व्युत्पन्न के सामान्यीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:41, 4 May 2023

गणित में, अवकलज अवकलन का मूलभूत निर्माण है और गणितीय विश्लेषण, कॉम्बिनेटरिक्स, बीजगणित, ज्यामिति, आदि के क्षेत्रों में विभिन्न संभावित सामान्यीकरणों को स्वीकार करता है।

फ्रेचेट अवकलज

फ्रेचेट अवकलज सामान्य नॉर्मर्ड वेक्टर स्पेस $V,W$ के लिए अवकलज को परिभाषित करता है। संक्षेप में, फलन $f:U\to W$ , $U$ , $V$ का ओपन सबसेट है, जिसे $x\in U$ फ्रेचेट अवकलनीय कहा जाता है यदि कोई परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर $A:V\to W$ उपस्थित है, जैसे कि

\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.

फलन को

x

के ओपन नेबरहुड (गणित) में भिन्न-भिन्न बिंदुओं के अतिरिक्त, अवकलनीय रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि ऐसा नहीं करने से विभिन्न पैथोलॉजिकल (गणित) उदाहरण होते हैं।

फ्रेचेट अवकलज प्राथमिक एक-चर कलन में पाए जाने वाले अवकलज के सूत्र के समान है,

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,

और केवल A को बाएँ हाथ की ओर ले जाता है। चूँकि, फ्रेचेट अवकलज A फलन

t\mapsto f'(x)\cdot t

को दर्शाता है।

बहुभिन्नरूपी कलन में, अदिश फलन Rⁿ से R^m तक परिभाषित अवकल समीकरणों के संदर्भ में, फ्रेचेट अवकलज A, 'R' पर रैखिक ऑपरेटर है जिसे सदिश समष्टि माना जाता है, और फलन के सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन से युग्मित होता है। यदि ऐसा कोई ऑपरेटर उपस्थित है, तो यह अद्वितीय है, और बिंदु x पर मैपिंग ƒ के जैकोबियन आव्यूह J_x(ƒ) के रूप में ज्ञात n आव्यूह (गणित) से m द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इस आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि डोमेन समन्वय में परिवर्तन के संबंध में श्रेणी समन्वय के परिवर्तन की दर निर्दिष्ट करने वाले आंशिक व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करती है। निश्चित रूप से g_°f जैकोबियन आव्यूह संगत जैकोबियन आव्यूह J_x(g_°f) =J_ƒ(x)(g)J_x(ƒ) का गुणनफल है। यह श्रृंखला नियम का उच्च-आयामी कथन है।

Rⁿ से R तक वास्तविक मान फलन के लिए (अदिश क्षेत्र), फ़्रेचेट अवकलज वेक्टर क्षेत्र से युग्मित होता है जिसे कुल अवकलज कहा जाता है। इसे प्रवणता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है किन्तु बाह्य अवकलज का उपयोग करना अधिक स्वाभाविक होता है।

संवहन व्युत्पन्न सदिश क्षेत्र के साथ स्पेस के माध्यम से समय निर्भरता और गति के कारण परिवर्तनों को ध्यान में रखता है, और कुल व्युत्पन्न की विशेष स्तिथि है।

R से Rⁿ तक वेक्टर मान फलन के लिए (अर्थात, पैरामीट्रिक वक्र), फ्रेचेट अवकलज प्रत्येक घटक के लिए भिन्न-भिन्न अनुरूप होते हैं। परिणामी व्युत्पन्न को वेक्टर में मैप किया जा सकता है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए यदि वेक्टर मान फलन समय के माध्यम से कण की स्थिति सदिश है तो व्युत्पन्न समय के माध्यम से कण का वेग सदिश होता है।

जटिल विश्लेषण में, अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं होलोमॉर्फिक फलन हैं, जो सम्मिश्र संख्याओं पर काम्प्लेक्स-मान फलन हैं जहाँ फ्रेचेट व्युत्पन्न उपस्थित है।

ज्यामितीय कलन में ज्यामितीय व्युत्पन्न लीबनिज़ नियम के शक्तिहीन रूप को संतुष्ट करता है। यह ज्यामितीय बीजगणित की वस्तुओं के लिए फ्रेचेट अवकलज का विशेषज्ञ है। ज्यामितीय कलन शक्तिशाली औपचारिकता है जिसे अवकल रूपों और ज्यामिति के समान रूपरेखा को सम्मिलित करने के लिए दिखाया गया है।^[1]

बाह्य व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न

स्मूथ मैनिफोल्ड पर अवकल रूपों के बाह्य बीजगणित का अद्वितीय रैखिक मानचित्र है जो वर्गीकृत लीबनिज नियम और वर्गों को शून्य से संतुष्ट करता है। यह बाह्य बीजगणित पर ग्रेड 1 की व्युत्पत्ति होती है। R³ में, ग्रेडिएंट, कर्ल (गणित), और विचलन बाह्य व्युत्पन्न की विशेष स्तिथियाँ होती हैं। ग्रेडिएंट की व्याख्या यह है कि यह "ऊपर" संकेत करती है, दूसरे शब्दों में यह फलन की सबसे तीव्र वृद्धि की दिशा की ओर संकेत करता है। इसका उपयोग अदिश (गणित) फलन या सामान्य दिशाओं के दिशात्मक डेरिवेटिव की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विचलन बिंदु के निकट कितना स्रोत या सिंक उपस्थित है इसका माप देता है। इसका उपयोग विचलन प्रमेय द्वारा फ्लक्स की गणना के लिए किया जा सकता है। कर्ल मापता है कि बिंदु के निकट सदिश क्षेत्र का कितना स्पिन है।

लाई व्युत्पन्न सदिश या टेंसर क्षेत्र के दूसरे सदिश क्षेत्र के प्रवाह के साथ परिवर्तन की दर है। सदिश क्षेत्रों पर, यह लाई ब्रैकेट का उदाहरण है (सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड के डिफियोमोर्फिज्म समूह के लाई बीजगणित का निर्माण करते हैं)। यह बीजगणित पर ग्रेड 0 की व्युत्पत्ति है।

इंटीरियर प्रोडक्ट के साथ (सदिश क्षेत्र के साथ संकुचन द्वारा परिभाषित बाह्य बीजगणित पर डिग्री -1 व्युत्पत्ति), बाह्य व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न लाई सुपरएलजेब्रा बनाते हैं।

अवकल टोपोलॉजी

अवकल टोपोलॉजी में, सदिश क्षेत्र को मैनिफोल्ड पर स्मूथ फलनों के वलय पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा सदिश को बिंदु पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह अदिश फलन के दिशात्मक व्युत्पन्न की धारणा को सामान्य मैनिफोल्ड करने की अनुमति देता है। मैनिफोल्ड Rⁿ उपसमुच्चय हैं, यह स्पर्शरेखा सदिश दिशात्मक अवकलज से सहमत होगा।

मैनिफोल्ड्स के मध्य मानचित्र का पुशफॉरवर्ड (अंतर) उन मानचित्रों के स्पर्शरेखा स्थानों के मध्य प्रेरित मानचित्र है। यह जैकबियन आव्यूह को ऐब्स्ट्रैक्ट करता है।

सहपरिवर्ती व्युत्पन्न

अवकल ज्यामिति में, सहपरिवर्ती व्युत्पन्न वक्र के साथ वेक्टर क्षेत्रों के दिशात्मक डेरिवेटिव लेने के लिए विकल्प बनाता है। यह वेक्टर बंडलों या प्रमुख बंडलों के वर्गों के लिए अदिश फलन के दिशात्मक व्युत्पन्न का विस्तार करता है। रिमेंनियन ज्यामिति में, मीट्रिक का अस्तित्व लेवी-सिविटा कनेक्शन के रूप में जाना जाने वाला अद्वितीय मुख्य टॉरशन-मुक्त सहपरिवर्ती व्युत्पन्न का चयन करता है। भौतिकी के उन्मुख व्यवहार के लिए गेज सहपरिवर्ती व्युत्पन्न भी देखें।

बाह्य सहपरिवर्ती व्युत्पन्न बाह्य व्युत्पन्न को वेक्टर वैल्यूड रूपों तक विस्तारित करता है।

वीक अवकलज

दिया हुआ फलन $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , जो कि स्थानीय रूप से समाकलित होता है, किन्तु आवश्यक नहीं कि यह अवकलनीय हो, वीक अवकलज को आंशिक समाकलन के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है। प्रथम अभ्यास फलन को परिभाषित करता है, जो अनन्त अवकलनीय और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन $\varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ और मल्टी-इंडेक्स हैं जो पूर्णांकों की लंबाई $n$ की सूची $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ के साथ ${\textstyle |\alpha |:=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$ है। अभ्यास फलन ${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$ के लिए प्रस्तावित है| यदि कोई फलन $v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ है, तो $u$ का ${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$ वीक अवकलज उपस्थित है जैसे कि सभी अभ्यास फलन $\varphi$ के लिए है-

\int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx

यदि ऐसा फलन उपस्थित है, तो $D^{\alpha }u:=v$ , जो प्रायः प्रत्येक स्थान पर अद्वितीय है। यह परिभाषा फलन $u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ के अवकल के समान है, और सामान्यीकृत फलन के लिए विस्तृत की जा सकती है जिसे वितरण (गणित) फलन की ड्यूल स्पेस कहा जाता है। आंशिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में और कार्यात्मक विश्लेषण के कुछ भागों में वीक अवकलज विशेष रूप से उपयोगी होते हैं।

भिन्नात्मक और उच्चतम कोटि के अवकलज

वास्तविक संख्याओं में अवकलन प्रक्रिया को पुनरावृत्त किया जा सकता है, अर्थात, द्वितीय और उच्चतम कोटि के अवकलज प्राप्त करने के लिए एक से अधिक बार अवकलज प्रस्तावित कर सकते हैं। मल्टीवेरिएबल कैलकुस में अध्ययन किए गए कई चर के फलन के लिए उच्चतम अवकलज भी परिभाषित किए जा सकते हैं। इस स्तिथि में, अवकलज को पुनः प्रस्तावित करने के अतिरिक्त, विभिन्न चरों के संबंध में आंशिक अवकलज को पुनः प्रस्तावित किया जाता है। उदाहरण के लिए, n चरों के स्केलर फलन के द्वितीय क्रम के आंशिक अवकलज को n द्वारा n आव्यूह, हेसियन आव्यूह में व्यवस्थित किया जा सकता है। सूक्ष्म बिंदुओं में उच्चतम अवकलज आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं होते हैं, और जटिल फैशन में निर्देशांक के चयन पर निर्भर करते हैं (विशेष रूप से, फलन का हेस्सियन आव्यूह टेन्सर नहीं है)। उच्चतम अवकलज के निकट अपने क्रिटिकल पॉइंट (गणित) पर फलन के स्थानीय एक्स्ट्रेमा के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी के लिए इस विश्लेषण के उन्नत अनुप्रयोग के लिए मोर्स सिद्धांत देखें।

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के n-वें अवकलज के अतिरिक्त, भिन्नात्मक या ऋणात्मक क्रमों के अवकलज को परिभाषित करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं, जिनका अध्ययन भिन्नात्मक कलन में किया जाता है। प्रथम क्रम अवकलज इंटीग्रल के समान है, जहाँ शब्द डिफरेंट इंटीग्रल है।

क्वाटरनियोनिक अवकलज

क्वाटरनियोनिक विश्लेषण में, अवकलज को वास्तविक और काम्प्लेक्स फलन के समान परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, चतुष्कोण $\mathbb {H}$ विनिमेय नहीं हैं, अंतर भागफल की सीमा दो भिन्न-भिन्न अवकलज देती है- बायाँ अवकलज

\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]

और दायाँ अवकलज

\lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].

