्वय संक्रमण के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न के सामान्यीकरण के लिए क्या आवश्यक है। यह समास के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न दृष्टिकोण द्वारा अपनाई गई रणनीति है: अच्छे व्यवहार को सहप्रसरण और सदिश के विपरीतता के साथ जोड़ा जाता है। यहां एक निश्चित रैखिक संचालक द्वारा दिशात्मक व्युत्पन्न के संशोधन पर विचार किया जाता है, जिनके घटकों को क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है, जिसमें सदिश क्षेत्र पर कोई व्युत्पन्न सम्मिलित नहीं है। दिशात्मक व्युत्पन्न D_uएक समन्वय प्रणाली φ में एक सदिश v के घटकों के v दिशा में u को एक सहसंयोजक व्युत्पन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

$\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }=D_{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }+\Gamma (\varphi )\{{\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\}$

जहां Γ समन्वय प्रणाली φ पर निर्भर करता है और u और v में द्विरेखीय रूप है। विशेष रूप से, Γ में u या v पर कोई व्युत्पन्न सम्मिलित नहीं है। इस दृष्टिकोण में, Γ को एक निर्धारित तरीके से बदलना चाहिए जब समन्वय प्रणाली φ को एक अलग समन्वय प्रणाली में बदल दिया जाता है। यह परिवर्तन तन्य नहीं है, क्योंकि इसमें न केवल समन्वय संक्रमण का पहला व्युत्पन्न सम्मिलित है, बल्कि इसका दूसरा व्युत्पन्न भी है। Γ के परिवर्तन कानून को निर्दिष्ट करना Γ को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। सामान्यतः विचाराधीन ज्यामिति के प्रकार के आधार पर कुछ अन्य सामान्यीकरण शर्तों को लागू किया जाना चाहिए। रीमैनियन ज्यामिति में, लेवी-सिविता समास के लिए रिमेंनियन मात्रिक (साथ ही एक निश्चित समरूपता की स्थिति) के साथ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों की अनुकूलता की आवश्यकता होती है। इन सामान्यीकरणों के साथ, समास विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

दूसरा दृष्टिकोण अंतरिक्ष पर समरूपता के कुछ अवशेष को पकड़ने का प्रयास करने के लिए लाइ समूहों का उपयोग करना है। यह कार्टन समास का दृष्टिकोण है। वृत्त पर सदिशों के समानांतर अभिगमन को निर्दिष्ट करने के लिए घुमाव का उपयोग करने वाला उपरोक्त उदाहरण इस शैली में बहुत अधिक है।

संबंधों का ऐतिहासिक सर्वेक्षण

ऐतिहासिक रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में एक अतिसूक्ष्म परिप्रेक्ष्य से समास का अध्ययन किया गया था। एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर के साथ कुछ सीमा तक संबंधों का अतिसूक्ष्म अध्ययन प्रारम्भ हुआ। इसे बाद में ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और टुल्लियो लेवी-सिविता द्वारा और अधिक अच्छी तरह से लिया गया (लेवी-सिविता & रिक्की 1900) जिन्होंने भाग में देखा कि क्रिस्टोफेल के अतिसूक्ष्म आशय में एक समास ने समानांतर अभिगमन की धारणा के लिए भी अनुमति दी।

लेवी-सीविटा का काम विशेष रूप से एक प्रकार के विभेदक प्रचालक के रूप में समास के संबंध में केंद्रित था, जिनके समानांतर विस्थापन अंतर समीकरणों के समाधान थे। जैसे-जैसे बीसवीं सदी आगे बढ़ी, एली कार्टन ने संबंध की एक नई धारणा विकसित की। उन्होंने फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन क्रमादेश की ज्यामिति के लिए पफियन प्रणाली की तकनीकों को लागू करने की मांग की। इन जांचों में, उन्होंने पाया कि समास की एक निश्चित अतिसूक्ष्म धारणा (एक कार्टन समास) को इन ज्यामितीयों और अधिक पर लागू किया जा सकता है: उनकी समास अवधारणा वक्रता की उपस्थिति के लिए अनुमति देती है जो अन्यथा शास्त्रीय क्लेन ज्यामिति में अनुपस्थित होगी। (देखें, उदाहरण के लिए, (कार्टन 1926) और (कार्टन 1983)।) इसके अलावा, गैस्टन डार्बौक्स की गतिशीलता का उपयोग करते हुए, कार्टन अपने अतिसूक्ष्म समासों के वर्ग के लिए समानांतर अभिगमन की धारणा को सामान्य बनाने में सक्षम था। इसने समास के सिद्धांत में एक और प्रमुख सूत्र स्थापित किया कि समास एक निश्चित प्रकार का विभेदक रूप है।

