कनेक्शन (गणित)

ज्यामिति में, समास की धारणा स्थानीय ज्यामितीय वस्तुओं के परिवहन के विचार को सटीक बनाती है, जैसे स्पर्शरेखा स्थान में स्पर्शरेखा सदिश या प्रदिश, वक्र या वक्र के परिवार के साथ 'समानांतर' और सुसंगत तरीके से। आधुनिक ज्यामिति में विभिन्न प्रकार के समास हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई किस प्रकार के आंकड़ों को अभिगमन करना चाहता है। उदाहरण के लिए, सजातीय समास, सबसे प्राथमिक प्रकार का समास, वक्र के साथ एक बिंदु से दूसरे तक विविध स्पर्शरेखा स्थान के समानांतर परिवहन के लिए एक साधन देता है। एक सजातीय संबंध सामान्यतः एक सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में दिया जाता है, जो सदिश क्षेत्रों के दिशात्मक यौगिक लेने के लिए एक साधन देता है, सदिश क्षेत्र के विचलन को किसी दिए गए दिशा में समानांतर होने से मापता है।

बड़े हिस्से में आधुनिक ज्यामिति में समास केंद्रीय महत्व के हैं क्योंकि वे एक बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति और दूसरे बिंदु पर स्थानीय ज्यामिति के बीच तुलना की अनुमति देते हैं। विभेदक ज्यामिति समास विषयवस्तु पर कई भिन्नताओं को स्वीकारती है, जो दो प्रमुख समूहों में आती हैं: अति सूक्ष्म और स्थानीय सिद्धांत। स्थानीय सिद्धांत मुख्य रूप से समानांतर परिवहन और पवित्रता की धारणाओं से संबंधित है। अतिसूक्ष्म सिद्धांत स्वयं को ज्यामितीय आंकड़ों के विभेदीकरण से संबंधित करता है। इस प्रकार एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक सदिश क्षेत्र के व्युत्पन्न को एक अन्य सदिश क्षेत्र के साथ कई गुना निर्दिष्ट करने का एक तरीका है। एक कार्टन समास अंतर रूपों और लाइ समूहों का उपयोग करके समास सिद्धांत के कुछ पहलुओं को उद्यत करने का एक तरीका है। क्षेत्र की गति की अनुमत दिशाओं को निर्दिष्ट करके एक एह्रेसमैन समास एक तंतु पूल या एक सिद्धांत बंडल में एक समास है। कोज़ुल समास एक समास है जो स्पर्शरेखा बंडल की तुलना में अधिक सामान्य सदिश बंडल के वर्गों के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।

समास भी 'ज्यामितीय आक्रमणकारियों' के सुविधाजनक योगों की ओर ले जाते हैं, जैसे कि वक्रता (रीमैन वक्रता प्रदिश और वक्रता रूप भी देखें), और आघूर्ण बल प्रदिश।