इन सीमाओं का अस्तित्व अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। उदाहरण के लिए, यदि $f:\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ ओपन कनेक्टेड समुच्चय $U\subset \mathbb {H}$ पर प्रत्येक बिंदु पर बाएं-डेरिवेटिव हैं तब $a,b\in \mathbb {H}$ के लिए $f(q)=a+qb$ है।

अन्तर संकारक, क्यू-एनालॉग्स और टाइम स्केल

किसी फलन का क्यू-अवकलज सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है- $D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.$ x अशून्य के लिए, यदि f, x का अवकलनीय फलन है तो $q \to 1$ की सीमा में हम सामान्य अवकलज प्राप्त करते हैं, इस प्रकार q-अवकलज को q-डिफ़ॉर्मेशन के रूप में देखा जा सकता है। द्विपद सूत्र और टेलर विस्तार जैसे साधारण अवकल कलन के परिणामों के बड़े निकाय में क्यू-एनालॉग होते हैं जो 19वें दशक में शोधित किये गए थे, किन्तु विशेष फलन के सिद्धांत में, 20वें दशक के बड़े अंश के लिए अपेक्षाकृत अस्पष्ट बने रहे। कॉम्बिनेटरिक्स की प्रगति और क्वांटम समूहों की शोध ने स्थिति को नाटकीय रूप से परिवर्तित कर दिया है और क्यू-एनालॉग्स की लोकप्रियता बढ़ रही है।
डिफरेंस समीकरणों का अन्तर संकारक मानक व्युत्पन्न का डिस्क्रीट एनालॉग है। $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$
क्यू-अवकलज, अन्तर संकारक और मानक व्युत्पन्न सभी को भिन्न-भिन्न टाइम स्केल कैलकुलस पर समान रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $\varepsilon =(q-1)x$ को लेने पर हमारे निकट हो सकता है- ${\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.$ क्यू-अवकलज वोल्फगैंग हैन अंतर की विशेष स्तिथि है,^[2] ${\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.$ हैन अंतर, क्यू-अवकलज का सामान्यीकरण है।
q-अवकलज, फेमिलिअर अवकलज की विशेष स्तिथि है। $z=qx$ को लेने पर हमारे निकट है- $\lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.$

बीजगणित में अवकलज

बीजगणित में, व्युत्पन्न के सामान्यीकरण को बीजगणितीय संरचना जैसे रिंग या लाइ बीजगणित में अवकलन के लीबनिज़ नियम को प्रस्तावित करके प्राप्त किया जा सकता है।

अवकलज

अवकलज वलय या बीजगणित पर रैखिक मानचित्र है जो लीबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है। उच्चतम अवकलज और बीजगणितीय अवकल समीकरण को भी परिभाषित किया जा सकता है। वे अवकल गैलोज सिद्धांत और डी-मॉड्यूल के सिद्धांत में विशुद्ध रूप से बीजगणितीय सेटिंग में अध्ययन किए जाते हैं, जहाँ वे अधिकांशतः अवकलज की कम बीजगणितीय परिभाषाओं से सहमत होते हैं।

उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय वलय R पर बहुपद के अवकल बीजगणित को निम्न द्वारा परिभाषित किया जाता है-

\left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.

मानचित्रण $f\mapsto f'$ बहुपद वलय R[X] पर अवकलज है। इस परिभाषा को परिमेय फलन के लिए भी विस्तृत किया जा सकता है।

अवकलज की धारणा गैर विनिमेय के साथ-साथ क्रमविनिमेय वलयों पर प्रस्तावित होती है और नॉन-अस्सोसिएटिव बीजगणितीय संरचनाओं जैसे लाई बीजगणित पर भी प्रस्तावित होती है।

टाइप का अवकलज

प्रकार सिद्धांत में, कई अमूर्त डेटा प्रकारों को रूपांतरण द्वारा उत्पन्न बीजगणित के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो प्रकार के आधार पर संरचनाओं को पुनः प्रकार में मैप करता है। उदाहरण के लिए, टाइप A वाले बाइनरी ट्री के टाइप T को 1+A×T²→T परिवर्तन द्वारा उत्पन्न बीजगणित के रूप में दर्शाया जा सकता है। '1' एम्प्टी ट्री के निर्माण का प्रतिनिधित्व करता है, और द्वितीय पद ट्री के निर्माण को मान और दो उपप्रकारों से दर्शाता है। '+' दर्शाता है कि ट्री का निर्माण किसी भी प्रकार से किया जा सकता है।

इस प्रकार का व्युत्पन्न वह प्रकार है जो किसी विशेष उपसंरचना के संदर्भ को इसकी बाह्य संरचना के संबंध में वर्णित करता है। द्वितीय प्रकार दोनों के मध्य अंतर का प्रतिनिधित्व है। ट्री के उदाहरण में, व्युत्पन्न प्रकार है जो इनफार्मेशन का वर्णन करता है, विशेष सबट्री को उसके मूल ट्री के निर्माण के लिए दिया जाता है। यह इनफार्मेशन टपल है जिसमें बाइनरी इंडिकेटर होता है। इस प्रकार को 2×A×T के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो ट्री के प्रकार को उत्पन्न करने वाले परिवर्तन के व्युत्पन्न की भाँति दिखता है।

टाइप के व्युत्पन्न की इस अवधारणा में व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जैसे फंक्शनल प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपयोग की जाने वाली ज़िपर (डेटा संरचना) तकनीक है।

अवकल ऑपरेटर

अवकल संकारक बीजगणितीय व्यंजक में संभवतः विभिन्न क्रमों के विभिन्न व्युत्पन्नों को जोड़ता है। यह विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले साधारण रैखिक अवकल समीकरणों पर विचार करने में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यदि f(x) चर का दो बार अवकलनीय फलन है, तो अवकल समीकरण $f''+2f'-3f=4x-1$ को $L(f)=4x-1$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है, जहाँ

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3

x के फलनों पर कार्य करने वाला द्वितीय क्रम रैखिक स्थिर गुणांक अंतर ऑपरेटर है। यहाँ मुख्य विचार यह है कि हम शून्य, प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज के विशेष रैखिक संयोजन पर विचार करते हैं। यह हमें इस अवकल समीकरण के समाधानों के समुच्चय को सामान्य समाकलन के साथ सादृश्य द्वारा इसके दाहिने हाथ की ओर 4x−1 के सामान्यीकृत एंटीडेरिवेटिव के रूप में विचार करने की अनुमति प्रदान करता है और औपचारिक रूप से अंकित करता है-

f(x)=L^{-1}(4x-1).

भिन्न-भिन्न चरों के अवकलज का संयोजन आंशिक अवकल ऑपरेटर की धारणा में होता है। लीनियर ऑपरेटर जो प्रत्येक फलन को इसके अवकलज को असाइन करता है, फलन स्पेस पर अवकल संकारक का उदाहरण है। फूरियर रूपांतरण के माध्यम से, छद्म-अवकल संकारकों को परिभाषित किया जा सकता है जो भिन्नात्मक कलन के लिए अनुमति प्रदान करते हैं।

इनमें से कुछ ऑपरेटर इतने महत्वपूर्ण हैं कि उनके अपने नाम हैं:

R³ पर लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल संकारक $Δ$ है जो तीन चरों के अदिश फलन के ग्रेडियेंट के विचलन द्वारा दिया गया है, या स्पष्ट रूप से- $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$ एनालॉगस ऑपरेटरों को किसी भी चर के फलन के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
डी'अलेम्बर्टियन या वेव ऑपरेटर लाप्लासियन के समान है, किन्तु चार चरों के फलनों पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा R³ के यूक्लिडियन डॉट गुणनफल के अतिरिक्त मिन्कोव्स्की स्पेस के अनिश्चित मीट्रिक टेंसर का उपयोग करती है- $\square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.$
श्वार्ज़ियन अवकलज अरैखिक अवकल संकारक है जो वर्णन करता है कि किस प्रकार आंशिक-रैखिक मानचित्र द्वारा काम्प्लेक्स फलन का अनुमान लगाया जा सकता है, उसी प्रकार सामान्य अवकलज वर्णन करता है कि रैखिक मानचित्र द्वारा फलन का अनुमान किस प्रकार लगाया जा सकता है।
विर्टिंगर डेरिवेटिव अवकल संकारकों का समुच्चय है जो काम्प्लेक्स फलनों के लिए अवकल कलन के निर्माण की अनुमति देता है जो वास्तविक चर के फलनों के लिए सामान्य अवकलन के समान है।

अन्य सामान्यीकरण

फंक्शनल विश्लेषण में, भिन्नात्मक अवकलज फंक्शनल के फलन के सापेक्ष अवकलज को परिभाषित करता है। यह अनंत आयामी सदिश समष्टि के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न का विस्तार है। विचरण कलन में विचरण अवकलज महत्वपूर्ण स्तिथि है।

सबडेरिवेटिव और सबग्रेडिएंट कॉन्वेक्स विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले अवमुख फलनों के अवकलज के सामान्यीकरण हैं।

कम्यूटेटिव बीजगणित में, काहलर अवकल क्रमविनिमेय वलय या मॉड्यूल (बीजगणित) के यूनिवर्सल डेरिवेटिव हैं। उनका उपयोग अवकल ज्यामिति से बाह्य व्युत्पन्न के एनालॉग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो मात्र स्मूथ मैनिफोल्ड्स के अतिरिक्त आर्बिटरी बीजगणितीय विविधता पर प्रस्तावित होते है।

पी-एडिक विश्लेषण में, डेरिवेटिव की सामान्य परिभाषा पर्याप्त नहीं है और इसके अतिरिक्त अवकलनीयता की आवश्यकता होती है।

गैटॉक्स डेरिवेटिव फ्रेचेट अवकलज को स्थानीय कॉन्वेक्स टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस तक वस्तृत करता है। फ़्रेचेट अवकलनीयता गैटॉक्स अवकलनीयता की तुलना में परिमित आयामों में दृढ़ स्थिति है। दो चरम सीमाओं के मध्य क्वासि-डेरिवेटिव है।