समास सिद्धांत में दो धागे वर्तमान दिन के माध्यम से बने रहे हैं: एक अंतर प्रचालक के रूप में समास, और एक अंतर रूप के रूप में समास। 1950 में, जीन लुइस कोज़ुल (कोज़ुल 1950) कोज़ुल समास के माध्यम से एक अंतर प्रचालक के रूप में एक समास के संबंध में एक बीजगणितीय ढांचा दिया। कोज़ुल समास लेवी-सिविता की तुलना में अधिक सामान्य था, और इसके साथ काम करना आसान था क्योंकि यह अंततः समास औपचारिकता से अजीब क्रिस्टोफेल प्रतीकों को समाप्त करने (या कम से कम छिपाने) में सक्षम था। परिचर समानांतर विस्थापन संचालन में समास के संदर्भ में प्राकृतिक बीजगणितीय व्याख्याएं भी थीं। कोज़ुल की परिभाषा को बाद में अधिकांश विभेदक ज्यामिति समुदाय द्वारा अपनाया गया, क्योंकि इसने सहसंयोजक विभेदन और समानांतर अनुवाद के बीच विश्लेषणात्मक पत्राचार को एक बीजगणितीय में प्रभावी रूप से परिवर्तित कर दिया।

उसी वर्ष, चार्ल्स एह्रेसमैन (एह्रेसमैन 1950), कार्टन के एक छात्र, ने मुख्य पूलों और, अधिक सामान्यतः, तंतु पूलों के संदर्भ में एक अंतर रूप दृश्य के रूप में समास पर भिन्नता प्रस्तुत की। एह्रेसमैन समास, दृढता से, कार्टन समास का सामान्यीकरण नहीं था। कार्टन के तुल्यता पद्धति के साथ उनके संबंध के कारण कार्टन समास कई गुना अंतर्निहित अंतर सांस्थिति से काफी कठोर रूप से बंधे थे। एह्रेसमैन समास उस समय के अन्य जियोमीटर के मूलभूत कार्य को देखने के लिए एक ठोस ढांचा थे, जैसे कि शिंग-शेन चेर्न, जो मापक समास कहे जाने वाले अध्ययन के लिए कार्टन समास से दूर जाना प्रारम्भ कर चुके थे। एह्रेसमैन के दृष्टिकोण में, एक प्रमुख समूह में एक समास में समूह के कुल स्थान पर लंबवत समूह का एक विनिर्देश होता है। एक समानांतर अनुवाद तब आधार से एक वक्र को मुख्य समूह में एक वक्र तक उठाना है जो क्षैतिज है। यह दृष्टिकोण होलोनॉमी के अध्ययन में विशेष रूप से मूल्यवान सिद्ध हुआ है।

संभावित दृष्टिकोण

• एक प्रत्यक्ष दृष्टिकोण यह निर्दिष्ट करना है कि कैसे एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक अंतर प्रचालक के रूप में सदिश क्षेत्रों के मापांक (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है। अधिक सामान्यतः, एक समान दृष्टिकोण किसी भी सदिश समूह में समास (सदिश समूह) के लिए लागू होता है।
• पारंपरिक सूचकांक संकेतन घटकों द्वारा समास निर्दिष्ट करता है; क्रिस्टोफेल प्रतीक देखें। (ध्यान दें: इसके तीन सूचकांक हैं, लेकिन 'नहीं' एक प्रदिश है)।
• छद्म-रीमैनियन और रीमैनियन ज्यामिति में लेवी-सिविता समास मापीय प्रदिश से जुड़ा एक विशेष समास है।
• ये एफ़ाइन समास के उदाहरण हैं. प्रक्षेपण समास की एक अवधारणा भी है, जिसमें जटिल विश्लेषण में श्वार्जियन व्युत्पन्न एक उदाहरण है। सामान्यतः, दोनों सजातीय और प्रक्षेपीय समास कार्टन समास के प्रकार होते हैं।
• प्रमुख समूहों का उपयोग करके, एक समास को लाइ बीजगणित-मूल्यवान अंतर रूप के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। समास देखें (प्रमुख समूह)।
• समास के लिए एक दृष्टिकोण जो आंकड़ों के अभिगमन की धारणा का प्रत्यक्ष उपयोग करता है (जो कुछ भी हो सकता है) एह्रेसमैन समास है।
• अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा सुझाया गया सबसे अमूर्त दृष्टिकोण हो सकता है, जहां ग्रोथेंडिक समास को विकर्ण के अतिसूक्ष्म प्रतिवैस से वंश (श्रेणी सिद्धांत) आंकड़ों के रूप में देखा जाता है; देखना (ओसरमैन 2004).

यह भी देखें

• एफ़िन समास
• कार्टन समास
• एह्रेसमैन समास
• ग्रोथेंडिक समास
• लेवी-सिविता समास
• समास स्वरुप
• समास (विविध तंतु)
• समास (प्रमुख समूह)
• समास (सदिश समूह)
• समास (एफ़ाइन समूह)
• समास (समग्र समूह)
• समास (बीजीय ढांचा)
• गेज सिद्धांत (गणित)

संदर्भ

• Levi-Civita, T.; Ricci, G. (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen, 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007/BF01454201, S2CID 120009332
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France, 52: 205–241, doi:10.24033/bsmf.1053
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, doi:10.1007/BF02629755
• Cartan, Élie (1983), Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
• Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29–55
• Koszul, J. L. (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France, 78: 65–127, doi:10.24033/bsmf.1410
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Connection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature (PDF), archived from the original (PDF) on 2006-12-21, retrieved 2007-02-04
• Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000), Connections in Classical and Quantum Field Theory, World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6

बाहरी संबंध

• Media related to कनेक्शन (गणित) at Wikimedia Commons
• Connections at the Manifold Atlas