प्रेरणा: निर्देशांक की अनुपयुक्तता

एक गोले पर समानांतर परिवहन (काले तीर का)। नीले और लाल तीर अलग-अलग दिशाओं में समानांतर अभिगमन का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन एक ही निचले दाएं बिंदु पर समाप्त होते हैं। तथ्य यह है कि वे अंत में अलग-अलग दिशाओं में इंगित करते हैं, गोले की वक्रता का परिणाम है।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। मान लीजिए कि गोले S के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश उत्तरी ध्रुव पर दिया गया है, और हमें इस सदिश को गोले के अन्य बिंदुओं पर लगातार ले जाने के तरीके को परिभाषित करना है: समानांतर परिवहन के लिए एक साधन। स्वाभाविक रूप से, यह एक विशेष समन्वय प्रणाली का उपयोग करके किया जा सकता है। हालांकि, जब तक उचित देखभाल लागू नहीं की जाती है, समन्वय की एक प्रणाली में परिभाषित समांतर परिवहन किसी अन्य समन्वय प्रणाली से सहमत नहीं होगा। एक अधिक उपयुक्त समानांतर परिवहन प्रणाली रोटेशन के तहत गोले की समरूपता का फायदा उठाती है। उत्तरी ध्रुव पर एक सदिश को देखते हुए, इस सदिश को गोले को इस तरह से घुमाकर एक वक्र के साथ ले जाया जा सकता है कि उत्तरी ध्रुव अक्षीय रोलिंग के बिना वक्र के साथ चलता है। समानांतर परिवहन का यह बाद वाला साधन क्षेत्र पर लेवी-Civita समास है। यदि एक ही प्रारंभिक और अंतिम बिंदु के साथ दो अलग-अलग वक्र दिए गए हैं, और एक सदिश v को एक घुमाव द्वारा पहले वक्र के साथ सख्ती से स्थानांतरित किया जाता है, तो अंतिम बिंदु पर परिणामी सदिश सदिश से भिन्न होगा, जिसके परिणामस्वरूप v दूसरे के साथ सख्ती से चल रहा है। वक्र। यह घटना गोले की वक्रता को दर्शाती है। एक साधारण यांत्रिक उपकरण जिसका उपयोग समानांतर परिवहन की कल्पना करने के लिए किया जा सकता है, दक्षिण-इंगित रथ है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि S त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिए गए निर्देशांकों वाला एक गोला है। एस के संबंध में 'आर' में यूनिट सदिश शामिल हैं^{3</उप>। फिर S उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव से अनुमानों के अनुरूप एटलस (टोपोलॉजी) # चार्ट की एक जोड़ी रखता है। मानचित्रण}

${\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}$

एक पड़ोस यू को कवर करें₀ उत्तरी ध्रुव और यू₁ दक्षिणी ध्रुव की, क्रमशः। X, Y, Z को 'R' में परिवेश निर्देशांक होने दें^{3</उप>। फिर φ₀ और φ₁ व्युत्क्रम हैं}

${\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}$

ताकि समन्वय संक्रमण समारोह एक सर्कल में उलटा हो:

$\varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)$

आइए अब एक सदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं $v$ स्थानीय निर्देशांक में एस पर (एस में प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश का असाइनमेंट)। यदि P, U का एक बिंदु है₀ ⊂ एस, तो एक सदिश क्षेत्र को एक सदिश क्षेत्र 'v' के पुशफॉरवर्ड (अवकलन) द्वारा दर्शाया जा सकता है₀ आर पर² द्वारा $\varphi _{0}$:

$v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)$

(1)

कहाँ $J_{\varphi _{0}}$ φ के जैकबियन मैट्रिक्स को दर्शाता है₀ ($d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$), और वी₀= वि₀(x, y) 'R' पर एक सदिश क्षेत्र है² विशिष्ट रूप से v द्वारा निर्धारित किया गया है (चूंकि किसी भी बिंदु पर एक स्थानीय भिन्नता का पुशफॉरवर्ड उलटा है)। इसके अलावा, समन्वय चार्ट के बीच ओवरलैप पर यू₀ ∩ यू₁, φ के संबंध में एक ही सदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना संभव है₁ निर्देशांक:

$v(P)=J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).$

(2)

घटकों को संबंधित करने के लिए v₀ और वी₁, श्रृंखला नियम को सर्वसमिका φ पर लागू करें₁ = च₀ का₀₁:

$J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).$

इस मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को घटक सदिश v पर लागू करना₁(फा₁⁻¹(पी)) और आह्वान (1) और (2) पैदावार

अब हम यह परिभाषित करने के मुख्य प्रश्न पर आते हैं कि एक सदिश क्षेत्र को एक वक्र के समानांतर कैसे ले जाया जाए। मान लीजिए कि P(t) S में एक वक्र है। भोलेपन से, कोई सदिश क्षेत्र को समानांतर मान सकता है यदि सदिश क्षेत्र के निर्देशांक घटक वक्र के साथ स्थिर हैं। हालाँकि, एक तत्काल अस्पष्टता उत्पन्न होती है: किस समन्वय प्रणाली में इन घटकों को स्थिर होना चाहिए?