माप सिद्धांत में, रैडॉन-निकोडीम अवकलज जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक का सामान्यीकरण करता है, जिसका उपयोग चरों को मापने के लिए किया जाता है। यह माप μ को दूसरे माप ν के संदर्भ में व्यक्त करता है।

एच-व्युत्पन्न सार वीनर स्पेस और मालियाविन कलन के अध्ययन में व्युत्पन्न की धारणा है। इसका उपयोग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में किया जाता है।

लाप्लासियन का उपयोग करने वाले लाप्लासियन और अवकल समीकरणों का फ्रैक्टल्स पर विश्लेषण किया जा सकता है। प्रथम कोटि के अवकलज का कोई पूर्ण रूप से संतोषजनक एनालॉग नहीं है।^[3]

कार्लिट्ज अवकलज, सामान्य अवकलन के समान ऑपरेशन है, किन्तु वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के सामान्य संदर्भ के साथ औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला के रूप में सकारात्मक अभिलक्षण (बीजगणित) के स्थानीय क्षेत्रों में कुछ परिमित क्षेत्र F_q में गुणांक के साथ परिवर्तित कर दिया गया है। (यह ज्ञात है कि सकारात्मक अभिलक्षण का स्थानीय क्षेत्र लॉरेंट श्रृंखला क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है)। घातीय फलन, लघुगणक और अन्य के लिए उपयुक्त रूप से परिभाषित एनालॉग्स के साथ-साथ अवकलज का उपयोग विश्लेषण, समाकलन, टेलर श्रृंखला के साथ-साथ अवकल समीकरणों के सिद्धांत को विकसित करने के लिए किया जा सकता है।^[4]

मूल व्युत्पत्ति के विस्तार या अमूर्तता की उपरोक्त विभिन्न धारणाओं में से दो या दो से अधिक को जोड़ना संभव हो सकता है। उदाहरण के लिए, फिन्स्लर ज्यामिति में, स्पेसेस का अध्ययन करते है जो स्थानीय रूप से बनच स्पेस की भाँति दिखता है। इस प्रकार कोई भिन्नात्मक अवकलज और सहपरिवर्ती अवकलज की कुछ विशेषताओं के साथ अवकलज चाहता है।

गुणक कलन, जोड़ को गुणन से परिवर्तित कर देता है, इसलिए यह अनुपातों के घातांक की सीमा से संबंधित होता है। यह ज्यामितीय अवकलज और द्विमितीय अवकलज के विकास की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, जिस प्रकार अवकल संकारक के निकट डिस्क्रीट एनालॉग होता है उसी प्रकार अवकल संकारक के इन गुणक अवकलज के डिस्क्रीट एनालॉग भी होते हैं।

यह भी देखें

↑ David Hestenes, Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN 90-277-2561-6
↑ Hahn, Wolfgang (1949). "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen". Mathematische Nachrichten. 2 (1–2): 4–34. doi:10.1002/mana.19490020103. ISSN 0025-584X. MR 0030647.
↑ Analysis on Fractals, Robert S. Strichartz - Article in Notices of the AMS
↑ Kochubei, Anatoly N. (2009). सकारात्मक विशेषता में विश्लेषण. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-50977-0.

[Category:Generalizations of the derivative

[1] David Hestenes, Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN 90-277-2561-6

[2] Hahn, Wolfgang (1949). "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen". Mathematische Nachrichten. 2 (1–2): 4–34. doi:10.1002/mana.19490020103. ISSN 0025-584X. MR 0030647.

[3] Analysis on Fractals, Robert S. Strichartz - Article in Notices of the AMS

[4] Kochubei, Anatoly N. (2009). सकारात्मक विशेषता में विश्लेषण. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-50977-0.

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 {{Short description|Fundamental construction of differential calculus}}
-{{about|the term as used in mathematics|other uses|derivative (disambiguation)}}
+{{about|गणित में प्रयुक्त शब्द|अन्य उपयोग|व्युत्पन्न (बहुविकल्पी)}}
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-गणित में, अवकलज अवकलन कलन का एक मौलिक निर्माण है और [[गणितीय विश्लेषण]], संयोजी, [[बीजगणित]], [[ज्यामिति]], आदि के क्षेत्रों में कई संभावित सामान्यीकरणों को स्वीकार करता है।
+गणित में, अवकलज अवकलन का मूलभूत निर्माण है और [[गणितीय विश्लेषण]], कॉम्बिनेटरिक्स, [[बीजगणित]], [[ज्यामिति]], आदि के क्षेत्रों में विभिन्न संभावित सामान्यीकरणों को स्वीकार करता है।
-== फ्रेचेट व्युत्पन्न ==
+== फ्रेचेट अवकलज ==
-फ्रेचेट व्युत्पन्न सामान्य आदर्श वेक्टर रिक्त स्थान के लिए व्युत्पन्न को परिभाषित करता है <math>V, W</math>. संक्षेप में, एक समारोह <math>f : U \to W</math>, <math>U</math> का एक खुला उपसमुच्चय <math>V</math>, फ्रेचेट डिफरेंशियल एट कहा जाता है <math>x \in U</math> यदि कोई परिबद्ध रेखीय संचालिका मौजूद है <math>A:V\to W</math> ऐसा है कि
+फ्रेचेट अवकलज सामान्य नॉर्मर्ड वेक्टर स्पेस <math>V, W</math> के लिए अवकलज को परिभाषित करता है। संक्षेप में, फलन <math>f : U \to W</math>, <math>U</math>, <math>V</math> का ओपन सबसेट है, जिसे <math>x \in U</math> फ्रेचेट अवकलनीय कहा जाता है यदि कोई परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर <math>A:V\to W</math> उपस्थित है, जैसे कि
 <math display=block>\lim_{\|h\| \to 0} \frac{\| f(x + h) - f(x) - Ah\|_W}{\|h\|_V} = 0.</math>
-कार्यों को कुछ खुले [[पड़ोस (गणित)]] में भिन्न होने के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x</math>, अलग-अलग बिंदुओं के बजाय, ऐसा नहीं करने से कई [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] प्रति-उदाहरण होते हैं।
+फलन को <math>x</math> के ओपन [[पड़ोस (गणित)|नेबरहुड (गणित)]] में भिन्न-भिन्न बिंदुओं के अतिरिक्त, अवकलनीय रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि ऐसा नहीं करने से विभिन्न [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] उदाहरण होते हैं।
-फ्रेचेट व्युत्पन्न प्राथमिक एक-चर कलन में पाए जाने वाले व्युत्पन्न के सूत्र के समान है, <math display=block>\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = A,</math> और केवल A को बाएँ हाथ की ओर ले जाता है। हालांकि, फ्रेचेट डेरिवेटिव ए फ़ंक्शन को दर्शाता है <math>t \mapsto f'(x) \cdot t</math>.
+फ्रेचेट अवकलज प्राथमिक एक-चर कलन में पाए जाने वाले अवकलज के सूत्र के समान है, <math display=block>\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = A,</math> और केवल A को बाएँ हाथ की ओर ले जाता है। चूँकि, फ्रेचेट अवकलज ''A'' फलन <math>t \mapsto f'(x) \cdot t</math> को दर्शाता है।
-[[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] में, सदिश मान फलन R द्वारा परिभाषित अवकल समीकरणों के संदर्भ में<sup>n</sup> से 'आर'<sup>m</sup>, फ्रेचेट डेरिवेटिव A, 'R' पर एक रेखीय संचालिका है जिसे अपने ऊपर एक सदिश स्थान माना जाता है, और यह किसी फलन के सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन से मेल खाता है। यदि ऐसा कोई ऑपरेटर मौजूद है, तो यह अद्वितीय है, और एन [[मैट्रिक्स (गणित)]] द्वारा एम द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है जिसे जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक जे के रूप में जाना जाता है<sub>''x''</sub>(ƒ) मैपिंग का ƒ बिंदु x पर। इस मैट्रिक्स की प्रत्येक प्रविष्टि एक [[आंशिक व्युत्पन्न]] का प्रतिनिधित्व करती है, एक डोमेन समन्वय में परिवर्तन के संबंध में एक श्रेणी समन्वय के परिवर्तन की दर निर्दिष्ट करती है। बेशक, याकूब
+[[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस|बहुभिन्नरूपी कलन]] में, अदिश फलन R<sup>n</sup> से R<sup>m</sup> तक परिभाषित अवकल समीकरणों के संदर्भ में, फ्रेचेट अवकलज A, 'R' पर रैखिक ऑपरेटर है जिसे सदिश समष्टि माना जाता है, और फलन के सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन से युग्मित होता है। यदि ऐसा कोई ऑपरेटर उपस्थित है, तो यह अद्वितीय है, और बिंदु x पर मैपिंग ƒ के जैकोबियन आव्यूह J<sub>''x''</sub>(ƒ) के रूप में ज्ञात n [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] से m द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इस आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि डोमेन समन्वय में परिवर्तन के संबंध में श्रेणी समन्वय के परिवर्तन की दर निर्दिष्ट करने वाले [[आंशिक व्युत्पन्न]] का प्रतिनिधित्व करती है। निश्चित रूप से ''g<sub>°</sub>f'' जैकोबियन आव्यूह संगत जैकोबियन आव्यूह J<sub>''x''</sub>(''g<sub>°</sub>f'') =J<sub>ƒ(''x'')</sub>(''g'')J<sub>''x''</sub>(ƒ) का गुणनफल है। यह [[श्रृंखला नियम]] का उच्च-आयामी कथन है।
-संरचना जी का मैट्रिक्स<sub>°</sub>एफ संबंधित जैकबियन मैट्रिसेस का एक उत्पाद है:
-जे<sub>''x''</sub>(जी<sub>°</sub>च) = जे<sub>ƒ(''x'')</sub>(जी) जे<sub>''x''</sub>(ƒ)। यह [[श्रृंखला नियम]] का एक उच्च-आयामी कथन है।
-आर से वास्तविक मूल्यवान कार्यों के लिए<sup>n</sup> से 'R' ([[अदिश क्षेत्र]]), फ़्रेचेट डेरिवेटिव एक [[वेक्टर क्षेत्र]] से मेल खाता है जिसे टोटल डेरिवेटिव कहा जाता है। इसे ढाल के रूप में व्याख्या किया जा सकता है लेकिन [[बाहरी व्युत्पन्न]] का उपयोग करना अधिक स्वाभाविक है।
+R<sup>n</sup> से R तक वास्तविक मान फलन के लिए ([[अदिश क्षेत्र]]), फ़्रेचेट अवकलज [[वेक्टर क्षेत्र]] से युग्मित होता है जिसे कुल अवकलज कहा जाता है। इसे प्रवणता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है किन्तु [[बाहरी व्युत्पन्न|बाह्य अवकलज]] का उपयोग करना अधिक स्वाभाविक होता है।
-संवहन व्युत्पन्न एक सदिश क्षेत्र के साथ अंतरिक्ष के माध्यम से समय निर्भरता और गति के कारण परिवर्तनों को ध्यान में रखता है, और [[कुल व्युत्पन्न]] का एक विशेष मामला है।
+संवहन व्युत्पन्न सदिश क्षेत्र के साथ स्पेस के माध्यम से समय निर्भरता और गति के कारण परिवर्तनों को ध्यान में रखता है, और [[कुल व्युत्पन्न]] की विशेष स्तिथि है।
-[[वेक्टर-मूल्यवान कार्य]]ों के लिए 'आर' से 'आर' तक<sup>n</sup> (यानी, [[पैरामीट्रिक वक्र]]), फ्रेचेट व्युत्पन्न प्रत्येक घटक के व्युत्पन्न को अलग से लेने के अनुरूप है। परिणामी व्युत्पन्न को वेक्टर में मैप किया जा सकता है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यदि सदिश-मूल्यवान कार्य समय के माध्यम से एक कण की स्थिति सदिश है, तो व्युत्पन्न समय के माध्यम से कण का वेग सदिश है।
+R से R<sup>n</sup> तक [[वेक्टर-मूल्यवान कार्य|वेक्टर मान फलन]] के लिए (अर्थात, [[पैरामीट्रिक वक्र]]), फ्रेचेट अवकलज प्रत्येक घटक के लिए भिन्न-भिन्न अनुरूप होते हैं। परिणामी व्युत्पन्न को वेक्टर में मैप किया जा सकता है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए यदि वेक्टर मान फलन समय के माध्यम से कण की स्थिति सदिश है तो व्युत्पन्न समय के माध्यम से कण का वेग सदिश होता है।
-[[जटिल विश्लेषण]] में, अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] हैं, जो जटिल संख्याओं पर जटिल-मूल्यवान कार्य हैं जहां फ्रेचेट व्युत्पन्न मौजूद है।
+[[जटिल विश्लेषण]] में, अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक फलन]] हैं, जो सम्मिश्र संख्याओं पर काम्प्लेक्स-मान फलन हैं जहाँ फ्रेचेट व्युत्पन्न उपस्थित है।
-ज्यामितीय कैलकुलस में[[ज्यामितीय गणना]] # डिफरेंशिएशन लीबनिज़ (उत्पाद) नियम के एक कमजोर रूप को संतुष्ट करता है। यह ज्यामितीय बीजगणित की वस्तुओं के लिए फ्रेचेट व्युत्पन्न का विशेषज्ञ है। ज्यामितीय कलन एक शक्तिशाली औपचारिकता है जिसे विभेदक रूपों और विभेदक ज्यामिति के समान ढांचे को शामिल करने के लिए दिखाया गया है।<ref>[[David Hestenes]], Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, {{ISBN|90-277-2561-6}}</ref>
+ज्यामितीय कलन में [[ज्यामितीय गणना|ज्यामितीय व्युत्पन्न]] लीबनिज़ नियम के शक्तिहीन रूप को संतुष्ट करता है। यह ज्यामितीय बीजगणित की वस्तुओं के लिए फ्रेचेट अवकलज का विशेषज्ञ है। ज्यामितीय कलन शक्तिशाली औपचारिकता है जिसे अवकल रूपों और ज्यामिति के समान रूपरेखा को सम्मिलित करने के लिए दिखाया गया है।<ref>[[David Hestenes]], Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984, {{ISBN|90-277-2561-6}}</ref>
-== बाहरी व्युत्पन्न और झूठ व्युत्पन्न ==
+== बाह्य व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न ==
-एक चिकने मैनिफोल्ड पर [[विभेदक रूप]]ों के [[बाहरी बीजगणित]] पर, बाहरी व्युत्पन्न अद्वितीय रेखीय नक्शा है जो [[वर्गीकृत लीबनिज नियम]] और वर्गों को शून्य से संतुष्ट करता है। यह बाहरी बीजगणित पर ग्रेड 1 की व्युत्पत्ति है। आर में<sup>3</sup>, ग्रेडिएंट, [[कर्ल (गणित)]], और [[विचलन]] बाहरी डेरिवेटिव के विशेष मामले हैं। ढाल की एक सहज व्याख्या यह है कि यह इंगित करता है : दूसरे शब्दों में, यह फ़ंक्शन की सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा में इंगित करता है। इसका उपयोग स्केलर (गणित) कार्यों या सामान्य दिशाओं के दिशात्मक डेरिवेटिव की गणना करने के लिए किया जा सकता है। डायवर्जेंस इस बात का माप देता है कि किसी बिंदु के पास कितना स्रोत या सिंक है। इसका उपयोग [[विचलन प्रमेय]] द्वारा [[फ्लक्स]] की गणना के लिए किया जा सकता है। कर्ल मापता है कि एक बिंदु के पास वेक्टर फ़ील्ड का कितना घुमाव है।
+स्मूथ मैनिफोल्ड पर [[विभेदक रूप|अवकल रूपों]] के [[बाहरी बीजगणित|बाह्य बीजगणित]] का अद्वितीय रैखिक मानचित्र है जो [[वर्गीकृत लीबनिज नियम]] और वर्गों को शून्य से संतुष्ट करता है। यह बाह्य बीजगणित पर ग्रेड 1 की व्युत्पत्ति होती है। R<sup>3</sup> में, ग्रेडिएंट, [[कर्ल (गणित)]], और [[विचलन]] बाह्य व्युत्पन्न की विशेष स्तिथियाँ होती हैं। ग्रेडिएंट की व्याख्या यह है कि यह "ऊपर" संकेत करती है, दूसरे शब्दों में यह फलन की सबसे तीव्र वृद्धि की दिशा की ओर संकेत करता है। इसका उपयोग अदिश (गणित) फलन या सामान्य दिशाओं के दिशात्मक डेरिवेटिव की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विचलन बिंदु के निकट कितना स्रोत या सिंक उपस्थित है इसका माप देता है। इसका उपयोग [[विचलन प्रमेय]] द्वारा [[फ्लक्स]] की गणना के लिए किया जा सकता है। कर्ल मापता है कि बिंदु के निकट सदिश क्षेत्र का कितना स्पिन है।