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि v(P(t)) के U में स्थिर घटक हैं₁ निर्देशांक तरीका। अर्थात्, कार्य v₁(फा₁⁻¹(P(t))) स्थिर हैं। हालांकि, उत्पाद नियम को लागू करने के लिए (3) और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि d'v'₁/dt = 0 देता है

${\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).$

लेकिन $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)$ हमेशा एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स होता है (बशर्ते कि वक्र P(t) स्थिर न हो), इसलिए 'v'₁ और वी₀ वक्र के साथ कभी भी एक साथ स्थिर नहीं हो सकता।

संकल्प

ऊपर देखी गई समस्या यह है कि सदिश पथरी का सामान्य दिशात्मक व्युत्पन्न सदिश क्षेत्रों के घटकों पर लागू होने पर समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत अच्छा व्यवहार नहीं करता है। इससे यह वर्णन करना काफी मुश्किल हो जाता है कि सदिश फ़ील्ड को समानांतर तरीके से कैसे अनुवादित किया जाए, अगर वास्तव में ऐसी धारणा बिल्कुल भी समझ में आती है। इस समस्या को हल करने के दो मूलभूत रूप से भिन्न तरीके हैं।

पहला दृष्टिकोण यह जांचना है कि समन्वय संक्रमण के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न के सामान्यीकरण के लिए क्या आवश्यक है। यह समास के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न दृष्टिकोण द्वारा अपनाई गई रणनीति है: अच्छे व्यवहार को सहप्रसरण और सदिश के विपरीतता के साथ जोड़ा जाता है। यहां एक निश्चित रैखिक ऑपरेटर द्वारा दिशात्मक व्युत्पन्न के संशोधन पर विचार किया जाता है, जिनके घटकों को क्रिस्टोफेल प्रतीक कहा जाता है, जिसमें सदिश क्षेत्र पर कोई डेरिवेटिव शामिल नहीं है। दिशात्मक व्युत्पन्न डी_uएक समन्वय प्रणाली φ में एक सदिश v के घटकों के v दिशा में u को एक सहसंयोजक व्युत्पन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

$\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }=D_{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }+\Gamma (\varphi )\{{\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\}$

जहां Γ समन्वय प्रणाली φ पर निर्भर करता है और 'यू' और 'वी' में द्विरेखीय रूप है। विशेष रूप से, Γ में 'यू' या 'वी' पर कोई डेरिवेटिव शामिल नहीं है। इस दृष्टिकोण में, Γ को एक निर्धारित तरीके से बदलना चाहिए जब समन्वय प्रणाली φ को एक अलग समन्वय प्रणाली में बदल दिया जाता है। यह परिवर्तन तन्य नहीं है, क्योंकि इसमें न केवल समन्वय संक्रमण का पहला व्युत्पन्न शामिल है, बल्कि इसका दूसरा व्युत्पन्न भी है। Γ के परिवर्तन कानून को निर्दिष्ट करना Γ को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। कुछ अन्य सामान्यीकरण शर्तों को लागू किया जाना चाहिए, सामान्यतः विचाराधीन ज्यामिति के प्रकार के आधार पर। रीमैनियन ज्यामिति में, लेवी-सिविता समास के लिए रिमेंनियन मीट्रिक (साथ ही एक निश्चित समरूपता की स्थिति) के साथ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों की अनुकूलता की आवश्यकता होती है। इन सामान्यीकरणों के साथ, समास विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

दूसरा दृष्टिकोण अंतरिक्ष पर समरूपता के कुछ अवशेष को पकड़ने का प्रयास करने के लिए झूठ समूहों का उपयोग करना है। यह कार्टन समास का दृष्टिकोण है। गोले पर सदिशों के समानांतर परिवहन को निर्दिष्ट करने के लिए घुमाव का उपयोग करने वाला उपरोक्त उदाहरण इस नस में बहुत अधिक है।