-[[झूठ व्युत्पन्न]] एक वेक्टर या टेंसर फ़ील्ड के दूसरे वेक्टर फ़ील्ड के प्रवाह के साथ परिवर्तन की दर है। सदिश क्षेत्रों पर, यह एक [[लेट ब्रैकेट]] का एक उदाहरण है (वेक्टर फ़ील्ड कई गुना के [[डिफोमोर्फिज्म समूह]] के लाई बीजगणित का निर्माण करते हैं)। यह बीजगणित पर ग्रेड 0 व्युत्पत्ति है।
+[[झूठ व्युत्पन्न|लाई व्युत्पन्न]] सदिश या टेंसर क्षेत्र के दूसरे सदिश क्षेत्र के प्रवाह के साथ परिवर्तन की दर है। सदिश क्षेत्रों पर, यह [[लेट ब्रैकेट|लाई ब्रैकेट]] का उदाहरण है (सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड के [[डिफोमोर्फिज्म समूह|डिफियोमोर्फिज्म समूह]] के लाई बीजगणित का निर्माण करते हैं)। यह बीजगणित पर ग्रेड 0 की व्युत्पत्ति है।
-एक साथ [[आंतरिक उत्पाद]] के साथ (एक वेक्टर क्षेत्र के साथ संकुचन द्वारा परिभाषित बाहरी बीजगणित पर एक डिग्री -1 व्युत्पत्ति), बाहरी व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न एक [[लव सुपरएलजेब्रा]] बनाते हैं।
+[[आंतरिक उत्पाद|इंटीरियर प्रोडक्ट]] के साथ (सदिश क्षेत्र के साथ संकुचन द्वारा परिभाषित बाह्य बीजगणित पर डिग्री -1 व्युत्पत्ति), बाह्य व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न [[लव सुपरएलजेब्रा|लाई सुपरएलजेब्रा]] बनाते हैं।
-== विभेदक टोपोलॉजी ==
+== अवकल टोपोलॉजी ==
-विभेदक टोपोलॉजी में, एक सदिश क्षेत्र को [[कई गुना]] पर चिकनी कार्यों की अंगूठी पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और एक स्पर्शरेखा सदिश को एक बिंदु पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह एक स्केलर फ़ंक्शन के एक दिशात्मक व्युत्पन्न की धारणा को सामान्य कई गुना करने की अनुमति देता है। कई गुना के लिए जो आर के [[सबसेट]] हैं<sup>n</sup>, यह स्पर्शरेखा सदिश दिशात्मक अवकलज से सहमत होगा।
+अवकल टोपोलॉजी में, सदिश क्षेत्र को [[कई गुना|मैनिफोल्ड]] पर स्मूथ फलनों के वलय पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा सदिश को बिंदु पर व्युत्पत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह अदिश फलन के दिशात्मक व्युत्पन्न की धारणा को सामान्य मैनिफोल्ड करने की अनुमति देता है। मैनिफोल्ड R<sup>n</sup> [[सबसेट|उपसमुच्चय]] हैं, यह स्पर्शरेखा सदिश दिशात्मक अवकलज से सहमत होगा।
-मैनिफोल्ड्स के बीच एक मानचित्र का पुशफॉरवर्ड (अंतर) उन मानचित्रों के स्पर्शरेखा स्थानों के बीच प्रेरित मानचित्र है। यह [[जैकबियन मैट्रिक्स]] को सार करता है।
+मैनिफोल्ड्स के मध्य मानचित्र का पुशफॉरवर्ड (अंतर) उन मानचित्रों के स्पर्शरेखा स्थानों के मध्य प्रेरित मानचित्र है। यह [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्यूह]] को ऐब्स्ट्रैक्ट करता है।
 == [[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] ==
-[[ अंतर ज्यामिति ]] में, सहसंयोजक व्युत्पन्न [[वक्र]] के साथ वेक्टर क्षेत्रों के दिशात्मक डेरिवेटिव लेने के लिए एक विकल्प बनाता है। यह [[वेक्टर बंडल]]ों या [[प्रमुख बंडल]]ों के वर्गों के लिए स्केलर कार्यों के दिशात्मक व्युत्पन्न का विस्तार करता है। रिमेंनियन ज्यामिति में, एक मीट्रिक का अस्तित्व [[लेवी-Civita कनेक्शन]] के रूप में जाना जाने वाला एक अद्वितीय पसंदीदा [[मरोड़ टेंसर]]-मुक्त सहसंयोजक व्युत्पन्न चुनता है। भौतिकी के लिए उन्मुख उपचार के लिए गेज सहपरिवर्ती व्युत्पन्न भी देखें।
+[[ अंतर ज्यामिति | अवकल ज्यामिति]] में, सहपरिवर्ती व्युत्पन्न [[वक्र]] के साथ वेक्टर क्षेत्रों के दिशात्मक डेरिवेटिव लेने के लिए विकल्प बनाता है। यह [[वेक्टर बंडल|वेक्टर बंडलों]] या [[प्रमुख बंडल|प्रमुख बंडलों]] के वर्गों के लिए अदिश फलन के दिशात्मक व्युत्पन्न का विस्तार करता है। रिमेंनियन ज्यामिति में, मीट्रिक का अस्तित्व [[लेवी-Civita कनेक्शन|लेवी-सिविटा कनेक्शन]] के रूप में जाना जाने वाला अद्वितीय मुख्य [[मरोड़ टेंसर|टॉरशन]]-मुक्त सहपरिवर्ती व्युत्पन्न का चयन करता है। भौतिकी के उन्मुख व्यवहार के लिए गेज सहपरिवर्ती व्युत्पन्न भी देखें।
-[[बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न]] बाहरी व्युत्पन्न को सदिश मूल्यवान रूपों तक विस्तारित करता है।
+[[बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न|बाह्य सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] बाह्य व्युत्पन्न को वेक्टर वैल्यूड रूपों तक विस्तारित करता है।
-== कमजोर डेरिवेटिव ==
+== वीक अवकलज ==
-एक समारोह दिया <math>u:\R^n\to\R</math> जो कि स्थानीय रूप से समाकलित फलन है, लेकिन जरूरी नहीं कि शास्त्रीय रूप से भिन्न हो, एक [[कमजोर व्युत्पन्न]] को [[भागों द्वारा एकीकरण]] के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है। पहले परीक्षण कार्यों को परिभाषित करें, जो असीम रूप से भिन्न और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्य हैं <math>\varphi \in C^{\infty}_c\left(\R^n\right)</math>, और [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] | मल्टी-इंडेक्स, जो लंबाई हैं <math>n</math> पूर्णांकों की सूची <math>\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)</math> साथ <math display="inline">|\alpha| := \sum_1^n \alpha_i</math>. परीक्षण कार्यों के लिए लागू, <math display="inline">D^\alpha \varphi := \frac{\partial^{|\alpha|} \varphi}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotsm x_n^{\alpha_n}}</math>. फिर <math display="inline">\alpha^{\text{th}} </math> का कमजोर व्युत्पन्न <math>u</math> यदि कोई कार्य है तो मौजूद है <math>v:\R^n\to\R</math> ऐसा कि सभी परीक्षण कार्यों के लिए <math>\varphi</math>, अपने पास
+दिया हुआ फलन <math>u:\R^n\to\R</math>, जो कि स्थानीय रूप से समाकलित होता है, किन्तु आवश्यक नहीं कि यह अवकलनीय हो, [[कमजोर व्युत्पन्न|वीक अवकलज]] को [[भागों द्वारा एकीकरण|आंशिक समाकलन]] के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है। प्रथम अभ्यास फलन को परिभाषित करता है, जो अनन्त अवकलनीय और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन <math>\varphi \in C^{\infty}_c\left(\R^n\right)</math> और [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन|मल्टी-इंडेक्स]] हैं जो पूर्णांकों की लंबाई <math>n</math> की सूची <math>\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)</math> के साथ <math display="inline">|\alpha| := \sum_1^n \alpha_i</math> है। अभ्यास फलन <math display="inline">D^\alpha \varphi := \frac{\partial^{|\alpha|} \varphi}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotsm x_n^{\alpha_n}}</math> के लिए प्रस्तावित है| यदि कोई फलन <math>v:\R^n\to\R</math> है, तो <math>u</math> का <math display="inline">\alpha^{\text{th}} </math> वीक अवकलज उपस्थित है जैसे कि सभी अभ्यास फलन <math>\varphi</math> के लिए है-
 : <math>\int_{\R^n} u\ D^{\alpha} \!\varphi\ dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\R^n} v\ \varphi\ dx</math>
-यदि ऐसा कोई कार्य मौजूद है, तो <math>D^{\alpha} u := v </math>, जो [[लगभग हर जगह]] अद्वितीय है। यह परिभाषा कार्यों के शास्त्रीय व्युत्पन्न के साथ मेल खाती है <math>u \in C^{|\alpha|}\left(\R^n\right) </math>, और [[वितरण (गणित)]] नामक सामान्यीकृत कार्यों के एक प्रकार के लिए बढ़ाया जा सकता है, परीक्षण कार्यों की दोहरी जगह। आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में और कार्यात्मक विश्लेषण के कुछ हिस्सों में कमजोर डेरिवेटिव विशेष रूप से उपयोगी होते हैं।
+यदि ऐसा फलन उपस्थित है, तो <math>D^{\alpha} u := v </math>, जो [[लगभग हर जगह|प्रायः प्रत्येक स्थान पर]] अद्वितीय है। यह परिभाषा फलन <math>u \in C^{|\alpha|}\left(\R^n\right) </math> के अवकल के समान है, और सामान्यीकृत फलन के लिए विस्तृत की जा सकती है जिसे [[वितरण (गणित)]] फलन की ड्यूल स्पेस कहा जाता है। आंशिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में और कार्यात्मक विश्लेषण के कुछ भागों में वीक अवकलज विशेष रूप से उपयोगी होते हैं।
-== उच्च क्रम और आंशिक डेरिवेटिव ==
+== भिन्नात्मक और उच्चतम कोटि के अवकलज ==
-वास्तविक संख्याओं में कोई भी विभेदीकरण प्रक्रिया को पुनरावृत्त कर सकता है, अर्थात, एक से अधिक बार डेरिवेटिव लागू कर सकता है, दूसरे और उच्च क्रम के डेरिवेटिव प्राप्त कर सकता है। मल्टीवेरिएबल कैलकुस में अध्ययन किए गए कई चर के कार्यों के लिए उच्च डेरिवेटिव भी परिभाषित किए जा सकते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न को बार-बार लागू करने के बजाय, [[अलग-अलग]] चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव को बार-बार लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, n वेरिएबल्स के स्केलर फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव को n द्वारा n मैट्रिक्स, [[हेसियन मैट्रिक्स]] में व्यवस्थित किया जा सकता है। सूक्ष्म बिंदुओं में से एक यह है कि उच्च डेरिवेटिव आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं होते हैं, और एक जटिल फैशन में निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करते हैं (विशेष रूप से, फ़ंक्शन का हेस्सियन मैट्रिक्स एक [[टेन्सर]] नहीं है)। फिर भी, उच्च डेरिवेटिव के पास अपने [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]] पर फ़ंक्शन के [[मैक्सिमा और मिनिमा]] के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी के लिए इस विश्लेषण के एक उन्नत अनुप्रयोग के लिए, [[मोर्स सिद्धांत]] देखें।
+वास्तविक संख्याओं में अवकलन प्रक्रिया को पुनरावृत्त किया जा सकता है, अर्थात, द्वितीय और उच्चतम कोटि के अवकलज प्राप्त करने के लिए एक से अधिक बार अवकलज प्रस्तावित कर सकते हैं। मल्टीवेरिएबल कैलकुस में अध्ययन किए गए कई चर के फलन के लिए उच्चतम अवकलज भी परिभाषित किए जा सकते हैं। इस स्तिथि में, अवकलज को पुनः प्रस्तावित करने के अतिरिक्त, [[अलग-अलग|विभिन्न]] चरों के संबंध में आंशिक अवकलज को पुनः प्रस्तावित किया जाता है। उदाहरण के लिए, n चरों के स्केलर फलन के द्वितीय क्रम के आंशिक अवकलज को n द्वारा n आव्यूह, [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]] में व्यवस्थित किया जा सकता है। सूक्ष्म बिंदुओं में उच्चतम अवकलज आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं होते हैं, और जटिल फैशन में निर्देशांक के चयन पर निर्भर करते हैं (विशेष रूप से, फलन का हेस्सियन आव्यूह [[टेन्सर]] नहीं है)। उच्चतम अवकलज के निकट अपने [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)|क्रिटिकल पॉइंट (गणित)]] पर फलन के [[मैक्सिमा और मिनिमा|स्थानीय एक्स्ट्रेमा]] के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी के लिए इस विश्लेषण के उन्नत अनुप्रयोग के लिए [[मोर्स सिद्धांत]] देखें।
-किसी भी प्राकृतिक संख्या n के n-वें डेरिवेटिव के अलावा, भिन्नात्मक या ऋणात्मक आदेशों के डेरिवेटिव को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं, जिनका अध्ययन भिन्नात्मक कलन में किया जाता है। -1 ऑर्डर डेरिवेटिव इंटीग्रल से मेल खाता है, जहां शब्द डिफरेंट इंटीग्रल है।
+किसी भी प्राकृतिक संख्या n के n-वें अवकलज के अतिरिक्त, भिन्नात्मक या ऋणात्मक क्रमों के अवकलज को परिभाषित करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं, जिनका अध्ययन भिन्नात्मक कलन में किया जाता है। प्रथम क्रम अवकलज इंटीग्रल के समान है, जहाँ शब्द डिफरेंट इंटीग्रल है।
-== क्वाटरनियोनिक डेरिवेटिव ==
+== क्वाटरनियोनिक अवकलज ==
-[[चतुष्कोणीय विश्लेषण]] में, डेरिवेटिव को वास्तविक और जटिल कार्यों के समान परिभाषित किया जा सकता है। [[चार का समुदाय]] के बाद से <math>\mathbb{H}</math> क्रमविनिमेय नहीं हैं, अंतर भागफल की सीमा दो अलग-अलग डेरिवेटिव देती है: एक बायाँ व्युत्पन्न
+[[चतुष्कोणीय विश्लेषण|क्वाटरनियोनिक विश्लेषण]] में, अवकलज को वास्तविक और काम्प्लेक्स फलन के समान परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, [[चार का समुदाय|चतुष्कोण]] <math>\mathbb{H}</math> विनिमेय नहीं हैं, अंतर भागफल की सीमा दो भिन्न-भिन्न अवकलज देती है- बायाँ अवकलज
 :<math>\lim_{h \to 0} \left[h^{-1} \left(f(a+h) - f(a) \right) \right]</math>
-और एक सही व्युत्पन्न
+और दायाँ अवकलज
 :<math>\lim_{h \to 0}\left[\left(f(a+h) - f(a) \right) h^{-1} \right].</math>
-इन सीमाओं का अस्तित्व बहुत ही प्रतिबंधात्मक स्थिति है। उदाहरण के लिए, यदि <math>f:\mathbb{H} \to \mathbb{H}</math> एक खुले जुड़े सेट पर हर बिंदु पर बाएं-डेरिवेटिव हैं <math>U \subset \mathbb{H}</math>, तब <math>f(q) = a + qb</math> के लिए <math>a,b \in \mathbb{H}</math>.
+इन सीमाओं का अस्तित्व अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। उदाहरण के लिए, यदि <math>f:\mathbb{H} \to \mathbb{H}</math> ओपन कनेक्टेड समुच्चय <math>U \subset \mathbb{H}</math> पर प्रत्येक बिंदु पर बाएं-डेरिवेटिव हैं तब <math>a,b \in \mathbb{H}</math> के लिए <math>f(q) = a + qb</math> है।
-== अंतर ऑपरेटर, क्यू-एनालॉग्स और टाइम स्केल ==
+== अन्तर संकारक, क्यू-एनालॉग्स और टाइम स्केल ==
-* किसी फ़ंक्शन का [[ क्यू-व्युत्पन्न ]] सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है <math display="block"> D_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.</math> एक्स नॉनज़रो के लिए, यदि एफ एक्स का एक अलग-अलग कार्य है तो सीमा में {{math|''q'' → 1}} हम सामान्य व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं, इस प्रकार क्यू-व्युत्पन्न को इसके क्यू-विरूपण के रूप में देखा जा सकता है। [[द्विपद सूत्र]] और [[टेलर विस्तार]] जैसे साधारण अवकल कलन के परिणामों के एक बड़े निकाय में प्राकृतिक क्यू-एनालॉग हैं जो 19वीं शताब्दी में खोजे गए थे, लेकिन 20वीं शताब्दी के एक बड़े हिस्से के लिए विशेष के सिद्धांत के बाहर अपेक्षाकृत अस्पष्ट बने रहे। कार्य करता है। कॉम्बिनेटरिक्स की प्रगति और [[क्वांटम समूह]]ों की खोज ने स्थिति को नाटकीय रूप से बदल दिया है, और क्यू-एनालॉग्स की लोकप्रियता बढ़ रही है।
+* किसी फलन का [[ क्यू-व्युत्पन्न | क्यू-अवकलज]] सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है-<math display="block"> D_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.</math> x अशून्य के लिए, यदि f, x का अवकलनीय फलन है तो {{math|''q'' → 1}} की सीमा में हम सामान्य अवकलज प्राप्त करते हैं, इस प्रकार q-अवकलज को q-डिफ़ॉर्मेशन के रूप में देखा जा सकता है। [[द्विपद सूत्र]] और [[टेलर विस्तार]] जैसे साधारण अवकल कलन के परिणामों के बड़े निकाय में क्यू-एनालॉग होते हैं जो 19वें दशक में शोधित किये गए थे, किन्तु विशेष फलन के सिद्धांत में, 20वें दशक के बड़े अंश के लिए अपेक्षाकृत अस्पष्ट बने रहे। कॉम्बिनेटरिक्स की प्रगति और [[क्वांटम समूह|क्वांटम समूहों]] की शोध ने स्थिति को नाटकीय रूप से परिवर्तित कर दिया है और क्यू-एनालॉग्स की लोकप्रियता बढ़ रही है।
-* [[अंतर समीकरण]]ों का [[अंतर ऑपरेटर]] मानक व्युत्पन्न का एक और असतत एनालॉग है। <math display="block">\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)</math>
+* [[अंतर समीकरण|डिफरेंस समीकरणों]] का [[अंतर ऑपरेटर|अन्तर संकारक]] मानक व्युत्पन्न का डिस्क्रीट एनालॉग है। <math display="block">\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)</math>
-* क्यू-व्युत्पन्न, अंतर ऑपरेटर और मानक व्युत्पन्न सभी को अलग-अलग समय के कैलकुस पर एक ही चीज़ के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, लेना <math>\varepsilon = (q-1)x </math>, शायद हम <math display="block"> \frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x} = \frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}.</math> क्यू-व्युत्पन्न [[वोल्फगैंग हैन]] अंतर का एक विशेष मामला है,<ref>{{cite journal |last=Hahn |first=Wolfgang |authorlink=Wolfgang Hahn |title=Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen |year=1949 |journal=[[Mathematische Nachrichten]] |issn=0025-584X |volume=2 |issue=1–2 |pages=4–34 |doi=10.1002/mana.19490020103 |mr=0030647}}</ref> <math display="block"> \frac{f(qx+\omega)-f(x)}{qx+\omega-x}.</math>हैन अंतर न केवल क्यू-व्युत्पन्न का सामान्यीकरण है बल्कि आगे के अंतर का विस्तार भी है।
+* क्यू-[[ क्यू-व्युत्पन्न |अवकलज]], अन्तर संकारक और मानक व्युत्पन्न सभी को भिन्न-भिन्न टाइम स्केल कैलकुलस पर समान रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>\varepsilon = (q-1)x </math> को लेने पर हमारे निकट हो सकता है-<math display="block"> \frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x} = \frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon}.</math> क्यू-अवकलज [[वोल्फगैंग हैन]] अंतर की विशेष स्तिथि है,<ref>{{cite journal |last=Hahn |first=Wolfgang |authorlink=Wolfgang Hahn |title=Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen |year=1949 |journal=[[Mathematische Nachrichten]] |issn=0025-584X |volume=2 |issue=1–2 |pages=4–34 |doi=10.1002/mana.19490020103 |mr=0030647}}</ref> <math display="block"> \frac{f(qx+\omega)-f(x)}{qx+\omega-x}.</math>हैन अंतर, क्यू-अवकलज का सामान्यीकरण है।
-* यह भी ध्यान दें कि q-व्युत्पन्न और कुछ नहीं बल्कि परिचित व्युत्पन्न का एक विशेष मामला है। लेना <math> z = qx </math>. तो हमारे पास हैं, <math display="block">\lim_{z \to x}\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = \lim_{q \to 1}\frac{f(qx) - f(x)}{qx - x} = \lim_{q \to 1}\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.</math>
+* q-अवकलज, फेमिलिअर अवकलज की विशेष स्तिथि है। <math> z = qx </math> को लेने पर हमारे निकट है- <math display="block">\lim_{z \to x}\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = \lim_{q \to 1}\frac{f(qx) - f(x)}{qx - x} = \lim_{q \to 1}\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.</math>
-== बीजगणित में डेरिवेटिव ==
+== बीजगणित में अवकलज ==
-बीजगणित में, व्युत्पत्ति के सामान्यीकरण को उत्पाद नियम को बीजगणितीय संरचना में लागू करके प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि रिंग (गणित) या लाइ बीजगणित।
+बीजगणित में, व्युत्पन्न के सामान्यीकरण को बीजगणितीय संरचना जैसे रिंग या लाइ बीजगणित में अवकलन के लीबनिज़ नियम को प्रस्तावित करके प्राप्त किया जा सकता है।
-=== व्युत्पत्ति ===
+=== अवकलज ===
-एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) एक क्षेत्र पर एक अंगूठी या बीजगणित पर एक रेखीय नक्शा है जो लीबनिज़ कानून (उत्पाद नियम) को संतुष्ट करता है। उच्च डेरिवेटिव और [[बीजगणितीय अंतर समीकरण]] को भी परिभाषित किया जा सकता है। वे विभेदक गैलोज सिद्धांत और [[डी-मॉड्यूल]] के सिद्धांत में विशुद्ध रूप से बीजगणितीय सेटिंग में अध्ययन किए जाते हैं, लेकिन कई अन्य क्षेत्रों में भी बदलते हैं, जहां वे अक्सर डेरिवेटिव की कम बीजगणितीय परिभाषाओं से सहमत होते हैं।
+अवकलज वलय या बीजगणित पर रैखिक मानचित्र है जो लीबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है। उच्चतम अवकलज और [[बीजगणितीय अंतर समीकरण|बीजगणितीय अवकल समीकरण]] को भी परिभाषित किया जा सकता है। वे अवकल गैलोज सिद्धांत और [[डी-मॉड्यूल]] के सिद्धांत में विशुद्ध रूप से बीजगणितीय सेटिंग में अध्ययन किए जाते हैं, जहाँ वे अधिकांशतः अवकलज की कम बीजगणितीय परिभाषाओं से सहमत होते हैं।
-उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय वलय R पर एक [[बहुपद]] के अवकल बीजगणित को निम्न द्वारा परिभाषित किया जाता है
+उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय वलय R पर [[बहुपद]] के अवकल बीजगणित को निम्न द्वारा परिभाषित किया जाता है-
 :<math>\left(a_d x^d + a_{d-1}x^{d-1} + \cdots + a_1x + a_0\right)' = da_d x^{d-1} + (d - 1)a_{d-1}x^{d-2} + \cdots + a_1.</math>
-मानचित्रण <math>f\mapsto f'</math> फिर बहुपद वलय R[X] पर एक व्युत्पत्ति है। इस परिभाषा को [[तर्कसंगत कार्य]]ों के लिए भी बढ़ाया जा सकता है।