संबंधों का ऐतिहासिक सर्वेक्षण

ऐतिहासिक रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में एक अतिसूक्ष्म परिप्रेक्ष्य से समास का अध्ययन किया गया था। एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर के साथ कुछ हद तक संबंधों का अतिसूक्ष्म अध्ययन शुरू हुआ। इसे बाद में ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो और टुल्लियो लेवी-सिविता द्वारा और अधिक अच्छी तरह से लिया गया (Levi-Civita & Ricci 1900) जिन्होंने भाग में देखा कि क्रिस्टोफेल के अतिसूक्ष्म अर्थ में एक संबंध ने समानांतर परिवहन की धारणा के लिए भी अनुमति दी।

लेवी-सीविटा का काम विशेष रूप से एक प्रकार के विभेदक ऑपरेटर के रूप में समास के संबंध में केंद्रित था, जिनके समानांतर विस्थापन अंतर समीकरणों के समाधान थे। जैसे-जैसे बीसवीं सदी आगे बढ़ी, एली कार्टन ने संबंध की एक नई धारणा विकसित की। उन्होंने फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम की ज्यामिति के लिए Pfaffian सिस्टम की तकनीकों को लागू करने की मांग की। इन जांचों में, उन्होंने पाया कि समास की एक निश्चित अतिसूक्ष्म धारणा (एक कार्टन समास) को इन ज्यामितीयों और अधिक पर लागू किया जा सकता है: उनकी समास अवधारणा वक्रता की उपस्थिति के लिए अनुमति देती है जो अन्यथा शास्त्रीय क्लेन ज्यामिति में अनुपस्थित होगी। (देखें, उदाहरण के लिए, (Cartan 1926) और (Cartan 1983)।) इसके अलावा, गैस्टन डार्बौक्स की गतिशीलता का उपयोग करते हुए, कार्टन अपने अतिसूक्ष्म समासों के वर्ग के लिए समानांतर परिवहन की धारणा को सामान्य बनाने में सक्षम था। इसने समास के सिद्धांत में एक और प्रमुख सूत्र स्थापित किया: कि एक समास एक निश्चित प्रकार का विभेदक रूप है।

समास सिद्धांत में दो धागे वर्तमान दिन के माध्यम से बने रहे हैं: एक अंतर ऑपरेटर के रूप में एक समास, और एक अंतर रूप के रूप में एक समास। 1950 में, जीन लुइस कोज़ुल (Koszul 1950) कोज़ुल समास के माध्यम से एक अंतर ऑपरेटर के रूप में एक समास के संबंध में एक बीजगणितीय ढांचा दिया। कोज़ुल समास लेवी-सिविता की तुलना में अधिक सामान्य था, और इसके साथ काम करना आसान था क्योंकि यह अंततः समास औपचारिकता से अजीब क्रिस्टोफेल प्रतीकों को खत्म करने (या कम से कम छिपाने) में सक्षम था। परिचर समानांतर विस्थापन संचालन में समास के संदर्भ में प्राकृतिक बीजगणितीय व्याख्याएं भी थीं। कोज़ुल की परिभाषा को बाद में अधिकांश विभेदक ज्यामिति समुदाय द्वारा अपनाया गया, क्योंकि इसने सहसंयोजक विभेदन और समानांतर अनुवाद के बीच विश्लेषणात्मक पत्राचार को एक बीजगणितीय में प्रभावी रूप से परिवर्तित कर दिया।