+मानचित्रण <math>f\mapsto f'</math> बहुपद वलय R[X] पर अवकलज है। इस परिभाषा को [[तर्कसंगत कार्य|परिमेय फलन]] के लिए भी विस्तृत किया जा सकता है।
-व्युत्पत्ति की धारणा गैर-अनुक्रमिक के साथ-साथ क्रमविनिमेय वलयों पर भी लागू होती है, और यहां तक कि गैर-सहयोगी बीजगणितीय संरचनाओं पर भी लागू होती है, जैसे ले बीजगणित।
+अवकलज की धारणा गैर विनिमेय के साथ-साथ क्रमविनिमेय वलयों पर प्रस्तावित होती है और नॉन-अस्सोसिएटिव बीजगणितीय संरचनाओं जैसे लाई बीजगणित पर भी प्रस्तावित होती है।
-=== एक प्रकार का व्युत्पन्न ===
+=== टाइप का अवकलज ===
-[[प्रकार सिद्धांत]] में, कई अमूर्त डेटा प्रकारों को एक रूपांतरण द्वारा उत्पन्न [[सार्वभौमिक बीजगणित]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो प्रकार के आधार पर संरचनाओं को वापस प्रकार में मैप करता है। उदाहरण के लिए, टाइप ए के मान वाले [[बाइनरी ट्री]] के टाइप टी को 1+A×T परिवर्तन द्वारा उत्पन्न बीजगणित के रूप में दर्शाया जा सकता है।<sup>2</sup>→टी. 1 एक खाली पेड़ के निर्माण का प्रतिनिधित्व करता है, और दूसरा शब्द एक पेड़ के निर्माण को एक मूल्य और दो उपप्रकारों से दर्शाता है। + इंगित करता है कि एक पेड़ का निर्माण किसी भी तरह से किया जा सकता है।
+[[प्रकार सिद्धांत]] में, कई अमूर्त डेटा प्रकारों को रूपांतरण द्वारा उत्पन्न  [[सार्वभौमिक बीजगणित|बीजगणित]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो प्रकार के आधार पर संरचनाओं को पुनः प्रकार में मैप करता है। उदाहरण के लिए, टाइप A वाले [[बाइनरी ट्री]] के टाइप T को 1+A×T<sup>2</sup>→T परिवर्तन द्वारा उत्पन्न बीजगणित के रूप में दर्शाया जा सकता है। '1' एम्प्टी ट्री के निर्माण का प्रतिनिधित्व करता है, और द्वितीय पद ट्री के निर्माण को मान और दो उपप्रकारों से दर्शाता है। '+' दर्शाता है कि ट्री का निर्माण किसी भी प्रकार से किया जा सकता है।
-इस तरह के एक प्रकार का व्युत्पन्न वह प्रकार है जो किसी विशेष संरचना के संदर्भ में उसके अगले बाहरी युक्त संरचना के संबंध में वर्णन करता है। दूसरा तरीका रखो, यह दोनों के बीच अंतर का प्रतिनिधित्व करने वाला प्रकार है। पेड़ के उदाहरण में, व्युत्पन्न एक प्रकार है जो आवश्यक जानकारी का वर्णन करता है, एक विशेष सबट्री को उसके मूल पेड़ का निर्माण करने के लिए। यह जानकारी एक टपल है जिसमें बाइनरी इंडिकेटर होता है कि बच्चा बाईं ओर है या दाईं ओर, माता-पिता का मान और सिबलिंग सबट्री। इस प्रकार को 2×A×T के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो पेड़ के प्रकार को उत्पन्न करने वाले परिवर्तन के व्युत्पन्न की तरह दिखता है।
+इस प्रकार का व्युत्पन्न वह प्रकार है जो किसी विशेष उपसंरचना के संदर्भ को इसकी बाह्य संरचना के संबंध में वर्णित करता है। द्वितीय प्रकार दोनों के मध्य अंतर का प्रतिनिधित्व है। ट्री के उदाहरण में, व्युत्पन्न प्रकार है जो इनफार्मेशन का वर्णन करता है, विशेष सबट्री को उसके मूल ट्री के निर्माण के लिए दिया जाता है। यह इनफार्मेशन टपल है जिसमें बाइनरी इंडिकेटर होता है। इस प्रकार को 2×A×T के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो ट्री के प्रकार को उत्पन्न करने वाले परिवर्तन के व्युत्पन्न की भाँति दिखता है।
-एक प्रकार के व्युत्पन्न की इस अवधारणा में व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जैसे [[कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में उपयोग की जाने वाली [[ज़िपर (डेटा संरचना)]] तकनीक।
+टाइप के व्युत्पन्न की इस अवधारणा में व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जैसे [[कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषा|फंक्शनल प्रोग्रामिंग भाषाओं]] में उपयोग की जाने वाली [[ज़िपर (डेटा संरचना)]] तकनीक है।
-== विभेदक ऑपरेटर ==
+== अवकल ऑपरेटर ==
-एक अवकल संकारक एक बीजगणितीय व्यंजक में संभवतः विभिन्न क्रमों के कई व्युत्पन्नों को जोड़ता है। यह विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले साधारण [[रैखिक अंतर समीकरण]]ों पर विचार करने में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यदि f(x) एक चर का दो बार अवकलनीय फलन है, तो अवकल समीकरण <math>f'' + 2f' - 3f = 4x - 1</math> प्रपत्र में पुनः लिखा जा सकता है  <math>L(f)=4x-1</math>, कहाँ
+अवकल संकारक बीजगणितीय व्यंजक में संभवतः विभिन्न क्रमों के विभिन्न व्युत्पन्नों को जोड़ता है। यह विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले साधारण  [[रैखिक अंतर समीकरण|रैखिक अवकल समीकरणों]] पर विचार करने में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यदि f(x) चर का दो बार अवकलनीय फलन है, तो अवकल समीकरण <math>f'' + 2f' - 3f = 4x - 1</math> को <math>L(f)=4x-1</math> के रूप में पुनः लिखा जा सकता है, जहाँ
- <math display=block> L=\frac{d^2}{dx^2}+2\frac{d}{dx}-3</math>
+<math display=block> L=\frac{d^2}{dx^2}+2\frac{d}{dx}-3</math>
-एक्स के कार्यों पर अभिनय करने वाला दूसरा क्रम रैखिक निरंतर गुणांक अंतर ऑपरेटर है। यहाँ मुख्य विचार यह है कि हम एक ही बार में शून्य, प्रथम और द्वितीय क्रम के डेरिवेटिव के एक विशेष [[रैखिक संयोजन]] पर विचार करते हैं। यह हमें इस विभेदक समीकरण के समाधानों के समुच्चय को इसके दाहिने हाथ की ओर 4x−1 के सामान्यीकृत प्रतिअवकलन के रूप में सोचने की अनुमति देता है, सामान्य समाकल के साथ सादृश्य द्वारा, और औपचारिक रूप से लिखने के लिए
+x के फलनों पर कार्य करने वाला द्वितीय क्रम रैखिक स्थिर गुणांक अंतर ऑपरेटर है। यहाँ मुख्य विचार यह है कि हम शून्य, प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज के विशेष [[रैखिक संयोजन]] पर विचार करते हैं। यह हमें इस अवकल समीकरण के समाधानों के समुच्चय को सामान्य समाकलन के साथ सादृश्य द्वारा इसके दाहिने हाथ की ओर 4x−1 के सामान्यीकृत एंटीडेरिवेटिव के रूप में विचार करने की अनुमति प्रदान करता है और औपचारिक रूप से अंकित करता है-
- <math display="block">f(x)=L^{-1}(4x-1).</math>
+<math display="block">f(x)=L^{-1}(4x-1).</math>
-अलग-अलग चर के डेरिवेटिव का संयोजन एक [[आंशिक अंतर ऑपरेटर]] की धारणा में होता है। लीनियर ऑपरेटर जो प्रत्येक फ़ंक्शन को इसके डेरिवेटिव को असाइन करता है, [[समारोह स्थान]] पर [[छद्म अंतर ऑपरेटर]] का एक उदाहरण है। [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से, छद्म-विभेदक ऑपरेटरों को परिभाषित किया जा सकता है जो भिन्नात्मक कलन के लिए अनुमति देते हैं।
+भिन्न-भिन्न चरों के अवकलज का संयोजन [[आंशिक अंतर ऑपरेटर|आंशिक अवकल ऑपरेटर]] की धारणा में होता है। लीनियर ऑपरेटर जो प्रत्येक फलन को इसके अवकलज को असाइन करता है, [[समारोह स्थान|फलन स्पेस]] पर [[छद्म अंतर ऑपरेटर|अवकल संकारक]] का उदाहरण है। [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से, छद्म-अवकल संकारकों को परिभाषित किया जा सकता है जो भिन्नात्मक कलन के लिए अनुमति प्रदान करते हैं।
 इनमें से कुछ ऑपरेटर इतने महत्वपूर्ण हैं कि उनके अपने नाम हैं:
-* आर पर [[लाप्लास ऑपरेटर]] या लाप्लासियन<sup>3</sup> एक दूसरे क्रम का आंशिक अंतर ऑपरेटर है {{math|Δ}} तीन वेरिएबल्स के स्केलर फ़ंक्शन के ग्रेडियेंट के विचलन द्वारा दिया गया है, या स्पष्ट रूप से <math display="block"> \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}. </math> अनुरूप ऑपरेटरों को किसी भी चर के कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
+* R<sup>3</sup> पर [[लाप्लास ऑपरेटर]] या लाप्लासियन द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल संकारक {{math|Δ}} है जो तीन चरों के अदिश फलन के ग्रेडियेंट के विचलन द्वारा दिया गया है, या स्पष्ट रूप से- <math display="block"> \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}. </math> एनालॉगस ऑपरेटरों को किसी भी चर के फलन के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
-* डी'अलेम्बर्टियन या वेव ऑपरेटर लाप्लासियन के समान है, लेकिन चार चर के कार्यों पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा आर के [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] [[डॉट उत्पाद]] के बजाय मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के अनिश्चित [[मीट्रिक टेंसर]] का उपयोग करती है।<sup>3</sup>: <math display="block"> \square = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}. </math>
+* डी'अलेम्बर्टियन या वेव ऑपरेटर लाप्लासियन के समान है, किन्तु चार चरों के फलनों पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा R<sup>3</sup> के [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष | यूक्लिडियन]]  [[डॉट उत्पाद|डॉट गुणनफल]] के अतिरिक्त मिन्कोव्स्की स्पेस के अनिश्चित [[मीट्रिक टेंसर]] का उपयोग करती है- <math display="block"> \square = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}. </math>
-* श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न एक गैर-रैखिक अंतर ऑपरेटर है जो वर्णन करता है कि कैसे एक [[आंशिक-रैखिक मानचित्र]] द्वारा एक जटिल फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जाता है, उसी तरह एक सामान्य व्युत्पन्न वर्णन करता है कि एक रैखिक मानचित्र द्वारा फ़ंक्शन का अनुमान कैसे लगाया जाता है।
+* श्वार्ज़ियन अवकलज अरैखिक अवकल संकारक है जो वर्णन करता है कि किस प्रकार [[आंशिक-रैखिक मानचित्र]] द्वारा काम्प्लेक्स फलन का अनुमान लगाया जा सकता है, उसी प्रकार सामान्य अवकलज वर्णन करता है कि रैखिक मानचित्र द्वारा फलन का अनुमान किस प्रकार लगाया जा सकता है।
-* [[विर्टिंगर डेरिवेटिव]] डिफरेंशियल ऑपरेटर्स का एक सेट है जो जटिल कार्यों के लिए एक डिफरेंशियल कैलकुलस के निर्माण की अनुमति देता है जो वास्तविक चर के कार्यों के लिए सामान्य डिफरेंशियल कैलकुलस के समान है।
+* [[विर्टिंगर डेरिवेटिव]] अवकल संकारकों का समुच्चय है जो काम्प्लेक्स फलनों के लिए अवकल कलन के निर्माण की अनुमति देता है जो वास्तविक चर के फलनों के लिए सामान्य अवकलन के समान है।
 == अन्य सामान्यीकरण ==
-[[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, [[कार्यात्मक व्युत्पन्न]] कार्यों के स्थान पर कार्यात्मक के एक समारोह के संबंध में व्युत्पन्न को परिभाषित करता है। यह एक अनंत [[आयाम]]ी सदिश स्थान के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न का विस्तार है। विविधताओं की कलन में परिवर्तनशील व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण मामला है।
+[[कार्यात्मक विश्लेषण|फंक्शनल विश्लेषण]] में, [[कार्यात्मक व्युत्पन्न|भिन्नात्मक अवकलज]] फंक्शनल के फलन के सापेक्ष अवकलज को परिभाषित करता है। यह अनंत [[आयाम|आयामी]] सदिश समष्टि के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न का विस्तार है। विचरण कलन में विचरण अवकलज महत्वपूर्ण स्तिथि है।
-[[ उप व्युत्पन्न ]] और [[ उपश्रेणी ]] उत्तल विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले उत्तल कार्यों के व्युत्पन्न के सामान्यीकरण हैं।
+[[ उप व्युत्पन्न | सबडेरिवेटिव]] और [[ उपश्रेणी |सबग्रेडिएंट]] कॉन्वेक्स विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले अवमुख फलनों के अवकलज के सामान्यीकरण हैं।
-कम्यूटेटिव बीजगणित में, काहलर डिफरेंशियल एक [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] या [[मॉड्यूल (बीजगणित)]] के सार्वभौमिक व्युत्पन्न हैं। उनका उपयोग अंतर ज्यामिति से बाहरी व्युत्पन्न के एक एनालॉग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो केवल चिकनी मैनिफोल्ड्स के बजाय मनमाना बीजगणितीय किस्मों पर लागू होता है।
+कम्यूटेटिव बीजगणित में, काहलर अवकल [[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय वलय]] या [[मॉड्यूल (बीजगणित)]] के यूनिवर्सल डेरिवेटिव हैं। उनका उपयोग अवकल ज्यामिति से बाह्य व्युत्पन्न के एनालॉग को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो मात्र स्मूथ मैनिफोल्ड्स के अतिरिक्त आर्बिटरी बीजगणितीय विविधता पर प्रस्तावित होते है।
-[[पी-एडिक विश्लेषण]] में, डेरिवेटिव की सामान्य परिभाषा काफी मजबूत नहीं है, और इसके बजाय सख्ती से भिन्न होने की आवश्यकता होती है।
+[[पी-एडिक विश्लेषण]] में, डेरिवेटिव की सामान्य परिभाषा पर्याप्त नहीं है और इसके अतिरिक्त अवकलनीयता की आवश्यकता होती है।
-[[ व्युत्पन्न केक ]] फ्रेचेट डेरिवेटिव को [[स्थानीय रूप से उत्तल]] [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] स्थान तक बढ़ाता है। फ़्रेचेट डिफरेंशियलिटी गैटॉक्स डिफरेंशियलिटी की तुलना में एक सख्त स्थिति है, यहां तक कि परिमित आयामों में भी। दो चरम सीमाओं के बीच [[अर्ध-व्युत्पन्न]] है।
+[[ व्युत्पन्न केक | गैटॉक्स डेरिवेटिव]] फ्रेचेट अवकलज को [[स्थानीय रूप से उत्तल|स्थानीय कॉन्वेक्स]] [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] तक वस्तृत करता है। फ़्रेचेट अवकलनीयता गैटॉक्स अवकलनीयता की तुलना में परिमित आयामों में दृढ़ स्थिति है। दो चरम सीमाओं के मध्य [[अर्ध-व्युत्पन्न|क्वासि-डेरिवेटिव]] है।
-[[माप सिद्धांत]] में, रैडॉन-निकोडीम डेरिवेटिव जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक का सामान्यीकरण करता है, जिसका उपयोग वेरिएबल्स को मापने के लिए किया जाता है। यह एक माप μ को दूसरे माप ν (कुछ शर्तों के तहत) के संदर्भ में व्यक्त करता है।
+[[माप सिद्धांत]] में, रैडॉन-निकोडीम अवकलज जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक का सामान्यीकरण करता है, जिसका उपयोग चरों को मापने के लिए किया जाता है। यह माप μ को दूसरे माप ν के संदर्भ में व्यक्त करता है।
-एच-व्युत्पन्न | एच-व्युत्पन्न सार वीनर रिक्त स्थान और मालियाविन कलन के अध्ययन में व्युत्पन्न की धारणा है। इसका उपयोग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में किया जाता है।
+एच-व्युत्पन्न सार वीनर स्पेस और मालियाविन कलन के अध्ययन में व्युत्पन्न की धारणा है। इसका उपयोग स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में किया जाता है।
-लाप्लासियन का उपयोग करने वाले लाप्लासियन और डिफरेंशियल इक्वेशन का फ्रैक्टल्स पर विश्लेषण किया जा सकता है। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न या ढाल का कोई पूरी तरह से संतोषजनक अनुरूप नहीं है।<ref>[https://www.ams.org/notices/199910/fea-strichartz.pdf Analysis on Fractals], Robert S. Strichartz - Article in Notices of the AMS</ref>
+लाप्लासियन का उपयोग करने वाले लाप्लासियन और अवकल समीकरणों का फ्रैक्टल्स पर विश्लेषण किया जा सकता है। प्रथम कोटि के अवकलज का कोई पूर्ण रूप से संतोषजनक एनालॉग नहीं है।<ref>[https://www.ams.org/notices/199910/fea-strichartz.pdf Analysis on Fractals], Robert S. Strichartz - Article in Notices of the AMS</ref>
 {{Anchor|Analogues_of_derivatives_in_fields_of_positive_characteristic}}
-कार्लिट्ज डेरिवेटिव सामान्य भेदभाव के समान एक ऑपरेशन है, लेकिन वास्तविक या जटिल संख्याओं के सामान्य संदर्भ के साथ [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में सकारात्मक विशेषता_(बीजगणित) के [[स्थानीय क्षेत्र]]ों में कुछ [[परिमित क्षेत्र]] एफ में गुणांक के साथ बदल दिया गया है।<sub>''q''</sub> (यह ज्ञात है कि सकारात्मक विशेषता का कोई भी स्थानीय क्षेत्र लॉरेंट श्रृंखला क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है)। घातीय फलन, [[लघुगणक]] और अन्य के लिए उपयुक्त रूप से परिभाषित एनालॉग्स के साथ-साथ व्युत्पन्न का उपयोग चिकनाई, विश्लेषण, एकीकरण, टेलर श्रृंखला के साथ-साथ अंतर समीकरणों के सिद्धांत को विकसित करने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite book |title=सकारात्मक विशेषता में विश्लेषण|last=Kochubei |first= Anatoly N.|year=2009 |publisher= Cambridge University Press |location= New York |isbn= 978-0-521-50977-0}}</ref>
-मूल व्युत्पत्ति के विस्तार या अमूर्तता की उपरोक्त विभिन्न धारणाओं में से दो या दो से अधिक को जोड़ना संभव हो सकता है। उदाहरण के लिए, फिन्स्लर ज्यामिति में, एक स्थान का अध्ययन करता है जो [[स्थानीय रूप से]] बनच रिक्त स्थान की तरह दिखता है। इस प्रकार कोई कार्यात्मक व्युत्पन्न और सहसंयोजक व्युत्पन्न की कुछ विशेषताओं के साथ एक व्युत्पन्न चाहता है।
-गुणक कलन जोड़ को गुणन से बदल देता है, और इसलिए भिन्नताओं के अनुपात की सीमा से निपटने के बजाय, यह अनुपातों के घातांक की सीमा से संबंधित है। यह ज्यामितीय व्युत्पन्न और द्विमितीय व्युत्पन्न के विकास की अनुमति देता है। इसके अलावा, क्लासिकल डिफरेंशियल ऑपरेटर की तरह ही एक असतत एनालॉग, डिफरेंस ऑपरेटर होता है, वैकल्पिक कैलकुली में डेरिवेटिव और इंटीग्रल की सूची भी होती है।
+कार्लिट्ज अवकलज, सामान्य अवकलन के समान ऑपरेशन है, किन्तु वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के सामान्य संदर्भ के साथ [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में सकारात्मक अभिलक्षण (बीजगणित) के [[स्थानीय क्षेत्र|स्थानीय क्षेत्रों]] में कुछ [[परिमित क्षेत्र]] F<sub>''q''</sub> में गुणांक के साथ परिवर्तित कर दिया गया है। (यह ज्ञात है कि सकारात्मक अभिलक्षण का स्थानीय क्षेत्र लॉरेंट श्रृंखला क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है)। घातीय फलन, [[लघुगणक]] और अन्य के लिए उपयुक्त रूप से परिभाषित एनालॉग्स के साथ-साथ अवकलज का उपयोग विश्लेषण, समाकलन, टेलर श्रृंखला के साथ-साथ अवकल समीकरणों के सिद्धांत को विकसित करने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite book |title=सकारात्मक विशेषता में विश्लेषण|last=Kochubei |first= Anatoly N.|year=2009 |publisher= Cambridge University Press |location= New York |isbn= 978-0-521-50977-0}}</ref>
+मूल व्युत्पत्ति के विस्तार या अमूर्तता की उपरोक्त विभिन्न धारणाओं में से दो या दो से अधिक को जोड़ना संभव हो सकता है। उदाहरण के लिए, फिन्स्लर ज्यामिति में, स्पेसेस का अध्ययन करते है जो [[स्थानीय रूप से]] बनच स्पेस की भाँति दिखता है। इस प्रकार कोई भिन्नात्मक अवकलज और सहपरिवर्ती अवकलज की कुछ विशेषताओं के साथ अवकलज चाहता है।
+गुणक कलन, जोड़ को गुणन से परिवर्तित कर देता है, इसलिए यह अनुपातों के घातांक की सीमा से संबंधित होता है। यह ज्यामितीय अवकलज और द्विमितीय अवकलज के विकास की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, जिस प्रकार अवकल संकारक के निकट डिस्क्रीट एनालॉग होता है उसी प्रकार अवकल संकारक के इन गुणक अवकलज के डिस्क्रीट एनालॉग भी होते हैं।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Arithmetic derivative}}
+* {{annotated link|अंकगणितीय व्युत्पन्न}}
-* {{annotated link|Dini derivative}}
+* {{annotated link|दीनी व्युत्पन्न}}
-* {{annotated link|Hasse derivative}}
+* {{annotated link|हस डेरिवेटिव}}
-* {{annotated link|Logarithmic derivative}}
+* {{annotated link|लघुगणक व्युत्पन्न}}
-* {{annotated link|Logarithmic differentiation}}
+* {{annotated link|लघुगणक अवकलन}}
-* {{annotated link|Non-classical analysis}}
+* {{annotated link|नॉन-क्लासिकल एनालिसिस}}
-* {{annotated link|Pincherle derivative}}
+* {{annotated link|पिंचरले व्युत्पन्न}}
-* {{annotated link|Semi-differentiability}}
+* {{annotated link|अर्ध-अवकलनीयता}}
-* {{annotated link|Symmetric derivative}}
+* {{annotated link|सममित व्युत्पन्न}}
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 150: / Line 150: @@
 {{Analysis in topological vector spaces}}
-[[Category: व्युत्पन्न के सामान्यीकरण]] [Category:Generalizations of the derivative
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+[[Category:व्युत्पन्न के सामान्यीकरण]]

v t e Analysis in topological vector spaces
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

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व्युत्पन्न के सामान्यीकरण: Difference between revisions

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Latest revision as of 10:41, 4 May 2023

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भिन्नात्मक और उच्चतम कोटि के अवकलज

क्वाटरनियोनिक अवकलज

अन्तर संकारक, क्यू-एनालॉग्स और टाइम स्केल

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व्युत्पन्न के सामान्यीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:41, 4 May 2023

फ्रेचेट अवकलज

बाह्य व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न

अवकल टोपोलॉजी

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