उसी वर्ष, चार्ल्स एह्रेसमैन (Ehresmann 1950), कार्टन के एक छात्र, ने मुख्य बंडलों और, अधिक सामान्यतः, फाइबर बंडलों के संदर्भ में एक अंतर रूप दृश्य के रूप में समास पर भिन्नता प्रस्तुत की। एह्रेसमैन समास, सख्ती से बोलना, कार्टन समास का सामान्यीकरण नहीं था। कार्टन के तुल्यता पद्धति के साथ उनके संबंध के कारण कार्टन समास कई गुना अंतर्निहित अंतर टोपोलॉजी से काफी कठोर रूप से बंधे थे। एह्रेसमैन समास उस समय के अन्य जियोमीटर के मूलभूत कार्य को देखने के लिए एक ठोस ढांचा थे, जैसे कि शिंग-शेन चेर्न, जो गेज समास कहे जाने वाले अध्ययन के लिए कार्टन समास से दूर जाना शुरू कर चुके थे। एह्रेसमैन के दृष्टिकोण में, एक प्रमुख बंडल में एक समास में बंडल के कुल स्थान पर लंबवत बंडल का एक विनिर्देश होता है। एक समानांतर अनुवाद तब आधार से एक वक्र को मुख्य बंडल में एक वक्र तक उठाना है जो क्षैतिज है। यह दृष्टिकोण होलोनॉमी के अध्ययन में विशेष रूप से मूल्यवान साबित हुआ है।

संभावित दृष्टिकोण

• एक प्रत्यक्ष दृष्टिकोण यह निर्दिष्ट करना है कि कैसे एक सहसंयोजक व्युत्पन्न एक अंतर ऑपरेटर के रूप में सदिश क्षेत्रों के मॉड्यूल (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है। अधिक सामान्यतः, एक समान दृष्टिकोण किसी भी सदिश बंडल में समास (सदिश बंडल) के लिए लागू होता है।
• पारंपरिक सूचकांक संकेतन घटकों द्वारा समास निर्दिष्ट करता है; क्रिस्टोफेल प्रतीक देखें। (ध्यान दें: इसके तीन सूचकांक हैं, लेकिन 'नहीं' एक प्रदिश है)।
• छद्म-रीमैनियन और रीमैनियन ज्यामिति में लेवी-सिविता समास मीट्रिक प्रदिश से जुड़ा एक विशेष समास है।
• ये एफ़ाइन समास के उदाहरण हैं. प्रक्षेपण समास की एक अवधारणा भी है, जिसमें जटिल विश्लेषण में श्वार्जियन व्युत्पन्न एक उदाहरण है। आम तौर पर, दोनों सजातीय और projective समास कार्टन समास के प्रकार होते हैं।
• प्रिंसिपल बंडलों का उपयोग करके, एक समास को लाइ बीजगणित-मूल्यवान अंतर रूप के रूप में महसूस किया जा सकता है। समास देखें (प्रिंसिपल बंडल)।
• समास के लिए एक दृष्टिकोण जो आंकड़ों के परिवहन की धारणा का प्रत्यक्ष उपयोग करता है (जो कुछ भी हो सकता है) एह्रेसमैन समास है।
• अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा सुझाया गया सबसे अमूर्त दृष्टिकोण हो सकता है, जहां ग्रोथेंडिक समास को विकर्ण के अतिसूक्ष्म पड़ोस से वंश (श्रेणी सिद्धांत) आंकड़ों के रूप में देखा जाता है; देखना (Osserman 2004).

यह भी देखें

• एफ़िन समास
• कार्टन समास
• एह्रेसमैन समास
• ग्रोथेंडिक समास
• लेवी-सिविता समास
• समास प्रपत्र
• समास (फाइबर कई गुना)
• समास (प्रिंसिपल बंडल)
• समास (सदिश बंडल)
• समास (एफ़ाइन बंडल)
• समास (समग्र बंडल)
• समास (बीजीय ढांचा)
• गेज सिद्धांत (गणित)

संदर्भ

• Levi-Civita, T.; Ricci, G. (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen, 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007/BF01454201, S2CID 120009332
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France, 52: 205–241, doi:10.24033/bsmf.1053
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, doi:10.1007/BF02629755
• Cartan, Élie (1983), Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
• Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29–55
• Koszul, J. L. (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France, 78: 65–127, doi:10.24033/bsmf.1410
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Connection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature (PDF), archived from the original (PDF) on 2006-12-21, retrieved 2007-02-04
• Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000), Connections in Classical and Quantum Field Theory, World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6

बाहरी संबंध

• Media related to कनेक्शन (गणित) at Wikimedia Commons
• Connections at the Manifold Atlas